练案15 第三章 第1讲 导数的概念及运算-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

132-872,2≤1<10. (2)由(1)知：Q(t)= 1080-60,10≤t≤20， t 72 2≤<10时，Q(t)≤132-2/8t· =84,当且仅当t=3等 号成立， ∴.2≤t<10时，Q(t)mx=Q(3)=84, 当10≤t≤20上，Q(t)单调递减，则Q(t)m.=Q(10)=48, 综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元」 B组能力提升 1.D设2024年人均食品支出x元，则2025年人均食品支出x(1 -7.5%)=92.5%x,2025年人均消费支出2×92.5%x+475,由题 意，有2×92.5%x+475+75=2x+475,x=500.此时，n= 92.5%×500 2×92.5%×500+4750.3304=3.04%,由表知属富裕. 2.C设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a,设当学 生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天， 由题意得a(1+0.01)'=2a,即(1+0.01)*=2，由于lg101≈ 20043,故g1.01=g100=00043,则g1.01=g2,x 1g20.3010 1g1.01004370(天)，放选C 3.A设A同学不用喇叭时的声强为m,喷出泉水高度为x,则A 同学用喇叭时的声强为10m,喷出泉水高度为2米.由题意知， 0Xg=40.即gm-gm=4①.又10xg040区 mo 80,即1g10m=g10+1gm-gm=1+lgm-lgm。=8,即1gm- mo g=7②，0②可得4=7，解得x=子=175故选A 30 [a+blogs 10 =0 4.B由题意得{ 90 解得1， 6=1.”,=-1+1og10,设 a+blogs 10 =1, 900 =kg,由题意得Hog100 =1,解得k=2,心9 Q11, 2g0文ea1+g0,3则吗月 @ .0-.即0= g10-lg10,即g0=bg,0…0=10 9Q2.故选B. 5.[解析](1)因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为 5x万元. 依据题意得，当0<x<9时，P()=5x-(任6-8)-1 -树 当x≥9时，P(x)=5x-5x+lhx+-12)-l=I1-lhx- 所以P(x)= 11-In x-e -,x≥9， 51 （a)当0e9时，7-（任因为+x≥2√4 /4. (当且仅当=，即x=2时取等号），所以P()=7 (+≤3 即当x=2时，P(x)取得最大值为P(2)=3(万元)， 当≥9时，P)=11血xP'(二 x2 .当9≤x<e3时，P'(x)>0,P(x)单调递增， 当x>e3时，P'(x)<0,P(x)单调递减， ∴.当x=e3时，P(x)取得最大值为P(e3)=11-lne3-1=7(万元)， 7>3, ∴.当x=e≈20时，P(x)的最大值为7万元. .当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获得的年利润最 大，最大年利润为7万元. C组拓展应用（选作）】 ACD由题意可得 10=a106即0=-c6解得 l20=alg1010+h,120=-10a+b, [a=10,所以6-a=110,放A正确：因为D=10g4120,所以30 b=120. =10lgm+120,解得m=109,故B错误；由100<10lg12+120< 1 110,得10，<10，故C正确：设烟花噪声，鞭炮噪声和飞机起 飞时发动机噪声的声强级分别为D1,D2,D3,由题意知90<D1< 100,100<D2<110,135<D3<145,所以D1+D3>2D2,所以10lgI+ 120+101g13+120>2(101g12+120),所以1g1+lg13>2g12,即 lg(II3)>lg2,所以I1I3>,故D正确.故选ACD. 练案[15] A组基础巩固 1c因为fe)=h号兰所以f”() 得云岩所以 1-3 2-1 =-2,则 n1+①=1)=-2故选C △x 2.B lim As=lim2 22+4)2-(2+4)-(2x4-2=1im(7+24)=7,则 +0△t0 质点在2s末的瞬时速度为7m/s.故选B. 3D因为f(x)=f(3）osx*sinx,所以f(写)=f(写)× 2 4.C由函数的解析式可得)'=-sm）:=osx,所求切线的斜 x2 率为k=y1号 =- 为（受）放切线方程为=2（受），即为2+ 0.故选C. 70 5.A先由f(x)的图象，确定f代(x)的单调性，再根据图象斜率的变 化情况，判断f'(x)的单调性，最后由函数的凹凸性进行判断， 即可得到答案.由函数f(x)的图象可知，当x≥0时，f(x)单调 递增，所以f'(2)>0,f'(4)>0f4)-f2)>0,由此可知，f'(x)在 (0,+0)上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以f'(x)单 调递增，所以f'(2)<f'(4),则2f'(2)<2f'(4),因为f'(2)< 4)-2)<f(4),所以2f'(2)<4)2)<2"(4).故选A 4-2 6.By=x与f(x)的图象相切，设切点为(x,x),则f'(xo)=1+ ln(xo+k)=1,故xo+k=1,由fxo)=xo,即(xo+k)ln(xo+k)=xo, 将xo+k=1代人上式，得o=0,故k=1.故选B. 7.B因为y=anx+r(a>0),所以y=“+2x≥2√/2a,因为曲线 的切线的领斜角的取值范围是[号），所以斜率≥5，因为 3 5=22a,所以a=g 8.Af'(x）=c+2os)1+)-（e+2m）·2x,则f"(0)= (1+x2)2 (c+2cs0)(1+0)-(e+2sin0)×0=3,即该切线方程为y-1= (1+0)2 3x,即y=3x+1,令x=0,则y=1,令y=0,则x= ,放该切线与 1 两坐标轴所围成的三角形面积S=之×1X 1 1 3=6 .故选A ?ACD因为+)=1，所以选项A不正确：因为g =n2所以选项B正确：因为(3)'=3h3,所以选项C不正 确：因为(xcos x)'=2 xcos x-a sin x,所以选项D不正确.故 选ACD. 10B0D直线y=分+6的斜率6=分)=的导数为f'() =子，即切线的斜率小于0，放A不正确)=的导数为 '(x=4,令4=，解得=子，放B正确)=m的 导数为f'(x)=osx,而cosx=2有解，故C正确：f)=e的 导数为广'(x)=e,令。=，解得x=-n2,放D正确故 选BCD. 11.ACx)=n(x+1),所以当x>0时f'(x)=h(x+1)+x+ 0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以A正确：令xln(x+1) =0,所以x=0或ln(x+1)=0,所以x=0,故f(x)只有1个零点 0,所以B不正确r(✉=(x+1)所以f(》-h号 -1=-1-ln2,所以C正确：定义域不关于原点对称，所以f代x) 不是偶函数，所以D不正确.故选AC. 12y=2er+e对y=二求导得yC-1,k=2,切点为 (e)2e (-1,-e),故切线方程为y+e=2e(x+1),即y=2ex+e. 13.1因为f(x)=(x2+ax+1)e,所以f'(x)=[x2+(2+a)x+1+ a]e,依题意可得f'(0)=2,即f'(0)=[02+(2+a)×0+1+a]e =2,解得a=1. 1+1-Inx 对函数)求分得广。），散断求切线斜率为 k=分切点坐标为(1,0)所以，曲线y在=1处的切线 x+1 方程为y=之(-1=宁子该切线交x轴于点(1,0)，交y 1 轴于点(Q,号），因此，线y在=1处的切线与两坐 伤轴断湘成的三角形的面积为宁XX了号 2 5 15.-之由题意得a+c=2b,直线l:ax+b+(2b-a)=a(x-1)+b(y +2)=0,故直线l过定点(1，-2)，且曲线y=e+lnx-3过点 (1,-2),故直线l与曲线y=e1+lnx-3(无拐点)相切于点 （,-2)y=e片直线1的斜率=e片-2直线 b+c 1的方程为2-y4=0,a:b:c=2:（-1):(-4),.0 5 2 B组能力提升 1L.BD当a=1时，f(x)= t+1f'(x)=、xe (x+1),有f'(0)=0,又 f(0)=1,故曲线y=f(x)在点(0f0)处的切线方程为y=1,故 选项B正确.A错误：当a=0时)，则了()=-)已， x2 显然f'(1)=0,即曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0,故选项C错误，D正确.BD. 2.D由f代x)=lnx+2x+3,得f'(x)= +2,>0,设A,血+2 3),>0,则f()=+2,由题意可得，直线+3y-2=0的斜率为 了，所以面线)在过点A处的切线的斜率为3，所以子(a)归 解得三1，则可得切点A(1,5),所以切线方程 3(x-1),即3x-y+2=0.故选D. 2 3.D由于直线y=一x+m与曲线y=2nx-n+4相切，设切点为 e (06),且y=2.所以2=2，则切点的横坐标。=c,则2+m e xo =2-nt4,即m+n=4又m0,a>0,所以(m+m(偏+）=2+ Pxm=4,即+≥1，当且仅当m=n=2时 0%≥2*2份×号 m n 取等号，断以宁口的最小值为1故选D 4C直线y=x-4的斜率k=1,函数y=x2-lnx定义域为(0，+0)， 点P是曲线y=x2-nx上任意一点，设P(x,y)(x>0),由 y=20),令y=21,部得=1或=（合 去)，x=1,此时y=1,∴.曲线上与直线y=x-4平行的切线的切 点为P(1,1),所以曲线y=x2-nx上点P到直线y=x-4的最小 距离，为点P(1,1)到直线y=x-4的距离d=1-4=22.故 √2 选C. 5.了曲线y=h2:在点P(s)处的切线与曲线y=e之相切 于点0()(h2x)'=,(e2产)=2e2,面线y=ln(2x) 在点P(,)处的切线斜率片=1，曲线y=e2在点Q(x2,2) 处的切线斜率k2=2e2,.曲线y=ln(2x)在点P(x1,y)处的切 线方程为y=1(x-)+=1x+ln(2x,)-1,或y=2c2(x-,) 1=2e2 +为=2e2x+(1-2x)e2, 即 n(2x)-1=(1-2)e22, rn(2x1)=-2x2, 222x(2x2+1)=2x2-1,易知2x,+1≠ ln(2x1)-1=(1-2x2)e 2x2-11 02x2,+1心2x1-t 2-1+ -2=2 2+11 2x,+1 C组拓展应用（选作） A解法一：因为y=(2x-1)1,所以ny=(x+1)n(2x-1),所 以 ·yh(2红1)+出，所以 [1n(2x-1)+2x+1(2x-1),当x=1时，y=4,所以曲线y= 2x-1J /1 (2x-1),x（2,+∞）在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x -1),即y=4x-3. 解法二：观察过点(1,1)的切线只有A选项，所以选A 练案[16] A组基础巩固 1.Cfx)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1+nx,令f'(x)<0,得0< <。,所以)的单河递减区间为(0，) 2.D因为f(x)=x(e-e),xeR,定义域关于原点对称，且 f代-x)=-x(e-e)=x(e-e)=f(x),所以f(x)是偶函数，当 x>0时，f'(x)=e-e"+x(e+e)>0,所以f(x)在(0，+o)上单 调递增. 3.D根据导函数的图象可得，当x<0时f'(x)<0,f(x)在(-∞，0) 上单调递减；当0<x<2时，f(x)>0,f(x)在(0,2)上单调递增； 当x>2时，f'(x)<0,f代x)在(2，+0)上单调递减，所以只有D选 项符合. 4.Df'(x)=1-sinx,当xeR时，f'(x)=1-sinx≥0，且不恒为0， 所以f(x)是增函数，因为2<e<π，所以f(2)<f(e)<f(π). 6求导得厂()之店2要满足两数a n在区间(1,4)上单调递增，则f()=-2≥0，即a≥ 2 2x x 因为x(1,4,所以2∈(1,2)，即a≥2，放选B 6.C由题意有：当x<0时，f(x)=(2a-1)ln(e-x),所以f'(x)= (2a-1)1x(-1)=1-20<0,所以1-2a<0,当x≥0时，fx)= e-x e-x 2-a2 所以P(x)=aa-22<0,所以a(a2-2)=a(a-2)(a中 e'r 5 r1-2a<0, 2)<0,又fx)在R上单调递减，所以a(a-√2)(a+2)<0,解 l2a-1≥2-a2, 得1≤a<√2，所以ae[1,√2)，故选C. 7.C因为f(-x)=e*-e-2sin(-x)=-fx),所以f(x)为R上的奇 函数.又因为f(x)=e*+e-2cosx≥2√/e·e-2cosx=2-2cosx ≥0，所以f(x)在R上单调递增.又f(ae)+f(1-x)>0恒成立， 所以ac)x-1),则ae>-1,因此a心恒成立.设g()归 则)=兰令=0部得=2当2时)> 0,g(x)单调递增；当x>2时，g'(x)<0,g(x)单调递减，因此 >g(x)=g(2)=。子故选C 8.B ig(x)=e"f(x)-e"(xER),g'(x)=e"f(x)+e"f"(x)-e"= e[fx)+f'(x)-1],因为fx)+f'(x)>1,所以f(x)+f'(x)-1> 0,又e>0,所以'(x)>0恒成立，所以y=g(x)在定义域R上 单调递增.故原不等式可转化为ef代x)-e>2e,又f(1)=3,所以 g(1)=ef(1)-e=2e,所以g(x)>g(1),所以x>1,故不等式 ef代x)>e+2e的解集为(1，+o).故选B. gAC当x=0或x=2时，x)=0,则函数()=的定义域 为(-∞，0)U(0,2)U(2,+),故排除B,D;g'(x)= 。[fx)-f()】,由图易得当xe(0,1)时，f(x)>'(x),即 [fx)]2 ge)0.房以西数g在0.上是单两递增的，故入 正确：又由图易得当xe(1,专)时)(0)，即g(x)<0, 所以函数g(x)=。 在（号）上是单泻递减的放心正晚 故选AC. 10.ACD依题意，函数g(x)=f(x)为定义域上的增函数，对于 A,g(x)=xe,g'(x)=(x+1)e,当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0, ∴.g(x)在(-∞，-1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B,g(x)=x在R上为增函数，故B中函数为“F函数”； 对于Cg()=g()=1+h>0.当xe(0,)时。 g()<0,g(x)在(0，）上单调递减，放C中函数不是“F e 函数”；对于D,g(x)=xsin x,g'(x)=sinx+xcosx,当xe (受0)时g()<0g()在（受.0）上单调递减.放D 中函数不是“F函数” 11.BD由导函数的图象可知，导函数f'(x)的图象在x轴下方， 即f'(x)<0,故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢， 所以(x)的图象如图所示： y练案[15] 第三章 导数及其应用 第一讲 导数的概念及运算 A.2f'(2)<f(4)f(2)<2f'(4) 的A组基础巩固 B.2f'(4)<2f'(2)f(4)-f2) 一、单选题 C.2f'(2)<2f'(4)f(4)-f(2) D.f(4)-f(2)<2f'(4)<2f'(2) 1.(2026·江苏盐城三模)若f(x)=1n2 ,则 6.(2026·河南模拟)已知曲线f(x)=(x+k)n(x+k)的 1im1+Ar)-f1)三 条切线的方程为y=x,则实数k= () △x A.0 B.1 C.-1 D.e A.0 B.2 C.-2 D.-4 7.（2025·宣城模拟)若曲线y=alnx+x2(a>0)的切线的 2.（2026·甘肃白银三模)如果质点按规律s(t)=22-t 倾斜角的取值范围是严，π) 3’2 ,则a= () (距离单位：m,时间单位：s)运动，则质点在2s末的瞬 时速度为 1 A. B. 3 24 8 C 3 03 2 A.8 m/s B.7 m/s 8.(2024· 全国甲卷)设函数f(x)=+2n,则曲线 C.6 m/s D.5 m/s 1+x2 3.(2026·山东枣庄)已知函数∫(x)满足f(x)= y=f(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的 面积为 () 了（牙）smx-cmsx,求)在=T的导数 ( 4 1 A. 6 3 C.2 0 2 A.√2+1 B.√2-1 二、多选题 C.-2 D.6+2 2 9.(2025·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是 4(2026·全国模拟)曲线y=在点M(受，0）处的 =1+ 切线方程是 ( 1 A.x+Ty+T=0 B.x+Ty-T=0 B.(log2x)'= xIn 2 C.2x+Ty-T=0 D.x+my-=0 C.(3)'=3·log3e 5.函数y=f(x)的图象如图所示f'(x)是函数f(x)的导 D.(x2cos x)'=-2xsinx 函数，则下列数值排序正确的是 ( 1 10.若直线y=2+b是函数f八x)图象的一条切线，则函 数f(x)可以是 Ax)=1 B.f(x)=x x C.f(x)=sin x D.f(x)=e" —309 11.已知函数f(x)=xln(1+x),则 )2.(2025·广西开学考试)曲线f(x)=lnx+2x+3在A点 A.f(x)在(0，+o)上单调递增 处的切线与直线x+3y-2=0垂直，则切线方程为 B.f(x)有两个零点 ( c圃线y=)在点() 处的切线的斜率 A.x+3y+2=0 B.3x-y-1=0 C.x-3y+2=0 D.3x-y+2=0 为-1-ln2 D.f(x)是偶函数 3.(2025·湖南长沙二模)已知m>0,n>0,直线y=2x+ e 三、填空题 m与曲线y=2n-n+4相切，则1+1的最小值是 m n 12(206·广西棱拟)面线y=产在=-1处的切线方 程为 A.4 B.3 13.(2026·吉林长春模拟预测)若函数f(x)=（x2+ax+ C.2 D.1 1)e在x=0处的切线与直线2x-y+2=0平行，则实 4.(2026·山东枣庄期中)若点P是曲线y=x2-lnx上任 数a= 意一点，则点P到直线y=x-4的最小距离为() 14.(2026·山东泰安模拟预测)曲线y=血*在点(1,0) x+1 A.1 B.√2 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 C.22 D.42 5.(2026·辽宁沈阳模拟)若曲线y=n2x在点P(x1, 15.(2025·湖南高三阶段练习)已知a,b,c成等差数 y)处的切线与曲线y=e2相切于点Q(x2,2),则 列，若直线l:ax+by+c=0与曲线y=e-1+nx-3相 1 2x1-1 6+c 切，则 的C组拓展应用（选作）刀 B组能力提升 (2026·山东潍坊模拟)阅读材料： 1.（多选题)(2025·甘肃庆阳三模)已知函数f(x)= 求函数y=e的导函数 中n则下列结论正确的是 解：因为y=e,所以x=lny,所以x'=(lny)',所以 A.当a=1时，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方 1=1·y',所以y=y=e y 程为y=x B.当a=1时，曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方 借助上述思路，圃线y=(2-1)4e(分，+在点 程为y=1 (1,1)处的切线方程为 C.当a=0时，曲线y=f(x)上不存在斜率为0的切线 A.y=4x-3 B.y=4x+3 D.当a=0时，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜 C.y=2x-3 D.y=2x+3 率为0 —310