练案16 第三章 第2讲 第1课时 导数与函数的单调性-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

练案[16] 第二讲导数在研究函数中的应用 第一课时导数与函数的单调性 们A组基础巩固 5.(2026·浙江金华三模)已知函数f(x)=a:-lnx在 区间(1,4)上单调递增，则a的最小值为 () 一、单选题 A.1 B.2 C.3 D.4 1.函数f代x)=xnx+1的单调递减区间是 ( 6.（2026·河北秦皇岛模拟)已知函数f(x)= ( (2a-1)ln(e-x),x<0, 2-a2 在R上单调递减，则a的取值 c(0. D.(e,+o) x≥0 2.已知函数f(x)=x(e-e),则f八x) 范围是 ( A.是奇函数，且在(0，+∞)上单调递减 分川 R(分2) B.是奇函数，且在(0，+∞)上单调递增 C.是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减 C.[1,2) n.(2+】 D.是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增 7.(2026·陕西榆林期末)已知函数f(x)=e-e 3.已知f'(x)是函数y=f(x)的导函数，且y=∫'(x)的图 2sinx,若f(ae)+f(1-x)>0恒成立，则a的取值范围 象如图所示，则函数y=代x)的图象可能是 ( 是 () =f(x R(x,) c(信*x】 D.(日+n】 33 8.(2025·湖南娄底期中)已知定义在R上的函数f(x) 满足f(x)+f'(x)>1f(1)=3,则不等式ef(x)>e+2e 的解集为 () A.(2,+∞) B.(1,+0) C.(-∞，2) D.(-∞，1) 二、多选题 9.已知函数f(x)与f'(x)的图象如图所示，则g(x)= e f(x) 4.已知函数f(x)=x+cosx,则下列选项正确的是( A.f2)f(π)<fe) y=f(x) B.f(π)f(e)<f(2) vf(x) C.fe)<f2)<f(π) D.f(2)f(e)fπ) —311 A.在区间(0,1)上单调递增 四、解答题 B.在区间(1,4)上单调递减 15.已知函数f(x)=x2+alnx. (1)当a=-2时，求函数f(x)的单调递减区间； C.在区间(1，行)上单调递减 (2)若丽数g(x)=x)+2在[1，+0)上单调，求实 D.在区间（专4）上单词递波 数a的取值范围. 10.如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1,x2(x1≠ 女)都有x)-) >0,则称函数y=f(x)为“F x1-X2 函数”，下列函数不是“F函数”的是 A.f(x)=e" B.f(x)=x2 C.f(x)=In x D.f(x)=sin x 11.已知函数f(x)的定义域为R,其导函数∫'(x)的图象 如图所示，则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2).下列结论 正确的是 A.f(x)<0恒成立 B.(x1-x2)[f(x1)-f八x2)]<0 2 B组能力提升身 f(x1)+fx2) 2 1.（多选题)(2026·河北衡水月考)下列不等式成立的 是 () 三、填空题 33 A.2n 2 B.√2ln3<√3ln2 12.(2026·甘肃平凉模拟)函数f八x)=x+2cosx(-T<x< C.5ln 4<4ln 5 D.Tzeln T π)的单调递减区间是 2.若定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x∈R,都有 13.若函数f代x)=x3+bx2+x恰有三个单调区间，则实数b )=2-),且当xe(0,时，f)=怎若a 的取值范围为 (),6=f(g)c=f(3）),则a,6c的大小关系是 14.（2025·重庆名校联盟联考)若函数f(x)=2x2-lnx () 在其定义域的一个区间(2h-1,2k+1)内不单调，则实 A.b<e<a B.a<b<c 数k的取值范围是 C.c<a<b D.b<a<c —312— 3.(2025·黑龙江龙东地区联考)已知了"(x)是/x)定义6.已知函数)=n24 2x 在(0，+∞)上的导函数，同时f'()<1 ,对任意 (1)若f(x)在(0，+∞)上单调递减，求实数a的取值 范围； a>b>0,则必有 ( (2)若a=1,试问过点(0,1)向曲线y=f(x)可作几条 A.af(b)ta<of(a)+b B.bf(b)-b<af(a)-a 切线？ C.bf(a)-a<af(b)-b D.af(a)+b<bf(b)+a 4.（2026·全国高三专题练习)已知函数f(x)= rex-e,x<1, 正数a满足f(a2-3a-3)>0,则a+ +lnx-1,x≥1， x 9 2的最小值为 ) A.4 B.6 C.8 D.9 5.(2026·甘肃甘南模拟)已知函数f(x)= 22+3nx 4hx(k>0). (1)若k=1,求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线 方程； (2)求函数f(x)的单调递增区间. 的C组拓展应用（选作）习 (2026·广东广州花都区调研)已知函数f(x)=lnx+ x2-ax. (1)若f(x)在区间(0，e]单调递增，求a的取值范围； (2)讨论f(x)的单调性. —313—5.了曲线y=h2:在点P(s)处的切线与曲线y=e之相切 于点0()(h2x)'=,(e2产)=2e2,面线y=ln(2x) 在点P(,)处的切线斜率片=1，曲线y=e2在点Q(x2,2) 处的切线斜率k2=2e2,.曲线y=ln(2x)在点P(x1,y)处的切 线方程为y=1(x-)+=1x+ln(2x,)-1,或y=2c2(x-,) 1=2e2 +为=2e2x+(1-2x)e2, 即 n(2x)-1=(1-2)e22, rn(2x1)=-2x2, 222x(2x2+1)=2x2-1,易知2x,+1≠ ln(2x1)-1=(1-2x2)e 2x2-11 02x2,+1心2x1-t 2-1+ -2=2 2+11 2x,+1 C组拓展应用（选作） A解法一：因为y=(2x-1)1,所以ny=(x+1)n(2x-1),所 以 ·yh(2红1)+出，所以 [1n(2x-1)+2x+1(2x-1),当x=1时，y=4,所以曲线y= 2x-1J /1 (2x-1),x（2,+∞）在点(1,1)处的切线方程为y-1=4(x -1),即y=4x-3. 解法二：观察过点(1,1)的切线只有A选项，所以选A 练案[16] A组基础巩固 1.Cfx)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=1+nx,令f'(x)<0,得0< <。,所以)的单河递减区间为(0，) 2.D因为f(x)=x(e-e),xeR,定义域关于原点对称，且 f代-x)=-x(e-e)=x(e-e)=f(x),所以f(x)是偶函数，当 x>0时，f'(x)=e-e"+x(e+e)>0,所以f(x)在(0，+o)上单 调递增. 3.D根据导函数的图象可得，当x<0时f'(x)<0,f(x)在(-∞，0) 上单调递减；当0<x<2时，f(x)>0,f(x)在(0,2)上单调递增； 当x>2时，f'(x)<0,f代x)在(2，+0)上单调递减，所以只有D选 项符合. 4.Df'(x)=1-sinx,当xeR时，f'(x)=1-sinx≥0，且不恒为0， 所以f(x)是增函数，因为2<e<π，所以f(2)<f(e)<f(π). 6求导得厂()之店2要满足两数a n在区间(1,4)上单调递增，则f()=-2≥0，即a≥ 2 2x x 因为x(1,4,所以2∈(1,2)，即a≥2，放选B 6.C由题意有：当x<0时，f(x)=(2a-1)ln(e-x),所以f'(x)= (2a-1)1x(-1)=1-20<0,所以1-2a<0,当x≥0时，fx)= e-x e-x 2-a2 所以P(x)=aa-22<0,所以a(a2-2)=a(a-2)(a中 e'r 5 r1-2a<0, 2)<0,又fx)在R上单调递减，所以a(a-√2)(a+2)<0,解 l2a-1≥2-a2, 得1≤a<√2，所以ae[1,√2)，故选C. 7.C因为f(-x)=e*-e-2sin(-x)=-fx),所以f(x)为R上的奇 函数.又因为f(x)=e*+e-2cosx≥2√/e·e-2cosx=2-2cosx ≥0，所以f(x)在R上单调递增.又f(ae)+f(1-x)>0恒成立， 所以ac)x-1),则ae>-1,因此a心恒成立.设g()归 则)=兰令=0部得=2当2时)> 0,g(x)单调递增；当x>2时，g'(x)<0,g(x)单调递减，因此 >g(x)=g(2)=。子故选C 8.B ig(x)=e"f(x)-e"(xER),g'(x)=e"f(x)+e"f"(x)-e"= e[fx)+f'(x)-1],因为fx)+f'(x)>1,所以f(x)+f'(x)-1> 0,又e>0,所以'(x)>0恒成立，所以y=g(x)在定义域R上 单调递增.故原不等式可转化为ef代x)-e>2e,又f(1)=3,所以 g(1)=ef(1)-e=2e,所以g(x)>g(1),所以x>1,故不等式 ef代x)>e+2e的解集为(1，+o).故选B. gAC当x=0或x=2时，x)=0,则函数()=的定义域 为(-∞，0)U(0,2)U(2,+),故排除B,D;g'(x)= 。[fx)-f()】,由图易得当xe(0,1)时，f(x)>'(x),即 [fx)]2 ge)0.房以西数g在0.上是单两递增的，故入 正确：又由图易得当xe(1,专)时)(0)，即g(x)<0, 所以函数g(x)=。 在（号）上是单泻递减的放心正晚 故选AC. 10.ACD依题意，函数g(x)=f(x)为定义域上的增函数，对于 A,g(x)=xe,g'(x)=(x+1)e,当x∈(-∞，-1)时，g'(x)<0, ∴.g(x)在(-∞，-1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B,g(x)=x在R上为增函数，故B中函数为“F函数”； 对于Cg()=g()=1+h>0.当xe(0,)时。 g()<0,g(x)在(0，）上单调递减，放C中函数不是“F e 函数”；对于D,g(x)=xsin x,g'(x)=sinx+xcosx,当xe (受0)时g()<0g()在（受.0）上单调递减.放D 中函数不是“F函数” 11.BD由导函数的图象可知，导函数f'(x)的图象在x轴下方， 即f'(x)<0,故原函数为减函数，并且递减的速度是先快后慢， 所以(x)的图象如图所示： y f(x)<0恒成立，没有依据，故A不正确：B表示(x1-x2)与 [f(x1)f(x2)]异号，即f(x)为减函数.故B正确：C,D左边的 式子意义为x1,x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标 值，右边式子代表的是函数值的平均值，即图中点A的纵坐标 值，显然有左边小于右边，故C不正确，D正确. 2[若]（写成（石）(][后)亦可) 因为f(x)=x+2cosx(-T<<π)，f'(x)=1-2sinx,令f(x)≤0， 得血≥行解得石≤：≤石所以)的单调递诚区间是 [π5π1 6’6J 13.（-0,-3)U(5,+∞)由题意得f'(x)=3x2+2bx+1,函数 f(x)=x3+bx2+x恰有三个单调区间，则函数f(x)=x3+bx2+x有 两个极值点，即f'(x)=3x2+2bx+1的图象与x轴有两个交点， 则判别式4=42-12>0，解得b>√3或b<-√5.所以实数b的取 值范围为(-∞，-√3)U(√3，+∞). 14[分子)函数f)=22-hx的定义域是(0，+)，所以 2水-10即≥2因为r)=所以()在(3+如】 上单调递增，由f(x)=0,可得x=了若函数f(x)=2x-nx 在区间(2k-1,2k+1)内不单调，则2k-1<2<2k+1,解之可得 子又为所以≤子 1 15.[解析](1)由题意知函数f(x)的定义域为(0，+o),当a=-2 时，f"(x)=2x2-2(x+10x-1) 由f'(x)<0得0<x<1,故f(x)的单调递减区间是(0,1) (2)由题意得g(x)=2x+02 xx2 ①若g(x)为[1，+∞)上的单调增函数，则 g'(x)≥0在[1，+0)上恒成立， 即a≥2-22在[1，+0)上恒成立， 设(x)=2-2x2,xe[1,+0). 易知p(x)在[1，+∞)上单调递减， 在[1，t∞）上，p(x)m=p(1)=0, .a≥0. ②若g(x)为[1，+∞)上的单调减函数， 则g'(x)≤0在[1，+0)上恒成立，易知其不可能成立，不符合 题意. 综上，实数a的取值范围是[0，+∞)， B组能力提升 1AD设e)-0),则f(-兰，所以当0e时， f'(x)>0,函数f(x)单调递增；当x>e时，f'(x)<0,函数f(x)单 调递减因为2<，所以》2)，即2h弓<h2,故 选项A正确：因为√2<√3<e,所以f(√2)<f(√3)，即2n√3> √3ln2,故选项B不正确；因为e<4<5,所以f(4)>f(5),即 -5 5ln4>4ln5,故选项C不正确.同理e<π，则f(e)>f(π)，即 T>elnT,故选项D正确. 2.A因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即 f(x)是以2为周期的周期函数，因为对任意x∈R,都有f(x)= f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.当x∈(0,1] 时)=。≥0，即函数f()在(0,1上单调递指，又a= ()=2+号)=r(号)b=(号)=(45)(5). )(4)=)豆0写号<1，所以 f(5)(号)s(3）,即6a 3.D由于)的定义域为(0，+x),且(x)<1,故可”(x) +fx)-1<0,因此(fx)-x)'=f'(x)+fx)-1<0,因此y=fx) -x为单调递减函数，由于a>b>0,故af(a)-a<6f(b)-b,即 afa)+b<fb)+a,故选D. 4C当c1时了e=ce>0恒成立，当1时)=宁 文≥0恒成立，则x)在(-0，）上单调递增，在(1，+0) 1-x-1 上单调递增.又因为f(1)=0,当x<1时，f(x)=ex-e,对x=1 时，f(x)=0也成立，所以f(x)在R上单调递增.已知正数a满 足f代a2-3a-3)>0=f(1),则a2-3a-3>1,解得a>4或a<-1(负 值舍去)，所以a>4,a-2>2,所以a+9 2sa-2+ 2*2全 9 2Va-2).9 ‘a-2+2=8,当且仅当a-2= F2,即a=5时等号成 9 立，所以a+a产2的最小值为8.故选C 5[解析]（①由题意得fx)三）+3nx4,定义城为(0，+∞)， f"(x)=+3-4f(1）=0, 可得曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为0. 7 f1)=24-2 曲线y=)在点(1)处的切线方程为)=子 12 (2)fx)=2t+3nx-4(k>0),x>0, 易知()=x+34=-4+3.且60 令f'(x)=0,则x2-4hx+3=0. √3 当△=16k-4×3≤0，即0<k≤号时，x2-4hx+3≥0在(0，+0)上 恒成立，且等号不恒成立， 即f'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立，且等号不恒成立，因此f(x) 在(0，+∞)上单调递增. 当4=162-4x3>0,即6 2时， 由2-4x+3=0解得1=2k-√4-3或=2k+√42-3， x1+x2=4>0,x1x2=3>0,.x2>x1>0, 当xe(0,x1)U(x2,+∞）时，f'(x)>0: 73 当x∈(x1,x2)时f'(x)<0, 因此f(x)在(0，x),(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2）上单调 递减。 3 综上，当0<k≤)时，f(x)的单调递增区间为(0，+0)： 当k>9时∫(x)的单调递增区间为(0,2站-√43】 (2k+√4h2-3,+0) 1 6[解析]=n二20m2+在(0，+a 2x 单调递减， 40)=1号g=42-20≤0恒成立， x2x 2x2 .2a≥(-x2+2x)m, 又当x>0时，t(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤1（当且仅当x=1时 取等号)， .2a≥1， 即实数a的取信范国为[宁+） （2若a=1,则到=lnr了*（0. e}2 设过点(0,1)与曲线f(x)相切的直线与f(x)的切点坐标为(x少o), 则%-1)%0.即n6子1-（民号动） x,2话 11 xo=1-)0-,整理得lnxo+-2=0, 令i(x)=nx+2-2(20). x 12_x-2 则'(x)= 令h'(x)=0,得x=2, h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增， 又h(分）-2-h20,4(2=h2-1<0,6e)-20, .h(x)与x轴有两个交点， .过点(0,1)向曲线y=f(x)可作2条切线. C组拓展应用（选作） [解析](）函数f代x)的定义城为(0，+0)了(x)=1+2x-a, fx)在区间(0，e]单调递增，即当xe(0,e]时，f'(x)≥0恒 成立， 亦即a≤+2：在区间(0，e]恒成立： 因为上2≥2（当且权当-号时号号）小 所以，a的取值范围为(-0,22]. (2)①当4≤22时f'(x)=1+2x-u≥22-u≥0在(0，+x)恒 成立， 则f(x)在(0，+0)单调递增； ②当a>22时/(x)=1+2x-4 22-a+1,易知a2-8>0, 51 令()=0，解得08与a+V 4 4 ,且0<x1<x2 当x1<x<x2f'(x)<0; 当0<x<x1或x>x2时f'(x)>0: 所以，f(x)在区间(x1,x2)单调递减，在区间(0，x1)和(x2,+∞) 单调递增. 综上所述，当a≤22时f(x)在(0，+∞)单调递增； 当a>22时，x)在区间(a-Va-8a+-8 4’4 ）单调递减，在 1a+a2-8 4一，+∞单调递增， 练案[17] A组基础巩固 1.Af'(x)=x+2x-3,由x2+2x-3=0,得x=-3或x=1,所以函数 )=了+-3x-1在(-，3)上单调递增，在(-3,1)上单 调递减，在(1，+)上单调递增，故f(x)在x=1处有极小值，极 小值点为1. 2.D由已知结合函数的单调性与 极值的关系进行分析即可求解. f'(l '( 结合函数图象可知，当x<a时， f'(x)<g'(x),此时y'=g'(x)- f'(x)>0,函数单调递增，当a<x<0 时f'(x)>g'(x),此时y=g(x)- f'(x)<0,函数单调递减，当0<x<b 时，f'(x)<g(x),此时y=g'(x)-f'(x)>0,函数单调递增，当 x>b时，f'(x)>g'(x),此时y'=g'(x)-f'(x)<0,函数单调递减， 故函数在x=a,x=b处取得极大值，在x=0处取得极小值.故 选D. 3.B由fx)=xe",可得f'(x)=e-xe=e(1-x),当0≤x≤1 时f'(x)>0;当1<x≤2时f'(x)<0;故fx)=xe"在[0,1]上单 调递增，在(1,2]上单调递减，故当xe[0,2]时，代x)=xe*在x =1时取得极大值，也即最大值1)=。故选B 4.A函数f(x)=（ax2+3x-3)e的定义域为R,求导得f'(x)= (ax2+2ax+3x)e,由x=1是函数f(x)的极值点，得f'(1)=(3a+ 3)e=0,解得a=-1,函数f(x)=(-x+3x-3)e,f'(x)=(-x2+x) e=-x(x-1)e,当x<0或x>1时f'(x)<0;当0<x<1时，f'(x)> 0,所以函数fx)的极小值f(0)=-3.故选A. 5Af)=若a0,则/>0)在[1.上 x x2 进城=)=a=子则a:不者<0，期由 3 f'(x)=0得x=-a.若1<-a<e,即-e<a<-1,则f(x)mn=f(-a)= 3 血(-u)+1=2,解得a=一6，符合题意，故选A事实上，若-a≥ e,即a≤-e,f'(x)≤0f(x)在[l,e]上递减，∴.f(x)ma=f(e)= 1日-弓解得8=片，矛后者01，即6之-1)≥0 3 3 fx)在[1，e]上递增fx)=f(1)=-a=之，解得a=-2 矛盾 74