第9讲 切线专题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

导数的切线专题 函数与导数 · 专题篇 在点处的切线：切点已知 一、切线方程 曲线 在点 处的切线斜率为 ，方程为 。 切点的纵坐标用原函数算，切线斜率用导函数算，两者不能混。 二、切点的三种给法 「在点 处」直接给出坐标，代入即用。 「在 处」只给横坐标，纵坐标由 补出。 「过点 」不算切点已知 —— 那样的点一般在曲线外，切点必须另设，属于下一类。 例1（单选·★☆☆☆☆） 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【切入点】切点是 ，横坐标已经给了，属于最标准的「在点处」。动作三步：算纵坐标、算导数值、代点斜式。 【关键】先算切点。，所以切点是 。再求斜率。，代入 得 。由点斜式，切线是 ，整理得 。故选 B。 【易错】两个地方容易滑手。一是 、、，三个取值不要记混；二是 求导后带负号，写成 ，漏掉负号会把斜率算成 ，那就撞上选项 A 的干扰。 【答案】B 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 曲线在点处的切线方程为__________。 【切入点】切点 已给，函数是「一次项加指数」，逐项求导。 【关键】，代入 得 。切线为 ，即 。 【易错】 求导还是 ，不要按幂函数的公式写成 。常数项 在求导时消失，但它在切线方程里要保留 —— 切点纵坐标是 ，点斜式里那一项不能丢。 【答案】 变式1-2（填空·★★☆☆☆） 曲线在处的切线方程为________. 【切入点】切点横坐标是 ，函数是「对数比幂」与「一次式的倒数」两项之和，两项分别求导。 【关键】第一项用商法则：；第二项用幂形式：。所以 。又 ，切线为 ，即 。 【易错】第一项的分子是 ，系数 来自 求导，漏掉它会得到 。第二项容易把分母的平方写掉，写成 。 【答案】 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【切入点】分式函数，但分子分母都是一次式，先把它拆成「常数 + 一个简单分式」，求导会清爽很多。 【关键】，于是 。代入 得 。切点 已在题干里，切线为 ，即 。故选 A。 【易错】直接套商法则同样可以，但分子 的变形能省掉一次约分，不易算错。要注意 是函数的间断点，若题目问的是 处的切线，那是没有意义的。 【答案】A 例2（单选·★☆☆☆☆） 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】切点 已经写在题干里，函数是幂函数与一次函数的差，逐项求导即可。 【关键】，代入 得切线斜率 。切线过 ，由点斜式得 。故选 A。 【易错】幂函数求导是「指数降一次、原指数变系数」， 求导得 ； 是一次项，求导得常数 ，不要写成 或者漏掉。 【答案】A 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【切入点】这道题把条件和结论反过来了：给的是切线斜率，求的是切点坐标。那就先求导，再令导函数等于 。 【关键】。令 ，得 。因为 恒大于零，只能 。代回原函数：。故 ，选 B。 【易错】解方程时别忘了 ，写成 或 会多出一个无解的支路。更常见的是求纵坐标时错用导函数：把 代进 得到的是斜率，不是点的纵坐标。 【答案】B 变式2-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 落在第二段，而第二段是用 递推定义的，不能直接把 代进第一段的 。要先把 所在那一段的表达式写出来。 【关键】先看切点。，切点是 。再看这段的解析式。当 时 ，落在第一段的范围内，所以 ，即 。于是 ，。切线为 ，即 。故选 C。 【易错】最大的坑是把 代进 得 ，那会得到切线 ，四个选项里没有，于是有人反过去改求导结果 —— 方向就错了。递推型分段函数的口诀是：先定段、再回退一步写式子、最后求导。 【答案】C 例3（填空·★★☆☆☆） 曲线在点处的切线方程是______. 【切入点】切点 已知，函数是正弦比一次式，斜率要用商的求导法则。 【关键】。代入 ：分子是 ，分母是 ，所以 。切线为 ，两边乘 整理得 。 【易错】商的求导法则是「分母乘分子的导数、减分子乘分母的导数」，顺序写反会差一个负号，得到的斜率变成 。另外填空中写成 本身没问题，但题干若注明要整式形式，就得化成 。 【答案】 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】，可题干只给了 时的解析式。先用奇函数的性质把 那一侧的解析式求出来，再按常规三步走。 【关键】设 ，则 ，代入题设得 。又 是奇函数，，所以 ，即 。于是 ，，。切线为 ，即 。故选 A。 【易错】借奇偶性转化时整体变号这一步最容易漏： 两项都要变号。若写成 ，会得到 、切线 ，与四个选项都不符 —— 这是可以自查出来的。 【答案】A 变式3-2（单选·★★★☆☆） 设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 【切入点】函数是复合结构：外层正弦，内层是「二次项减对数」。求出切线方程后，再让它与两条坐标轴相交，用两个截距算直角三角形的面积。 【关键】先求导。记 ，则 ，所以 。代入 ：，，故 。切点纵坐标 。切线为 ，与 轴交于 、与 轴交于 ，面积 。故选 D。 【易错】链式法则里外层导数要在内层的值处求值，这里就是 而不是 ；另外 带来的负号只影响切线方向，算面积时取绝对值，别把负号带进面积。 【答案】D 变式3-3（多选·★★★☆☆） 已知曲线，在处的切线与轴，轴分别交于点，，记线段的中点为，则（ ）。 A. 的轨迹与轴仅有一个交点 B. 的轨迹与轴仅有一个交点 C. 的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D. 的轨迹在第四象限仅有一个最低点 【切入点】题干没说切点，但给了一个参数 —— 切线随 变，所以先写出以 为参数的切线，再写出它与两轴的交点，把中点 的坐标也写成 的式子。四个选项都在问这条轨迹的性质，那就消去 得到轨迹方程。 【关键】 在 处的切线为 ，即 。与 轴交于 ，与 轴交于 ，故 。令 得 ，代回纵坐标得 。 【关键】与 轴的交点即 ，只有 一个解，A 项正确；与 轴的交点即 ，此时 ，也只有原点一个，B 项正确。当 时轨迹落在第二象限， 在 处由正变负，函数先增后减，所以第二象限里恰有一个最高点，C 项正确。当 时 ， 恒成立，轨迹一直下降且趋于 ，没有最低点，D 项错误。故选 ABC。 【易错】 的纵坐标里那个 带负号，写成 会让消参后的式子变成 ，后面四个选项的判断会全部反掉。另外「仅有一个最高点」要落在指定象限里说，算出极值点后记得回看它的横坐标符号。 【答案】ABC 过点作切线：切点未知 一、设切点 过点 作曲线 的切线：切点未知，设为 。 「在点」与「过点」只差一个字，做法完全不同 —— 前者切点已给，后者必须另设。 二、两条等式 切线斜率 ；切线过点 ，即 。 两式合并得到只含 的方程，解出 即得切点，回代即得切线。 三、先看点在哪里 且在定义域内时，该点就是切点，按「在点处」处理。 否则点在曲线外，切线可能不止一条，必须按上面的方程求解。 四、方程解不出来时 带对数或指数的方程没有显式解，把它记作 ，用 的单调性判断根的个数，再检验 、 这类值。 例4（单选·★☆☆☆☆） 曲线过点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干说「过点 」。把横坐标 代进 会碰到 ，根本没有意义 —— 说明这个点在曲线外，切点必须另设。 【关键】设切点横坐标为 ，由定义域知 。，所以切线的斜率为 。切线方程写成 ，整理得 。把 代进去：，即 。 【关键】左边的函数在 上两项都递增，所以整体递增；而 时它恰好等于 ，于是 是唯一解。这时斜率 、切点 ，切线为 。故选 A。 【易错】本题还有一条更省事的判据：因为 ，斜率 必然大于 。四个选项里只有 A 的斜率 满足，B 是 、C 是 、D 是 ，当场就能排掉三个。把「过点」误当成「在点处」、直接拿 当切点，是这类题最常见的错法，这里连求导都做不下去，正是提醒。 【答案】A 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_____________. 【切入点】「过原点作切线」—— 原点代进 时分母为零，原点不在曲线上，切点要另设。 【关键】，定义域是 。设切点横坐标为 ，切线为 。切线过原点，把 代入：。 【关键】移项合并同类项：。两边同乘 （）得 ，所以 。 【易错】左边那两项移项时要一起变号，写成 会得到正根，而本题的切点横坐标是负的 —— 负数代回原函数时分母是负的，符号刚好抵消，所以解得负根是合理的。另外本题只问切点横坐标，不必把切线方程也写出来。 【答案】 变式4-2（填空·★★★☆☆） 已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________。 【切入点】先代入 得 。再看点 在不在曲线上：，所以它在曲线外，切点要另设。 【关键】设切点横坐标为 ，则切点是 ，，斜率是 。切线为 。代入 ：。 【关键】把右边的第一项展开：。代回原式得 ，于是 ，。切点是 、斜率为 ，所以切线是过 的水平线，即 。直线 确实过点 ，符合题意。 【易错】展开 时漏掉 这一项就会得到关于 的复杂方程。斜率算出来是 ，说明切线水平 —— 这时切线方程写成 就够，不必再套点斜式写 。 【答案】 例5（填空·★★☆☆☆） 曲线过坐标原点的两条切线的方程为________。 【切入点】曲线带着绝对值，图象关于 轴对称。两半的形状一样，所以先只做 那一半，另一半用对称性直接写出来，不必重算一遍。 【关键】当 时 ，。设切点 ，切线为 。切线过原点，代入 得 ，所以 。切线是 ，整理得 。 【关键】当 时 ，它的图象与 那一半关于 轴对称，切线自然也成轴对称：把 中的 换成 得 ，即 。两条切线都过原点，这与「过坐标原点」的题设一致。 【易错】绝对值函数不能整体求导。直接写 的导数是 虽然结果对，但要说清「分两段讨论、再借对称」，否则遇到 这类就无从下手。另外两条切线都要写出来，只写 那一半会漏掉一条。 【答案】， 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是_____。 【切入点】题干说的是「存在过坐标原点的切线」。这句话把问题从「求切线」换成了「切线存在」—— 先照常设切点、把原点代进去得到一个含 的等式，再问这个等式有没有正数解。 【关键】。设切点横坐标为 ，切线为 。代入原点：，整理得 。 【关键】记 ，则 ：在 上 ，在 上 ，所以 处取到最大值 。又 时 、 时 ，值域是 。要让 有正数解，只需 ，即 。 【易错】有解的条件是「参数落在函数的值域里」，所以取最大值 时要带等号 —— 写成 会漏掉端点。另外要交代 在两端的行为，只说「最大值是 」不足以说明值域恰好是 。 【答案】 过点作切线的条数 一、化归为方程 过点 作曲线 的切线，切点横坐标 满足 。 切线条数就是这个方程的实数根个数。 二、再化归为交点 把参数 单独放到一边：。 根个数等于水平线 与曲线 的交点个数。 三、交点个数怎么数 有极小值 、极大值 时： 给三个交点， 或 给两个，其余给一个或零个。 只有一个极值时，极值与端点值之间给两个交点。 四、判别式型 方程整理成一元二次 时，两个不等实根等价于 。 重根只对应一条切线，所以判别式要严格大于零。 五、定义域的限制 曲线只在 上有定义时，根必须取正值；此时除极值外还要看端点处的函数值。 例6（单选·★☆☆☆☆） 过点可以作曲线的两条切线，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干说「过点 可以作两条切线」。点上带一个待定字母 ，那就先照常设切点、把点代进去，看看 与切点横坐标之间是什么关系。 【关键】设切点横坐标为 ，切点为 。由 得切线斜率 ，切线为 。把 代进去：，整理得 。 【关键】记 ，则「能作几条切线」等于「直线 与曲线 有几个交点」。求导得 ： 时递增、 时递减，所以 处取到最大值 。再交代两端： 时 从正方趋于 ， 时 。要有两个交点，需 。四个选项里只有 满足，故选 C。 【易错】三个地方。一是别漏掉「另一端趋于 」这个交代，否则无法说明为何 可以取到比 小的一切正数；二是选项 D 给的 是最大值 —— 它对应的是一条切线（切点恰在 ），不是两条；三是 时直线与曲线只有一个交点，也在选项之外。 【答案】C 变式6-1（单选·★★★☆☆） 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】点的坐标这次是用字母 给的，不过做法不变：设切点、代点、把 写成切点横坐标的函数，最后判断这个函数与水平线的交点个数。 【关键】。设切点为 ，切线为 。代入 ：，即 。 【关键】记 ，求导得 ： 时递增、 时递减，所以最大值是 。再看两端： 时 从正方趋于 ， 时 。于是 时最多一个交点，不合题意； 时要有两个交点，需 。故选 C。 【易错】四个选项形式上高度相似，把 与 的位置记反就会掉进 A 或 B。从推导过程记结论会稳得多： 是被表示的函数值，所以要受最大值 约束，于是比较对象一定是 与 ，而不是 与 。 【答案】C 变式6-2（填空·★★★☆☆） 已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________。 【切入点】「过坐标原点可以作两条切线」—— 点在曲线外（否则题设会变成「在原点处的切线」），切点照常设，动的是参数 。 【关键】。设切点为 ，切线为 。把原点代进去：，整理得 。 【关键】记 ，： 上递减、 上递增，最小值 。两端： 时 从负方趋于 ， 时 ；又 。直线 要与曲线有两个交点，需 。 【易错】两个端点都取不到： 时只剩 一个根，两条切线退化成一条； 时只剩 一个根，同样只有一条。另外 时 是从负方趋于 的，这正是 的上界为 且要取开区间的原因。 【答案】 变式6-3（填空·★★★☆☆） 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 【切入点】还是「过点 + 两条切线」，但这条曲线是指数与多项式的积，求导后代点时指数因子会被整体约掉 —— 方程最后变成一元二次，可以直接用判别式。 【关键】。设切点为 ，切线为 。代入 ：。 【关键】两边同除 （恒大于零，可以放心除）：，整理得 。要有两条切线，等价于这个方程有两个不相等的实根，所以判别式 ，解得 或 ，即 。 【易错】两边同除 是本题的关键一步，要交代它恒正；若不敢除，方程会一直带着指数因子，走不到判别式。另外这里是「两个不相等的实根」，判别式必须严格大于零，写成 会多出 与 两个值，而那两处方程是重根，只对应一条切线。 【答案】 例7（单选·★★★★☆） 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】与例 1 同一套路，只是把「两条」换成了「三条」。三条意味着那个关于切点的方程要有三个根，对应的曲线必须先减后增再减，也就是同时有极小值和极大值。 【关键】。设切点为 ，切线为 。代入 ：。 【关键】把前一项展开：，所以 。记 ，则 ： 上递减、 上递增、 上递减。极小值 ，极大值 。要有三个根，需 。故选 D。 【易错】展开 时最容易丢符号，写成 会把整个式子变成 ，极值点全变。另外「三条」对应的是极小值与极大值之间的区间，端点取不到（取到端点时某个极值点恰好变成重根，条数降为两条）。 【答案】D 变式7-1（多选·★★★☆☆） 过点可以作曲线的两条切线，则下列说法正确的是（ ） A. P点的坐标可以是 B. P点的坐标可以是 C. D. 【切入点】曲线后面跟着一个 ，这是本题与前面几道最不一样的地方：方程的解必须落在 里，所以除了看极值，还要看端点处的函数值。 【关键】。设切点为 ，切线斜率既等于 ，又等于切点与 连线的斜率 。两者相等并整理，得 。于是「两条切线」等价于这个方程在 上有两个不同的根。 【关键】记 ，。当 时 在 上恒成立， 单调递增，至多一个零点，不合题意。当 时 在 上递减、在 上递增，要有两个零点需 且 ，即 且 ，合并得 。所以 C 项正确、D 项错误。再逐项验 、： 时 ，但 ，不满足不等式，A 错； 时 成立，B 对。故选 BC。 【易错】用「切点与已知点连线的斜率」代替重写一遍切线方程，能省一半篇幅，但要留意这个斜率表达式在 时无意义 —— 本题 是点的横坐标，与切点横坐标 是两回事，不要把两者混为一个符号。另外 这一项容易被略去，而它正是定义域 带来的额外约束。 【答案】BC 公切线与相同切线 一、设两个切点 直线同时切 与 ，两处切点分别设为 、。 与「过点作」的区别就在这里：那里只有一个待定切点，这里有两个。 二、两条等式 斜率相等：。 两点连线斜率也等于它：。 两条曲线是同类函数时，第一条常常直接给出两个切点横坐标之差为常数，再与纵坐标之差相除就得到斜率。 三、公共点处的切线相同 除上面两条外还要补 ，其中 是公共点的横坐标。 公切线不要求两曲线相交；公共点处的切线相同同时要求相交，条件更强。 四、「有两条公切线」型 消元后若得到 ，则「有两条公切线」等价于该方程有两个正根，用 的值域定 的范围。 例8（单选·★★★☆☆） 函数，的图象的公切线方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】两条曲线长得像（都是对数），但一条是 、一条是 ，自变量整体挪了两位。两个切点各设一个，记为 与 。 【关键】设公切线与 切于 、与 切于 。、，斜率相等给出 ，于是 ，即 。 【关键】两点连线的斜率也必须等于这个公共斜率：。由 得分子是 ，分母是 ，所以公共斜率是 。再定切点：由 得 ，对应 上的切点是 。切线为 ，即 。故选 C。 【易错】列完斜率相等就急着写切线方程，是这道题最常见的浪费 ——其实把 代进连线斜率， 会整体消掉，斜率根本不依赖切点位置，直接得到常数。另外 里的 是常数项、 里的 在真数上，两者不能混。 【答案】C 变式8-1（单选·★★★☆☆） 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 = （ ） A. B. 3 C. D. 4 【切入点】两条曲线都是对数、都带一次内层，只要斜率，不要切线方程。那就把「斜率相等」与「两点连线斜率」两条关系并排写出来。 【关键】设切点横坐标分别为 、。 的导数是 ， 的导数是 ，所以 。交叉相乘化简：，即 ，同时 。 【关键】再看纵坐标之差：。所以 。故选 C。 【易错】由斜率相等推出的 有两个用处：一是给出横坐标之差，二是把纵坐标之比化简成常数。只用前者、忘了后者，会卡在 上算不下去。 【答案】C 变式8-2（填空·★★☆☆☆） 已知函数在处的切线也是的切线，则实数 = ____________. 【切入点】题干已经把切线定死在 上的一个已知点处，所以先写出这条切线，再让它去和 相切 ——这比两端都待定要简单得多。 【关键】，代入 得 ，又 ，所以切线为 ，即 。 【关键】设该直线与 相切于横坐标 处。，斜率相等给出 ，所以 。切点在切线上： 应等于 ，解得 。 【易错】只用一个条件会算出别的数：若只用斜率相等，只能定出 ， 还是自由的；若只用「切点在切线上」，则要先知道 。两个条件缺一不可，这正是切线问题里最常被强调的一句话。 【答案】3 例9（填空·★★★☆☆） 直线：是曲线和曲线的公切线，则 = _________. 【切入点】题干给的直线是 ，两个待定量都在直线上；两条曲线各设一个切点，用「切点在直线上」写出两个等式，再联立消去切点。 【关键】先把 化简：，所以 。设直线与 切于点 ，其横坐标为 。由 得 ，纵坐标是 。把 代进直线：，整理得 。 【关键】再设直线与 切于点 ，横坐标为 。由 得 ，纵坐标是 。代进直线：，整理得 。两式相等，得 ，两边 抵消，直接得到 。所以 。 【易错】 要先化简成 ，否则求导时会漏掉常数 、算出的纵坐标差 。另外本题联立后 的系数刚好抵消，不必担心 解不出来 ——看到这种情况不要以为做错了。 【答案】 变式9-1（单选·★★★☆☆） 若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】题干说的是两个函数在各自 处的切线是同一条。两处切点的横坐标都等于 ，所以「切线相同」只要斜率相同、纵坐标相同即可。 【关键】，，。所以 的切线是 。 【关键】，；。所以 的切线是 ，即 。两条直线相同，比较斜率得 ，故 ；比较截距得 ，故 。所以 。故选 A。 【易错】把 的切线整理成斜截式时，常数项是 而不是 ，这一项算错会让 变成别的值。另外解 只能得 ，不要写成 （那是把指数上的 看成 ）。 【答案】A 变式9-2（填空·★★★☆☆） 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则的值为________. 【切入点】前一条切线是「在点处」直接给的（切点 已知），后一条要另设切点。所求的式子带着 ，所以目标就明确了：把 用 表示出来。 【关键】曲线 在 处的切线为 ，即 。设它在 上的切点为 ，该处切线为 。两条直线相同，所以 且 。 【关键】由第一个式子取对数得 ，代进第二个式子：，所以 。所求式子为 。 【易错】本题不需要解出 ——所求的式子结构上正好能把 约掉。看到 这个条件不必急着讨论，它只是保证 （或者说保证切点在第一象限）。 【答案】 例10（填空·★★★☆☆） 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，其中 ，则直线的斜率的取值范围是_____. 【切入点】两条曲线都含参数 ，问的是斜率 的范围。那就先把 表示成 的函数，再求这个函数的值域。两个切点照常各设一个。 【关键】设直线与 切于点 、与 切于点 。由 、 得 。两点连线的斜率也等于 ：。因为 ，分子化为 ；又对 两边取对数得 ，即 。于是 。 【关键】别忘了 是正的，所以 。又已知 ，分母 必须为正，于是 。记 ，： 时递减、 时递增，所以 处取最小值 。故 。 【易错】「 恒正」这一步最容易被略过，而它正是把 限制在 的依据 —— 少了它， 在 上的分支会被错误地算进值域。另外 处是最小值、可以取到，区间左端要写成闭的。 【答案】 变式10-1（填空·★★★☆☆） 已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________。 【切入点】题干给的是一条具体的公切线 ，那就先用它把参数 定下来，再按一般方法去求另一条。 【关键】对 ，设切点横坐标为 。由 得斜率 ，所以 ，切点是 ，切线恰好是 —— 与题设吻合。对 ，，设切点横坐标为 ，由 得 ，切点是 。它在这条切线上：，所以 。 【关键】再求另一条。设它与 切于 ，切线为 ；与 切于 ，切线为 。两条相同，给出 与 。解得两组：、（这正是已知的 ），或者 、。取后一组，切线为 。 【易错】解出两组解时必须剔掉已知的那条 ——题设说「有两条公切线，其中一条是 」，所以答案是另一条。写 时不要多加空格或写成 ，它与题库答案是同一个式子。 【答案】 变式10-2（填空·★★★★☆） 若函数与（其中）的图象有两条公共切线，则实数的取值范围是____________。 【切入点】题干问的是「有两条公共切线」，所以这不是求切线，而是求参数范围 ——设两个切点、消去一个，把 写成另一个切点横坐标的函数，再问这个函数取哪些值时有两个正根。 【关键】，设 上的切点为 ，切线为 。，设 上的切点为 ，切线为 。两条相同，给出 与 。由第一式得 ，代入第二式化简得 。 【关键】记 （），，所以 处取最大值 。两端： 时 ， 时 。要有两个正根，需 。 【易错】「两条公共切线」对应的是「方程有两个正根」，所以既要看最大值、又要看 那一端趋于 ，少了任何一半都写不出左端点的 。另外本题 是题干给的，而求出的范围 里本来就不含 ，两者相容。 【答案】 由切线条件求参数 一、已知切线求参数 直线 是 的切线：设切点 。 斜率相等 ；切点在直线上 。两条等式正好定两个未知量。 二、切点横坐标已知时 在 处：由 定一个参数；再由 等于直线在 处的函数值定另一个。 三、已知斜率范围反求切点 切线斜率就是 。给出斜率范围后令 ，由 的单调性解不等式。 先增后减时，解集通常是两段：先升到上界的那一段，和越过上界之后又降到下界以下的那一段。 四、切线与圆相切 直线 与圆 相切，等价于圆心到直线的距离等于 。 五、存在性与值域 「存在过某点的切线」等价于对应方程有解，即参数落在某个函数的值域内。 切线与另一条曲线的公共点个数，用新构造函数的单调性判定，不靠画图。 例11（填空·★★☆☆☆） 若直线是曲线的一条切线，则 = __________. 【切入点】题干把切线完整地给出来了 —— 的斜率与截距都是已知数。那就设切点，用斜率相等定出它的横坐标，再用「切点在直线上」与「切点在曲线上」两件事求出 。 【关键】。设切点横坐标为 ，斜率相等给出 ，所以 。切点在直线上，纵坐标是 ；切点又必须在曲线上：。两边的纵坐标应当相等，故 ，。 【易错】这道题最容易做错的地方是顺序：有人直接把 代进曲线，再让曲线值等于直线的斜率，把两个条件串了。记住分工：导数那条等式管横坐标，函数值那条管纵坐标。 【答案】 变式11-1（填空·★★☆☆☆） 若直线是曲线在处的切线，则 = ________。 【切入点】切点在 处，横坐标已知，所以两个参数可以分别用两条等式定出来：导数定 、函数值定 。 【关键】，在 处导数值为 。题干说切线是 ，斜率是 ，所以 ，。 【关键】再看切点。 时曲线上的点是 ，它必须落在直线 上：，所以 。于是 。 【易错】答案是 —— 不要因为「算出来是零」而怀疑做错。另外求导时 ，内层的系数 不能丢，丢了会得到 、。 【答案】0 变式11-2（填空·★★★☆☆） 已知曲线在处的切线方程为，则 = _____。 【切入点】切点横坐标 已知，切线 里有一个待定截距。斜率那条等式先定 ，再用切点坐标对齐来定 。 【关键】，在 处导数值为 ，它等于切线的斜率 ，所以 。 【关键】切点的纵坐标有两种算法，必须相等：在曲线上是 ；在直线 上是 。所以 ，。 【易错】因为 本身是待定的，不能写成「切点是 代进曲线」就完事，要让两边的 相等。另外本题的 与 都要用到，只求 会停在半路。 【答案】 例12（填空·★★☆☆☆） 若直线是曲线的一条切线，则 = ________。 【切入点】切线写成了 的样子 ——它过原点，而且斜率就是 。设切点后，用「导数等于 」与「切点在直线上」两条等式。 【关键】。设切点为 。斜率给出 ；切点在直线 上，给出 。把 代进去：。 【关键】两边同除 （恒大于零，可以放心除），得 ，所以 。 【易错】本题有两个方程、两个未知量，但 与 其实是同一个东西，代入后立刻化成一元。另外不要漏掉「除 时说明它恒正」这一步 ——这是判断能否约去的关键，也是辨析「有没有其他解」的依据。 【答案】 变式12-1（单选·★★★☆☆） 曲线在点处切线斜率的取值范围为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】题干给的是斜率的取值范围，问的是切点横坐标的范围。那就先把导数（也就是斜率）写成横坐标的函数，再把「它落在给定区间」翻译成一个关于 的不等式。 【关键】，所以斜率就是 。题目要求它落在 内，即 。 【关键】记 ，： 时递增、 时递减，最大值 。又有 、、。于是解集是两段： 与 。故选 D。 【易错】为什么是两段？在递增段上，函数从 升到 ，给出第一段；在递减段上，函数从最大值一路降下来，降到 之后就一直比它小，所以越过 的一切横坐标都满足，这是第二段。只取第一段就会错选 A。 【答案】D 例13（填空·★★★☆☆） 若直线为曲线的一条切线，则的最小值为_______。 【切入点】切线是 —— 斜率是 ，而且过原点（纵截距为零）。题目要的是 的最小值，所以先用切线条件把 与 的关系求出来，再求那个比值的最值。 【关键】。设切点横坐标为 。斜率等于 ：；切点在直线 上：。两式相除，左边 约掉、剩 ，右边是 ，所以 。代回第一式：，即 ，两边取对数得 。于是 。 【关键】记 （），则 。 时 、 时 ，所以 处取最小值 。 【易错】把 代回原式时， 这一步要写清楚，否则指数上的 与 会纠缠不清。另外求导数时 的分子是 ，符号别写反 —— 写成 就变成先增后减，最值位置全错。 【答案】-1 变式13-1（多选·★★★☆☆） 已知曲线在处的切线斜率为9，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 若函数在区间上有最小值，则实数b的范围为 D. 若，，则 【切入点】题干用「在 处的切线斜率为 」给出一个条件，先把参数 定下来，之后四个选项都在研究这个具体函数。 【关键】，，所以 。A 项正确。此时 ，： 上递增、 上递减、 上递增。极大值 、极小值 ，再算两个取值：、。三个单调区间各有一个零点，共三个，B 项错误。 【关键】C 项： 在 上有最小值，必须把极小值点 包含进去，所以 ；又因为 恰好等于极小值 ，左端点可以一直退到 ，即 。合起来得 ，C 项正确。D 项：解 即 ，分解得 ，二次因子无实根，所以 ；解 即 ，分解得 ，二次因子无实根，所以 。于是 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】C 项最容易漏掉左端点的限制。若只写 上递减、认为区间包含 即可，会漏掉「左端点不能越过 」这一半 ——越过之后最小值会换到左端点上去。D 项的两个三次方程都要分解因式，直接试根找到 与 之后，别忘了验证剩下那个二次因子无实根。 【答案】ACD 变式13-2（单选·★★★☆☆） 已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【切入点】先用导数写出 在 处的切线（含参数 ），再让这条直线与已知圆相切 ——直线与圆相切的条件是圆心到直线的距离等于半径。 【关键】，；又 。所以切线为 ，整理成一般式 。 【关键】圆 的圆心是 、半径是 。圆心到切线的距离 ，它等于半径 ，所以 ，即 ，。故选 C。 【易错】圆心的纵坐标是 而不是 ，代入距离公式时 要变号，这一步错会得到完全不同的数。另外解出的是 ，所以 ；选项 D 的 正是把 直接当成 的结果。 【答案】C 变式13-3（单选·★★★★☆） 已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【切入点】分两步：先求 在 处的切线，再数这条切线与 有几个公共点 —— 也就是数方程有几个根。 【关键】，所以 。，又 ，所以切线为 ，即 。 【关键】令 ：，化简得 。记 ，则 恒成立，所以 在 上严格递增，零点至多一个；又 ，所以恰有一个零点。公共点个数为 。故选 B。 【易错】 的导数里 、、，三项合并成 ，常数项不能漏。判断零点个数时，先用导数说明单调、再找一个具体零点，这样「有且只有一个」才站得住。 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数的切线专题 函数与导数 · 专题篇 在点处的切线：切点已知 一、切线方程 曲线 在点 处的切线斜率为 ，方程为 。 切点的纵坐标用原函数算，切线斜率用导函数算，两者不能混。 二、切点的三种给法 「在点 处」直接给出坐标，代入即用。 「在 处」只给横坐标，纵坐标由 补出。 「过点 」不算切点已知 —— 那样的点一般在曲线外，切点必须另设，属于下一类。 例1（单选·★☆☆☆☆） 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 变式1-1（填空·★★☆☆☆） 曲线在点处的切线方程为__________。 变式1-2（填空·★★☆☆☆） 曲线在处的切线方程为________. 变式1-3（单选·★★☆☆☆） 曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 例2（单选·★☆☆☆☆） 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★☆☆☆） 曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 变式2-2（单选·★★★☆☆） 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 例3（填空·★★☆☆☆） 曲线在点处的切线方程是______. 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 已知函数为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 变式3-2（单选·★★★☆☆） 设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A. B. C. D. 变式3-3（多选·★★★☆☆） 已知曲线，在处的切线与轴，轴分别交于点，，记线段的中点为，则（ ）。 A. 的轨迹与轴仅有一个交点 B. 的轨迹与轴仅有一个交点 C. 的轨迹在第二象限仅有一个最高点 D. 的轨迹在第四象限仅有一个最低点 过点作切线：切点未知 一、设切点 过点 作曲线 的切线：切点未知，设为 。 「在点」与「过点」只差一个字，做法完全不同 —— 前者切点已给，后者必须另设。 二、两条等式 切线斜率 ；切线过点 ，即 。 两式合并得到只含 的方程，解出 即得切点，回代即得切线。 三、先看点在哪里 且在定义域内时，该点就是切点，按「在点处」处理。 否则点在曲线外，切线可能不止一条，必须按上面的方程求解。 四、方程解不出来时 带对数或指数的方程没有显式解，把它记作 ，用 的单调性判断根的个数，再检验 、 这类值。 例4（单选·★☆☆☆☆） 曲线过点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 变式4-1（填空·★★★☆☆） 已知，过原点作曲线的切线，则切点的横坐标为_____________. 变式4-2（填空·★★★☆☆） 已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________。 例5（填空·★★☆☆☆） 曲线过坐标原点的两条切线的方程为________。 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是_____。 过点作切线的条数 一、化归为方程 过点 作曲线 的切线，切点横坐标 满足 。 切线条数就是这个方程的实数根个数。 二、再化归为交点 把参数 单独放到一边：。 根个数等于水平线 与曲线 的交点个数。 三、交点个数怎么数 有极小值 、极大值 时： 给三个交点， 或 给两个，其余给一个或零个。 只有一个极值时，极值与端点值之间给两个交点。 四、判别式型 方程整理成一元二次 时，两个不等实根等价于 。 重根只对应一条切线，所以判别式要严格大于零。 五、定义域的限制 曲线只在 上有定义时，根必须取正值；此时除极值外还要看端点处的函数值。 例6（单选·★☆☆☆☆） 过点可以作曲线的两条切线，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 变式6-1（单选·★★★☆☆） 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ） A. B. C. D. 变式6-2（填空·★★★☆☆） 已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________。 变式6-3（填空·★★★☆☆） 已知过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围为______ 例7（单选·★★★★☆） 若过点可以作三条直线与曲线相切，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式7-1（多选·★★★☆☆） 过点可以作曲线的两条切线，则下列说法正确的是（ ） A. P点的坐标可以是 B. P点的坐标可以是 C. D. 公切线与相同切线 一、设两个切点 直线同时切 与 ，两处切点分别设为 、。 与「过点作」的区别就在这里：那里只有一个待定切点，这里有两个。 二、两条等式 斜率相等：。 两点连线斜率也等于它：。 两条曲线是同类函数时，第一条常常直接给出两个切点横坐标之差为常数，再与纵坐标之差相除就得到斜率。 三、公共点处的切线相同 除上面两条外还要补 ，其中 是公共点的横坐标。 公切线不要求两曲线相交；公共点处的切线相同同时要求相交，条件更强。 四、「有两条公切线」型 消元后若得到 ，则「有两条公切线」等价于该方程有两个正根，用 的值域定 的范围。 例8（单选·★★★☆☆） 函数，的图象的公切线方程为（ ） A. B. C. D. 变式8-1（单选·★★★☆☆） 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 = （ ） A. B. 3 C. D. 4 变式8-2（填空·★★☆☆☆） 已知函数在处的切线也是的切线，则实数 = ____________. 例9（填空·★★★☆☆） 直线：是曲线和曲线的公切线，则 = _________. 变式9-1（单选·★★★☆☆） 若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同，则 = （ ） A. B. C. D. 变式9-2（填空·★★★☆☆） 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则的值为________. 例10（填空·★★★☆☆） 已知直线是曲线的切线，也是曲线的切线，其中 ，则直线的斜率的取值范围是_____. 变式10-1（填空·★★★☆☆） 已知曲线和有两条公切线，其中一条为直线，则另外一条公切线的方程为________。 变式10-2（填空·★★★★☆） 若函数与（其中）的图象有两条公共切线，则实数的取值范围是____________。 由切线条件求参数 一、已知切线求参数 直线 是 的切线：设切点 。 斜率相等 ；切点在直线上 。两条等式正好定两个未知量。 二、切点横坐标已知时 在 处：由 定一个参数；再由 等于直线在 处的函数值定另一个。 三、已知斜率范围反求切点 切线斜率就是 。给出斜率范围后令 ，由 的单调性解不等式。 先增后减时，解集通常是两段：先升到上界的那一段，和越过上界之后又降到下界以下的那一段。 四、切线与圆相切 直线 与圆 相切，等价于圆心到直线的距离等于 。 五、存在性与值域 「存在过某点的切线」等价于对应方程有解，即参数落在某个函数的值域内。 切线与另一条曲线的公共点个数，用新构造函数的单调性判定，不靠画图。 例11（填空·★★☆☆☆） 若直线是曲线的一条切线，则 = __________. 变式11-1（填空·★★☆☆☆） 若直线是曲线在处的切线，则 = ________。 变式11-2（填空·★★★☆☆） 已知曲线在处的切线方程为，则 = _____。 例12（填空·★★☆☆☆） 若直线是曲线的一条切线，则 = ________。 变式12-1（单选·★★★☆☆） 曲线在点处切线斜率的取值范围为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 例13（填空·★★★☆☆） 若直线为曲线的一条切线，则的最小值为_______。 变式13-1（多选·★★★☆☆） 已知曲线在处的切线斜率为9，则（ ） A. B. 函数有2个零点 C. 若函数在区间上有最小值，则实数b的范围为 D. 若，，则 变式13-2（单选·★★★☆☆） 已知函数在点处的切线为，若与圆相切，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 变式13-3（单选·★★★★☆） 已知函数，，则曲线在点处的切线与曲线的公共点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 学科网（北京）股份有限公司 $