练案14 第二章 第 9 讲 函数模型及其应用-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

练案[14] 第九讲 函数模型及其应用 3.(2025·海南三亚一模)夏季天气炎热，某教室上课关 A组基础巩固 门窗开空调，造成二氧化碳含量增加，按照《中小学校 一、单选题 教室换气卫生要求》(GB/T177226-2017)规定，中小 1.(2026·北京人大附中开学考)某农贸市场出售西红 学校教室内二氧化碳日均最高容许浓度不得超过 柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减 0.10%,经检测，该教室某日刚下课时，空气中二氧化 少，具体调查结果如表： 碳浓度为0.14%，记下课开窗通风t分钟后教室内的 表一：市场供给量 二氧化碳浓度为y%,且y随时间t(单位：分钟)的变化 单价/（元/kg) 2 2.42.8 3.2 3.6 规律可以用函数y=k。+(k。-k。)e而描述，，%是二氧 供给量/L 50 60 70 75 80 90 化碳初始浓度，k。=0.03,则该教室内的二氧化碳浓 度不超过0.10%需要的时间t的最小整数值为（参考 表二：市场需求量 数据：ln7≈1.946，ln11≈2.398) () 单价/（元/kg)》 4 3.4 2.9 2.62.3 2 A.3 B.4 C.5 D.6 需求量L 50 60 65 70 75 80 4.(2026·湖北高三阶段练习)2025年1月25日，搭载 根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和 天舟七号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国 需求量相等时的单价)应在区间 ( 文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟七号货 运飞船与火箭成功分离并进人预定轨道.已知火箭的 A.(2.3,2.6)内 B.(2.4,2.6)内 最大速度u(单位：km/s)与燃料质量M(单位：kg)、火 C.（2.6,2.8)内 D.(2.8,2.9)内 箭（除燃料外）的质量m(单位：kg)的函数关系为v= 2.(2026·西安市关山中学高三阶段练习)汽车的“燃油 效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描 若已知火箭的质量为3100kg,火箭的最 述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情 大速度为11km/s,则火箭需要加注的燃料质量为（参 况.下列叙述中正确的是 考数值：n2≈0.69，ln244.69≈5.50，结果精确到 ↑燃油效率(km/L) 0.01t,1t=1000kg) () I A.890.23t B.755.44t C.244.69t D.243.69t 10 5.（2025·甘肃一模)某班研究性小组的同学为了研究 .乙车 活性炭对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种 丙车 活性炭污水净化装置.现污水中该种污染物含量为W。 (单位) ,测得污水通过长度为l(单位：m)的净化 0 80 速度(km/h) 装置后污染物的含量W如下表： A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 0 2 B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽 油最多 W W。 0.5W。 0.25W0 0.125W0 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升 研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函 汽油 数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是() D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件 A.W=W。+0.5l B.W=W。·logo.5(U+1) 下，在该市用丙车比用乙车更省油 C.W=0.5Wl D.W=W。·(0.5) 305 6.(2022·北京卷)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝 则下列结论中正确的有 带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术， A.调整后房地产业的利润有所下降 为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下 B.调整后医疗器械的利润增长量最大 二氧化碳所处的状态与T和gP的关系，其中T表示 C.调整后生物制药的利润增长率最高 温度，单位是K;P表示压强，单位是bar.下列结论中 D.调整后金融产业的利润占比最低 正确的是 10.某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并 Ig P 整理了2025年1月至2025年11月期间“跑团”每月 固态 跑步的平均里程（单位：千米）的数据.绘制了下面的 3 :超临界 液态 状态 折线图， 月跑步平均里程/千米 气态 30 2 0 200250300350400T 20 0 A.当T=220,P=1026时，二氧化碳处于液态 5 B.当T=270,P=128时，二氧化碳处于气态 01 23456789101112月份 C.当T=300,P=9987时，二氧化碳处于超临界状态 根据折线图，下列结论正确的是 () D.当T=360,P=729时，二氧化碳处于超临界状态 A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里 7.(2026·山东淄博三模)随着人工智能技术的快速发 程数 展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长 B.月跑步平均里程逐月增加 某公司现有新一代AI芯片A、B两套研发方案，若A C.月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月 设计方案中初始计算量为N,每年增长50%；B设计 D.1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11 方案中初始计算量为N(N,=3N),每年增长20%.如 月，波动性更小，变化比较平稳 此预计至少几年后A设计方案计算量更高？（参考数 11.(2026·济南质检)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某 据：lg2≈0.301，lg3≈0.477) ) 一点出发向同一方向运动，它们的路程f(x)(i=1, A.4 B.5 C.6 D.7 2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f(x) 8.(2026·河南南阳模拟)在神经网络优化中，指数衰减 =2-1,f2(x)=x2,f5(x)=x,f(x)=log(x+1),则下 的学习率模型为L=LD°(D为常数)，其中L表示每 列结论正确的是 () 一轮优化时使用的学习率，L,表示初始学习率，D表 A.当x>1时，甲走在最前面 示衰减系数，n表示训练迭代轮数，G,表示衰减速度. B.当x>1时，乙走在最前面 已知某个指数衰减的学习率模型中G。=20,当n=10 C.当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最 时，学习率为0.25；当n=30时，学习率为0.0625，则 后面 学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为 D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲 (已知1g2≈0.3) ) 三、填空题 A.31 B.32 C.33 D.34 12.调查显示，垃圾分类投放可以带来约0.34元/kg的 二、多选题 经济效益.为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家 9.某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进 庭发放一张积分卡，每分类投放1kg积1分，若一个 行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不 家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于100kg,则 断增长，今年总利润比三年前增加一倍.调整前后的 额外奖励x分(x为正整数).月底积分会按照0.1 各产业利润与总利润的占比如图所示： 元/分进行自动兑换. 医疗器械 金融产业 (1)当x=10时，若某家庭某月产生120kg生活垃 20% 25% 房地产业 25% 40% 圾，该家庭该月积分卡能兑换」 元； 医疗器械 45% (2)为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不 10% 25% 生物制药 房地产业 生物制药 金融产业 超过当月垃圾分类投放带来的收益的40%，则x 调整前 调整后 的最大值为 306 13.(2026·云南昆明模拟)根据统计数据可将某池塘里 (1)求p(t)的表达式； 浮萍的面积y(单位：m)与时间t(单位：月)的关系 近似表示为如图所示函数关系，已知第1个月时，浮 (2)若该线路每分钟的净收益为Q(1)=2p(0)-360 萍面积为2m2,第5个月时，浮萍面积就会超过 60(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每 30m2,下列函数模型：①y=al+1(a>0),②y=bt2+1 分钟的净收益最大，并求出最大值。 (b>0),③y=c(c>0,c≠1)，④y=log(t+1)+1(d>0, d≠1)中，最符合浮萍面积y与时间t关系的模型是 (填写序号)，若浮萍蔓延到3m,所经过的 时间t= 012347 14.（2025·广东广州模拟预测)“阿托秒”是一种时间的 国际单位，“阿托秒”等于108秒，原子核内部作用 过程的持续时间可用“阿托秒”表示.《庄子·天下》 中提到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，如果把 “一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，至少需要经 过 天才能使剩下“棰”的长度小于光在2 B组能力提升男 “阿托秒”内走过的距离.（参考数据：光速为3×108 1.（2026·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系 米/秒，lg2≈0.3，lg3≈0.48) 数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公 四、解答题 15.兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州（途经 式为n=x(x代表人均食品支出总额，y代表人均个 站点如图所示).这条“客货共用”铁路是开发沿线资 人消费支出总额)，且y=2x+475,各种类型的家庭标 源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通 准如表： 往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协 家庭类型 贫困 温饱 小康 作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史 富裕 n≥59% 50%≤n<59%40%≤n<50%30%≤n<40% 目前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开通运 营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线 张先生居住区2025年比2024年食品支出下降7.5%， 通车.预期该路线通车后，列车的发车时间间隔（单 张先生家在2025年购买食品和2024年完全相同的状 位：分钟)满足2≤t≤20.经市场调研测算，列车载客 况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2025年 量与发车时间间隔1相关，当10≤t≤20时列车为满 属于 () 载状态，载客量为720人；当2≤1<10时，载客量会减 A.贫困 B.温饱 C.小康 D.富裕 少，减少的人数与(12-)的平方成正比，且发车时间2.(2025·湖北宜昌协作体期中)荀子《劝学》：“不积跬 间隔为3分钟时的载客量为396人.记列车载客量为 步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们 p(t). 中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和 兴泉铁路线路图： 学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日 江西 学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙 宁都县 福建 兴国县 石城县 技明市 的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的 兴泉铁路 宁化县 于都县 水、大知 “日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（参 、德化县 永春县。 考数据：lg101≈2.0043，lg2≈0.3010) () 安溪县。南安市 A.60天 B.65天 泉州市 C.70天 D.75天 —307— 3.(2026·陕西咸阳模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细 (1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x的函 现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入 数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本 泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用， 流动成本) 激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已 (2)当年产量约为多少万件时，方同学的A产品所获 知听到的声强m与标准声强m(mo约为102，单位： 年利润最大？最大年利润是多少？（注：取e3≈ W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝 20) 尔)，即L=gm,取贝尔的十倍作为响度的常用单位， mo 简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与 喷出的泉水高度x(米)满足关系式y=40x,现知A同 学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若A 同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一 声的声强的10倍，则A同学大喝一声激起的涌泉最高 高度约为 ( A.1.75米 B.1.5米 C.1.25米 D.1米 4.（2026·四川绵阳高三阶段练习)研究发现一种鸟类 迁徙的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的 关系式为m,=a+blog,10 (其中a,b是实数)，据统计， C组拓展应用（选作）男 该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗 氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.大西洋鲑 (多选题)(2026·甘肃定西模拟预测)声音由物体的 鱼逆流而上时其游速为v(单位：m/s),耗氧量单位数 振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、 为Q,统计发现，与g得%成正比当=1m: 气体)中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作 用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声 时，Q2=900.若这种鸟类与鲑鱼的速度1与2相同 强I(W/cm).但在实际生活中，常用声音的声强级 时，则Q与Q2的关系是 ( D(dB)来度量，声强级D(dB)与声强I(W/cm)的关 A.02=90 B.Q2=9Q2 系近似满足D=lgI+b,经过多次测定，得到如下 C.Q2=30 D.Q:=302 数据： 5.方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号 声强I(W/cm) 10~山 10-10 m 召，大学毕业后回到家乡，利用所学专业进行自主创 声强级D(dB) 10 20 30 业，自主研发生产A产品.经过市场调研，生产A产品 已知烟花的噪声的声强级一般在(90,100)，其声强为 需投人固定成本1万元，每生产x(单位：万件)，需再 1;鞭炮的噪声的声强级一般在(100,110)，其声强为 投入流动成本C(x)(单位：万元)，当年产量小于9万 L2;飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在(135， 件时，C()=4+6-8,当年产量不小于9万件时， 145),其声强为13，则 () A.b-a=110 B.m=10-8 C(x)=5x+lnx+e-12.已知每件A产品的售价为5 1 D.I 元，若方同学生产的A产品当年全部售完. —308g万-gV而-7=0，所以2)九3)<0，根据零点存在 性定理，f(x)在(2,3)存在零点.故选AC. 11.BCD函数f(x)=e+lnx的定义域为{xlx>0},且y=e, y=lnx均为增函数，故函数f(x)=e+lnx是增函数，由于0<a <b<c,故f(a)<fb)<f(c),因为fa)fb)f(c)<0(0<a<b<c), 所以f(a),f(b),f(c)中有1个是负数（一定是f(a)、两个正 数或3个负数，当f(a)<f(b)<f(c)<0时，x>c;当f(a)<0< f(b)<f代c)时，a<xo<b,故A不正确.选BCD. 12-1和1令x)=0得>0，或0， xlnx=01x2-x-2=0 解得x=1或x= -1,∴.f(x)的零点为-1和1. 33 2 因为函数f(x)的图象关于直线x=之对称，所以方程 个x)=0有三个实根时，一定有一个根是？，另外两个根的和 为1，故方程f代x)=0的三个实根的和为2 14.(-1,0)关于x的方程f(x)=k有三个不同 的实根，等价于函数f(x)与函数y=k的图象 01 有三个不同的交点，作出函数f代x)的图象如 y=k 图所示，由图可知实数k的取值范围是 (-1,0). 15.2因为fx)为奇函数，所以1)=a+6=-1)=0, 联立 /(2)=4a+2b=-f-2)=-2 解得=l经验证符合题意，所以代x)=+,≤0， b=1. l-+,>0,g(x) =f)+号令=+=0，当≤0时，得+ =0 解得分当>0时，得-：+-0解得 2,所以 函数6(x)=x)4的零点个数为2 B组能力提升 1.B由题意可得ga2,lga2m4为方程3x2-12x+9=0的两个根， 则lga2+lga224=4,解得a2a224=104,由{an}是正项等比数列 得a1a2s=a2a224=104.故选B. 2.B数形结合.故选B. 3.C儿)e+-3在(0，+m)上为增函数（分）=e<0, f(1)=e-2>0,∴.f(x)在(0，+∞)上只有一个零点，由奇函数性 质得f代x)在(-∞，0)上也有一个零点，又f(0)=0,所以f(x)有 三个零点，故选C. 4.B方程x-logxI=[x]解的个数等价于函数y=x-[x]和y= llogsx1的图象交点个数，作函数y=x-[x]和y=Il1og6x1的图象 如图所示： y y=llogod 123456x 56 由图可知函数y=x-[x]和y=llogxI的图象的交点个数为5.方 程x-log6x=[x]解的个数为5.故选B. 5.C作出y=x与y=Jx(x>0),y=-e,y=-nx(x>0)的图象，如 图所示，可知选C. Y=x y--e* 6.ABD函数y=x2+2x+1的图象开口 向上，对称轴为直线x=-1,当x≤0 时，f(x)=x2+2x+1在(-0，-1]上递 y=fx) 减，函数值集合为[0，+∞)，在 [-1,0]上递增，函数值集合为 [0,1],当x>0时，fx)=Inx|在 (0,1]上递减，函数值集合为[0，+∞)，在[1，+∞)上递增，函数值 集合为[0，+o),方程f代x)=a的根是直线y=a与函数y=f(x) 图象交点的横坐标，方程f(x)=a有四个根x1,x2,x3,x4,即直线 y=a与函数y=f(x)图象有4个交点，在同一坐标系内作出直线 y=a与函数y=f(x)的图象，如图，观察图象知，x1+x2=-2,0<a ≤1，A、D正确；显然nx3|=Inx4I,而x3<1<x4,则-nx3= nx4,即n(x3x4)=0,x3x4=1,x3+x4>2/x3x4=2,B正确；显然 -1<x2≤0，xx2=(-2-x2)2=-(x2+1)2+1∈[0,1)，C错误.故 选ABD. C组拓展应用（选作） 11 23 A第一次用“调日法”后得5<5<0不符合题意：第二次用 “调日法”后得)厅<不符合题意：第三次用“调日法”后 得号5<号，不符合题意：第四次用调日法后得 9 <5< ?,不符合题意：第五次用“调日法”后得29 5<?且 3万<0.01，符合题意，即用“调日法”得到5的近似分数 与实际值误差小于0.01的次数为五. 练案[14] A组基础巩固 1.C当供给量和需求量均为50时，供给单价和需求单价相差为 2:当供给量和需求量均为60时，供给单价和需求单价相差为 1;当供给量和需求量均为70时，供给单价和需求单价相差为 0.2:当供给量和需求量均为75时，供给单价和需求单价相差为 0.9:当供给量和需求量均为80时，供给单价和需求单价相差为 1.6.当供给量和需求量均为70时，供给单价和需求单价相差最 小，所以市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应 在区间(2.6,2.8)内.故选C. 2.D对于A,由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效 率大于5km/L,∴.当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车 的行驶距离大于5km,故A错误；对于B,由图象可知当速度相 同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲 车的行驶路程最远，∴.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲 车消耗汽油最少，故B错误；对于C,由图象可知当速度为 8 80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L,即甲车行驶10km时， 耗油1升，故行驶1小时，路程为80km,燃油为8升，故C错误； 对于D,由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大 于乙车的燃油效率，.用丙车比用乙车更省油，故D正确.故 选D. 3.C由题意可知，y=0.03+(0.14-0.03)e=0.03+0.11e5,解 0.03+0.1e声≤01，即e≤7得≥10(h1-h7)=10x 7 (2.398-1.946)=4.52,该教室内的二氧化碳浓度不超过 0.10%需要的时间t的最小整数值为5.故选C. 4B根据题意.m=3100,令=2n4+3100=山，则h0 3问)he,所以(3)=e,明130e,即 M12 3100e5-1=e0-1=24.69-1=243.69,所以M≈3100X M 243.69=755439kg≈755.44t故选B. 5.D由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0,3)]；第 二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过 (0,W).函数W=0.5Wl和W=W。·log.5(l+1)图象不过(0， W。),不符合条件，故B、C错误；函数W=W。+0.5单调递增，故 A错误；D选项：W=W。·(0.5)'满足上述条件，故D正确.故 选D. 6.D对于A选项，当T=220,P=1026,即1lgP=lg1026>1g103= 3时，根据图象可知，二氧化碳处于固态：对于B选项，当T= 270,P=128,即lgP=lg128e(1g10,1g103),即lgP∈(2,3) 时，根据图象可知，二氧化碳处于液态；对于C选项，当T=300 P=9987,即lgP=1g9987<lg10=4时，根据图象可知，二氧化 碳处于固态；对于D选项，当T=360,P=729,即lgP=lg729e (1g10,lg103),即1gP=lg729∈(2,3)时，根据图象可知，二氧 化碳处于超临界状态.故选D. 7.B设x年后A设计方案计算量更高，则x年后，A设计方案计 算量为N(子)，B设计方案计算量为3训（号）广，则 x(2)>3(号)广=（任）>3=s33 1g4 1g3g30.477 1g5-2g21-3g21-0.908≈4.917，预计至少5年后4设计 方案计算量更高.故选B. 8.D因为衰减学习率模型为L=LD。,所以根据已知条件可得 0.25=L,D5=L,D 30 ①，0.065=LD而=LD2②，用②式除以 0式可得D-Q0625 025,化简可得D=0.25.将D=0.25代人① LoD? 式中可得L。=0.5.所以衰减学习率模型为L=0.5×0.25.当学 习率衰减到0.05以下时，即L=0.5×0.25元<0.05.化简上述不 等式得分e02501,所以m>号×20-1g90-33因为n为 3 正数，所以最小值取34.故选D. 9.BCD利用题中扇形图中的数据信息以及变化趋势，对四个选 项逐一分析判断即可.假设调整前总利润为100，那么调整后总 -56 利润为200，对于A,调整前房地产业利润占45%，利润为45，调 整后利润占比25%，利润为50，应该是有所上升的，故选项A错 误：对于B,调整前医疗器械利润为20，调整后利润为80，房地 产业调整前利润为45，调整后利润为50，金融调整前利润为 25,调整后利润为20，生物制药调整前利润为10，调整后利润为 50,故选项B正确：对于C,医疗器械利润增长率为300%，生物 制药利润增长率为400%，故选项C正确：对于D,由扇形图可 知，金融产业利润占比为10%，所以调整后金融产业的利润占 比最低，故选项D正确.故选BCD. 10.CD由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的 平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错 误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C正确；1月至 5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化 比较平稳，D正确 11.CD甲、乙、丙、丁的路程f(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥ 0)的函数关系式分别为f(x)=2-1,f(x)=x2f(x)=xf(x) =1og(x+1),它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二 次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型.当x=2时，f(2) =3,f5(2)=4,所以A不正确：当x=5时，f(5)=31,f5(5)=25, 所以B不正确：根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长 速度是先快后慢，又当x=1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的 路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时， 丁走在最后面，所以C正确：指数型函数的增长速度是先慢后 快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型 函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确， 12.(1)13(2)36(1)若某家庭某月产生120kg生活垃圾，则 该家庭月底的积分为120+10=130（分），故该家庭该月积分卡 能兑换130×0.1=13（元）. (2)设每个家庭每月产生的垃圾为tkg,每个家庭月底积分卡 能兑换的金额为f(t)元.当0≤t<100时，f(t)=0.1t<0.34t· 0.4=0.136t恒成立：当t≥100时，f(t)=0.1t+0.1x≤0.34t· 0.4,可得x≤(0.36t)mm=36.故x的最大值为36. 13.③1og23y=at+1(a>0)为线性增长，y=log(t+1)+1(d>1) 的增长速度会逐渐变慢，由图象可知，模型①④不符合，将t= 1,y=2代入模型②③，得b=1,c=2,即模型②y=t+1,模型③ y=2',当t=5时，模型②，y=26<30不符合，当t=5时，模型③， y=2=32>30,选模型③；由2=3，解得t=lg23. 14.31依题意，光在2“阿托秒”内走的距离为2×1018×3×108=6 ×100米，经过n天后，剩余的长度f代n)= (分) 米，由f(n) <6x10,得(） <6×1010,两边同时取对数，得n>log1(6× 1010)=1g(6×100)-10-1lg6=10-(g2+g3)10-0.78 1 lg 2 lg 2 0.3 1g2 30.73,而n∈N,则n=31,所以至少需要经过31天才能使其 长度小于光在2“阿托秒”内走的距离。 15.[解析](1)由题知，当10≤t<20时，p(t)=720, 当2≤tK10时，可设p(t)=720-k(12-t)2, 又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人， .p(3)=720-k(12-3)2=396,解得k=4. 此时p(t)=720-4×(12-t)=-4t+96t+144,2≤t<10, p()=4r+96+144,2≤<10， 720,10≤t≤20. 9 132-872,2≤1<10. (2)由(1)知：Q(t)= 1080-60,10≤t≤20， t 72 2≤<10时，Q(t)≤132-2/8t· =84,当且仅当t=3等 号成立， ∴.2≤t<10时，Q(t)mx=Q(3)=84, 当10≤t≤20上，Q(t)单调递减，则Q(t)m.=Q(10)=48, 综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元」 B组能力提升 1.D设2024年人均食品支出x元，则2025年人均食品支出x(1 -7.5%)=92.5%x,2025年人均消费支出2×92.5%x+475,由题 意，有2×92.5%x+475+75=2x+475,x=500.此时，n= 92.5%×500 2×92.5%×500+4750.3304=3.04%,由表知属富裕. 2.C设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”为a,设当学 生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了x天， 由题意得a(1+0.01)'=2a,即(1+0.01)*=2，由于lg101≈ 20043,故g1.01=g100=00043,则g1.01=g2,x 1g20.3010 1g1.01004370(天)，放选C 3.A设A同学不用喇叭时的声强为m,喷出泉水高度为x,则A 同学用喇叭时的声强为10m,喷出泉水高度为2米.由题意知， 0Xg=40.即gm-gm=4①.又10xg040区 mo 80,即1g10m=g10+1gm-gm=1+lgm-lgm。=8,即1gm- mo g=7②，0②可得4=7，解得x=子=175故选A 30 [a+blogs 10 =0 4.B由题意得{ 90 解得1， 6=1.”,=-1+1og10,设 a+blogs 10 =1, 900 =kg,由题意得Hog100 =1,解得k=2,心9 Q11, 2g0文ea1+g0,3则吗月 @ .0-.即0= g10-lg10,即g0=bg,0…0=10 9Q2.故选B. 5.[解析](1)因为产品售价为5元，则x万件产品销售收入为 5x万元. 依据题意得，当0<x<9时，P()=5x-(任6-8)-1 -树 当x≥9时，P(x)=5x-5x+lhx+-12)-l=I1-lhx- 所以P(x)= 11-In x-e -,x≥9， 51 （a)当0e9时，7-（任因为+x≥2√4 /4. (当且仅当=，即x=2时取等号），所以P()=7 (+≤3 即当x=2时，P(x)取得最大值为P(2)=3(万元)， 当≥9时，P)=11血xP'(二 x2 .当9≤x<e3时，P'(x)>0,P(x)单调递增， 当x>e3时，P'(x)<0,P(x)单调递减， ∴.当x=e3时，P(x)取得最大值为P(e3)=11-lne3-1=7(万元)， 7>3, ∴.当x=e≈20时，P(x)的最大值为7万元. .当年产量约为20万件时，方同学的A产品所获得的年利润最 大，最大年利润为7万元. C组拓展应用（选作）】 ACD由题意可得 10=a106即0=-c6解得 l20=alg1010+h,120=-10a+b, [a=10,所以6-a=110,放A正确：因为D=10g4120,所以30 b=120. =10lgm+120,解得m=109,故B错误；由100<10lg12+120< 1 110,得10，<10，故C正确：设烟花噪声，鞭炮噪声和飞机起 飞时发动机噪声的声强级分别为D1,D2,D3,由题意知90<D1< 100,100<D2<110,135<D3<145,所以D1+D3>2D2,所以10lgI+ 120+101g13+120>2(101g12+120),所以1g1+lg13>2g12,即 lg(II3)>lg2,所以I1I3>,故D正确.故选ACD. 练案[15] A组基础巩固 1c因为fe)=h号兰所以f”() 得云岩所以 1-3 2-1 =-2,则 n1+①=1)=-2故选C △x 2.B lim As=lim2 22+4)2-(2+4)-(2x4-2=1im(7+24)=7,则 +0△t0 质点在2s末的瞬时速度为7m/s.故选B. 3D因为f(x)=f(3）osx*sinx,所以f(写)=f(写)× 2 4.C由函数的解析式可得)'=-sm）:=osx,所求切线的斜 x2 率为k=y1号 =- 为（受）放切线方程为=2（受），即为2+ 0.故选C. 70