练案11 第二章 第6讲 对数与对数函数-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

练案[11] 第六讲 对数与对数函数 A组基础巩固 二、多选题 9.已知0<a<b<1,下列不等式成立的是 一、单选题 ( B.a>b 1.（2026·北京大兴三模)已知2”=3，l0g25=b,则2-6的 值为 ) 1 1 C.logLa>logb D.log。2>log3 A.15 5 D.-2 10.(2025·安徽合肥三模)已知m>0且m≠1，则函数 2.函数f(x)=√gx+lg(5-3x)的定义域是 1 f(x)=log后（x+)+3的图象一定经过 () m A.第一象限 B.第二象限 3.函数f八x)=logL(x2-4)的单调递增区间为 C.第三象限 D.第四象限 ( 11.(2026·贵州安顺模拟)已知函数f(x)=ln 2-x A.(0,+∞) B.(-∞，0) ,则 2+x C.(2,+∞) D.(-0,-2) 4.(2026·贵州黔东南三模)在人工智能芯片的性能测 A.f(x)是奇函数 试中，若芯片处理数据的错误率E与芯片的运算速度 B.f(x)≥0 (单位：0Ps)满足函数关系E=006+0.2·l6(34 C.f(x)在(-2,2)上单调递减 D.f(x)在(2，+∞)上单调递增 +1),则当芯片处理数据的运算速度为128TOPs时，三、填空题 芯片处理数据的错误率约为（参考数据：s2=001,12(226·河南信阳质量检测）若。产-(a>0),则 lg3≈0.477) A.0.030B.0.031C.0.032 D.0.033 logz a= 5.已知函数fx)=log05(x4-4x2+6),则 ( 13.(2025·安徽滁州一模)已知函数f(x)=log(3x+4)+2x A.f(x)有最小值，且最小值为-2 恒过定点(m,n),则m+n= B.f(x)有最小值，且最小值为-1 14.（2026·江西宜春一模)已知函数f(x)=log2(x2-2ax) C.f(x)有最大值，且最大值为-2 在2,41上的最小值是1，则a= D.f(x)有最大值，且最大值为-1 四、解答题 6.(2026·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y=a的图15.(2026·上海崇明二模)已知f(x)=log(x+a)+ 象如图所示，则函数f(x)=log(-x+1)的部分图象大 l0g3(6-x). 致为 ( (1)是否存在实数a,使得函数y=f(x)是偶函数？若 存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若a>-3且a≠0，解关于x的不等式f(x)≤ f(6-x). 7.（2025·甘肃白银三模)若a=log3,b=logo18,c= g6,则 A.b<c<a B.a<c<b C.c<a<b D.a<b<c 8.(2026·湖南长沙高三阶段练习)若函数∫(x)= lnle-l|+mx为偶函数，则实数m= ( B.2 1 1 A.1 C.-1 D.2 299- 16已知函数x=e(分n月 5.(2026·黑龙江大庆模拟)已知函数f八x)=log(x+1)(0< a<1),函数y=g(x)的图象与函数f八x)的图象关于原 (1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值； 点对称 (2)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值 (1)写出函数g(x)的解析式： 的差不小于2，求实数a的取值范围. (2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若x∈[0,1)时，总有f(x)+g(x)≤m成立，求实数 m的取值范围. 6.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x (1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x) 的值域； (2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f()> k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围。 作B组能力提升9 1.（2026·河南模拟)已知a>0,b>0且ab=4,则( A.log2a·log2b=2 B.logza+log2b=1 C.2.2=16 D.(24)=16 2.(2026·浙江名校协作体返校联考)已知函数y= log2(ax2-x)在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范 围为 竹C组拓展应用（选作）男 ao,2] a分川 1.(2026·广东广州模拟)已知5>3°，4°>77.设a= c分+w】 D.[1,+0) log 7,6=210g 2+l0g 3,c=l0g 25, () A.a<b<c B.c<a<b 3.（2025·全国一卷)已知2+log2x=3+log3y=5+log52,则 C.b<e<a D.b<a<c x,y,z的大小关系不可能是 ( ）2.（2025·龙岩模拟)已知函数y=f(x),若在定义域内存 A.x>y>z B.x>z>Y 在实数x,使得f八-x)=-f(x),则称函数y=f(x)为定义 C.y>x>z D.y>z>x 域上的局部奇函数，若函数f(x)=log(x+m)是[-2,2] flogzx,x>0, 上的局部奇函数，则实数m的取值范围是 () 4.已知函数f(x)= 且关于x的方程f八x)+x- 3,x≤0， A.[-√5,5] B.[-2,2] a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 C.(2,5] D.(0,2) —300由f3x2-5x)+fx-4)>0可得f3x2-5x)>f4-x), 3x2-5x>4-x, 即3x2-4x-4=(3x+2)(x-2)>0 .2 2或x<-3, 21 1不等式的解集为{>2或K-3} (3)fx)=2-2,g(x)=4+4-2mf(x), ·g(x)=22+224-2m(2-2)=(2-2)2-2m(2-2)+2. 令t=fx)=2-2, 之-1…≥-1)=2， 3 g(t)=2-2mt+2=(t-m)2+2-m2, 当三子时，当n时 g(t）min=2-m2=-2, 则m=2(m=-2舍去)； 当<动，当时 g0)-3m=-2. 好代m合号将合要家， 除上可知烟2戏合 B组能力提升 1.B因为函数y=a(0<a<1)是减函数，所以0<a<a<1,同理， 函数y=b(b>1)是增函数，所以1<b“<b.综上，可得a<a<b< b.故选B. 2D令1(+o).又y=(付）)广在R上单河造陵，所以要使 0=(兮)】 x(xta) 在区间(0,2)上单调递增，则t=x(x+a)在区 、间(0,2)上单调递减，所以由1=(x+a)日+号）-的开D 向上且对称轴为=2得？≥2，解得≤4故选D 3.BD对于A,由e-e≠0，解得x≠0，故f(x)的定义域为 {xlx≠0，故A错误；对于B,函数f(x)的定义域关于原点对 称，且f-x)=e+e e-ex f(x),故f代x)是奇函数，故B正确；对于 CFx)=e'te1 2 。-e。之-1+。与故函数f代x)在（-0,0)和 (0,+∞)上分别单调递减，当x∈(-0,0)时，f(x)<0,当xe (0,+)时fx)>0,所以f(x)在定义域上不是减函数，故C错 误；对于D,由选项C的分析可知，函数f代x)的值域为(-∞，-1) U(1,+∞)，无最小值，无最大值，故D正确. 4.A当x>0时，f(x)=1-e,-x<0,f(-x)=e（-)-1=e*-1= -f(x);当x<0时，fx)=e-1,-x>0,f(-x)=1-e"=-f(x);且 当x=0时，f(x)=0,所以fx)为奇函数，易知f(x)为R上的递 减函数，则f(2x)+fx-3)>0台f(2x)>-f(x-3)=f(3-x)→2x< 3-x→x<1,所以原不等式的解集为(-∞，1).故选A 5.[解析](1)因为f(x)在定义域R上是奇函数， 六0)=0，即1+6=0,6=l, 1+a 56 1 +1 2 1 又：f(-1)=f1),即 1 2 ta 2+aa=1. 则)=-2+1 2+1 由f代-x)= 2+11+2--2+1x) 2*+11+22*+1 则当a=1,b=1时原函数为奇函数. (2)由(1)知f(x)= 1-2 1+2 12 2*+19 任取x1,x2∈R,设x1<2, 则f)fx,)=22=2(2-23) 22+121+1(21+1)(22+1) 函数y=2在R上是增函数， x1<x2,21-22<0. 又(21+1)(22+1)>0， .f(x2)-f(x1)<0,即fx2)<fx1), f(x)在(-∞，+∞)上为减函数. (3)因f(x)是奇函数，从而不等式f(kx)+f代2x-1)>0, 等价于fka2)>-f2x-1)=f代1-2x), f(x)为减函数，由上式推得x2<1-2x 即对-妇e1,]有c2恒成立。 2 令e[小 则有c()=f-21=(-1)2-1,e[3,1]， ..g(x)i=G(t)=G(1)=-1, ∴.k<-1,即k的取值范围为(-o,-1) C组拓展应用（选作） [号0）=+m-1是定义在[-1，上的倒戈两 数”，….存在xe[-1,1]满足f(-x)=f(xo),30+m-1= -30-m+1,.2m=-30-30+2,构造函数y=-30-30+2,x0e [-1,,令=3，e[写3]则=*2=2-()在 [兮，小上单调递增，在(1,3]上单调递减当=1时，函数 取得最大值Q当：=了或3时，函数取得最小值手m的取 值范用为[子0小，又m≠0m的取值范围为[号0） 练案[11] A组基础巩固 因为1g5=4,所以2=5，又2=3，所以2=放 选C. x>0 2.C函数f(x)=√gx+lg(5-3x)的定义域是 1gx≥0， 5-3x>0 3 3.D函数y=f(x)的定义域为(-∞，-2)U(2,+∞)，因为函数 y=fx)是由y=lg1t与t=g(x)=x2-4复合而成，又y=log1t在 (0,+∞)上单调递减，g(x)在(-∞，-2)上单调递减，所以函数 y=fx)在(-∞，-2)上单调递增.选D. 4B当=12，期E=00602k(1）-a060.24 4 =0.006+0.2(21g2-1g3)=0.006+0.2×(2×0.301-0.477)= 0.031.故选B. 5.D f(x)=logas(x-4x2+6)=logas[(x2-2)2+2]5logos2=-1, 所以代x)有最大值，且最大值为-1，但无最小值 6.D由函数y=a的图象可判断出a>1.当a>1时，y=logx的图 象经过定点(1,0)，且为增函数，因为y=logx与y=log（-x)的 图象关于y轴对称，所以y=log(-x)的图象经过定点(-1,0)， 为减函数.而f代x)=log(-x+1)可以看作y=log(-x)的图象向 右平移1个单位长度得到的.所以f代x)=log(-x+1)的图象经 过定点(0,0)，为减函数 log23 2log23 2log23+1 log2 18 7.Dlog3=log:5=2lgs52l0g+1log:50b log26 log23+1 2log2 3+2 2log23+1 log2 18 c=1og,10iog,5+121og,5+22og,5+1iog50-log018=6,所 以a<b<c.故选D. 8.D由函数f(x)=lnle-1I+mx为偶函数，可得f代-1)=f代1)，即 nlel-11-m=hle-1l*m解之得m=3,则x)=ln1e-1- z(≠0-)-=lnle-1+7=hle-l-+分*lnle-l =f代x),故)=he--7为偶函数，符合题意故 1 选D. 9c因为（分）广>（分），（分）广>()，所以（分）广> (3）,故A正确：因为a2<6,6户<6，所以a2<6,故B错 误；因为log1a>log_b,log1b>logb,所以log1a>log1b,故C正 确：因为g}g号lg}bgg所以g}} 1 1 故D错误.故选AC. 1Ag由)=oG(+）+=2e(d）3.m>0且 m m≠1，则f0)=2g。品+3=-2+3=1，即函数()过点 (0,1),当m>1时，函数f(x)单调递增，过第一、二、三象限：当 0<m<1时，函数f代x)单调递减，过第一、二、四象限.故选AB. 山.ACD要使得函数)有意义，则0，解得x≠2且x -2,所以f(x)的定义域关于原点对称，且f(-x)+f(x) 2+x =n1=0,从而f(x)是奇函数，A正确：f(1) <ln1=0,B错误；当xe(-2,2)时f(x)=ln 2-xE 2+1 2+x 名二-n(2-x)-ln(2+x),y=n(2-x)在(-2,2)上单调递减， In 2+x y=ln(2+x)在(-2,2)上单调递增，所以f(x)在(-2,2)上单调 递减，C正确；当x∈(2，+o)时，f(x)=ln 2==nx-2 2+x x+2 56 n()=1在(2，+)上单调递增=h在0， +∞)上单调递增，所以f代x)在(2，+∞)上单调递增，D正确.故 选ACD. 21 =4. 13.-3令3x+4=1,则x=-1,又f(-1)=-2,所以f(x)过定点 (-1,-2),即m=-1,n=-2,所以m+n=-3. 142若a=0,则xe[2,4]x)=2ogx在[2,4]上单调递增， 最小值为f(2)=2log2=2,不符合题意：若a<0,则f代x)的定义 域为(-∞，2a)U(0,+o),且由复合函数的单调性可知f(x) 在(0，+0)上单调递增，则最小值为f(2)=log2(4-4a)=1,解 得a=2,不符合题意；若a>0,则f(x)的定义域为(-0,0)U (2a,+o),由题意可得[2,4]二(2a,+o),则a<1,此时由复 合函数的单调性可知f(x)在[2,4]上单调递增，则最小值为 2=bs4-40)=1,解得a=2,符合题意：综上，a=之 15.[解析](1)存在实数a=6,使得函数y=f(x)是偶函数. 要使函数f(x)=log(x+a)+log(6-x)有意义， a米8C6 显然-a<6,即a>-6, 函数y=f(x)的定义域D=(-a,6). 当a≠6时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在x∈D 且-xD,此时函数y=f(x)不是偶函数. 当a=6时f(x)=log(x+6)+loga(6-x), 函数y=f(x)的定义域为(-6,6)，对于任意的x∈(-6,6)，都 有-x∈(-6,6)， 并且f(-x)=l0g(-x+6)+log(6+x)=f(x), 因此函数y=f(x)是一个偶函数， 综上所述，存在实数a=6,使得函数y=f(x)是偶函数. (2)由fx)≤f6-x), 得log(x+a)+log(6-x)≤log(6-x+a)+logx, rx+a>0, 6-x>0, 所以 且(x+a)(6-x)≤(6-x+a)x ① 6-x+a>0, Lx>0, 由①得，ax≥3a. 因为>-3且a≠0， 所以当-3<a<0时，-a<x≤3， 当a>0时，3≤x<6. 综上可得：当-3<a<0时，不等式f(x)≤f(6-x)的解集为(-a,3]; 当a>0时，不等式f(x)≤f6-x)的解集为[3,6) 16.[解析](1)若函数f(x)是R上的奇函数， 则f0)=0, ∴.log2(1+a)=0,.a=0. 当a=0时f(x)=-x是R上的奇函数， ∴.a=0. (2)由已知得函数f代x)是减函数，故f(x)在区间[0,1]上的最 大值是f0)=g1+a),最小值是I)=log(分+a） 由复设得g,(1+a)-g(分a）≥2。 则log2(1+a)≥log2(4a+2). {4a+20. a≥4a+2,解得-。<a≤-3 放实数a的取位范国是（子，子]】 B组能力提升 1.D由题意得A项中的log2a·logb和C项中的2”·2=2“的 值无法确定，对于B,log2a+log2b=log(ab)=2,对于D,(2)= 2=16.故选D. 2.D因为函数y=log(ax2-x)在区间(1,2)上单调递增，y=logx 为增函数，所以函数y=log2(ax2-x)在区间(1,2)上有意义，且 ,a>0, y=ax2-x在(1,2)上单调递增，所以a≠0，则 ≤1，或 2a 1a-1≥0 ra<0, 2a≥2，解得a≥1，所以a的取值范围为[1，+0.故选D. a-1≥0， 3.B解法一：设2+log2x=3+log3y=5+logz=m,所以令m=2,则 x=1,y=31= 3253=1 25,此时>y>,A有可能；令m=5,则 x=8,y=9,z=1,此时y>x>z,C有可能；令m=8,则x=2°=64 y=3=243,z=53=125,此时y>z>x,D有可能.故选B. 解法二：设2+logx=3+l0g3y=5+log5z=m,所以x=2m2,y=3-3, z=5”5,根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作 出函数y=22,y=33,y=55的图象，以上方程的根分别是函 数y=22,y=33,y=55的图象与直线x=m的交点纵坐标，如 图所示，易知，随着m的变化可能出现：x>y>z,y>x>z,y>z>x, z>y>x,故选B. =3 y=2-2 y=5-5 4.(1,+0）如图，在同一坐标系中分别作出 y=f(x)与y=-x+a的图象，其中a表示直线 在y轴上的截距.由图可知，当a>1时，直线 y=-x+a与y=lg2x只有一个交点，即方程 f(x)+x-a=0只有一个实根. 5.[解析](1)函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称， ∴.g(x)=f-x)=-log(-x+1), 即g(x)=lg1x<l (2)函数f(x)-g(x)是偶函数.理由如下： 记h(x)=fx)-g(x)=log,（1+x)-log1户x 1 即h(x)=log.[(1+x)(1-x)]=log(1-x2),x∈（-1,1) 5 h(-x)=log[1-(-x)2]=log(1-x2)=h(x), ∴.函数h(x)为偶函数，即函数f代x)-g(x)为偶函数. (3)i记u(x)=f(x)+g(x)=log(1+x)+lg.户x [0,1). 由题知f代x)+g(x)≤m恒成立， m≥(e) (-1+2） 令(x)=log.1=x 1-x ae(0,1),xe[0,1), .u(x)单调递减， .'.u(x)=u(0)=log 1=0, .m≥0，即实数m的取值范围是[0，+o). 6.[解析](1)h(x)=(4-2log2x)log2x =2-2(1ogx-1)2. 因为xe[1,4],所以log2xe[0,2], 故函数h(x)的值域为[0,2]. (2)由fx2)·fE)>k·g(x), 得(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x, 令t=log2x, 因为xe[1,4], 所以t=log2xe[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立， ①当t=0时，keR; ②当1e(0,2]时，k<3-4)(3-D恒成立， 即k<4+9-15. t 9 9 因为4+≥12，当且仅当4=， 即子时聚等号， +9-15的最小值为-3. 所以4t+ 所以k<-3. 综上，实数k的取值范围为(-∞，-3) C组拓展应用（选作） 1.D由题意可得b=l0g,12,c=log5,因为5>31°，41>7'，所以两 边取对数整理可得1g5>9,og7<9所以a<,又a=lsg,7 n41,6=lg,12=h12 In 7 心些>1，a=。12,且√n412< 血4+a12_89=n7,即n4h2(n7),所以名>L, 2 22 a>b,所以b<a<c.故选D. 2.C因为f代x)=log(x+m)是[-2,2]上的局部奇函数，所以x+m>0 在[-2,2]上恒成立，所以m-2>0,即m>2,由局部奇函数的定 义，存在x∈[-2,2]，使得log(-x+m)=-log（x+m),即 log(-x+m)+log3(x+m)=log(m2-x2)=0,所以存在x∈ [-2,2],使得m2-x2=1,即m2=x2+1,又因为x∈[-2,2]，所以 x2+1e[1,5],所以m2e[1,5],即me[-√5，-1]U[1,N5],综 上，me(2,N5].