练案9 第二章 第4讲 幂函数与二次函数-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

(3)由题意，不等式f(2t)+f(t-1)>0可化为f2t)>f(1-t), -1≤2t≤1， -1≤t-1≤1，解得0≤K3 1 2xl-t, 所以该不等式的解集为[0,3) 1 C组拓展应用（选作） ABD因为f(x+2)=-f代x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f代x),所以 f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数，故A正确；因为f(x+2)= -fx),所以f(-x+2)=-f(-x).又因为f(x)为奇函数，所以 f(2-x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，故B 正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.因为 f(x)在[-1,0]上为增函数，且f(x)为奇函数，所以f(x)在 [0,1]上为增函数.因为f(x)关于直线x=1对称，所以f(x)在 [1,2]上为减函数，故C错误；因为f(x+2)=-f(x),令x=0得 f(2)=-f(0)=f(0),故D正确. 练案[9] A组基础巩固 1.A因为函数f(x)=(m-1)x2-2mx+3是偶函数，所以函数图象 关于y轴对称，即=0，解得m=0,所以fx)=一+3为开口 向下的抛物线，所以在(-∞，0)上函数单调递增，故选A 2.C.f(x)=x2-ax+1有负值，∴.△=a2-4>0,则a>2或a<-2. 3.D函数y=x“是幂函数，而y=ax是一次函数.选项A,直线对 应函数为y=x,曲线对应函数为y=x;选项B,直线对应函数为 y=2,曲线对应函数为y=x之；选项C,直线对应函数为y=-x, 曲线对应函数为y=x:选项D,直线对应函数为y=2x,曲线对 应函数y=x2.故D正确.故选D. 4.A由题意可得m+2m-2=L,m=-3或m=1, → m=1.故 lm+2>0 m>-2 选A 5.B因为函数f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,所以函数f(x)图 象的对称轴为直线x=2,且函数f(x)的最小值为f(2)=-7.令 f(x)=5,解得x=0或4，因为f(x)在区间[0，n]上的最大值为 5,最小值为-7，所以n的取值范围是2≤n≤4，故选B. 6.B对于A,二次函数的图象开口向下，所以a<0,此时g(x)=x“ 在(0，+∞)上单调递减，与图中符合；对于B,二次函数的图象 开口向上，所以a>0,此时g(x)=x“在(0，+∞)上单调递增，与 图中不符合；对于C,二次函数的图象开口向上，所以a>0,此时 g(x)=x“在(0，+∞)上单调递增，与图中符合；对于D,二次函 数的图象开口向上，所以a>0,此时g(x)=x“在(0，+∞)上单调 递增，与图中符合.故选B. 7.A当y=t时，由y=x3,得x=:由y=√x,得x=t:由y=二，得 =因为0K1,所以y=r是关于x的诚函数又-1<写2， 所以上>，所以1AC1=}-2.故选A 8.B因为f(x)>0的解集为(-1,3)，所以-2x2+bx+c=0的两个根 c =-1×3, 2 为-1,3，所以 b 得6=4，令g(x)=f八x)+m,则g(x) =-1+3, =-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m.当x∈[-1,0]时，g(x)mm= m,因为g(x)≥4在[-1,0]上恒成立，所以m≥4.故选B. 56 9.BC根据幂函数的图象性质可知，当α<0时，幂函数不经过点 (0,0),A错误；当f(x)的图象经过点(-1，-1)时，f(-1)= (-1)“=-1,因为f(x)经过点(-1，-1)，所以a>0时，f(x)的定 义域为R,a<0时，f(x)的定义域为{x|x≠0}，都关于坐标原点 对称，又f代-x)=(-x)“=(-1)“x“=-x“=-f(x),所以f代x)为奇 函数，B正确：当f(x)的图象经过点(-1,1)时，f代-1)=(-1)“= 1,因为f(x)经过点(-1,1)，所以a>0时，f代x)的定义域为R,a< 0时，f代x)的定义域为{xlx≠0}，都关于坐标原点对称，又f(-x) =（-x)“=x“=f(x),所以f(x)为偶函数，C正确；当a>0时，f(x) 在(0，+∞)上单调递增，所以f(√3)>f代2)，D错误.故选BC. .9 4 10.ACD因为函数是幂函数，所以m+5=1,得m=-5,即f(x) =x号-2)=[(-2)5门于=(-2)=6故A正确：函数的 定义域是{xlx≠0}，故B不正确；：f(-x)=f(x),所以函数是 偶函数，故C正确；函数f(x)=x5在(0，+0)是减函数，不等 式f代x-1)≥f代2)等价于Ix-11≤2，解得-2≤x-1≤2，且x-1≠ 0,得-1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[-1,1)U(1,3], 故D正确.故选ACD. 11.BC函数y=x2-4x+1是开口向上，对称 轴为直线x=2的抛物线，因为函数的定 义域为[1，t],所以当x=1时，y=-2,当 21 x=2时，y=-3,因为在[1，t]内函数的最 =1=-2 大值与最小值之和为-5，所以当y=-2 时，x=1或x=3,所以2≤t≤3.故选BC. 122由题意可知m-m-1=1, 4m+3>0, 解得m=2,所以f(x)=x“代2)=2" 13)=分2+子或y=子-+弓因为二次函数的图象过点 3 1 (-3,0),(1,0),所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠ 0),展开得y=a2+2ax-3a,顶点的纵坐标为12a-4 -=-4a, 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2.所以1-4a|=2, 即a=分，所以二次函数的表达式为y=了+x-号或 3 [片 由题可设f(x)=x“,因为函数f(x)过点(9,3)，所 以9°=3，得a=2,所以函数代x)=x之，所以函数f代x)=x产是 定义在[0，+∞)上的增函数，所以若f(2a-1)<f(3-2a),则 1 r2a-1≥0， 1 3-2a≥0，→ ≤a<1,所以实数a的取值范围是 2a-1<3-2a a<1 [2 15.[解析](1)由题意知m2-3m+3=1,解得m=1或m=2, 当m=1时，幂函数y=x, 此时幂函数在(0，+0)上单调递减，符合题意： 当m=2时，幂函数y=x, 此时幂函数在(0，+∞)上单调递增，不符合题意. 所以实数m的值为1. (2)①g(x)=x-x)=Xx, g(x)在区间(0，+∞)上单调递增.证明如下： 任取0<x1<x2 则e,-)(）-(）=()-( 由0<x1<x2可得x1-x2<0,1+ 120, 则g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)<g(x2), 故g(x)在区间(0，+∞)上单调递增， ②由①知，g(x)在区间(0，+∞）上单调递增， r2t-1>0, 又由g(2t-1)<g(t)可得t>0, 2t-1<t, 每得c1 所以实数t的取值范围是 B组能力提升 1.D由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以 p为偶数，则q为奇数.因为幂函数y=x”的图象在第一象限内向 上凸起，且在(0，+∞)上单调递增，所以0<卫<1 q 2.C二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1, :对于任意x,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2),即 fx)在区间[-1,2]上是单调函数，.a-1≤-1或a-1≥2， .a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(-o,0]U[3,+∞). 3.BCDf(x)的定义域是(-∞，2)，故A 错误；当x≤-1时，x+2≤1，当-1<x<2 时，0≤x2<4,1≤x2+1<5,所以f(x)的值 域是(-∞，5)，故B正确；由B的分析 可知，若)=3，则1c2, 解得x= 1x2+1=3, √2，故C正确；画出f(x)的图象如图所 示，由图可知，D正确.故选BCD. 4.A:函数f代x)=(m2-m-5)x26是幂函数，m2-m-5=1,解 得m=-2或m=3.对任意，2e(0,+0),且x≠x2,满足 f（x1)fx2 ->0,∴.函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，∴.m2-6> x1一X2 0,∴.m=3,∴.f(x)=x3.若a,beR,且a+b>0,则a>-b,∴.fa)> f(-b)=-f代b),.f(a)+f(b)>0.故选A 5.[解析]（1)由题意利用幂函数的定义和性质，求得m的值， 可得结论 :幂函数fx)=(m2-2m+1)x2的图象过点(4,2)， m2-2m+1=1,4宁=2，求得m=2 故有)=兰 (2)f(x)=x2在其定义域[0，+∞)上单调递增. 56 证明：设x2>x1≥0，即x2-x1>0, 则f代x2)-f(x)=√x2-= x2->0, x+ 即fx2)>f(x1), 故函数f(x)在其定义域[0，+∞)上单调递增. (3)由题意利用函数的单调性的定义、函数的定义域，求得a的 范围 若f(a+1)>f2a-3),则√/a+1>√/2a-3, a+1>2a-3≥0，求得3 sa<4 实数。的取位范里为[月4） 6.[解析](1).f0)=f代2)=3， .二次函数f代x)的对称轴为x=1 设函数f(x)=a(x-1)2+1(a>0), 则f0)=a+1=3, 解得a=2. 故fx)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. (2): m）=2(分)1号 即八)连[行引上伤最大值为号 (3)函数f(x)在区间[2a,a+1]上不单调， ∴.2a<1<a+1, 每得，0ka<分 放实纸a的取位范国为(0，）】 C组拓展应用（选作） 1.12因为幂函数f(x)=(n2-6n+9)x-3在(0，+∞)上单调递增， 则m-6m+9=1, 4.3 得n=4,正数a、b满足3a+46=4,则+ ln-3>0, a b (3a+46) 1 任+）4(a++1g)=4(2 ,9a_166 2 2V）=2,当且仅当 b a a3' 时，即当 时， 3a+4b=4. 1 6=- la>0,b>0 2 43 等号成立，因此，。+的最小值为12 a 2.2因为f(x)为增函数，不妨设1>x,则f(x)-f(x2)川=f(x1) -fx2)=2,即x-x2=(x1-x2)(x子+x1x2+x)=(x1-x2)[(x1 ,)2+3]=2,变形得31=2-(5，-只.若13异号， x1-x2 x1-x2 ,解得x1-x2≤2，当且仅当x=1,x2=-1时，等号成 2 立若1，同号或x1中有一个为0，则3- --(x1 x2)2≥0，解得-≤2.综上，1x1-2的最大值为2.练案[9] 第四讲 幂函数与二次函数 A组基础巩固 7.(2026·江西-一模)若直线y=t(0<1<1)与幂函数y= 一、单选题 x,y=,y=一的图象从左到右依次交于不同的三点 1.已知函数f(x)=(m-1)x2-2mx+3是偶函数，则在 A,B,C,则1AC1= (-0,0)上此函数 ( A.单调递增 B.不是单调函数 A.}- B.1 t C.单调递减 D.不能确定 2.若f代x)=x2-ax+1有负值，则实数a的取值范围是 c.1- D.沉-2 t A.(-∞，-2] B.(-2,2) ）8.(2026,山东模拟)已知(x)=-2+x+c,不等式 C.(-∞，-2)U(2,+0)D.(1,3) f(x)>0的解集为(-1,3).若对任意的x∈[-1,0]， 3.（2026·全国专题练习)下列关于函数y=x与y= f(x)+m≥4恒成立，则m的取值范围是 () A.(-∞，2] B.[4,+∞) r(ae{1,22,3}）的图象正确的是 C.[2,+o) D.(-∞，4] 二、多选题 9.（2026·福建漳州期末)若函数f(x)=x“,则() A.(x)的图象经过点(0,0)和(1,1) B.当f(x)的图象经过点(-1，-1)时f(x)为奇函数 C.当f(x)的图象经过点(-1,1)时，f(x)为偶函数 D.当a>0时，存在f(x)使得f(5)<f(2) 10.(2026·浙江衢州月考)已知幂函数f(x)= (m+）,则下列结论正确的有 1 A-32)=i16 4.（2025·湖南一模)已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm2 B.f(x)的定义域是R 在(0，+∞)上单调递增，则m的值为 C.f八x)是偶函数 A.1 B.-3 D.不等式f(x-1)≥f(2)的解集是[-1,1)U(1,3] C.-4 D.1或-3 5.已知函数f八x)=3x2-12x+5在区间[0，n]上的最大值 11.已知函数y=x2-4x+1的定义域为[1，t],在该定义域 为5，最小值为-7，则n的取值范围是 内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t的值可 A.[2,+0）B.[2,4]C.(-∞，2] D.[0,2] 以为 () 6.函数f代x)=ax2+2x+1与g(x)=x在同一直角坐标系 A.1 B.2 C.3 D.4 中的图象不可能为 三、填空题 12.(2026·大庆模拟)已知函数f(x)=(m2-m-1)· xn3是幂函数，且在(0，+∞)上单调递增，则f(2)= 13.已知二次函数的图象过点(-3,0)，(1,0)，且顶点到 x轴的距离等于2，则二次函数的表达式为 14.(2026·四川内江期中)已知幂函数f(x)过点 (9,3),若f(2a-1)<f(3-2a),则实数a的取值范围 是 295 四、解答题 5.已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)x”云的图象过点 15.(2026·安徽模拟)若函数f(x)=(m2-3m+3)xm2+2m4 (4,2). 为幂函数，且在(0，+∞)上单调递减 (1)求f(x)的解析式； (1)求实数m的值； (2)判断f(x)的单调性，并进行证明； (2)若函数g(x)=xf(x),且x∈(0，+∞）， (3)若f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围. ①判断函数g(x)的单调性，并证明； ②求使不等式g(2t-1)<g(t)成立的实数t的取 值范围. B组能力提升男 1.已知幂函数y=x9(p,qeN*,9>1 6.已知二次函数f(x)的最小值为1，且f(0)=f(2)=3. 且P,9互质)的图象如图所示，则 (1)求函数f(x)的解析式； (2求在日引上的城大位： AP,9均为奇数，且P>1 -10 9 (3)若函数f(x)在区间[2a,a+1]上不单调，求实数a B.9为偶数，p为奇数，且P>1 的取值范围。 9 C.9为奇数p为偶数，且P>1 9 D.9为奇数，p为偶数，且0<2<1 9 2.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1,2] 上任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠(x2), 则实数a的取值范围是 A.(-0,0] B.[0,3] C.(-∞，0]U[3,+0) D.[3,+0) 3.（多选题)(2026·四川南充阆中中学开学考)已知函 数=2，≤-，下列关于函数x)的结论正 x2+1,-1<x<2, 确的是 A.f(x)的定义域是R B.f八x)的值域是(-∞，5) C.若f八x)=3,则x=√2 C组拓展应用（选作）男 D.f(x)的图象与直线y=2有一个交点 4.已知函数f代x)=(m2-m-5)x-6是幂函数，对任意x, 1.(2026·江西一模)已知幂函数f(x)=(n2-6m+9)x 6∈(0，+0），且x≠，满足)f 在(0，+∞)上单调递增，若正数a、b满足3a+4b=n,则 >0,若 43 X1-x2 十 a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值 。+方的最小值为 ( A.恒大于0 B.恒小于0 2.(2026·河南模拟)已知函数f(x)=x3,若1f(x1)- C.等于0 D.无法判断 f(x2)「=2，则1x1-x2的最大值为 —296—