第14讲 二次函数 专项训练-2027届高三数学一轮复习

二次函数 函数与导数 · 专题篇 二次函数的图象与性质 一、三种条件对应三个方程 图象过点给的是 ；对称轴给的是 ；顶点或最值给的是 。三条独立条件定三个待定系数 ，，。 二、两根之和与对称轴等价 时对称轴为 ；已知零点 ， 时 、。 三、配方是读性质的标准动作 ，顶点、对称轴、单调区间、最值全从这一式读出。 四、 恒成立的双条件 且判别式 ；两个条件缺一不可。 五、区间上的单调性看对称轴的位置 在闭区间上单调，当且仅当对称轴落在区间外（端点可以取到）。 例1（解答·★★★☆☆） 已知二次函数（）满足以下条件：①图象过点；② 时的函数值与 时的函数值相等；③函数的最小值为 。求这个二次函数的解析式。 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知二次函数（）的图象过原点，且关于直线 对称，对于任意 ，都有 。求 的解析式。 变式1-2（解答·★★★☆☆） 设，当时，对应值的集合为。(1)求的值。 (2)若，求该函数的最值。 变式1-3（单选·★★★☆☆） 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 例2（解答·★★★★☆） 已知二次函数是R上的偶函数，且。（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；（2）当时，解关于x的不等式。 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为。（1）求的解析式；（2）设，若在上有最小值，求实数的取值范围. 变式2-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列叙述正确的是（ ） A. 若对都有成立，则 B. 若使得有解，则 C. 若且使得，则 D. 若的解集是，则 变式2-3（多选·★★★☆☆） 已知，（ ） A. 若的定义域为R，则 B. 若时，，则 C. 若，则 D. 若，则 二次函数在给定区间上的最值 一、一句话判据：对称轴在不在区间内 对称轴在区间内 ⇒ 最值在顶点取到；对称轴在区间外 ⇒ 最值在端点取到，且离对称轴越远的端点越大。 二、最大值与最小值各看一半 开口向上时，最小值看顶点、最大值看两端；开口向下时，最大值看顶点、最小值看两端。 三、含参最值的分类标准 把对称轴 与区间 的两个端点比较，分 、落在区间内、 三档；对称轴含参数时分界点就是 与 。 四、动区间与动轴要分清 「轴定区间动」按区间端点与对称轴比较；「轴动区间定」按对称轴与区间端点比较 —— 两类分界的式子是同一个，别重复讨论。 五、含绝对值时先找零点 在区间上的最小值，关键看 的零点是否落在区间内：落在区间内，最小值为零。 六、换元后仍是二次型 或 型，令 换元后化成二次函数在区间上的最值，先写清 的取值范围。 例3（解答·★★★★★） 已知函数 在区间 上的最大值为 ，求 的表达式。 例4（解答·★★★★☆） 已知函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值。 变式4-1（解答·★★★★★） 设函数。（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）已知，若时，的最大值为10，求的值。 变式4-2（填空·★★★☆☆） 已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________。 例5（解答·★★★★☆） 已知函数（，）在 时最大值为 2，最小值为 1。求实数 ， 的值。 变式5-1（解答·★★★★☆） 已知函数（，）在区间上有最大值 2 和最小值 1。求 ， 的值。 变式5-2（解答·★★★★★） 已知幂函数是偶函数。（1）求 的解析式；（2）设，求 在区间上的最小值 的解析式。 变式5-3（填空·★★★☆☆） 已知，则函数的最小值为_______________。 变式5-4（单选·★★★☆☆） 已知函数，。记，，则的最大值与的最小值的差为 （ ） A. B. C. D. 一元二次方程根的分布 一、三件工具各管一段 判别式 管「有没有根」（ 两个不等根， 重根， 无实根）；韦达关系管「两根的符号」（积为正同号，和为负都负）；端点函数值的符号管「根落在哪个区间」。 二、两根同号与异号的判据 异号：；同正： 且 且 ；同负： 且 且 。 三、根落在区间 内 写 ，则「一根在 内」由开口方向与 ， 的符号定，必要时再补一个对称轴或判别式条件。 四、先试因式分解 能分解成 时，根是显式的，分布问题直接化成解不等式，比套韦达快得多。 五、「无正根」要分两种情况 方程无实根，或者两根都非正 —— 前者用 ，后者用韦达；只写一种会漏解。 六、二次项系数含参数时先分 与 时方程退化成一次，不能套判别式，必须单独处理。 例6（填空·★★★★☆） 关于的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则的取值范围为______。 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 一元二次方程的根的情况是（ ）。 A. 方程没有实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 方程的根是、和 变式6-2（填空·★★★★☆） 已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______。 例7（解答·★★★★☆） 已知关于的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围。 变式7-1（解答·★★★☆☆） 若是方程，的两个根。(1)求实数的取值范围； (2)用表示。 变式7-2（填空·★★★★☆） 已知，，若为空集，则实数的取值范围为________。 变式7-3（单选·★★★☆☆） 若关于的方程有一个正根和一个负根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 变式7-4（解答·★★★★☆） 已知是一元二次方程的两个不相等的实数根。（1）若两根同号，求实数的取值范围；（2）求使得的值为整数的整数的值。 变式7-5（填空·★★★☆☆） 若二次函数有两个零点，则实数a的取值范围是__________。 含参二次不等式与恒成立 一、 恒成立的两条 且 ； 恒成立则把 换成 —— 二次项系数的符号管开口方向，判别式管「有没有穿过 轴」。 二、解集已知就反推系数 的解集是 时，两根为 ， 且 ，由 、 把 ， 都用 表示。 三、解含参不等式的固定流程 ① 二次项系数是否为零；② 因式分解求两根；③ 比较两根大小分档；④ 看开口方向写解集。 四、区间上的恒成立看端点 在给定区间上恒成立时，若函数在区间上单调，只需检该区间端点的取值 —— 不必再算判别式。 五、绝对值不等式拆成两条 等价于 且 ，两条都是恒成立问题，各自用判别式卡。 例8（解答·★★★☆☆） 解关于 的不等式：。 例9（解答·★★★★☆） 设。(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式。 例10（解答·★★★★☆） 已知函数。(1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式。 变式10-1（解答·★★★★☆） 命题甲：关于 的不等式 的解集为 。若命题甲为真，求实数 的取值范围。 变式10-2（填空·★★★★☆） 若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______。 变式10-3（多选·★★★★☆） 关于的不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ） A. 可以是 B. 可以是 C. 可以是空集 D. 可以是 变式10-4（单选·★★★★★） 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 变式10-5（单选·★★★☆☆） 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 变式10-6（解答·★★★★★） 已知。（1）若不等式 的解集为，求 的解析式；（2）若 ，，求关于 的不等式 的解集（结果用 表示）。 变式10-7（填空·★★★☆☆） 若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______。 变式10-8（多选·★★★☆☆） 已知关于的一元二次不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数 函数与导数 · 专题篇 二次函数的图象与性质 一、三种条件对应三个方程 图象过点给的是 ；对称轴给的是 ；顶点或最值给的是 。三条独立条件定三个待定系数 ，，。 二、两根之和与对称轴等价 时对称轴为 ；已知零点 ， 时 、。 三、配方是读性质的标准动作 ，顶点、对称轴、单调区间、最值全从这一式读出。 四、 恒成立的双条件 且判别式 ；两个条件缺一不可。 五、区间上的单调性看对称轴的位置 在闭区间上单调，当且仅当对称轴落在区间外（端点可以取到）。 例1（解答·★★★☆☆） 已知二次函数（）满足以下条件：①图象过点；② 时的函数值与 时的函数值相等；③函数的最小值为 。求这个二次函数的解析式。 【切入点】三个条件各对应一个方程，先从第二个条件读出对称轴，再利用最小值写出顶点式。 【关键】由 得对称轴为 ；又最小值是 ，故顶点为 ，可设 。代入 得 ，即 。所以 。所求二次函数的解析式为 。 【易错】 只说明对称轴是这两点横坐标的平均值，不能反过来当成「-4 与 0 是零点」。「最小值为 」给的是顶点的纵坐标，必须与对称轴合起来才写成顶点式，漏了对称轴就只能设一般式，计算量翻倍。 【答案】 变式1-1（解答·★★★★☆） 已知二次函数（）的图象过原点，且关于直线 对称，对于任意 ，都有 。求 的解析式。 【切入点】「过原点」与「对称轴 」各去掉一个待定系数，最后用 恒成立把 卡出来。 【关键】由图象过原点得 ，故设 。由对称轴 得 ，于是 。 对任意 成立，即 恒成立，这要求 且判别式 ，故 ，。 【易错】 恒成立时，常数项为零，所以判别式可以取等号（此时 处取等），写成 会把 排除掉。「过原点」给的是 ，不是 —— 二次函数的 是前提。 【答案】 变式1-2（解答·★★★☆☆） 设，当时，对应值的集合为。(1)求的值。 (2)若，求该函数的最值。 【切入点】「 时 的取值集合为 」就是「两根是 与 」，用韦达关系直接读出 ，。 【关键】由题意 ， 是方程 的两根，故 、，即 ，。于是 ，对称轴 落在 内，最小值 。端点值 、，故最大值为 。 【易错】求闭区间上的最值时先看对称轴在不在区间内：在区间内取顶点值，不在区间内取端点值；本题对称轴在区间内，所以最小值是 而不是 。用韦达关系时注意符号：，不是 。 【答案】，；在 上最小值为 ，最大值为 变式1-3（单选·★★★☆☆） 已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【切入点】二次函数在闭区间上单调，等价于对称轴不在区间内部 ——只要把对称轴写出来，就是一道不等式题。 【关键】 的对称轴为 。 在 上具有单调性，等价于对称轴不落在 内，即 或 。故选 A。 【易错】端点可以取： 时 在 上递增、 时递减，都是单调的，所以是闭区间 ，写成「 或 」就把这两个值漏了。 【答案】A 例2（解答·★★★★☆） 已知二次函数是R上的偶函数，且。（1）设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增；（2）当时，解关于x的不等式。 【切入点】「偶函数」把一次项系数直接定成零，剩下只有一个参数；第（2）问解的是含参二次不等式，按开口与两根大小分类。 【关键】由 是 上的偶函数，可设 ；代入 得 ，，故 。（1）。设 ，；由 得 ，故 ， 在 上单调递增。（2）原不等式化为 ，判别式 ，两根为 与 。 时 ，解集为 或 ； 时不等式化为 ，解集为 ； 时 ，解集为 或 。 【易错】用定义法证单调时必须把差式因式分解出 ，再判另一个因式的符号；只写「由对勾函数图象可知」在解答题里不给分。第（2）问判别式是完全平方，两根为 与 ，谁大谁小由 与 1 的大小决定，不分 、、 三档就会漏。 【答案】；当 时，解集为 或 ；当 时，解集为 ；当 时，解集为 或 变式2-1（解答·★★★★☆） 已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为。（1）求的解析式；（2）设，若在上有最小值，求实数的取值范围. 【切入点】「 的解集」给出两根的位置，可以把它写成两根式；再用「过点 」定系数。 【关键】（1）由 的解集为 ，可知 移到左边后两根为 与 ，且二次项系数为正，故 （）。代入 ：，解得 ，故 。（2），开口向上，对称轴 。 在 上有最小值：若 ，则 在该区间上递增，最小值只能在 处趋近而取不到，不合；若 ，则顶点落在区间内（或在 附近），最小值可取到。所以 ，即 。 【易错】第（1）问要把 的两根与解集端点对应起来 ——解集的两个端点就是 的两根。第（2）问的区间左端是开的：对称轴正好落在 上时最小值取不到，所以是严格不等号。 【答案】； 变式2-2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则下列叙述正确的是（ ） A. 若对都有成立，则 B. 若使得有解，则 C. 若且使得，则 D. 若的解集是，则 【切入点】四个选项分别是「恒成立」「有解」「两个正根」「解集已知」，每一类都对应一组判别式与韦达的条件，逐项套即可。 【关键】。A 项： 有 ，需判别式 ，即 ，A 项正确。B 项： 使 ，只需最大值 ，解得 ，而选项写的是 ，B 项错误。C 项：存在两个不等的正零点，需判别式 、两根之和 、两根之积 ，解得 ，C 项正确。D 项： 的解集为 ，说明两根恰为 与 ，由两根之和 、之积 得 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】B 项的「有解」要的是最大值大于等于零，不是判别式；把「 型」当成「 型」是这类题最常见的错法。C 项的三个条件缺一不可 —— 只写判别式大于零会得到 或 ，多了一半。 【答案】ACD 变式2-3（多选·★★★☆☆） 已知，（ ） A. 若的定义域为R，则 B. 若时，，则 C. 若，则 D. 若，则 【切入点】 配方后是 ，对称轴固定在 ；四个选项都从这一式出发。 【关键】。A 项： 的定义域为 ，需 恒成立，即最小值 ，解得 ，A 项正确。B 项：（）时 。最小值 得 ；此时 ，最大值只能由 给出，解得 ，于是 ，B 项错误。C 项： 说明 在两根之间，而两根之和为 、之积为 ，故两根都是负数且都在 内，所以 ，，C 项正确。D 项： 即 ，故 ，即 ，D 项正确。故选 ACD。 【易错】C 项要先把两根写出来：两根为 ，由 得 ，所以两根都落在 内， 才有保证。D 项配方后 ，把 代入得 ，比较就只剩 与 的大小。 【答案】ACD 二次函数在给定区间上的最值 一、一句话判据：对称轴在不在区间内 对称轴在区间内 ⇒ 最值在顶点取到；对称轴在区间外 ⇒ 最值在端点取到，且离对称轴越远的端点越大。 二、最大值与最小值各看一半 开口向上时，最小值看顶点、最大值看两端；开口向下时，最大值看顶点、最小值看两端。 三、含参最值的分类标准 把对称轴 与区间 的两个端点比较，分 、落在区间内、 三档；对称轴含参数时分界点就是 与 。 四、动区间与动轴要分清 「轴定区间动」按区间端点与对称轴比较；「轴动区间定」按对称轴与区间端点比较 —— 两类分界的式子是同一个，别重复讨论。 五、含绝对值时先找零点 在区间上的最小值，关键看 的零点是否落在区间内：落在区间内，最小值为零。 六、换元后仍是二次型 或 型，令 换元后化成二次函数在区间上的最值，先写清 的取值范围。 例3（解答·★★★★★） 已知函数 在区间 上的最大值为 ，求 的表达式。 【切入点】开口向上，最大值只在区间两端取到；比较 与 谁大，分界点就是对称轴落在区间中点的位置。 【关键】，对称轴为 。因为开口向上，最大值只能在端点 或 处取到。，。由 得 ：当 时 ，最大值 ；当 时 ，最大值 。所以 的表达式如上。所以 （）、（）。 【易错】分界点是 而不是 或 ——它由 解出，也就是区间中点，不是对称轴与端点重合的地方。开口向上时最大值一定在端点，不需要比较顶点。 【答案】（）、（） 例4（解答·★★★★☆） 已知函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值。 【切入点】最小值已经给出，反求参数；最小值的取法随对称轴 与区间 的位置关系变，所以按三档讨论再筛。 【关键】 的对称轴为 。若 （即 ）， 在 上递增，最小值 ，解得 ，符合 ；若 （即 ），最小值 ，即 ，无实数解，舍去；若 （即 ）， 在 上递减，最小值 ，解得 ，与 矛盾，舍去。所以 。 【易错】第二档解出 后要明确写「无实数解」，不能直接跳过 —— 分类讨论的每一档都要有交代。第三档解出的 必须回代检验是否落在该档的范围内，不回代就会误当成一个解。 【答案】 变式4-1（解答·★★★★★） 设函数。（1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（2）若当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）已知，若时，的最大值为10，求的值。 【切入点】三问依次是「区间单调」「区间恒成立」「换元后的区间最值」，每问都是对称轴与区间的位置关系，方法同源。 【关键】（1）对称轴 ， 在 上递增，需 ，即 。（2） 即 在 上恒成立。对称轴 ：若 ，最小值 ，但这里要的是 的最小值 ，得 ；若 ， 在 上递减，最小值 得 ，矛盾；若 ，最小值 得 ，矛盾。所以 。（3）令 ， 在 上的最大值为 。对称轴 ：若 ，最大值在 处， 得 ；若 ，最大值在 处， 得 ，不合。所以 。 【易错】第（2）问要先说明 的最小值，不能拿 的最小值去比 —— 两者的常数项不同。第（3）问换元后一定要写出 ，并注意最大值只可能在 或 处取，分界点是 。 【答案】；； 变式4-2（填空·★★★☆☆） 已知二次函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是________。 【切入点】「对任意 都有 」是二次函数在含参区间上的最小值问题，先由区间的存在性定出 的符号，再分对称轴的位置讨论。 【关键】区间 非空且二次函数要求 ，由 得 。 的对称轴为 。若 （即 ）， 在 上递增，最小值 ，解得 ，符合；若 （即 ），最小值 ，得 ，矛盾；若 （即 ）， 在 上递减，最小值 ，得 ，与 矛盾。所以 。 【易错】区间 的合法性给出 ，这一步不写，后面的分档就无从谈起。对称轴 也含参数，分档的界是 与 、 的大小，解得的不等式要与该档的范围取交集才有效。 【答案】 例5（解答·★★★★☆） 已知函数（，）在 时最大值为 2，最小值为 1。求实数 ， 的值。 【切入点】 的对称轴恰好是区间端点 ，所以 上单调，直接由两端取最值。 【关键】，由 知开口向上，对称轴为 ，故 在 上单调递增。于是最大值 ，最小值 。解得 ，。 【易错】，一次项与二次项在 处恰好抵消，这正是对称轴为 的表现；算之前先把对称轴写出来能省一步。由 才能断定开口向上、区间上递增，这个符号条件不能丢。 【答案】， 变式5-1（解答·★★★★☆） 已知函数（，）在区间上有最大值 2 和最小值 1。求 ， 的值。 【切入点】对称轴同样是端点 ，但开口方向未知，所以要分 与 讨论，再用 筛。 【关键】，对称轴为 。当 时开口向上， 在 上递增，最大值 得 ，最小值 得 ；当 时开口向下， 在 上递减，最大值 ，最小值 得 ，与 矛盾，舍去。所以 ，。 【易错】 与 两个条件都要用上： 那一支是靠 排除的，不写这一步答案就没有唯一性。本题与例 3 的式子只差一个 的系数，但系数符号决定开口，方法要跟着变。 【答案】， 变式5-2（解答·★★★★★） 已知幂函数是偶函数。（1）求 的解析式；（2）设，求 在区间上的最小值 的解析式。 【切入点】先由「幂函数」与「偶函数」两个条件定出 ，再把 的零点 与区间 比较，逐档求最小值。 【关键】（1）由 是幂函数得 ，即 或 ；再由偶函数排除 （此时 是奇函数），故 ，。（2），零点为 与 。当 （）时，区间上 ， 递增，最小值 ；当 （）时零点落在区间内，；当 （）时区间上 ，，比较两端：、，由 得 ，故 时 ， 时 。 【易错】绝对值函数的零点 是否落在区间内，是分档的唯一标准，也是最小值能否取到 的分水岭。最后一档是开口向下的抛物线（），最值在端点，要比 与 谁小，分界点 由两者相等解出。 【答案】； 变式5-3（填空·★★★☆☆） 已知，则函数的最小值为_______________。 【切入点】分子是二次式、分母是一次式，先换元把分子降次，化成 这种对勾型。 【关键】令 ，则 ，。由基本不等式 ，且 （即 ）时取等，故最小值为 。 【易错】换元后必须写出 ，否则基本不等式的使用条件不成立。取等条件 要回代确认 落在定义域 内。 【答案】 变式5-4（单选·★★★☆☆） 已知函数，。记，，则的最大值与的最小值的差为 （ ） A. B. C. D. 【切入点】两个 型式子是取大取小的常见写法，先把 化简，看清谁大谁小。 【关键】由 知 ，由 知 。。又 ，在 处取最大值 ，此时 。在 的左侧（）有 ，故 ；在 的右侧 或为 （当 ）或为 ，而 在该段上递减、 也不超过 ，所以 的最大值为 。再看 ：由 的顶点 处 ，且该点 ，故 的最小值为 。两值之差为 。故选 B。 【易错】先把 认成取大取小是这类题的固定起手式，直接对 ， 分段讨论会陷进去。 的零点在 ，而 的顶点恰在 ，两处重合是本题化繁为简的关键。 【答案】B 一元二次方程根的分布 一、三件工具各管一段 判别式 管「有没有根」（ 两个不等根， 重根， 无实根）；韦达关系管「两根的符号」（积为正同号，和为负都负）；端点函数值的符号管「根落在哪个区间」。 二、两根同号与异号的判据 异号：；同正： 且 且 ；同负： 且 且 。 三、根落在区间 内 写 ，则「一根在 内」由开口方向与 ， 的符号定，必要时再补一个对称轴或判别式条件。 四、先试因式分解 能分解成 时，根是显式的，分布问题直接化成解不等式，比套韦达快得多。 五、「无正根」要分两种情况 方程无实根，或者两根都非正 —— 前者用 ，后者用韦达；只写一种会漏解。 六、二次项系数含参数时先分 与 时方程退化成一次，不能套判别式，必须单独处理。 例6（填空·★★★★☆） 关于的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则的取值范围为______。 【切入点】先试着因式分解 —— 一次项系数 与常数项 正好凑成 ，可以直接拆开。 【关键】，故两根为 与 。其中 不在 内，所以「有一个大于 0 小于 4 的根」等价于 ，解得 。 【易错】分解之后要逐个检查两根： 是固定的那一个根，它不落在区间内，所以条件全部落在另一个根 上。不检查就直接写「 且 」会绕一大圈，还容易把 的范围多算一段。 【答案】 变式6-1（单选·★★☆☆☆） 一元二次方程的根的情况是（ ）。 A. 方程没有实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有两个不相等的实数根 D. 方程的根是、和 【切入点】先把方程整理成一般式，再算判别式；选项里出现了「、 和 」，那是把因式分母的根也当成了根，要先化成整式方程。 【关键】展开并移项：，即 。判别式 ，所以方程有两个不相等的实数根。故选 C。 【易错】原式左边是 ，展开后还要把右边的 移过去，漏掉移项会得到错误的判别式。「两个不相等的实数根」不要求根是整数，D 项把两个因式的根直接当答案，明显错。 【答案】C 变式6-2（填空·★★★★☆） 已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______。 【切入点】 的前三项是 ，配方之后根是显式的，不必套判别式。 【关键】方程化为 ，两根为 与 ，二者恒不相等。「两根都小于 2」只需较大的那个根小于 2，即 ，解得 。 【易错】两根都小于 2，只需最大根小于 2，写成 与 两条会多一个多余的约束（其实后者更强，结论一样，但要把「谁大谁小」说清楚）。配方后 直接给出两根之差恒为 ，「两不相等实根」这个条件是自动满足的。 【答案】 例7（解答·★★★★☆） 已知关于的方程，方程一根小于1，一根大于1且小于2，求实数的取值范围。 【切入点】一根小于 1、一根在 内，两根把 夹在中间 —— 端点 处的函数值符号就能定开口方向。 【关键】记 。两根分别落在 的两侧，说明 与二次项系数 异号。而 恒成立，故 ，开口向上。再由「一根小于 1、一根大于 1 且小于 2」，在 的右侧没有根，故 ，即 ，解得 。 【易错】判「 在两根之间」有一条固定判据： 与二次项系数 异号。本题 ，所以必有 ；若 ，开口向下时两根之间 ，而 ，说明 落在两根之外，与题设矛盾。「一根在 内」这一侧只需 ，因为 已经在两根之外了。 【答案】 变式7-1（解答·★★★☆☆） 若是方程，的两个根。(1)求实数的取值范围； (2)用表示。 【切入点】「 有两个根」要求 且判别式非负；两根之距用 一步写出。 【关键】由方程是一元二次方程得 。判别式 ，解得 ，去掉 得 或 。又 。 【易错】「有两个根」不要求两根不相等，所以判别式取 ；写成 会把 与 两个端点漏掉。分母是 （即 ），不是 ——套公式 时绝对值不能丢。 【答案】 或 ； 变式7-2（填空·★★★★☆） 已知，，若为空集，则实数的取值范围为________。 【切入点】 为空集就是「方程 没有正根」，要分「无实根」与「有根但都非正」两类。 【关键】方程 无正根的情形有且只有两种：其一，无实根，即 ，解得 ；其二，有实根但两根都非正。因为两根之积为 ，两根同号，所以只需两根之和 ，即 ；再配合 （ 或 ）得 。两类合并得 。 【易错】「 为空集」包含 本身为空集的情形，只讨论「两根都非正」会漏掉 这一段。两根之积恒为 ，说明两根同号，所以「都非正」只需和小于零，不必再单独判断某一根。 【答案】 变式7-3（单选·★★★☆☆） 若关于的方程有一个正根和一个负根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「一个正根一个负根」只看两根之积的符号，是根的分布里最省力的一类。 【关键】方程 的两根之积为 。一根正、一根负等价于两根之积小于零，即 ，解得 。故选 C。 【易错】两根异号时判别式自动大于零（乘积为负说明确实有两个实根），不需要再写 。两根之积是 ，符号别看成 ——常数项直接就是积。 【答案】C 变式7-4（解答·★★★★☆） 已知是一元二次方程的两个不相等的实数根。（1）若两根同号，求实数的取值范围；（2）求使得的值为整数的整数的值。 【切入点】第（1）问用两根之积的符号；第（2）问把式子化成「整数加一个分式」，再用整除性卡住 。 【关键】（1）方程有两根要求判别式大于零：，解得 。而两根之积为 恒成立，所以只要有两根就同号，所求范围即 。（2）。要它为整数，只需 整除 。当 时 ，由整除性得 ，即 ，，故 。代入检验： 是整数，符合。 【易错】第（1）问要先用判别式定出 ，不能直接说「两根同号」就完事 —— 得先保证有两根。第（2）问的关键步骤是把分式拆成「整数 ＋ 真分式」： 用长除法拆出 ，剩下的 才便于用整除性放缩。 【答案】； 变式7-5（填空·★★★☆☆） 若二次函数有两个零点，则实数a的取值范围是__________。 【切入点】题干说的是「二次函数」，所以二次项系数不能为零；剩下的就是判别式大于零。 【关键】 是二次函数，故 。有两个零点要求判别式大于零：，解得 。与 合并得 。 【易错】 要单独排除：此时函数退化成一次函数 ，只有一个零点，不符合「二次函数」的题设。「有两个零点」对应的是 而不是 —— 时只有一个（二重）零点。 【答案】 含参二次不等式与恒成立 一、 恒成立的两条 且 ； 恒成立则把 换成 —— 二次项系数的符号管开口方向，判别式管「有没有穿过 轴」。 二、解集已知就反推系数 的解集是 时，两根为 ， 且 ，由 、 把 ， 都用 表示。 三、解含参不等式的固定流程 ① 二次项系数是否为零；② 因式分解求两根；③ 比较两根大小分档；④ 看开口方向写解集。 四、区间上的恒成立看端点 在给定区间上恒成立时，若函数在区间上单调，只需检该区间端点的取值 —— 不必再算判别式。 五、绝对值不等式拆成两条 等价于 且 ，两条都是恒成立问题，各自用判别式卡。 例8（解答·★★★☆☆） 解关于 的不等式：。 【切入点】 的常数项是 、一次项系数是 ，正好能拆成 。 【关键】原不等式即 ，两根为 与 ，二次项系数为正，开口向上。当 时两根中 小，解集为 或 ；当 时两根重合，不等式化为 ，解集为 ；当 时两根中 小，解集为 或 。所以当 时解集为 或 ；当 时解集为 ；当 时解集为 或 。 【易错】解含参不等式的固定动作是比较两根大小，这里 与 谁大要分三档， 那一档不能并进任何一侧。分解时注意一次项系数是 ，两根之和为 （不是 ）。 【答案】当 时解集为 或 ；当 时解集为 ；当 时解集为 或 例9（解答·★★★★☆） 设。(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式。 【切入点】第（1）问是二次式恒成立，注意 时式子退化成一次，必须单独排掉；第（2）问先因式分解再比较两根。 【关键】（1） 即 对一切实数成立。 时化为 ，不恒成立，舍去； 时需 且 ，即 ，也就是 ，解得 或 ，与 取交集得 。（2）不等式化为 ，因式分解得 ，两根为 与 。 时开口向上且 ，解集为 ； 时化为 ，解集为 ； 时开口向下且 ，解集为 或 ； 时 ，两根重合，解集为 ； 时 ，解集为 或 。 【易错】第（1）问必须先排掉 ，否则会直接套判别式，把退化成一次的情形漏掉。第（2）问分解成 后，两根 与 的大小关系随 的正负变， 时两根重合，这一档要单独写。 【答案】；当 时解集为 ，当 时解集为 ，当 时解集为 或 ，当 时解集为 ，当 时解集为 或 例10（解答·★★★★☆） 已知函数。(1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式。 【切入点】第（1）问是「解集为 」的标准双条件；第（2）问仍要先分解，本题的判别式是完全平方，两根可显式写出。 【关键】（1） 的解集为 ，需二次项系数 且 ，解得 。（2） 时 即 ，判别式 ，两根为 ，化简后两根恒为 与 ，即 与 。当 时两根重合，不等式化为 ，解集为 ；当 且 时开口向下，两根分居 两侧，解集为 或 。所以 ；当 时解集为 ，当 且 时解集为 或 。 【易错】第（1）问的两个条件都要写：只写判别式会漏掉 那一半（开口向下时永远不可能恒非负）。第（2）问判别式是完全平方，两根重合的情形（）要单独列，否则会把 误写成「 或 」。 【答案】；当 时解集为 ，当 且 时解集为 或 变式10-1（解答·★★★★☆） 命题甲：关于 的不等式 的解集为 。若命题甲为真，求实数 的取值范围。 【切入点】「命题甲为真」就是「 的解集为 」，按双条件走； 时式子退化成常数，要单独看。 【关键】 时不等式化为 ，恒成立，符合。 时判别式 ，恒成立，符合。 时开口向下，不可能恒正，舍去。所以 。 【易错】 时二次项消失， 显然成立，这一档最容易被「」一句带过。 时判别式 恒小于零，不必再解不等式。 【答案】 变式10-2（填空·★★★★☆） 若关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是______。 【切入点】不等式可整理成 的最小值问题，而 在 上单调，最小值在端点。 【关键】 对任意 恒成立，等价于 。 的对称轴为 ，在 上单调递减，故最小值在 处取到，为 。所以 。 【易错】对称轴 在区间右侧，函数在区间上单调递减，所以最小值在右端点 处 —— 不要看到区间含 就去找趋近值。区间左端是开的、右端是闭的，最小值恰好落在闭的那一端。 【答案】 变式10-3（多选·★★★★☆） 关于的不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ） A. 可以是 B. 可以是 C. 可以是空集 D. 可以是 【切入点】 的解集形状只由 与判别式决定，把四种形状列清楚再逐项对号。 【关键】A 项：解集为单侧无界区间时只能是 且一次项系数大于零，此时解集为 ，要它等于 需 ，即 ，但 且 时解集为 ，不合，A 项错误。B 项：取 ，，则 的解集为 ，B 项正确。C 项：解集为空集需 且判别式 ；但 时 恒成立，故解集不可能为空，C 项错误。D 项：取 ，，则 ，即 ，解集为 ，D 项正确。故选 BD。 【易错】C 项的关键是 时 一定大于零 ——因为 本身就是正的，再加 更大，所以开口向下时一定有两个根，解集不可能是空集。A 项要想到 的退化情形，别只在二次函数里找。 【答案】BD 变式10-4（单选·★★★★★） 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【切入点】乘积 分段成立，关键是 的零点 同时必须是第二个因式的零点 ——否则符号会在该点发生突跳。 【关键】由 知 在 上为负、在 上非负。原式恒成立要求 上 ， 上 。由 处的取值必须为零得 ，即 。于是 。由基本不等式 ，当且仅当 时取等。故选 B。 【易错】 处必须为零，理由是两个因子在该点换号，若乘积在该点为负，恒成立立刻不成立。用基本不等式时取等条件 要回代检验为正，与题设 一致。 【答案】B 变式10-5（单选·★★★☆☆） 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】解集是一个开区间，说明开口向上且两根正是区间端点；把两根的和与积用韦达写出来，就能把 用 表示。 【关键】 的解集为 ，说明 且两根为 与 。由两根之积 得 ；由两根之和 得 。于是 。由 及基本不等式 ，得 ，最大值是 。故选 B。 【易错】解集是开区间说明两根都取不到，这与「 的解集是闭区间」不同；但不影响两根之和与积的写法。两根之积用 直接消掉，这是本题能一路算下去的关键。 【答案】B 变式10-6（解答·★★★★★） 已知。（1）若不等式 的解集为，求 的解析式；（2）若 ，，求关于 的不等式 的解集（结果用 表示）。 【切入点】第（1）问用「解集的端点就是两根」反推系数；第（2）问先分解再比较两根 与 的大小。 【关键】（1） 的解集为 ，说明二次项系数为正且两根为 与 。由 、 得 ，，故 。（2） 时 ，两根为 与 。 时 ，解集为 或 ； 时两根重合，解集为 ； 时 ，解集为 或 。 【易错】第（1）问由两根之积 直接得 ，这一步同时确认了开口向上（），与「小于零的解集是两根之间」一致。第（2）问分解后两根 与 的大小随 与 的大小变，分界点是 而不是 。 【答案】；当 时解集为 或 ，当 时解集为 ，当 时解集为 或 变式10-7（填空·★★★☆☆） 若a，，若对任意实数x，都有恒成立，则的最大值为_______。 【切入点】 等价于 且 ，把绝对值不等式拆成两条二次式恒成立，各自用判别式卡。 【关键】原式即 ，等价于下面两式同时成立： 与 。第一条整理为 ，需 ；第二条整理为 ，需 ，这要求 。于是 ，。记 ，，令 得 ，即 ，此时 。所以 的最大值为 。 【易错】绝对值不等式的等价改写是两条同时成立，不是任选一条 —— 漏一条就会把范围放大。第二条要求 ，即 ，这个隐含限制在求最值时决定了 的取值区间，不写出来会在 的无效区域上找最大值。 【答案】 变式10-8（多选·★★★☆☆） 已知关于的一元二次不等式的解集是，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 【切入点】解集是 ，说明 、两根为 与 ；把 ， 都用 表示后逐项验证。 【关键】由解集为 得 ，两根之和 ，即 ；两根之积 ，即 。A 项：，正确。B 项：，错误。C 项： 即 ，两边同除以负数 得 ，解集为 ，与选项相反，错误。D 项： 即 ，亦即 ，由 成立，正确。故选 AD。 【易错】B 项算 时注意 是负数， 的符号由 决定，。C 项两边同除 时要变号（），漏掉变号会把解集写反。 【答案】AD 学科网（北京）股份有限公司 $