练案8 第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

练案[8] 第三讲 函数的奇偶性与周期性 二、多选题 的A组基础巩固男 9.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中 一、单选题 为奇函数的是 () 1.（2026·山西质检)下列函数是偶函数的是 ( A.y=f(Ix) B.y=f(-x) A.y=sin x B.y=cos x C.y=xf(x) D.y=f(x)+x C.y=x D.y=3 10.(2025·青海海东三模)定义在R上的函数f(x)满 2.（2026·东北三省三校第一次联合模拟)已知函数 足f(x+1)=-f(x)(1)=π，则 () f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=e+x+m,则 A.f(11)=π 八-1)等于 B.f(8)=m A.e B.-e C.f(99)+f(88)=0 C.e+1 D.-e-1 D.2为f(x)的一个周期 3.已知f(x)=ax2+bx+c是定义在[6-1,2b]上的奇函数，11.设函数f(x)=2l+2,则下列说法错误的是(） 则a+b+c三 ( A.f(x)在(0，+∞)上单调递增 1 0.2 B.f(x)为奇函数 C.f(x)的图象关于直线x=1对称 4.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则 D.f(x)的图象关于点(1,0)对称 f(2026)等于 ( 三、填空题 A.-1 B.0 C.1 D.2 12.(2025·广东茂名二模)已知函数f(x)在R上单调 5.（2026·江西模拟)已知函数f(x)=（m- 5 cos x 5+1 递增，函数g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)+ 为奇函数，则m= ( g(x)=x,则g(x)可以是·（写出一个满足条 件的函数即可) A.5 B.4 2 D.1 13.(2026·重庆沙坪坝模拟)已知函数f八x)=sinx·(2 6.（2025·广东广州三模)已知奇函数f(x)和偶函数 +a·2)为偶函数，则实数a的值为 g(x)的定义域均为R,且满足g(x)=f(x)+e,则14.(2026·福建三明期中)已知奇函数f(x)在x≥0的图 [f(x)]2+[g(x)]2= ( 象如图所示，则不等式x·f(x)<0的解集是 A.1 B.-1 C.f(2x) D.g(2x) 7.（2025·山东济南二模)设f(x)为偶函数，当x∈ (0,+∞)时，f()=x-1,则使f(x)>0的x的取值范围 是 ( A.xlx>1 B.{xl-1<x<0 15.已知函数f(x),对Hx∈R满足f(1-x)=f(1+x), C.{xlx<-1或x>1} D.{xl-1<x<0或x>1 8.(2026·全国模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且满 f(x+2)=-f八x),且f(0)=0,则f(26)= 足f1+x)=-f(1-x),f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2] B组能力提升身 时)=am2+h,若0)+3)=5，则f(3)= :1.（2025·上海三模)下列函数中是奇函数的为() A.y=sinx·e B.y=x3-x2 7 B.5 1+x C.y=cos 2x D.y=log:1-x 293— 2设八x)是R上的偶函数，且在(0，+x)上是藏函数，6，(2026·四川绵阳高三模拟)已知函数x)= 若x1<0且x1+x2>0,则 ( 1+2是 A.f-x1)>f-x2) 定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=-1. B.f-x1)=f代-x2） (1)求函数f(x)的解析式； C.f-x,)<f(-x2) (2)判断函数f(x)在[-1,1]上的单调性，并用定义 D.f(-x)与f(-x2)的大小不能确定 证明； 3.(2026·江苏连云港模拟)设f(x)是定义在R上的函 （3)解不等式f(2)+f(t-1)>0. 数，若f(x)+x2是奇函数，f(x)+2是偶函数，则f(-1) 的值为 k日 c 0 4 4.（多选题)函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数， f(x+1)是偶函数，则 A.f(0)=1 B.f(x)是周期函数 C.f(x+3)为奇函数 D.f(x+5)为偶函数 5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关 于直线x=1对称 (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数： (2)若f八x)=x(0≤x≤1)，求当x∈[-5，-4]时，函数 f(x)的解析式. 的C组拓展应用（选作）男 (多选题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2) =-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函数.则下列命题正 确的是 () A.f八x)是周期函数 B.f(x)的图象关于直线x=1对称 C.f(x)在[1,2]上是增函数 D.f2)=f0) -294B组能力提升 1.AC由题意知x)在(0，+0)上是减函数，A中，)=上满足 要求；B中，fx)=(1-x)2在(0,1]上是减函数，在(1，+∞)上是 增函数；C中，f(x)=e是减函数；D中，f(x)=ln(x+I)是增函 数.故选AC 2.C由已知易得+1>0即-1<x<3f(x)=1log(x+1)+1g,(3 3-x>0, -x)=l0g0.s(-x2+2x+3),其定义域为(-1,3)，令t=-x2+2x+3, 则函数t在区间(1,3)上单调递减，又0<0.5<1，.f(x)在(1,3)》 上单调递增，故选C. 3.AB当x≤1时fx)=x+2是增函数，则此时f(x)≤f(1)=3, 当x>1时f(x)=-x2+3为减函数，则此时f(x)<-1+3=2,综上 f(x)的最大值为3，故A正确：0)=0+2=2，故B正确；当x≤1 时，由f(x)=-1时，得x+2=-1,此时x=-3≤1，成立，故C错 误：当x≤1时，f(x)=x+2是增函数，故D错误.故选AB. 4.(-0,0]（2,4]若对任意x1,x2∈R,且x1≠2都有 f代x2)-f（x1 x2-x1 <0,则fx)在R上是减函数，则？≤0，即a≤0，所 以实数a的取值范围为(-∞，0]；当a>0时，若f(x)在[-1，t) 上的做越为01则（号）-号号4，解得4=4或0=-一 (舍去)，又f(-1)=2,f(0)=f(4)=0,所以2<t≤4；当a≤0时， f代x)在[-1，t)上单调递减，则f(x)在[-1，t)上的最大值为 f-1)=2,不符合题意，所以实数t的取值范围为(2,4]. 5.[解析](1)证明：当a=1时，x)=3+1 3-11 由3-1≠0，得函数y=f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+0), 又f-x)=3+13+1 Γ311-3x), 所以函数f(x)为定义域上的奇函数 (2)当a<0时x)3-a1 2a 所以y=f(x)是单调增函数，fx)在[m,n](m<n)上的值域为 [声 3”+0-1 所以m)-。3n) 3+=-1 3-a3 3"+a1 324+3 则mn是3-。3的两个解，得a 1-3* 设1=1-3，则a=3+3-1-0+1-0=+2-3,K1 1-3* y=+2-3在(0,1)和(-2,0)上单调递减，(-0，-2)上单调 t 笔招，其中，=4+3在(0，）上位城为0，+0)， 在(-0,0)上值域为(-0，-2√2-3)且t=-√2取该区间最 大值， 综上，a<-3-22,即a的取值范围为(-∞，-3-22). (3)当a<0时，x)=3+0-142a 3*-a3-a f[log3(-a)-x]+f[log3(-a)+x] =1+ 2a -a33(-a*n 5 =2420+ 2a 3a -a·3*-a =242+ 2 3137 1 =2-2x32=0, 3+13+1 所以f代x)关于(log(-a),0)中心对称. C组拓展应用（选作） [解析](1)令x1=x2>0, 代入得f代1)=fx1)-f(x)=0, 故f(1)=0. (2)证明：任取x1,2e(0,+0),且x1>x2, 则>1，由于当x>1时f代x)<0, 所以货）k0,即)-)0. 因此f(x1)<f(x2), 所以函数f代x)在区间(0，+∞)上是减函数： (3)因为函数f(x)在(0，+∞)上单调递减， 所以不等式f(2x+1)>f(2-x)等价于 r2x+1>0. 1 2-x>0,解得- 23 2x+1<2-x, 练案[8] A组基础巩固 L.B对于A,因为sin(-x)=-sinx,所以函数y=sinx为奇函数， 故A不正确：对于B,因为cos(-x)=cosx,所以函数y=cosx为 偶函数，故B正确；对于C,因为(-x)3=-x3,所以函数y=x3为 奇函数，故C不正确：对于D,因为3，所以函数y=3”为非 奇非偶函数，故D不正确.综上所述，选B. 2.B因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=e°+0+m=0,解得 m=-1,f(-1)=-f1)=-(e+1-1)=-e.故选B. 1 3B依题意a=c=0,且2h+(6-1)=0,6=3,则a+6+c=3故 选B. 4.B由已知得，T=2,f代2026)=f(0)=0.故选B. 5.C函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，则f(-x)+fx)= (四)m(-+(口s0,面w不恒为0， 5·55 5 因此2m5+5+=0,所以m=2故选C 6.Dg(x)=f(x)+e,∴.g(-x)=f(-x)+e.f(x)是定义在R 上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，∴.g(-x)=g(x), f-x)=fx),f(x)+e=f(-x)+e=-f(x)+e,.f(x)= 2+e*=e'te 28(x)=f(x)+e='-e e-e 2.[f(x)]2+ ()+(）-产g2,产2 4 4 e+e -=g(2x).故选D. 2 7.C因为xe(0,+o)时，f(x)=x-1单调 递增，又因为f代x)为偶函数，故可以作出 (x)的图象如图所示，由图象可知，若 f(x)>0,则x<-1或x>1.故选C -/1 8.A因为f代1+x)=-f(1-x),所以f(x)= -f(2-x)①，则函数f代x)的图象关于点(1,0)对称.因为f(x+ 2)为偶函数，所以f(-x+2)=f(x+2)②，则函数f代x)的图象关 于直线x=2对称.由①②得fx+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+ 2)=),放f(x)的周期为4，所以f(号)=f(8+子) f(行）由-+1)=fx+1).令=0.得f1)=0,即a+6=0 ③.已知f(0)+f(3)=5,由函数f(x)的图象关于直线x=2对 称，得f3)=f(1)=0.又函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，得 f(0)=-f(2),所以f(0)+f(3)=-f2)=5,即f(2)=-5,所以 4如+2b=-5④.联立③④解得a=-5 2,故当xe[1,2] 时x)各+由)的图象关于点(1,0对称，可得 3)=(3)-[()(3)+x] 7 放选A 9.BD由奇函数的定义f(-x)=-f(x)验证，A项，f(I-xI)= f(IxI),为偶函数；B项，fL-(-x)]=f代x)=-f代-x),为奇函数：C 项，-f代-x)=-x·[-f代x)]=f(x),为偶函数：D项，f(-x)+ (-x)=-[f(x)+x],为奇函数.可知B、D正确. 10.ACD由f代x+1)=-f代x),得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),则2为 f代x)的一个周期，D正确：f(11)=f(1)=T,A正确：f(8)=f(0) =-f代1)=-T,B错误：f(99)+f(88)=f(1)+f(0)=0,C正确.故 选ACD. 11.ABDf代x)=2-1+2f2-x)=22)-1+2-(2-)=2+2 =f(x),即f(x)=f代2-x),即f代x)的图象关于直线x=1对称，故 C正确，A、D错误；：f(-1)≠-f1),∴f(x)不是奇函数，故B 错误. 12.x-x(答案不唯一）根据题意只要函数f(x)是R上单调递增 的奇函数即可符合题意，所以f(x)=x3,即g(x)可以是x-x3, 故答案为x一x(答案不唯一) 13.-1:y=sinx为奇函数，当函数f(x)=sinx·(2+a·2)为偶 函数时，函数g(x)=2+a·2为奇函数，所以g(0)=1+a=0, 解得a=-1.经验证符合题意. 14.(-2,-1)U(1,2)x·f(x)<0,则当x>0时，f(x)<0,结合 函数的图象可得1<x<2,当x<0时，f(x)>0,根据奇函数的图象 关于原点对称可得-2<x<-1,.不等式x·f(x)<0的解集为 (-2,-1)U(1,2) 15.0fx+2)=fx),f(x)的周期为4，.f(26)=f(2).:对 Hx∈R有f(1-x)=f(1+x),.∴.f代x)的图象关于x=1对称， ∴.f2)=f0)=0,即f(26)=0. B组能力提升 1.D对于A,im(-1）)·e=血l≠-(m1e),即x取-l,1时 e 的函数值不互为相反数，A不是；对于B,(-1)3-(-1)2=-2≠0 =-(1-1),即x取-1,1时的函数值不互为相反数，B不是；对 于C,y=cos2x是偶函数，且cos(2×0)=1≠0，即cos2x不恒为 55 0.C不是：对于D,函数y=bs芒的定义坡为(-1.，而 1+(--1o81+x 0告函数=停是奇晒数，D 1+x log21-(-x) 是.故选D. 2.A因为x1<0且x+x2>0,所以x2>-x>0,又因为f(x)在(0，+0) 上是减函数，且f(x)是R上的偶函数，所以f(-:2)=f(x2)< f代-x).故选A. 3.A由于函数y=f(x)+x2是奇函数，函数y=f代x)+2为偶函数， 所以-1)+1=-1)+1] f-1)+1=-1-f1), f-1)+2'=f1)+2, 即 1 -1)+2=1)+2 ，解得 -1)=4故选A 4.BD因为代x+1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x=1对 称，即f-x)=f2+x),又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所 以f-x)=fx)f0)=0,于是f(2+x)=f(x),即有f(4+x)= f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正 确：设g(x)=f(x+3),则g(-x)=f代-x+3)=f代-1+x)=f(x+3), 即g(x)=g(-x),所以f代x+3)为偶函数，C错误；设h(x)=f(x+ 5),则h(-x)=f-x+5)=fx-3)=f(x+5),即h(x)=h(-x),所 以f代x+5)为偶函数，D正确.故选BD. 5.[解析](1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x=1对称， 有f代x+1)=f1-x),即在f代-x)=f(x+2). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 故有f-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x). 从而f代x+4)=-f代x+2)=f(x), 所以f(x)是周期为4的周期函数. (2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)=0 当xe[-1,0)时， 即-x∈(0,1]，fx)=-f(-x)=--x 故xe[-1,0]时f(x)=-√-x. 当xe[-5,-4]时，x+4e[-1,0] fx)=f(x+4)=-√-x-4. 从而，x∈[-5，-4]时，函数fx)=-√-x-4 [解析]①)函数fx)是定义在-1，山上的奇函数，了 -)=a:a-x), 1+x21+x2 解得b=0, 1+,而1)=-1，解得a=-2, ..f(x)= ·f(x)=-2 +x2te[-1,1]. ②西数)在[-1，山上为减西教：证明如下 任意x1,x2e[-1,1]且x1<x2, 2x12x22(x1-x2)(1-1x2） 则fx1)-f(x2)= 1+x好1+x号(1+x)(1+x2) -1≤x1<2≤1，.x1-32<0,1-x1x2>0, ∴.f(x1)-fx2)>0,即f代x1)>f(x2), ∴.函数f(x)在[-1,1]上为减函数. 59 (3)由题意，不等式f(2t)+f(t-1)>0可化为f2t)>f(1-t), -1≤2t≤1， -1≤t-1≤1，解得0≤K3 1 2xl-t, 所以该不等式的解集为[0,3) 1 C组拓展应用（选作） ABD因为f(x+2)=-f代x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f代x),所以 f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数，故A正确；因为f(x+2)= -fx),所以f(-x+2)=-f(-x).又因为f(x)为奇函数，所以 f(2-x)=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称，故B 正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.因为 f(x)在[-1,0]上为增函数，且f(x)为奇函数，所以f(x)在 [0,1]上为增函数.因为f(x)关于直线x=1对称，所以f(x)在 [1,2]上为减函数，故C错误；因为f(x+2)=-f(x),令x=0得 f(2)=-f(0)=f(0),故D正确. 练案[9] A组基础巩固 1.A因为函数f(x)=(m-1)x2-2mx+3是偶函数，所以函数图象 关于y轴对称，即=0，解得m=0,所以fx)=一+3为开口 向下的抛物线，所以在(-∞，0)上函数单调递增，故选A 2.C.f(x)=x2-ax+1有负值，∴.△=a2-4>0,则a>2或a<-2. 3.D函数y=x“是幂函数，而y=ax是一次函数.选项A,直线对 应函数为y=x,曲线对应函数为y=x;选项B,直线对应函数为 y=2,曲线对应函数为y=x之；选项C,直线对应函数为y=-x, 曲线对应函数为y=x:选项D,直线对应函数为y=2x,曲线对 应函数y=x2.故D正确.故选D. 4.A由题意可得m+2m-2=L,m=-3或m=1, → m=1.故 lm+2>0 m>-2 选A 5.B因为函数f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,所以函数f(x)图 象的对称轴为直线x=2,且函数f(x)的最小值为f(2)=-7.令 f(x)=5,解得x=0或4，因为f(x)在区间[0，n]上的最大值为 5,最小值为-7，所以n的取值范围是2≤n≤4，故选B. 6.B对于A,二次函数的图象开口向下，所以a<0,此时g(x)=x“ 在(0，+∞)上单调递减，与图中符合；对于B,二次函数的图象 开口向上，所以a>0,此时g(x)=x“在(0，+∞)上单调递增，与 图中不符合；对于C,二次函数的图象开口向上，所以a>0,此时 g(x)=x“在(0，+∞)上单调递增，与图中符合；对于D,二次函 数的图象开口向上，所以a>0,此时g(x)=x“在(0，+∞)上单调 递增，与图中符合.故选B. 7.A当y=t时，由y=x3,得x=:由y=√x,得x=t:由y=二，得 =因为0K1,所以y=r是关于x的诚函数又-1<写2， 所以上>，所以1AC1=}-2.故选A 8.B因为f(x)>0的解集为(-1,3)，所以-2x2+bx+c=0的两个根 c =-1×3, 2 为-1,3，所以 b 得6=4，令g(x)=f八x)+m,则g(x) =-1+3, =-2x2+4x+6+m=-2(x-1)2+8+m.当x∈[-1,0]时，g(x)mm= m,因为g(x)≥4在[-1,0]上恒成立，所以m≥4.故选B. 56 9.BC根据幂函数的图象性质可知，当α<0时，幂函数不经过点 (0,0),A错误；当f(x)的图象经过点(-1，-1)时，f(-1)= (-1)“=-1,因为f(x)经过点(-1，-1)，所以a>0时，f(x)的定 义域为R,a<0时，f(x)的定义域为{x|x≠0}，都关于坐标原点 对称，又f代-x)=(-x)“=(-1)“x“=-x“=-f(x),所以f代x)为奇 函数，B正确：当f(x)的图象经过点(-1,1)时，f代-1)=(-1)“= 1,因为f(x)经过点(-1,1)，所以a>0时，f代x)的定义域为R,a< 0时，f代x)的定义域为{xlx≠0}，都关于坐标原点对称，又f(-x) =（-x)“=x“=f(x),所以f(x)为偶函数，C正确；当a>0时，f(x) 在(0，+∞)上单调递增，所以f(√3)>f代2)，D错误.故选BC. .9 4 10.ACD因为函数是幂函数，所以m+5=1,得m=-5,即f(x) =x号-2)=[(-2)5门于=(-2)=6故A正确：函数的 定义域是{xlx≠0}，故B不正确；：f(-x)=f(x),所以函数是 偶函数，故C正确；函数f(x)=x5在(0，+0)是减函数，不等 式f代x-1)≥f代2)等价于Ix-11≤2，解得-2≤x-1≤2，且x-1≠ 0,得-1≤x≤3，且x≠1，即不等式的解集是[-1,1)U(1,3], 故D正确.故选ACD. 11.BC函数y=x2-4x+1是开口向上，对称 轴为直线x=2的抛物线，因为函数的定 义域为[1，t],所以当x=1时，y=-2,当 21 x=2时，y=-3,因为在[1，t]内函数的最 =1=-2 大值与最小值之和为-5，所以当y=-2 时，x=1或x=3,所以2≤t≤3.故选BC. 122由题意可知m-m-1=1, 4m+3>0, 解得m=2,所以f(x)=x“代2)=2" 13)=分2+子或y=子-+弓因为二次函数的图象过点 3 1 (-3,0),(1,0),所以可设二次函数为y=a(x+3)(x-1)(a≠ 0),展开得y=a2+2ax-3a,顶点的纵坐标为12a-4 -=-4a, 由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2.所以1-4a|=2, 即a=分，所以二次函数的表达式为y=了+x-号或 3 [片 由题可设f(x)=x“,因为函数f(x)过点(9,3)，所 以9°=3，得a=2,所以函数代x)=x之，所以函数f代x)=x产是 定义在[0，+∞)上的增函数，所以若f(2a-1)<f(3-2a),则 1 r2a-1≥0， 1 3-2a≥0，→ ≤a<1,所以实数a的取值范围是 2a-1<3-2a a<1 [2 15.[解析](1)由题意知m2-3m+3=1,解得m=1或m=2, 当m=1时，幂函数y=x, 此时幂函数在(0，+0)上单调递减，符合题意： 当m=2时，幂函数y=x,