练案7 第二章 第2讲 函数的单调性与最值-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

练案[7] 第二讲 函数的单调性与最值 的A组基础巩固 7.(2025·江苏南通高三阶段练习)已知函数f(x)= ln(x2-ax)在(1,2)内单调递增，则实数a的取值范围 一、单选题 是 () 1.（2025·北京海淀三模)下列函数中，在(-0,0)上是 A.a≥2 B.a≥1 单调递增函数的是 ( C.a≤2 D.a≤1 =司 B.f(x)=e*+e 8.已知函数f(x)= fe*-e,x>O, 若a=5a01,b=l0g2,c= -x2,x≤0， CRt)=x D.f(x)=sinlxl 1og20.9,则有 ( 2.函数f(x)=x(x-1)的单调递减区间是 A.f(a)zf(b)zf(c) B.f(b)zf(a)zf(c) &(a,) C.f(a)zf(c)zf(b) D.f(c)zf(a)zf(b) A.(-0,0) 二、多选题 c(3) D.(1,+∞) 9.已知f(x)是定义在[0，+)上的函数，根据下列条件， 可以断定f(x)是增函数的是 () 3已知函数)气则：)在区间2,6上的能大值 A.对任意x≥0，都有f(x+1)>f(x) B.对任意x1,x2∈[0，+)，且x1≥2，都有f(x1) 为 ( 号 ≥f(x2) B.3 C.4 D.5 C.对任意x1,x2∈[0，+∞)，且x1-x2<0,都有f(x1)- 4.（2026·江苏南通模拟)已知函数∫(x)= f(x2)<0 [x2+2x,x<0, D.对任意x1,x2∈[0，+∞)，且x1≠x2,都有 在区间(-1，+∞)上单调递增，则a的 ln(x+a),x≥0 f(x,)f(x2 ->0 取值范围是 ( X1-X2 A.(0,+0) B.[0,+∞) 10.(2025·广东省名校联考改编)设函数f八x)在R上 C.(0,1] D.[1,+) 为增函数，则下列结论中不正确的是 5.(2026·四川绵阳模拟)已知f(x)是定义在R上的偶 在R上为减函数 函数，且在区间(-∞，0)上单调递减，若实数a满足 B.y=f(x)1在R上为增函数 f(2a-")>f(-√2)，则a的取值范围是 ( ) C.y=logf(x)在R上为减函数 4(,） D.y=2在R上为减函数 B合】 11.关于函数y=√4-(x+1)2,下列说法正确的是( A.在区间[-1,0]上单调递减 c份》 B.单调递增区间为[-3，-1] C.最大值为2 n.(,）u(3+x）】 D.没有最小值 6.已知函数y=f(x)的定义域为R,对任意x1,x2且x1≠ 三、填空题 (x1)f(x2 12.已知函数f(x)=x2-2ax-3在区间[1,2]上不具有单 x2,都有 >-1,则下列说法正确的是 X1一X2 调性，则实数a的取值范围为 ）13.设函数f(x)= -x2+4x,x≤4， 若函数f(x)在区间(a, A.y=f(x)+x是增函数 [log2x,x>4, B.y=f(x)+x是减函数 a+1)上单调递增，则实数a的取值范围是 C.y=f(x)是增函数 14.(2026·滁州模拟)函数f(x)=√x-3+√x2-x-12的 D.y=f八x)是减函数 最小值为 —291 四、解答题 3'+a 15.已知函数fx)= 5.已知函数八x)=3-。aeR x-3 （1)当a=1时，证明：f(x)为奇函数； (1)试判断f(x)在[1,2]上的单调性； (2)当a<0时，函数f(x)在[m,n](m<n)上的值域为 (2)求函数f(x)在[1,2]上的最值. 【分，子]求e的取值范用： (3)当a<0时，证明：f(x)为中心对称函数. 的B组能力提升男 C组拓展应用（选作）男 1.（多选题)函数f(x)中，满足“对任意x1,x2∈(0， +0),都有 f(x2)-f(x1 已知定义在(0，+x)上的两数八x)满足：①/（使） >0”的可以是 ( x1-X2 f(x1)f(x2);②当x>1时，fx)<0. 1 (1)求f(1)的值； A.f(x)=- B.f(x)=(1-x)2 (2)证明：函数f(x)为减函数： C.f()=el D.f(x)=In(x+1) (3)求不等式f(2x+1)>f(2-x)的解集， 2.函数f(x)=loga.5(x+1)+loga.5(3-x)的单调递增区间 是 ( A.(3,+) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-∞，-1) 3.（多选题)(2026·贵州黔东南高一期末)已知函数 f(x)= [x+2,x≤1， 1-x2+3,x>1, 关于函数f(x)的结论正确的是 A.f八x)的最大值为3 B.f0)=2 C.若f(x)=-1,则x=2 D.f(x)在定义域上是减函数 4.已知函数f(x)= -t,x≥0若对任意1，∈R,且 -2x,x<0. x1≠x2都有 (x2)-f(x) <0，则实数a的取值范围 X2一X1 为 ;若f(x)在[-1，t)上的值域为[0,4]，则实 数t的取值范围为 —292练案[7] A组基础巩固 1.A因为<0，代x)=- 二在(-，0)上单调递增，故A正 确x)=c+e,当<0时，f(x)=c-e=l<0,所以f(x) e =e+e在(-o,0)上单调递减，故B错误：f(x)=x=厂的定 义域为R,f代-x)=(-x)2==f(x),所以f(x)为偶函数， 因为号>0，所以由幂函数的性质知x)=子在(0，+)上单调 递增，由偶函数的性质可得f(x)=x3在(-∞，0)上单调递减，故 C错误；当x<0时，f代x)=sin(-x)=-sinx,由y=sinx的单调性 知，y=sinx在(-o,0)不具备严格的单调性，所以f(x)=sinlxl 在(-∞，0)上不具备严格的单调性，故D错误.故选A. 2Bf=()(≥0)：由函数x)的图 -x(x-1)(x<0), 象得减区间为(0，）故选B 3.Cf(x)= 2=2+,乙可知)在2,6上单调递减，因此当 =2时取得最大值4，故选C. 4.D当x<0时，f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,其在(-1,0)上单调递 增，若f(x)在(-1，+∞)上单调递增，. 「a>0, .a≥1.故 lna≥0， 选D. 5.D因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(-∞，0)上单 调递减，所以fx)在区间(0，+0)上单调递增，因为2">0， -2)=,所以2>万=2，所以1a-1>3,即a-1< 弓或a-1>,解得a<或a>了，所以a的取值范图是 3 (号)u(房）敢选山 6A不妨令x<x5<0,西)f >-1fx1)-f(x2) x1-x2 <-(x1-x2)曰→f代x1)+x1<f(x2)+x2,令g(x)=f(x)+x,∴.g(x1)< g(2）,又x<x2,.g(x)=fx)+x是增函数 7.D设t=x2-ax,因为y=lnt为(0，+o)上的增函数，而f(x)= n(x2-ax)在(1,2)内单调递增，故t=x2-ax为(1,2)内的增函 数，且>0在(1,2)内恒成立，放2≤1故a≤1，故选D [1-a≥0. 8.Af(x)=e-e"在(0，+∞)上单调递增，且此时f(x)>0.f(x) -x2在(-∞，0]上单调递增，所以f代x)在R上单调递增.c= log0.9<0,又b=log2,所以0<b<1,a=50o1>1,即a>b>c,所以 f(a)>fb)>fc),故选A. 9.CD根据题意，依次分析选项：对于选项A,对任意x≥0，都有 f(x+1)>代x),不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选 项B,当f(x)为常数函数时，对任意1，x2∈[0，+0)，都有 f(x)≥x2),不是增函数，不符合题意；对于选项C,对任意 x1,x2e[0,+∞），且x1-x2<0,都有f(x1)-f(x2)<0,符合题意； 对于选项D,对任意[0，+o),设>，若) x1一x2 59 0,必有f(x1)-f(x2)>0,则函数在[0，+∞)上为增函数，符合 题意. 10.ABC对于A、B若f代x)=x,则A、B都错：对于C,当f(x)<0时 无意义；对于D,y=2)= (日)》（付），合 函数y=（2) 是减函数，故选ABC. 11.ABC由4-(x+1)2≥0得-3≤x≤1，即函数y=√4-(x+1)7 的定义域为[-3,1].令t=4-(x+1)2,则t=4-(x+1)2的图象 是开口向下、对称轴为x=-1的抛物线，所以函数t=4-(x+1)2 在[-3，-1]上单调递增，在[-1,1]上单调递减.又y=F单调递 增，所以y=√4-(x+1)产在[-3，-1]上单调递增，在[-1,1]上 单调递减，故A,B正确；ymm=√4-(-1+1)7=2，当x=-3时， y=√4-(-3+1)2=0，当x=1时，y=√4-(1+1)7=0，则ymm= O,故C正确，D错误.故选ABC. 12.(1,2)函数f(x)=x2-2ax-3的图象开口向上，对称轴为直线 x=a,函数在(-o,a]和[a,+o)上都分别具有单调性，因此要 使函数f(x)在区间[1,2]上不具有单调性，只需1<a<2. 13.(-0,1]U[4,+0)由已知可得fx) 的图象，增区间为(-0,2)和(4，+0)， 因此，a+1≤2或a≥4.故ae(-∞，1]U 02 [4,+0). 141由-3≥0， 得x≥4，即f(x)的定 x2-x-12≥0， 义域为[4，+0)，因为y=√x-3与y=√2-x-12在[4，+0)上 都单调递增，所以f(x)在[4，+∞)上单调递增，当x=4时， f代x)取得最小值1. 15.[解析](1)解法一：任取x1,x2e[1,2],且x1<2, 则f(x2)-fx)= x2-3x1-3 -(-3)-(2-3) (x2-3)(x1-3) （x2-x1)[x1x2-3(x1+x2)] (x2-3)(x1-3) (x2-x1)[(x1-3)(x2-3)-9] (x2-3)(x1-3) 1,x2∈[1,2]， ∴.-2≤x2-3≤-1，-2≤x1-3≤-1， .1≤(x2-3)(x1-3)≤4，∴.(x1-3)(x2-3)-9<0. 又x2-x1>0,(x2-3)(x1-3)>0, )[(a-3)(x,-3)-9 20 (x2-3)(x1-3) 即f(x2)<f(x1). .f(x)在[1,2]上为减函数. 解法二代x)= Γx-31 ÷f()=24(x-3)--(-6) (x-3)2(x-3)2, 1≤x≤2，f'(x)<0,fx)在[1,2]上为减函数. (2)由(1)知f(x)在[1,2]上为减函数， 4 f代)m=2)=2-3-4, 11 )m=1)=32 B组能力提升 1.AC由题意知x)在(0，+0)上是减函数，A中，)=上满足 要求；B中，fx)=(1-x)2在(0,1]上是减函数，在(1，+∞)上是 增函数；C中，f(x)=e是减函数；D中，f(x)=ln(x+I)是增函 数.故选AC 2.C由已知易得+1>0即-1<x<3f(x)=1log(x+1)+1g,(3 3-x>0, -x)=l0g0.s(-x2+2x+3),其定义域为(-1,3)，令t=-x2+2x+3, 则函数t在区间(1,3)上单调递减，又0<0.5<1，.f(x)在(1,3)》 上单调递增，故选C. 3.AB当x≤1时fx)=x+2是增函数，则此时f(x)≤f(1)=3, 当x>1时f(x)=-x2+3为减函数，则此时f(x)<-1+3=2,综上 f(x)的最大值为3，故A正确：0)=0+2=2，故B正确；当x≤1 时，由f(x)=-1时，得x+2=-1,此时x=-3≤1，成立，故C错 误：当x≤1时，f(x)=x+2是增函数，故D错误.故选AB. 4.(-0,0]（2,4]若对任意x1,x2∈R,且x1≠2都有 f代x2)-f（x1 x2-x1 <0,则fx)在R上是减函数，则？≤0，即a≤0，所 以实数a的取值范围为(-∞，0]；当a>0时，若f(x)在[-1，t) 上的做越为01则（号）-号号4，解得4=4或0=-一 (舍去)，又f(-1)=2,f(0)=f(4)=0,所以2<t≤4；当a≤0时， f代x)在[-1，t)上单调递减，则f(x)在[-1，t)上的最大值为 f-1)=2,不符合题意，所以实数t的取值范围为(2,4]. 5.[解析](1)证明：当a=1时，x)=3+1 3-11 由3-1≠0，得函数y=f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+0), 又f-x)=3+13+1 Γ311-3x), 所以函数f(x)为定义域上的奇函数 (2)当a<0时x)3-a1 2a 所以y=f(x)是单调增函数，fx)在[m,n](m<n)上的值域为 [声 3”+0-1 所以m)-。3n) 3+=-1 3-a3 3"+a1 324+3 则mn是3-。3的两个解，得a 1-3* 设1=1-3，则a=3+3-1-0+1-0=+2-3,K1 1-3* y=+2-3在(0,1)和(-2,0)上单调递减，(-0，-2)上单调 t 笔招，其中，=4+3在(0，）上位城为0，+0)， 在(-0,0)上值域为(-0，-2√2-3)且t=-√2取该区间最 大值， 综上，a<-3-22,即a的取值范围为(-∞，-3-22). (3)当a<0时，x)=3+0-142a 3*-a3-a f[log3(-a)-x]+f[log3(-a)+x] =1+ 2a -a33(-a*n 5 =2420+ 2a 3a -a·3*-a =242+ 2 3137 1 =2-2x32=0, 3+13+1 所以f代x)关于(log(-a),0)中心对称. C组拓展应用（选作） [解析](1)令x1=x2>0, 代入得f代1)=fx1)-f(x)=0, 故f(1)=0. (2)证明：任取x1,2e(0,+0),且x1>x2, 则>1，由于当x>1时f代x)<0, 所以货）k0,即)-)0. 因此f(x1)<f(x2), 所以函数f代x)在区间(0，+∞)上是减函数： (3)因为函数f(x)在(0，+∞)上单调递减， 所以不等式f(2x+1)>f(2-x)等价于 r2x+1>0. 1 2-x>0,解得- 23 2x+1<2-x, 练案[8] A组基础巩固 L.B对于A,因为sin(-x)=-sinx,所以函数y=sinx为奇函数， 故A不正确：对于B,因为cos(-x)=cosx,所以函数y=cosx为 偶函数，故B正确；对于C,因为(-x)3=-x3,所以函数y=x3为 奇函数，故C不正确：对于D,因为3，所以函数y=3”为非 奇非偶函数，故D不正确.综上所述，选B. 2.B因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=e°+0+m=0,解得 m=-1,f(-1)=-f1)=-(e+1-1)=-e.故选B. 1 3B依题意a=c=0,且2h+(6-1)=0,6=3,则a+6+c=3故 选B. 4.B由已知得，T=2,f代2026)=f(0)=0.故选B. 5.C函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数，则f(-x)+fx)= (四)m(-+(口s0,面w不恒为0， 5·55 5 因此2m5+5+=0,所以m=2故选C 6.Dg(x)=f(x)+e,∴.g(-x)=f(-x)+e.f(x)是定义在R 上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，∴.g(-x)=g(x), f-x)=fx),f(x)+e=f(-x)+e=-f(x)+e,.f(x)= 2+e*=e'te 28(x)=f(x)+e='-e e-e 2.[f(x)]2+ ()+(）-产g2,产2 4 4 e+e -=g(2x).故选D. 2