练案5 第一章 第5讲 一元二次不等式及其解法-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

当且仅当a=b=0时取等号，故C正确：因为a2+1≥2a,b2+1≥ 2b,所以a2+1+b2+1≥2a+2b,即a2+b2≥2(a+b-1),当且仅当 a=b=1时取等号，故D正确.故选ACD. a+b 0.ABD因为正数a,b满足a+b=1.ab≤)汀=4，当且仅 当a=6=2时取等号，山取得最大值，故A正确： 11 a b a 2a+6≥2+2,6.a 三+6++6=2+6+只、 2√合·4，当组仅当日 a+6=1,即a=6=之时取等号，。取得最小值4，放B正确： a b 由A知ab有最大值子，则a而有最大值？，则(a+5)2=a+ +2瓜=1+2瓜≤2，当且仅当a6=2时取等号，后+6取 得最大值2，放C错误：d+6=(a+6)户-26=1-2≥分，当且 仅当a=6=之时取等号。2+状取得最小值了放D正确放 选ABD. 11.AC由ab=2a+b≥22ab,所以(ab)2≥8ab,所以ab≥8，当且 仅当2a=b=4时等号成立，故A正确，B错误；又ab=2a+b→ 日+会=1a*8=a+6(日号)=3+女+会=3+ 1,2 2√会·云2.当且仅当台会即6=a时等号成 立，即6=2a,解得a=2+1,6=2+2,故C正确，D错误 lab=2a+b, 故选AC 123自题设82仁名么3当业仅当如-6 时等号成立 13.(1)6(2)6 (1)x>2.x-2>0.x+ 4 22+ 4 22全 4 24+2=6,当且仅当x-2= 2即x=4时“”成立心x+ 的最小值为6. (2):x≥4x-1≥3.令x1=≥3，函数y=+4在[3，+0)上 单调递增当-1=3，即=4时，y(x1）+1有最小值 16 3 19因为a6eRa61,&。+合（日）4a6)-5 台名=52V合否9当且仅当片 b 4a 。=6,结合4如+6=1， 了时等号皮立所以芒+日≥9，即总的限 即as 'a+b 小值为9. 154 522+1 5xy+y=1,…y≠0且2=1 512 +y= 14y22 14y2 3 5+≥2/·4=当耳仅当5，即10 户=时取等号的最小值为子 59 B组能力提升 1D-片s2V瓜222d2a log,2=1,.最小值为1，此时a=b=√2 2B1gm-g10-2所以1gm·1gn=2.又因为m>1,>1,所 Ig n Ig n 以lgm>0,lgn>0,则lg(mn)=lgm+lgn≥2√gm·lgn=22, 当且仅当m=n=10F时取等号，所以mm≥102E,故选B. 3.BC因为2+，2-灯=(x+2-3=1,且灯≤+)，所以(+ 4 列-3≥(2=*，故y≤4，当且仅 当x=y时等号成立，即-2≤x+y≤2，故A错误，B正确；由y≤ 得1-即y2.当且仅当 x2+y1 时等号成立.故C正确，D错误.故选BC. 4.B因为x+y=xy,即xy-x-y+1=1,即(x-1)(y-1)=1,且x>0, 0则11则月2日 220,当且议当，时周e1 x-1y-1 2 +2时，等号成立，所以，十，二的最小值为2.故选B. 3+2√2 5. 9 由题意，得(a+2)+ 名=9，则在2+6 o*2]）-26a*2*2]- 93+2,当组仅当6(a+2)=万，且a+2=7,即a=9万 11,6=2+2 时，等号成立所以26的最小值是号2 9 C组拓展应用（选作） D正数a,b,c满足2a+b+3c=8,故2(a+c)+(b+c)=8,令a+c m,6+c=n,放2m+n=8,m>0,n>0.a+6+2c+1-0+c+6+c+1 b+c a+c b+c atc aL+1=m+L+1-8=n+L+1=4+L+1,4+L b+ca+c n m 2n m m 2'n m (+）)(2m+)=(婴4+2+）=(- 2√-·日）3“2当组仅当六即m454n=16 n m 8时，等号成立，故+6+2c+1=4+1+1≥3+221 +eta+en+m+2≥ 4 2 5+25.故选D. 4 练案[5] A组基础巩固 1.A根据函数的开口方向和根的判别式，即可得出正确的选项 A选项，开口向下，不可能为空集，故A选项符合题意；B选项， 开口向上，△=9-4×2×4=-23<0，解集为空集，故B选项不符合 题意：C选项，开口向上，△=9-4×10=-31<0，解集为空集，故C 选项不符合题意；D选项，开口向上，△=4-4×3=-8<0，解集为 空集，故D选项不符合题意.故选A. 63 2.D不等式(x+5)(3-2x)≥6可化为2x2+7x-9≤0，所以(2x+ 9(-)≤0，解得号≤61所以不等式(x+5)(3-2x)≥6的 9 解集是{之≤x≤小放选D 3.B不等式(m-x)(n+x)>0可化为(x-m)·(x+n)<0,因为m+n >0,所以m>-n,所以原不等式的解集为{xl-n<x<m},故选B. 4.D≥0可得(4=x0(2x+3)≥02x+3≠0).即(-4(2： +3)≤0(2x+3≠0)，解得-3<x≤4，即不等式的解集为 {子<≤4}故选Dn 5.C因为关于x的不等式a2+bx-2>0的解集是(。，-2），所以 a<0且<-2，解得-a<0,所以a的取值范围是（之0） 故选C. 6.B当a=0时，解得>2，不满是条件：放u0,关于x的不等 式2ax2-4x<ax-2可得2ax2-(4+a)x+2<0,所以(2x-1)(ax-2) <0,即a(2-D(2)<0,方程(2x-)(x-名)=0的两根 为=分=子当0时，不等式可化为(2-少（名）少 0=子=子<0，解失为(-，召)U(分，+），不满足 1 条件：当a0时，不等式可化为(2x-1)(x-子)<0，当> 时则宁子即4，不等式的解类为（会）要使不等式 22a 有且只有一个整数解，则-1≤2<0，又因为a>0,不满足条件： 当=%时，则子，即a=4,不等式的解架为空朱，不满足 条件，当时则宁名即0a<4,不等式的解华为（行 1 名)，要使不莎式有且只有-个笔数解则1<子≤2.解得1心 <2,故实数a的取值范围是[1,2).故选B. 7.A因为关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，即x2-4x +a2-3a≤0在R上有解，只需y=x2-4x+a2-3a的图象与x轴有 公共点，所以4=(-4)2-4×(a2-3a)≥0，即a2-3a-4≤0，所以 (a-4)(a+1)≤0，解得-1≤a≤4，所以实数a的取值范围是 {al-1≤a≤4}. 8C原不等式可化为a≤品设f) x+则f() 2-24-41220话2=2，当仅 4 x+1 当1，即=1时等号皮立，函数)有最小值为2因为 a≤f代x)恒成立，所以a≤2. 9.BCD对于A,2x2-x-1=(2x+1)(x-1),.由2x2-x-1>0得 (2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-2,不等式的解集为 59 {>1或}放A错误：对于B,-6-+2≤06+ 2≥0，(2x-1)(3x+2)≥0，≥)或x≤-3故B正确； 对于C,由题意可知-7和-1为方程ax2+8ax+21=0的两个根， -7×(-1)=2 。心a=3,故C正确：对于D,依题意g,1是方程 x2+x-2=0的两根，9+1=-p,即p+g=-1,故D正确. 10.AD当a=0时，不等式为2x-8>0,解得x>4,故选项A正确： ra<0, 由ax2+(2-4a)x-8>0可得(ax+2)·(x-4)>0,当2，即 <4, a ra<0, -时.不等式的解集为{名4小：当三4，即 ->4. a a0时，不等式的解集为4e<}:当a=分时， 名+，此时不等式的解集为☑，故选项B,C不正确，选项D 正确.故选AD. 11.ABD将不等式转化为方程，再利用图象即可求解.ax2+bx+c> 0的解集是(-1,2)，则a<0,A正确；由题意知令f(x)=ax2+bx tc,由f(x)=aax2+bx+c>0的解集是(-1,2)，可得f1)=a+b+c> 0,B正确；由题意知ax2+x+c=0的解是x=-1,2,则由韦达定 理得6=-1，二=-2，即bx2+x+3a>0变为-a2-2ax+3a>0,即 x2+2x-3>0,即x<-3或x>1,关于x的不等式bx2+cx+3a>0解 集为(-∞，-3)U(1,+∞)，C错误，D正确.故选ABD. 12.(1,3)原不等式转化为(x-1)·（x-3)<0,解得1<x<3,则其 解集为(1,3) 13.(-2,1)由题千知，不等式ax+b<0的解集为(-0，-1)，可得 到a代人一元二次不等式得(a-a(x+2)<0=a(x-）(: a>0, +2)<0,由于a>0,所以(x-1)(x+2)<0,即-2<x<1.故答案为 (-2,1. 14.(-2,2]原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0,当m=2 时，对xeR,不等式恒成立；当m≠2时，则有 「m-2<0, 、解得-2<m<2.综上所述，实数m L4=4(m-2)2+16(m-2)<0 的取值范围是(-2,2]. 15.1由题意得集合A=xIx<-1或0<x<1},因为A∩B=⑦， AUB=I,所以B={xl-1≤x≤0}，则-1+0=-m,-1×0=n,解得 m=1,n=0,所以m+n=1. 16.tt≤-2}不等式-2x2+bx+c>0的解集是{xl-1<x<3}, 3和-1是方程-22+bc+c=0的两根3-1=号，-1×3= 7,解得6=4，c=6.对任意xexl-1≤x≤0时，-2x2+bx+ t≤4恒成立，即任意xexl-1≤x≤0}，t≤(2x2-4x-2),因 为2x2-4x-2=2(x-1)2-4,在x∈[-1,0]内，当x=0时取最小 值-2，所以t的取值范围为tt≤-2}. B组能力提升 1.D因为a>1,所以1-u<0,a>。,原不等式可化为(x-a)( 日）0解年为(）ua,t) 2.A令g(x)=ar2+br+c,则f(x)=】 g(行，由图可得方程g(x)=0 的两根为2和4，则g(x)=a(x-2)(x-4),又由图象知f(3)=1, 即1 g(3)1,则(3)=1，所以ax(3-2)x(3-4)=1,解得a=-, 所以g(x)=-(x-2)(x-4)=-x2+6x-8,所以b=6,c=-8,则a+b +c=-1+6-8=-3.故选A. 3.C由于ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集为(-4,1)，故-4,1是 a<0, b -4+1= 方程ax2+bx+c=0的两个实数根，故 a'即b=3a,c= -4-9 -4a,a<0,因此+9-16a+9 a+b 4a 4+9 ,由于a<0,则-a>0,故 49 2( )=6,当且仅当a=-3取等号，故 -4a 4 4+6≤-6，放选C c2+9 4.C令fa)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,则当a∈ [-1,1]时，不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立可转化为f(a)> 0在[-1,1]上恒成立.所以 -1)>0,即 f1)>0, -(x-2)+x2-4x+4>0 解得x<1或x>3,即 x-2+x2-4x+4>0. 整理得-5+60 x2-3x+2>0, x的取值范围为(-，1)U(3,+∞).故选C. 5.[解析](1)因为ax2+4x+3>0的解集为{xb<<1}, 所以x=1与x=b是方程ax2+4x+3=0的两根，且a<0, 将x=1代入ax2+4x+3=0,得a+4+3=0,则a=-7, 所以不等式ax2+4x+3>0为-7x2+4x+3>0, 转化为(x-1)(7x+3)<0, 所以原不等式解集为{弓<}，所以6=- 3 7 所以a=-7,6=-7 3 (2)因为f代x)=ax2+4x+3,所以由f(x)>-ax-1得ax2+4x+3> -ax-1,整理得ax2+(a+4)x+4>0,即(ax+4)(x+1)>0, 当a=0时，不等式为4x+4>0,故不等式的解集为xlx>-1}; 当a≠0时，令(ax+4(x+10=0,解得x或x=. 当a<0时，-4-(-1)=a=4>0,即-4>-1，故不等式的解集 为{-<a} 当0a4时，1，故不等式的解集为<： 4 当@=4时，41，不等式为(x+10,故其解集为xx≠- 当心4时，-4>-1，故不等式的解集为 0 {成 综上：①当a<0时，原不等式解集为 ②当a=0时，原不等式解集为{xlx>-1}; 59 ③当0<a<4时，原不等式解集为 ④当a=4时，原不等式解集为{xlx≠-1}； ⑤当a>4时，原不等式解集为 {1或>- 41 a C组拓展应用（选作） 1B若关于的不等式点款<0的解年为(1，写)U (宁小则跌于：的不等式。品0可看成前者不等式 中的x用上代人可得，则e(-1,号)U(分1)则xe (-3,-1)U(1,2).故选B. 2.-4设t=2a+b,原题转化为求t的最小值，原不等式可化为对 任意的-2≤≤2,2+(4-2a)ra-1≤0，不妨代人=-7得 42(t-2)-a-1≤0，得≥-4，当1=-4时，原不等式可化为 11 -42-10.即-2+分41）门0 察可知，当a=0时，-(2x+1)2≤0对-2≤x≤2一定成立，当且 仅当x=取等号，此时，a=0,6=-4,说明1=-4时，a,6均可 取到，满足题意，故t=2a+b的最小值为-4. 练案[6] A组基础巩固 LB要使函数)三有意义，则二0解得≥4且x≠ x-5≠0， 5,故函数f(x)的定义域为[4,5)U(5,+∞).故选B. 2.C判断相同函数.对于A,因为f(x)的定义域为(0，+∞)， g(x)的定义域为R,两函数定义域不相同，所以不是相同函数， 故A错误：对于B,因为f(x)和g(x)的对应关系不一致，所以不 是相同函数，故B错误；对于C,因为f(x)和g(t)的定义域都为 R,且f(x)=√=xl,g(t)=Itl,对应关系一致，所以是相同函 数，故C正确；对于D,因为f(x)的定义域为R,g(x)的定义域 为xx≠0}，两函数定义域不相同，所以不是相同函数，故D错 误.故选C 3.C令f(x)=x2=9,则x=±3，则满足条件的f(x)有f(x)=x2, xe{3}f(x)=x2,xe-3}:f(x)=x2,xe{-3,3},故满足条件 的f(x)有3个.故选C. AD图为已西数代-8新以3--9四 f几f代3)]=f代-9)=1-91=9，故选D. 5.C函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2}，值域为N= {yl0≤y≤2}，可知A图象定义域不满足条件；B图象不满足函 数的定义域和值域；C图象满足题目要求；D图象不是函数的图 象.故选C 6.A因为函数y=f(2x-1)的定义域是[-1,3]，所以x∈[-1,3]， 2x-1e[-3,5],所以y=f(x)的定义域为[-3,5]，又因为x+2> 0,即心-2，所以-2<x≤5，所以函数)y=）的定义域为(-2， √/x+2 5].故选A. 5练案[5] 第五讲 一元二次不等式及其解法 7.已知关于x的不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解，则 的A组基础巩固 实数a的取值范围是 () 一、单选题 A.{a1-1≤a≤4 B.{al-1<a<4} 1.下列四个不等式中，解集不为☑的是 ( C.{ala≥4或a≤-1} D.{al-4≤a≤1 A.-x2+x+1≤0 B.2x2-3x+4<0 8.若不等式a(1+x)≤x2+3对于x∈[0，+0)恒成立，则 C.x2+3x+10≤0 D.x2-2x+3<0 实数a的取值范围是 () 2.不等式(x+5)(3-2x)≥6的解集是 ( A.[0,3] B.[0,2] 1或≥} C.(-∞，2] D.(-o,3] 二、多选题 R{1≤ 9.下列四个解不等式，正确的有 c{≤或≥ A.不等式2x2-x-1>0的解集是{xlx>2或x<1} n9ss B不等式-6r-x+2<0的解集是≤号或≥引 C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{xl-7<x<-1}, 3.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集 那么a的值是3 是 ( D.关于x的不等式x2+px-2<0的解集是(9,1)，则 A.{xlx<-n或x>m B.xl-n<x<m p+q的值为-1 C.{xlx<-m或x>n D.{x|-m<<n 10.解关于x的不等式ax2+(2-4a)x-8>0,则下列说法 4(2026·陕西西安)不等式5≥0的解集为（ 中正确的是 () A.当a=0时，不等式的解集为xx>4} {≤或4 B.当a<0时，不等式的解集为x 4或 C{<2或x≥4} 5.（2026·黑龙江大庆模拟)若关于x的不等式ax2+bx C当a<0时，不等式的解集为<4 2>0的解集是（行，-2），则a的取值范围是 ( D.当a= 2时，不等式的解集为② (x,) 11.若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列说法 正确的是 () B(子+w】 A.a<0 B.a+b+c>0 c() C.关于x的不等式bm2+cx+3a>0解集为(-3,1) D.关于x的不等式bx2+cx+3a>0解集为(-∞，-3)U D.(20)u(o,+✉） (1,+0) 6.(2025·陕西渭南二模)若关于x的不等式2ax2-4x<三、填空题 ax-2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是 ( 12(2025·上海卷)不等式0的解集为 A.(1,2] B.[1,2) 13.(2025·上海模拟)ax+b<0的解集为(-0，-1)，则 C.(0,2) D.(0,2] (ax-b)(x+2)<0的解集为 —287 14.（2026·甘肃兰州模拟)若不等式mx2+2mx-4<2x2+5.已知函数f(x)=ax2+4x+3. 4x对任意x∈R都成立，则实数m的取值范围是 （1)若关于x的不等式ax2+4x+3>0的解集为 {xlb<x<1},求a,b的值； 15.（2026·辽宁模拟)已知集合1={xlx<1{,A={x|x3< (2)求关于x的不等式f(x)>-ax-1的解集. x,B={xlx2+mx+n≤0}，若A∩B=☑，AUB=,则 m+n= 16.已知不等式-2x2+bx+c>0的解集是{xl-1<x<3},若 对于任意x∈{xl-1≤x≤0}，不等式-2x2+bx+c+t≤4 恒成立，则t的取值范围是 B组能力提升 1设a>1,则送于x的不等式1o(a0的解集 是 A(-x,a)U(，+x） B.(a,+o) c(.) D.(-)U(a.z) 1 2.(2026·四川广元)已知函数f(x)= ，一的部分图 ax2+bx+c" 们C组拓展应用（选作）男 象如图所示，则a+b+c= ( )1.对于问题：“已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集 为(-1,2)，解关于x的不等式ax2-bx+c>0”,给出如 下一种解法： 解：由ax2+bx+c>0的解集为(-1,2)，得a(-x)2+ b(-x)+c>0的解集为(-2,1)，即关于x的不等式ax2- bx+c>0的解集为(-2,1). A.-3 B.-6 C.13 D.1 参考上述解法，若关于x的不等式人+ <0的解集 3.(2025·山东高三上开学考试)已知关于x的不等式 x+a x+c ar++c>0(a,,ceR)的解集为(-4,1)，则+9 的 为(1，)u(兮)则关于的不等式年 取值范围为 ( A.[-6,+∞) B.(-∞，6) cx+1下0的解集为 bx+1 C.(-0,-6] D.(-6,+∞) A.(-2,-1)U(1,3) 4.（2026·永州一中月考)若对任意的a∈[-1,1]，不等 B.(-3,-1)U(1,2) 式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立，则x的取值范围为 C.(-3,-2)U(-1,1) (1,2u(兮 A.(-∞，2)U(3,+∞) 2.（2025·天津卷)若a,b∈R,对Hx∈[-2,2]，均有 B.(-∞，1)U(2,+∞) (2a+b)x2+bx-a-1≤0恒成立，则2a+b的最小值为 C.(-∞，1)U(3,+∞) D.(1,3) —288