练案3 第一章 第3讲 等式性质与不等式性质&练案4 第一章 第4讲 基本不等式-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

练案[3] 第三讲 等式性质与不等式性质 6.已知a<b<c,a+b+c=0,则 A组基础巩固男 A.ab<b2 B.ac>be 一、单选题 11 C. D.-<1 a c c-b 1.（2025·襄阳一模)在开山工程爆破时，已知导火索燃 烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米， 7若a,B满足T <a8<7,则2a-8的取值粒围是 2 距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使 ( 导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x(单 A.-T<2a-B<0 B.-T<2a-B<T 位：厘米)应满足的不等式为 3T C.2 <2a-B<2 D.0<2a-B<π A.4× 0.5150 B.4x a 0.5≥150 1 2 In 3 8.(2026·福建龙岩月考)已知m=2+lh2,6=3+2, C.4x 05s150 D.4x 0.5>150 1,2n5 c= 2 5,则 2.若a=(x+1)(x+3),b=2(x+2)2,则下列结论正确的 A.c>b>a B.b>a>c 是 ( C.azb>e D.azc>b A.a>b 二、多选题 B.a<b 1.1 9下列四个条件，能推出。方成立的有 C.a≥b A.b>0>a B.O>a>b D.a,b的大小关系不确定 C.a>0>b D.a>b>0 3.(2025·四川绵阳诊断)下列四个条件中，使a>b成立 10.（2025·南京调研)若a<0<b,且a+b>0,则() 的充要条件是 ( B.lal<lb A.√a>b B.lal>b 11 C.a2>62 D.2">2 C.-+->0 D.(a-1)(b-1)<1 a b 4.（2025·安阳调考)若a>b>0>c,则 11.(2026·长沙模拟)设实数a,b,c满足b+c=6-4a+ A.(a-b)c>0 3a2,c-b=4-4a+a2,则下列不等式成立的是() A.c<b B.b≥1 11 C.a-b>a-c D C.b≤a D.a<c atc b+c 三、填空题 5.（2026·西安质测)已知-1<a<5,-3<b<1,则以下结论 12.已知a>0,-1<b<0,则a,ab,ab2由小到大依次排列是 错误的是 A.-15<ab<5 13.若1<a<3,-4<B<2,则2a+lB1的取值范围是 B.-4<a+b<6 14.若a,b同时满足下列两个条件： C.-2<a-b<8 D当60时，含5 ①a+b>ab:②1>1 atb ab 请写出一组a,b的值 -284 四、解答题 5.（2026·北京通州区期中)2014年6月22日，中国大 15.证明下列不等式： 运河项目在卡塔尔首都多哈召开的第38届世界遗产 11 (1)已知a>b>c>d,求证： 大会上成功入选世界遗产名录，成为中国第46个世界 "a-d b-ci 遗产项目.随着对大运河的保护与开发，大运河已成 （2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证：ae6-d ee 为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅 游者的游览日的地。今有一旅游团乘游船从奥体公园 码头出发至漕运码头，又立即返回奥体公园码头.已 知游船在顺水中的速度为”1，在逆水中的速度为 ,(写≠，比较游铅此次航行的平均速度与的 大小关系 的B组能力提升男 1.把下列各题中的“=”全部改成“<”，结论仍然成立的 是 ( A.如果a=b,c=d,那么a-c=b-d B.如果a=b,c=d,那么ac=bd C.如果a=b,c=d,且cd≠0，那么“=6 d D.如果a=b,那么a3=b 2.(2025·海淀模拟)已知x,y∈R,且x>y>0,则( A11>0 B.sin x-sin y>0 的C组拓展应用（选作）男 c(2)-(2)'0 D.In x+ln y>0 1.（多选题)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智 3.(多选题)(2025·云南昆明模拟)已知函数f(x)= 石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学 家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐步被数学 4ar+2e(a≠0)满足f分）-0.且0>01)> 界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 0,则下列不等式一定正确的是 ( a>0,b>0,a+b=2,则 () A.a>0 B.b>0 A.0<a≤1 B.0<ab≤1 C.c>0 D.f(-1)>0 C.a2+b2≥2 D.0<b<2 4.(2025·渭南模拟)若a>0,b>0,则p=(ab)与 2.(多选题)(2025·江苏泰州模拟)已知实数x,y满足 -3<x+2y<2,-1<2x-y<4,则 () q=ab的大小关系是 A.-1<x<2 B.-2<y<1 A.p≥9 B.p≤9 C.-3<x+y<3 D.-1<x-y<3 C.p>9 D.p<q —285— 练案[4] 第四讲 基本不等式 A组基础巩固习 11.（2026·浙江阶段练习)已知两个正实数a,b满足ab =2a+b,则下列不等式一定成立的有 () 一、单选题 A.ab的最小值是8 1.下列不等式证明过程正确的是 B.ab的最大值是8 A若abe取则片月产2合晋-2 C.a+b的最小值是3+22 a b D.a+b的最大值是3+22 B.若x>0,y>0,则gx+lgy≥2√gx·lgy 三、填空题 4 C.若x<0,则x+一≥-2x·=-4 12.（2025·山东济南三模)已知正实数a,b满足ab=4, D.若x<0,则2+2>2√2·2=2 则片名的最小值为 2.（2025·北京卷)已知a>0,b>0,则 1,1.1 4 13.(1)当x>2时，x+ A.a+b2>2ab B.+ .a+b-ab +x-2的最小值为 C.a+b>/ab 1,12 (2)当x≥4时，x+ D.- tx的最小值为 4 3.(2026·全国模拟)已知，y为正数，则2+3的最小 14.（2026·四川眉山模拟预测)已知a,b∈R*,4a+b=1, XY 则6 的最小值是 值为 ab A.4 B.32 C.3 D.26 15.已知5x2y2+y=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是 4.(2025·河北保定二模)已知x,y是非零实数，则+ B组能力提升 的最小值为 ( 、 1.(2026·全国T8数学联考)已知a>0,b>0,√a6=1+ A.6 B.12 C.2 D.4 1 5.已知函数(x)=4x+a(x>0,a>0)在x=3时取得最小 ,则11 的最小值为 () log 2 log,2" 值，则a= ( ) A.3 B.2 C.√2 D.1 A.24 B.28 C.32 D.36 2.(2026·重庆南开中学期末)已知m>1,n>1,lgm= 6.(2026·辽宁模拟)已知xe(0,+0),则y=x+2+ logn100,则mn的最小值为 () A.10E B.102E C.104 D.100 2x+的最小值为 1 ( ）3.（多选题)若实数x,y满足x2+y2-y=1,则( A.x+y≤1 B.x+y≥-2 A.√2 B.2 C.22 D.√5 7.(2026·安徽黄山质检)已知f(x)= x2+3x+6 C.x2+y2≤2 D.x2+y2≥1 x>0), x+1 4(2025·广东二模)若x>0,y>0,且x+y=,则 则f(x)的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5 的最小值为 () 8.（2026·河北沧州模拟预测)已知正实数m,n满足mn y-1 =2,则上2,9的最小值为 ( A.2 B.22 C.3 m n 2m+n A.22 B.3 C.32 D.4 5.（2026·高三全国专题练习)已知正实数a,b满足a+ 二、多选题 2 +b的最小值是 9.(2026·四川泸州模拟)若a,beR,则 =7,则1 b +2 A.a2+b2≥-2ab B.a+b≥2√ab C.a2+2b2≥21ab D.a2+b2≥2(a+b-1) 的C组拓展应用（选作）男 10.（2025·山东一模)若正数a,b满足a+b=1,则下列 (2026·河北衡水模拟)已知正数a,b,c满足2a+b+3c 说法正确的是 ( Aa的有最大值好 B.上+有最小值4 =8,则a++2c+1的最小值为 () b+c a+c a b D.2+62有最小值2 A.22 B3+22 C.32-1 D.5+22 C.√a+b有最小值2 4 4 2866x=受（答案不唯-）sm=1的充要条件为x=2m+受，6e 乙，其中=受是血x=1的一个充分不必要条件（答案不难 一) 7.(-∞，2√2]已知命题“3x∈(0，+0)，2x2-ax+1<0”为假命 题，根据特称命题的否定为全称命题，可知其否定“Vx∈(0，+∞)， 2x2-ax+1≥0”为真命题.由2x2-ax+1≥0，x∈(0，+∞)，移项可 得心≤22+1，因为>0，两边同时除以x,得到a≤2x+在 (0,+)上恒成立在2x+中，因为0，所以2x和都是正 实数则2z+≥2√22，当且仅当2即号 1 1 √2 时等号成立.因为4≤2+上在(0，+0)上恒成立，所以a要小 于等于2x+的最小值2万，即a≤22，所以实数a的取值范 围是(-∞，22]. C组拓展应用（选作） 1.D因为a④b=n(e“+e"),且e>0,则x④l=ln(e+e)>lne=1, x④2=ln(e*+e2)>lne2=2,可得f(x)=(x④1)+(x④2)>3，即命 题p:3xo∈R,fx)≤3为假命题，所以p:HxeR,f(x)>3,且 p为真命题.故选D. 2[2*） 依题意知f(x)≤g()mfx)=x+4在 x [分小上是减函数九)=f(分)=号又&()=2+0 上是增函数，心g()=8+a,因此)≤8+扣 练案[3] A组基础巩固 1.B由题意知导火索燃烧的时间为x秒，人在此时间内跑的路 0.5 程为(405)米，由题意可得4.5产150，放选B 2.Ba-b=(x+1)(x+3)-2(x+2)2=-x2-4x-5=-(x2+4x+5)= -(x+2)2-1<0.故选B. 3.D当a=1,b=-1时，a>b成立，但√b无意义，故√a>Jb不是a>b 成立的必要条件，故A错误：当a=-2,b=1时，满足Ial>b,但 a>b不成立，故Ial>b不是a>b成立的充分条件，故B错误：当 a=-3,b=1时，a2>b2成立，但a>b不成立，所以a2>b2不是a>b 成立的充分条件，故C错误；由y=2在R上单调递增，可得 2”>2是a>b成立的充要条件，故D正确.故选D. 4.B不妨取a=2,b=1,c=-1,则(a-b)c=-1<0,故A错误；由a> 60得。分又<0，所子>行放B正确：当a=2.6=1,e 一1时，a-b=1,4-C=3,放C错误：当6+c=0时设有意义，故 D错误 5.D由题知-1<a<5,因为-3<b<1,所以-1<-b<3.若 {ac5则-15<ab<3,若{1a<5则a6=0,若{0<5，则 l-3<b<0,1 ”b=0, 0<b<1, -1<ab<5,综上可得-15<ab<5,故A正确；-4=-3-1<a+b<1+5 —59 =6,故B正确；-2=-1-1<a-b<3+5=8,故C正确：当a=4,b 时，？8，枚D错误 6.C因为a<b<c,a+b+c=0,所以a<0<c,b的符号不能确定，当 b=0时，ab=b2,故A项错误；因为a<b,c>0,所以ac<bc,故B项 错误：因为4<0<，所以<，放C项正确；因为a<6,所以 a c >-6,所以ca>-6>0,所以号1，放D项错误 7.C2 r<2a-B<2 ∷2 又a-B0ac号2a-g号放2a月 88-b=+h2-()=石+2-3- 1 2 4 4 64 2n2-n3.133n3127 2 -6+2=6一6c0,则a6:a-e=2 h2-(分25）=h225-2n5.h32250.则 5 5 5 a>c.所以b>a>c.故选B. 9.ABD 运用倒数性质，由a>6,b>0可得】<公，B,D正确：又 正数大于负数，A正确，C错误，故选ABD. 1 10.ABD由已知得b>-a>0,6>-L,Ib1>al,A,B正确；。+ 1a+ b ab <0,C不正确.对于D选项变形为ab<a+b,显然成立. 故选ABD. 1.BDb+c=6-4a+3a2, '两式相减得2b=2a2+2,即b=a2+1, lc-b=4-4a+a2, 123 6≥1.又6-a=a2+1-a-(a-2)+4>0,b>a.而c-b=4- 4a+a=(a-2)≥0，∴.c≥b,从而c≥b>a. 12.ab<ab2<a因为a>0,-1<b<0,所以ab<0,0<b<1,0<ab2<a,故 ab<ab2<a. 13.(2,10).1<a<3,.2<2a<6,-4<B<2,∴.0≤1B|<4,∴.2< 2a+lBl<10. 14.a=-1,b=2(答案不唯一)容易发现，若将①式转化为②式， 需使(a+b)ab<0,即a+b与ab异号，显然应使a+b>0,ab<0,当 a<0,b>0时，要使a+b>0,则1al<1b1,可取a=-1,b=2;当a> 0,b<0时，要使a+b>0,则1a>1b1,可取a=2,b=-1.综上，取 任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆 为合理答案 15.[证明]（1)：a>b>c>d,.a>b,-d>-c, 11 a-dbb-c>0,则。-6 (2).a>b>0,c<d<0,e<0,.-c>-d>0, ∴.a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0, 则e-e=e(b-d)-e(a-c) a-c b-d (a-c)(b-d) e(b-d-a+c)e(b-a+c-d) 0, (a-c)(b-d)(a-c)(b-d) e B组能力提升 1.D对于A,如果a<b,c<d,那么a-c<b-d不一定正确，如5<6， 4<9,但5-4>6-9：对于B,如果a<b,c<d,那么ac<bd不一定正 确，如-2<-1,1<4，此时ac>bd:对于C,如果a<b,c<d,且cd≠0， 那么二<号不-定正确，如1<2,1<8，此时兰>号：易知D正确 2,CeR且0，则血与my的大小关系不 确腕，（分）广<（分）广，即（分）广-（分）广<0，hx+ny与0的 大小关系不确定，故选C 3.ACD解法一：由题可知，f(0)=c>0,故C正确：f(1)=4a+2b+c >0 ①分）=ah+e=06=ae,代入①，得4a+2(-a-e） +c>0,即2a-c>0,∴.2a>c>0,∴.a>0,故A正确；a+b+c=0, a>0,c>0,∴.b<0,故B错误：f(-1)=4a-2b+c=4a-2(-a-c)+c= 6a+3c>0,故D正确.故选ACD. 解法二：根据题意，可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，数 形结合，易知选ACD. 4.A p(ab)工=a字b2=（62 ,若a>b0,则分>1，a-b> 0>1:若0<a<b,则0<号<1，a-b<0>1,若a=6,则 2 卫=1，…p≥g.故选A 5.[解析]设两码头的距离为s,则= 2s212-1+2 2 U12 2121+3_412-(1+2)2-(1-2)2 1+22 2(U1+2） 2(1t2） <0(v1≠2)，即 C组拓展应用（选作） 1.BCD根据a>0,b>0,b=2-a列不等式判断AD,再根据基本不 等式判断Bc即可.a>0,b>0.,6=2-a00解得0a<2 同理可以得到：0<b<2,故A不正确，则D正确；又：ab≤ (艺）=（子）广=1，并且当且仅当a=-6时，取得等号放得 到，0C1所以B正确：又：。≥0-子-2.并且当 2 且仅当a=b时，取得等号.故得到：a2+b2≥2，所以C正确.故 选BCD. 2.ABD因为-3<x+2<2,-1<2x-y<4,所以-2<4x-2y<8,则-5< 5x<10,即-1<x<2,故A正确；又-4<-2x-4y<6,-1<2x-y<4,所 以-5<-5r<10,即-2y<1,故B正确：x+y=3(+2y）+(2x=2 5 (-2,2),故C错误x-y=二（x+2)3(2x2e(-1,3》,故D 5 正确. 59 练案[4] A组基础巩固 1D“台名可能为负数，如台=分1时，名+后-2A b a b a 错误；：gx,lgy可能为负数，如lgx=gy=-1时，gx+gy= -2,2√g…1gy=2,B错误；x<0,<0,如x=-1, 4 4-4 时，+4=-5<-4，C错误<0,2e(0,1),2>1,2+2 >2√2*·2=2，当且仅当2=2*，即x=0等号成立，.D 正确. 4,此时+ 2.C当a=b时d+6=2ab,放A错误：取a=),6=/》 1 11,1 =2+4=6<,1=8=b”ab=2+4=6>9 2=42= 11 2×4 V24 2,故B,D错误；由基本不等式可得a+b≥2V而>√瓜，故C a 正确.故选C. ，2.3立=26， D由，y均为正数，则红=+≥2，· xy y x 当日仅当产兰，即y=气时取等号，故的最小竹为 Y x y 26.故选D. 29x2 Va2 y2 6,当且仅当兰=g,即y=31 0,等号成立，所以的最小值为6，放述 5D因为o0,a0,所以=4+是≥2√4=46，当日 a 仅当4x=a,即4x=a时，代x)取得最小值.又因为f(x)在x=3 时取得最小值，所以a=4×32=36.故选D. 6A由xe(0,+),得2+1>1，又y=x+号，L-2+1t,1 22x+122x+1 2x+11 ≥2√22x+1 当且仅学生即时跨 号成立.故选A. 2.D由题宣知，x)=+3x+6.（+1)++1+4=x+1+ 4 +1,因 x+1 x+1 +1 4 为x>0,所以x+1>0,则x+1 x+1≥24+1=5，（当且仅当+ 1音即=1时取=“）故个✉的及小值是5 8.C根据题意，mn=2,可得n= 2则 2+9=+m+ m n 2m+n m 9 9、 、.9=32,当 2设m,则≥2，原式为+2≥2，是 2m+ 3√2 且仅当1=之时等号成立，故选C 9.ACD用-b替代a2+b2≥2ab中的b,得到a2+b2≥-2ab,当且仅 当a=-b时取等号，故A正确；取a=b=-2,则a+b=-4<2√ab= 4,故B错误；a2+2b≥a2+b2=Ial2+1b12≥21al·b1=21ab1, 52 当且仅当a=b=0时取等号，故C正确：因为a2+1≥2a,b2+1≥ 2b,所以a2+1+b2+1≥2a+2b,即a2+b2≥2(a+b-1),当且仅当 a=b=1时取等号，故D正确.故选ACD. a+b 0.ABD因为正数a,b满足a+b=1.ab≤)汀=4，当且仅 当a=6=2时取等号，山取得最大值，故A正确： 11 a b a 2a+6≥2+2,6.a 三+6++6=2+6+只、 2√合·4，当组仅当日 a+6=1,即a=6=之时取等号，。取得最小值4，放B正确： a b 由A知ab有最大值子，则a而有最大值？，则(a+5)2=a+ +2瓜=1+2瓜≤2，当且仅当a6=2时取等号，后+6取 得最大值2，放C错误：d+6=(a+6)户-26=1-2≥分，当且 仅当a=6=之时取等号。2+状取得最小值了放D正确放 选ABD. 11.AC由ab=2a+b≥22ab,所以(ab)2≥8ab,所以ab≥8，当且 仅当2a=b=4时等号成立，故A正确，B错误；又ab=2a+b→ 日+会=1a*8=a+6(日号)=3+女+会=3+ 1,2 2√会·云2.当且仅当台会即6=a时等号成 立，即6=2a,解得a=2+1,6=2+2,故C正确，D错误 lab=2a+b, 故选AC 123自题设82仁名么3当业仅当如-6 时等号成立 13.(1)6(2)6 (1)x>2.x-2>0.x+ 4 22+ 4 22全 4 24+2=6,当且仅当x-2= 2即x=4时“”成立心x+ 的最小值为6. (2):x≥4x-1≥3.令x1=≥3，函数y=+4在[3，+0)上 单调递增当-1=3，即=4时，y(x1）+1有最小值 16 3 19因为a6eRa61,&。+合（日）4a6)-5 台名=52V合否9当且仅当片 b 4a 。=6,结合4如+6=1， 了时等号皮立所以芒+日≥9，即总的限 即as 'a+b 小值为9. 154 522+1 5xy+y=1,…y≠0且2=1 512 +y= 14y22 14y2 3 5+≥2/·4=当耳仅当5，即10 户=时取等号的最小值为子 59 B组能力提升 1D-片s2V瓜222d2a log,2=1,.最小值为1，此时a=b=√2 2B1gm-g10-2所以1gm·1gn=2.又因为m>1,>1,所 Ig n Ig n 以lgm>0,lgn>0,则lg(mn)=lgm+lgn≥2√gm·lgn=22, 当且仅当m=n=10F时取等号，所以mm≥102E,故选B. 3.BC因为2+，2-灯=(x+2-3=1,且灯≤+)，所以(+ 4 列-3≥(2=*，故y≤4，当且仅 当x=y时等号成立，即-2≤x+y≤2，故A错误，B正确；由y≤ 得1-即y2.当且仅当 x2+y1 时等号成立.故C正确，D错误.故选BC. 4.B因为x+y=xy,即xy-x-y+1=1,即(x-1)(y-1)=1,且x>0, 0则11则月2日 220,当且议当，时周e1 x-1y-1 2 +2时，等号成立，所以，十，二的最小值为2.故选B. 3+2√2 5. 9 由题意，得(a+2)+ 名=9，则在2+6 o*2]）-26a*2*2]- 93+2,当组仅当6(a+2)=万，且a+2=7,即a=9万 11,6=2+2 时，等号成立所以26的最小值是号2 9 C组拓展应用（选作） D正数a,b,c满足2a+b+3c=8,故2(a+c)+(b+c)=8,令a+c m,6+c=n,放2m+n=8,m>0,n>0.a+6+2c+1-0+c+6+c+1 b+c a+c b+c atc aL+1=m+L+1-8=n+L+1=4+L+1,4+L b+ca+c n m 2n m m 2'n m (+）)(2m+)=(婴4+2+）=(- 2√-·日）3“2当组仅当六即m454n=16 n m 8时，等号成立，故+6+2c+1=4+1+1≥3+221 +eta+en+m+2≥ 4 2 5+25.故选D. 4 练案[5] A组基础巩固 1.A根据函数的开口方向和根的判别式，即可得出正确的选项 A选项，开口向下，不可能为空集，故A选项符合题意；B选项， 开口向上，△=9-4×2×4=-23<0，解集为空集，故B选项不符合 题意：C选项，开口向上，△=9-4×10=-31<0，解集为空集，故C 选项不符合题意；D选项，开口向上，△=4-4×3=-8<0，解集为 空集，故D选项不符合题意.故选A. 63