第二单元 混合运算（讲义）-2026-2027学年三年级上册数学人教版

第二单元 混合运算（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、 不含括号的混合运算 1. 同级运算（只有加减或只有乘除） （1）运算顺序：从左往右依次计算。 ① 加法与减法是同级运算。 ② 乘法与除法是同级运算。 2. 两级运算（既有加减又有乘除） （1）运算顺序：先算乘除法，后算加减法。 ① 无论乘除法在算式的前面还是后面，都要优先计算。 ② 加减法作为“二级”运算，需等待乘除结果出来后再进行。 二、 含有小括号的混合运算 1. 小括号的作用 （1）改变运算顺序：如果需要先算加减法，而它们原本处于后算的位置，必须加上小括号。 ① 算式里有小括号，要先算小括号里面的。 ② 再算小括号外面的。 2. 常见类型 （1）先加后乘/除： 或 。 （2）先减后乘/除： 或 。 ① 注意：小括号内的运算依然遵循从左到右或先乘除后加减的规则（若括号内复杂）。 三、 脱式计算规范 1. 书写格式要求 （1）等号对齐：每一步的等号要对齐，通常写在算式的左侧或略偏左。 （2）未参与运算的部分：直接抄写下来，位置和符号不能改变。 ① 第一步：写出第一步计算的结果，未计算部分原样照抄。 ② 第二步：写出最终结果。 2. 示例演示 （1）两级运算示例： ① 第一步： （先算 ，50和减号照抄） ② 第二步： （2）带括号示例： ① 第一步： （先算 ，除号和3照抄） ② 第二步： 四、 解决实际问题（列综合算式） 1. 解题思路 （1）分步思考：先求中间量，再求最终问题。 （2）合并算式：将分步算式合并为一个综合算式。 ① 关键判断：如果第二步运算需要用到第一步的结果，且第一步是加减法，而第二步是乘除法，通常需要给第一步加上小括号。 2. 典型模型 （1）购物找零模型：总钱数 - 单价 数量 = 找回的钱。 ① 例：有50元，买3本笔记本，每本6元，剩多少？ ② 列式： （无需括号，因为乘法本就优先） （2）平均分配模型：(总数A + 总数B) 份数 = 每份数。 ① 例：男生15人，女生9人，平均分成4组，每组几人？ ② 列式： （必须加括号，因为要先算总人数） 五、 高频易错点与避坑指南 1. 运算顺序错误 （1）误区：看到前面的数就先算，忽略优先级。 ① 错例： 算成 。 ② 正解：应先算 ，再算 。 2. 小括号遗漏 （1）误区：在列综合算式时，忘记给需要先算的加减法加括号。 ① 错例：求 列成 。 ③ 正解：必须写成 ，否则意义完全改变。 3. 抄写错误 （1）误区：在脱式计算中，漏抄数字或符号。 ① 对策：养成“手指指读”习惯，确保未计算部分准确无误地移下来。 4. 计算粗心 （1）误区：口算乘法口诀错误或进退位失误。 ① 建议：草稿纸上进行辅助计算，确认无误后再填入脱式过程。 提升练习 一、填空题 1．某小学开展特色兴趣小组，三（1）班参与特色兴趣小组的女生有19人，比男生少6人，如果把这些男生平均分成5组，每组多少人？要解决这个问题应先求出( )人数，再求( )人数，列综合算式为( )。 2．将27－19＝8，64÷8＝8合并成一道综合算式是( )。 3．课间十分钟变成了十五分钟，同学们的课间活动更丰富了。操场上9名同学在踢毽子，跳绳的同学人数比踢毽子的3倍少2人。跳绳的同学有( )人。 4．小杰在计算“6＋□×5”时弄错了运算顺序，结果得数是40，正确的得数是( )。 5．运动会开幕式上，彩旗队的大彩旗有5面，小彩旗的数量是大彩旗的8倍，小彩旗有( )面。如果使小彩旗的数量是大彩旗的9倍，小彩旗再增加( )面。 6．学校新购买的一批图书平均分给二年级8个班后，还多了5本，已知这批图书的数量比30本多，比40本少。平均每班分得( )本，一共购买了( )本图书。 7．学校武术队有女生7人，男生人数比女生人数的3倍多4人，武术队一共有( )人。 8．计算120－28×4时，应先算( )法，再算( )法，结果是( )。如果要先算减法，再算乘法，那么原算式变为( )。 二、选择题 9．青山小学的“耕种园”里种了30棵辣椒，还种了4行番茄，_____。种的辣椒比番茄多多少棵？以下哪个条件（    ）补在横线处合适。 A．种的番茄棵数是辣椒棵数的3倍 B．每行7棵 C．种的辣椒和番茄一共58棵 D．种的番茄比辣椒少18棵 10．下面选项中，（    ）不能用16＋24÷8这个算式解答。 A．三（1）班有16名男生，24名女生，现把全班人数平均分成8组，平均每组多少人？ B．16加上24除以8的商，和是多少？ C．玫瑰花每枝16元，康乃馨花束每束8枝共24元，买1枝玫瑰花和1枝康乃馨花要付多少元？ D． 11．下面算式去掉括号后，计算结果不变的是（    ）。 A．5×（8－6） B．（24＋16）÷8 C．42＋（37－5） D．256－（181＋35） 12．要使84－（23＋□）＞40，□里最大填（    ）。 A．22 B．20 C．19 D．17 13．计算60－36÷6和（60－36）÷6的（    ）。 A．计算顺序相同 B．计算结果相同 C．计算顺序和结果都不同 D．计算顺序和结果都相同 三、判断题 14．24÷4÷2和24÷（4×2）的结果相同。( ) 15．计算3×8÷4时，应从左往右按顺序计算。( ) 16．一本120页的书，平均每天读8页，读了72页，剩下的需要6天才能读完。( ) 17．把42－35＝7，35÷7＝5合并成一个综合算式是42－35÷7。( ) 18．计算7×（4＋3）时，应该先算加法，再算乘法。( ) 四、计算题 19．脱式计算。 72÷9×7    （64－34）÷6 7×（24－15）    74－（62－38） 五、解答题 20．小豆豆在巴学园里上课，她非常喜欢学校。第一天她读了245页书，第二天比第一天多读了38页，第三天比第二天少读了22页。小豆豆第三天读了多少页书？ 解答： 21．我校校本课程开始了，三年级参加篮球班的有6人，参加足球班的是篮球班的3倍还多3人。我们班参加足球班的一共多少人？（先画线段图表示数量关系，再解答） 22．兔妈妈拔了48个白萝卜和32个红萝卜，每个篮子能装8个萝卜，白萝卜比红萝卜要多装几个篮子？（用两种方法解答） 23．王奶奶养了80只兔子，其中灰兔32只，黑兔18只，剩下的是白兔，白兔有多少只？（两种方法解答） 24．蛋糕店上午做了24个蛋糕，下午比上午多做了8个。8个蛋糕装一盒，所有蛋糕一共可以装多少盒？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 混合运算（单元举一反三讲义） 单元知识点梳理 一、 不含括号的混合运算 1. 同级运算（只有加减或只有乘除） （1）运算顺序：从左往右依次计算。 ① 加法与减法是同级运算。 ② 乘法与除法是同级运算。 2. 两级运算（既有加减又有乘除） （1）运算顺序：先算乘除法，后算加减法。 ① 无论乘除法在算式的前面还是后面，都要优先计算。 ② 加减法作为“二级”运算，需等待乘除结果出来后再进行。 二、 含有小括号的混合运算 1. 小括号的作用 （1）改变运算顺序：如果需要先算加减法，而它们原本处于后算的位置，必须加上小括号。 ① 算式里有小括号，要先算小括号里面的。 ② 再算小括号外面的。 2. 常见类型 （1）先加后乘/除： 或 。 （2）先减后乘/除： 或 。 ① 注意：小括号内的运算依然遵循从左到右或先乘除后加减的规则（若括号内复杂）。 三、 脱式计算规范 1. 书写格式要求 （1）等号对齐：每一步的等号要对齐，通常写在算式的左侧或略偏左。 （2）未参与运算的部分：直接抄写下来，位置和符号不能改变。 ① 第一步：写出第一步计算的结果，未计算部分原样照抄。 ② 第二步：写出最终结果。 2. 示例演示 （1）两级运算示例： ① 第一步： （先算 ，50和减号照抄） ② 第二步： （2）带括号示例： ① 第一步： （先算 ，除号和3照抄） ② 第二步： 四、 解决实际问题（列综合算式） 1. 解题思路 （1）分步思考：先求中间量，再求最终问题。 （2）合并算式：将分步算式合并为一个综合算式。 ① 关键判断：如果第二步运算需要用到第一步的结果，且第一步是加减法，而第二步是乘除法，通常需要给第一步加上小括号。 2. 典型模型 （1）购物找零模型：总钱数 - 单价 数量 = 找回的钱。 ① 例：有50元，买3本笔记本，每本6元，剩多少？ ② 列式： （无需括号，因为乘法本就优先） （2）平均分配模型：(总数A + 总数B) 份数 = 每份数。 ① 例：男生15人，女生9人，平均分成4组，每组几人？ ② 列式： （必须加括号，因为要先算总人数） 五、 高频易错点与避坑指南 1. 运算顺序错误 （1）误区：看到前面的数就先算，忽略优先级。 ① 错例： 算成 。 ② 正解：应先算 ，再算 。 2. 小括号遗漏 （1）误区：在列综合算式时，忘记给需要先算的加减法加括号。 ① 错例：求 列成 。 ③ 正解：必须写成 ，否则意义完全改变。 3. 抄写错误 （1）误区：在脱式计算中，漏抄数字或符号。 ① 对策：养成“手指指读”习惯，确保未计算部分准确无误地移下来。 4. 计算粗心 （1）误区：口算乘法口诀错误或进退位失误。 ① 建议：草稿纸上进行辅助计算，确认无误后再填入脱式过程。 提升练习 一、填空题 1．某小学开展特色兴趣小组，三（1）班参与特色兴趣小组的女生有19人，比男生少6人，如果把这些男生平均分成5组，每组多少人？要解决这个问题应先求出( )人数，再求( )人数，列综合算式为( )。 【答案】 男生 男生每组 （19＋6）÷5＝5（人） 【分析】男生的人数＝女生的人数＋女生比男生少的人数，男生每组的人数＝男生的人数÷组数。 【详解】由分析可知，想要求出男生每组的人数，需要先求出男生的人数，再用男生的人数除以组数求出男生每组的人数。 19＋6＝25（人） 25÷5＝5（人） 综合算式是（19＋6）÷5＝5（人）。 2．将27－19＝8，64÷8＝8合并成一道综合算式是( )。 【答案】64÷（27－19）＝8 【分析】观察两道算式：27－19＝8，64÷8＝8；第二个除法算式里的除数8，正好是第一个减法算式27－19算出的结果；因为要先算减法，再算除法，所以减法部分必须加上小括号，保证运算顺序。 【详解】根据分析，综合算式是：64÷（27－19） ＝64÷8 ＝8 3．课间十分钟变成了十五分钟，同学们的课间活动更丰富了。操场上9名同学在踢毽子，跳绳的同学人数比踢毽子的3倍少2人。跳绳的同学有( )人。 【答案】25 【分析】求一个数的几倍是多少，用乘法，用踢毽子的人数乘3再减2，即可求出跳绳的同学的人数。 【详解】9×3－2 ＝27－2 ＝25（人） 4．小杰在计算“6＋□×5”时弄错了运算顺序，结果得数是40，正确的得数是( )。 【答案】16 【分析】小杰弄错了运算顺序，先算了加法，再算乘法，得到结果40，根据错误的运算顺序，先用40除以5，然后再减6，计算出□的值，再把□的值代入算式，按照先乘后加的正确顺序计算即可。 【详解】40÷5－6 ＝8－6 ＝2 6＋2×5 ＝6＋10 ＝16 正确的得数是16。 5．运动会开幕式上，彩旗队的大彩旗有5面，小彩旗的数量是大彩旗的8倍，小彩旗有( )面。如果使小彩旗的数量是大彩旗的9倍，小彩旗再增加( )面。 【答案】 40 5 【分析】根据求一个数的几倍是多少用乘法计算，用大彩旗的数量乘8，即可求出小彩旗的数量；再求出大彩旗的9倍是多少，减去小彩旗的数量，即可求出小彩旗需要增加的数量。 【详解】5×8＝40（面） 5×9－40 ＝45－40 ＝5（面） 6．学校新购买的一批图书平均分给二年级8个班后，还多了5本，已知这批图书的数量比30本多，比40本少。平均每班分得( )本，一共购买了( )本图书。 【答案】 4 37 【分析】图书的本数减去5就是8的倍数，用8分别乘1、2、3……算出积后加5，算出图书的总数，结合图书的总本数比30本多，比40本少解答。 【详解】（本），，不符合要求。 （本），，不符合要求。 （本），，不符合要求。 （本），，符合要求。图书共37本，平均每班分得4本，还剩5本。 （本），，不符合要求。 综上所述：学校新购买的一批图书平均分给二年级8个班后，还多了5本，已知这批图书的数量比30本多，比40本少。平均每班分得4本，一共购买了37本图书。 7．学校武术队有女生7人，男生人数比女生人数的3倍多4人，武术队一共有( )人。 【答案】32 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法计算。先用女生人数乘3求出女生人数的3倍，再加4，即可得到男生人数。再将算出的男生人数和已知的女生人数相加，就能得到武术队总人数。 【详解】7×3＋4 ＝21＋4 ＝25（人） 7＋25＝32（人） 8．计算120－28×4时，应先算( )法，再算( )法，结果是( )。如果要先算减法，再算乘法，那么原算式变为( )。 【答案】 乘 减 8 【分析】根据混合运算的法则：在没有括号的算式里，如果只有加减法或者只有乘除法，要从左往右依次计算；在没有括号的算式里，如果既有乘除法又有加减法，要先算乘除法，再算加减法；在有括号的算式里，要先算括号里面的，再算括号外面的。据此解答。 【详解】 计算120－28×4时，应先算乘法，再算减法，结果是8。如果要先算减法，再算乘法，就要给减法部分加上小括号，那么原算式变为。 二、选择题 9．青山小学的“耕种园”里种了30棵辣椒，还种了4行番茄，_____。种的辣椒比番茄多多少棵？以下哪个条件（    ）补在横线处合适。 A．种的番茄棵数是辣椒棵数的3倍 B．每行7棵 C．种的辣椒和番茄一共58棵 D．种的番茄比辣椒少18棵 【答案】B 【分析】根据题意，要求种的辣椒比番茄多多少棵，需要知道辣椒的棵数和番茄的棵数，已知辣椒数量和番茄种了4行，可以补充番茄每行的棵数，用行数乘每行的棵数即可求出番茄的棵数，据此解答。 【详解】A．种的番茄棵数是辣椒棵数的3倍：可直接推出番茄棵数多于辣椒，不符合设问要求，不正确； B．每行7棵：用每行的棵数乘行数可以求出番茄的棵数：7×4＝28（棵），正确； C．种的辣椒和番茄一共58棵：无需用到题干给出的番茄行数条件，不属于合适的补全条件，不正确； D．种的番茄比辣椒少18棵：无需用到题干给出的番茄行数条件，不属于合适的补全条件，不正确； 10．下面选项中，（    ）不能用16＋24÷8这个算式解答。 A．三（1）班有16名男生，24名女生，现把全班人数平均分成8组，平均每组多少人？ B．16加上24除以8的商，和是多少？ C．玫瑰花每枝16元，康乃馨花束每束8枝共24元，买1枝玫瑰花和1枝康乃馨花要付多少元？ D． 【答案】A 【分析】A．（男生人数＋女生人数）÷组数＝平均每组的人数； B．求和是多少，即先算24除以8的商，再和16相加即可； C．玫瑰花每枝的价格＋康乃馨每束的价格÷每束的枝数＝买1枝玫瑰花和1枝康乃馨花要付的钱数； D．8份对应24，先利用除法计算出每份是多少，再和16相加，即为所求。 【详解】A．三（1）班有16名男生，24名女生，现把全班人数平均分成8组，求平均每组多少人，列式为：； B．16加上24除以8的商，求和是多少，列式为：； C．玫瑰花每枝16元，康乃馨花束每束8枝共24元，求买1枝玫瑰花和1枝康乃馨花要付多少元，列式为： D．根据图示列式为：。 11．下面算式去掉括号后，计算结果不变的是（    ）。 A．5×（8－6） B．（24＋16）÷8 C．42＋（37－5） D．256－（181＋35） 【答案】C 【分析】整数的混合运算，同级运算时，从左往右依次计算；算式中既有乘除法，又有加减法的，先算乘除法，再算加减法；算式中有小括号，先算小括号里面的。 根据运算顺序，分别计算出选项中带括号的计算结果，和去掉括号的运算结果，再比较即可判断。 【详解】A．5×（8－6） ＝5×2 ＝10 5×8－6 ＝40－6 ＝34 去掉括号后计算结果发生变化。 B．（24＋16）÷8 ＝40÷8 ＝5 24＋16÷8 ＝24＋2 ＝26 去掉括号后计算结果发生变化。 C．42＋（37－5） ＝42＋32 ＝74 42＋37－5 ＝79－5 ＝74 去掉括号后计算结果不变。 D．256－（181＋35） ＝256－216 ＝40 256－181＋35 ＝75＋35 ＝110 去掉括号后计算结果发生变化。 12．要使84－（23＋□）＞40，□里最大填（    ）。 A．22 B．20 C．19 D．17 【答案】B 【分析】左侧算式的结果要大于40，可以将23＋□看作一个整体，那么左侧算式就变成了减法算式。当差取41时，23＋□最大，□最大，即当84－（23＋□）＝41时□最大，计算即可求解。 【详解】根据分析： 84－41＝43 43－23＝20 □里最大填20。 13．计算60－36÷6和（60－36）÷6的（    ）。 A．计算顺序相同 B．计算结果相同 C．计算顺序和结果都不同 D．计算顺序和结果都相同 【答案】C 【分析】根据整数混合运算的运算顺序可知，有括号时先算括号里面，再算括号外面的；没有括号时，先算乘除法，再算加减法；据此解答。 【详解】60－36÷6 ＝60－6 ＝54 60－36÷6，先算除法，再算减法； （60－36）÷6 ＝24÷6 ＝4 （60－36）÷6，先算括号里面的减法，再算括号外面的除法； 即：60－36÷6≠（60－36）÷6 所以，计算60－36÷6和（60－36）÷6时，计算顺序和结果都不同。 三、判断题 14．24÷4÷2和24÷（4×2）的结果相同。( ) 【答案】√ 【分析】分别求出两个算式的结果，再比较判断即可。 【详解】 3＝3，所以原题说法正确。 故答案为：√ 15．计算3×8÷4时，应从左往右按顺序计算。( ) 【答案】√ 【分析】在没有括号的算式里，如果只有加、减法，或只有乘、除法，要从左往右按顺序计算。据此判断。 【详解】3×8÷4 ＝24÷4 ＝6 计算3×8÷4时，应从左往右按顺序计算。原题说法正确。 故答案为：√ 16．一本120页的书，平均每天读8页，读了72页，剩下的需要6天才能读完。( ) 【答案】√ 【分析】先算出还剩下几页，即用总页数减去已经读的页数，然后用剩下的页数除以每天读的页数即可求出剩下的需要几天读完，据此解答。 【详解】（120－72）÷8 ＝48÷8 ＝6（天） 即题干说法正确。 故答案为：√ 17．把42－35＝7，35÷7＝5合并成一个综合算式是42－35÷7。( ) 【答案】× 【分析】综合算式要按原来分步计算的顺序表示。先算42－35得到7，再用35除以这个差7，因此除法的除数必须是括号里的42－35。题目给出的42－35÷7会先算除法，运算顺序和原来不同。 【详解】先算括号里的减法：42－35＝7；再用35除以7：35÷7＝5。 正确的综合算式是35÷（42－35）＝5。 题目中的42－35÷7按运算顺序先算35÷7，再算42减商，不等于原来的计算过程。 故答案为：× 18．计算7×（4＋3）时，应该先算加法，再算乘法。( ) 【答案】√ 【分析】明确四则混合运算的运算顺序规则，因为存在括号的混合运算需要先计算括号内的内容，所以首先判断本题是否有括号。 如果式子中有小括号，那么优先计算小括号内的加法，再计算括号外的乘法，将该规则和题干描述的运算顺序做比对即可。 【详解】计算7×（4＋3）时，应该先算括号里的加法，再算乘法。原题目表述正确。 故答案为：√ 四、计算题 19．脱式计算。 72÷9×7    （64－34）÷6 7×（24－15）    74－（62－38） 【答案】56；5； 63；50 【分析】整数混合运算中，同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的，据此解答。 【详解】72÷9×7 ＝8×7 ＝56 （64－34）÷6 ＝30÷6 ＝5 7×（24－15） ＝7×9 ＝63 74－（62－38） ＝74－24 ＝50 五、解答题 20．小豆豆在巴学园里上课，她非常喜欢学校。第一天她读了245页书，第二天比第一天多读了38页，第三天比第二天少读了22页。小豆豆第三天读了多少页书？ 解答： 【答案】261页 【分析】根据题意，第一天读书的页数＋第二天比第一天多读的页数＝第二天读书的页数，第二天读书的页数－第三天比第二天少读的页数＝第三天读书的页数。据此列式计算。 【详解】245＋38－22 ＝ 283－22 ＝261（页）   答：小豆豆第三天读了261页书。 21．我校校本课程开始了，三年级参加篮球班的有6人，参加足球班的是篮球班的3倍还多3人。我们班参加足球班的一共多少人？（先画线段图表示数量关系，再解答） 【答案】；21人 【分析】求比一个数的几倍多几的数，用这个数乘倍数再加多出的数，线段图可直观呈现数量关系。 【详解】图略 6×3＋3 ＝18＋3 ＝21（人） 答：我们班参加足球班的一共21人。 22．兔妈妈拔了48个白萝卜和32个红萝卜，每个篮子能装8个萝卜，白萝卜比红萝卜要多装几个篮子？（用两种方法解答） 【答案】2个 【分析】第一种方法：先用白萝卜个数减去红萝卜个数算出白萝卜比红萝卜多几个，再用多的个数除以每个篮子能装的个数，就是多装几个篮子。 第二种方法：先分别算出白萝卜和红萝卜可以装的篮子个数，再相减即可求出多装的篮子数量。 【详解】方法一：（48－32）÷8 ＝16÷8 ＝2（个） 方法二：48÷8－32÷8 ＝6－4 ＝2（个） 答：白萝卜比红萝卜要多装2个篮子。 23．王奶奶养了80只兔子，其中灰兔32只，黑兔18只，剩下的是白兔，白兔有多少只？（两种方法解答） 【答案】30只 【分析】第一种方法：先计算灰兔和黑兔的总数量，再用兔子总数量减去这个和，即可得到白兔数量。 第二种方法：直接用总数量先减去灰兔数量，再减去黑兔数量，得到白兔数量。 【详解】方法一：80－（32＋18） ＝80－50 ＝30（只） 方法二：80－32－18 ＝48－18 ＝30（只） 答：白兔有30只。 24．蛋糕店上午做了24个蛋糕，下午比上午多做了8个。8个蛋糕装一盒，所有蛋糕一共可以装多少盒？ 【答案】7盒 【分析】已知下午比上午多做8个，所以先用上午做的蛋糕数加8得到下午的蛋糕数，再将上午和下午的蛋糕数相加得到总数，最后用总蛋糕数除以8就能得到装的盒数。 【详解】（24+8+24）÷8 =（32+24）÷8 =56÷8 =7（盒） 答：所有蛋糕一共可以装7盒。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $