专题4.5 函数y=Asin（ωx+φ）（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 4.5 函数y=Asin（ωx+φ）（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．了解 中 、、 的物理意义与几何意义； 2．会用"五点法"画出 的简图； 3．掌握由 到 的图象变换； 4．会求该函数的周期、最值、单调区间与对称轴（中心），会由图象求解析式。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 、、 的意义与最值周期 选择题、填空题 第4~6题／第12题 定最值、 定周期，直接读 图象的平移与伸缩变换 选择题 第4~6题 中档 "左加右减"加在 上，伸缩看 由性质（图象）求解析式 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第15题 中档 先 、再 、最后 单调区间与闭区间值域 选择题、解答题 第6题／第15题 中档 整体代入法，注意区间限制 对称轴与对称中心 选择题 第6题 中档 令整体等于 或 命题规律分析 本专题是三角函数图象与性质的综合应用，也是新高考的高频考点，常以选择题第4～6题、填空题第13题出现，在解答题第15题中也常作为第一问。核心是"整体代入法"：把 当成一个整体，套用 的结论求解。本讲难度定位为：参数意义必须清楚（ 定最值、 定周期、 定位置），第6题、第10题、第13题档的"求单调区间""由性质反求参数"按四步流程即可拿下。三个高频陷阱： 的符号与平移方向对应；"先伸缩后平移"时平移量要除以 ；闭区间求值域不能直接答 。 考点1 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 中参数的意义 知识点1 、、 的几何意义 在函数 （，）中： 叫做振幅，决定图象的"高矮"，函数的最大值为 ，最小值为 ，值域为 。 决定图象的"疏密"，它决定最小正周期 ； 越大，周期越短，图象越"密"。 叫做相位，当 时的相位 叫做初相，它决定图象左右平移的位置。 【方法技巧】 1．读参数"三对应"： 对应最值、 对应周期、 对应左右位置； 2．求周期直接用 ，不要先把括号展开或化简； 3．求闭区间上的值域时，先把 的范围算出来，再映射到正弦函数上。 【易错清单】 1．把 当成周期的一部分，误认为初相影响周期； 2．求最大值时忽略常数项（若有纵向平移 ，最大值是 ）； 3．把 与 的作用弄反（振幅影响高矮，角频率影响周期）。 知识点2 图象变换的两种顺序 顺序一（先平移、后伸缩）：由 向左（）或向右平移 个单位得 ；再把图象上各点的横坐标变为原来的 ，得 ；最后把纵坐标变为原来的 倍。 顺序二（先伸缩、后平移）：由 先把横坐标变为原来的 得 ；再向左平移 个单位得 。注意此时平移量要除以 。 横向变换的规律："把 换成 "就是左移 （左加右减）；"把 换成 "就是横坐标变为原来的 。 【方法技巧】 1．判断变换时"先看 被怎么换了"：先换什么，就对应那条变换； 2．牢记"先伸缩后平移要除以 "这一例外，它是最常考的点； 3．题目问"由 怎么变到 "，用顺序一验证：左移 再缩 ，代入验证得 ，正确。 【易错清单】 1．"先伸缩后平移"时平移量忘记除以 ，答成平移 ； 2．把"横坐标变为原来的 "错记成"变为原来的 倍"； 3．平移方向搞反（左加右减针对 ，不是针对函数值）。 考点2 性质、解析式与综合应用 知识点3 由性质（或图象）求解析式 由最值求 ：。 由周期求 ：（）。 由特殊点求 ：把该点坐标代入解析式解三角方程。常用对应关系：最高点对应 ；最低点对应 ；上升零点对应 。 四个步骤的顺序是固定的：先定 、再定 、然后定 、最后回代验证。 【方法技巧】 1．优先选用"最高点"或"最低点"这类含最大信息的点来确定 ； 2． 一般取 （或题目限定的更小范围）内的值； 3．求出解析式后，把已知点回代验证一遍，几秒钟就能排除错误答案。 【易错清单】 1．把点代入时看错横纵坐标； 2．忽略 的范围限制而写出多个解； 3．求 时用错周期公式（写成 ）。 知识点4 单调区间与闭区间上的值域 求 （）的单调递增区间：令 ，解出 的范围即可；求单调递减区间则令 。 求闭区间 上的值域：先算出 当 时的取值范围 ，再求 在该范围上的取值范围，最后乘以 。 求对称轴：令 ；求对称中心：令 （上下平移时纵坐标为平移量）。 【方法技巧】 1．整体代入法"三步走"：写出 的范围或 的单调区间 → 用 替换 → 解出 ； 2．闭区间求值域一定要"先算内层范围"，不能直接写 ； 3．若 ，先用诱导公式把 化为正数，再套用上述方法。 【易错清单】 1．闭区间求值域时直接把答案写成 ，忽略了区间的限制； 2．解不等式时三边没有同时运算，导致区间端点算错； 3．把对称轴与对称中心的公式混用（一个对应最值、一个对应零点）。 【题型1 参数的意义：最值与周期】 【例1】函数 的最大值与最小正周期分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【变式1-1】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】函数 的最小正周期是____________。 【变式1-3】函数 的初相是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 图象的平移与伸缩变换】 【例2】要由 的图象得到 的图象，只需（　　） A．向左平移 个单位长度　B．向右平移 个单位长度　C．向上平移 个单位长度　D．向下平移 个单位长度 【变式2-1】要得到 的图象，需把 图象上所有点的横坐标（　　） A．伸长到原来的 倍　B．缩短到原来的 　C．保持不变　D．缩短到原来的 【变式2-2】要由 的图象得到 的图象，需把图象上所有点的纵坐标变为原来的____________倍（横坐标不变）。 【变式2-3】把 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），则得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 由性质反求参数】 【例3】若函数 （，）的最大值是 ，最小正周期是 ，则（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【变式3-1】已知函数 （）的最小正周期为 ，则 ____________。 【变式3-2】已知函数 （）的最大值为 ，则 ____________。 【变式3-3】已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且图象经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 单调区间与闭区间上的值域】 【例4】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】函数 在区间 上的最大值是____________。 【变式4-2】函数 在区间 上的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 对称轴与对称中心】 【例5】函数 的图象的一条对称轴是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】函数 的图象的一个对称中心是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】函数 的图象的一条对称轴是____________。 【变式5-3】若函数 （）的图象关于直线 对称，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 综合应用】 【例6】已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知函数 ，则 ____________。 【变式6-2】函数 取得最大值时， 的取值集合是____________。 【变式6-3】已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）函数 的初相是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）把 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）函数 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 7．（★★）函数 的图象的一条对称轴是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）函数 在区间 上的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）关于函数 （，），下列说法正确的是（　　） A．最大值为 　B．最小正周期为 　C．最小值为 　D．初相为 10．（★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．最大值为 　B．最小正周期为 　C．　D． 11．（★★）把函数 的图象经过下列变换，能得到 的图象的是（　　） A．先向左平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 　B．先把横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位　C．先向左平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 　D．先把横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位 三、填空题 12．（★）函数 的最大值是____________。 13．（★★）函数 的最小正周期是____________。 14．（★★）函数 的单调递增区间是____________。 四、解答题 15．（★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与最大值； (2) 求 的值。 16．（★）求函数 在区间 上的值域。 17．（★★）已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且图象经过点 。求该函数的解析式。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求它的单调递增区间； (2) 求它的图象的对称轴方程。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的最大值以及取到最大值时 的集合； (2) 求 在区间 上的最小值。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题4.5 函数y=Asin（ωx+φ）　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 4.5 函数y=Asin（ωx+φ）（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．了解 中 、、 的物理意义与几何意义； 2．会用"五点法"画出 的简图； 3．掌握由 到 的图象变换； 4．会求该函数的周期、最值、单调区间与对称轴（中心），会由图象求解析式。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 、、 的意义与最值周期 选择题、填空题 第4~6题／第12题 定最值、 定周期，直接读 图象的平移与伸缩变换 选择题 第4~6题 中档 "左加右减"加在 上，伸缩看 由性质（图象）求解析式 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第15题 中档 先 、再 、最后 单调区间与闭区间值域 选择题、解答题 第6题／第15题 中档 整体代入法，注意区间限制 对称轴与对称中心 选择题 第6题 中档 令整体等于 或 命题规律分析 本专题是三角函数图象与性质的综合应用，也是新高考的高频考点，常以选择题第4～6题、填空题第13题出现，在解答题第15题中也常作为第一问。核心是"整体代入法"：把 当成一个整体，套用 的结论求解。本讲难度定位为：参数意义必须清楚（ 定最值、 定周期、 定位置），第6题、第10题、第13题档的"求单调区间""由性质反求参数"按四步流程即可拿下。三个高频陷阱： 的符号与平移方向对应；"先伸缩后平移"时平移量要除以 ；闭区间求值域不能直接答 。 考点1 函数 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 中参数的意义 知识点1 、、 的几何意义 在函数 （，）中： 叫做振幅，决定图象的"高矮"，函数的最大值为 ，最小值为 ，值域为 。 决定图象的"疏密"，它决定最小正周期 ； 越大，周期越短，图象越"密"。 叫做相位，当 时的相位 叫做初相，它决定图象左右平移的位置。 【方法技巧】 1．读参数"三对应"： 对应最值、 对应周期、 对应左右位置； 2．求周期直接用 ，不要先把括号展开或化简； 3．求闭区间上的值域时，先把 的范围算出来，再映射到正弦函数上。 【易错清单】 1．把 当成周期的一部分，误认为初相影响周期； 2．求最大值时忽略常数项（若有纵向平移 ，最大值是 ）； 3．把 与 的作用弄反（振幅影响高矮，角频率影响周期）。 知识点2 图象变换的两种顺序 顺序一（先平移、后伸缩）：由 向左（）或向右平移 个单位得 ；再把图象上各点的横坐标变为原来的 ，得 ；最后把纵坐标变为原来的 倍。 顺序二（先伸缩、后平移）：由 先把横坐标变为原来的 得 ；再向左平移 个单位得 。注意此时平移量要除以 。 横向变换的规律："把 换成 "就是左移 （左加右减）；"把 换成 "就是横坐标变为原来的 。 【方法技巧】 1．判断变换时"先看 被怎么换了"：先换什么，就对应那条变换； 2．牢记"先伸缩后平移要除以 "这一例外，它是最常考的点； 3．题目问"由 怎么变到 "，用顺序一验证：左移 再缩 ，代入验证得 ，正确。 【易错清单】 1．"先伸缩后平移"时平移量忘记除以 ，答成平移 ； 2．把"横坐标变为原来的 "错记成"变为原来的 倍"； 3．平移方向搞反（左加右减针对 ，不是针对函数值）。 考点2 性质、解析式与综合应用 知识点3 由性质（或图象）求解析式 由最值求 ：。 由周期求 ：（）。 由特殊点求 ：把该点坐标代入解析式解三角方程。常用对应关系：最高点对应 ；最低点对应 ；上升零点对应 。 四个步骤的顺序是固定的：先定 、再定 、然后定 、最后回代验证。 【方法技巧】 1．优先选用"最高点"或"最低点"这类含最大信息的点来确定 ； 2． 一般取 （或题目限定的更小范围）内的值； 3．求出解析式后，把已知点回代验证一遍，几秒钟就能排除错误答案。 【易错清单】 1．把点代入时看错横纵坐标； 2．忽略 的范围限制而写出多个解； 3．求 时用错周期公式（写成 ）。 知识点4 单调区间与闭区间上的值域 求 （）的单调递增区间：令 ，解出 的范围即可；求单调递减区间则令 。 求闭区间 上的值域：先算出 当 时的取值范围 ，再求 在该范围上的取值范围，最后乘以 。 求对称轴：令 ；求对称中心：令 （上下平移时纵坐标为平移量）。 【方法技巧】 1．整体代入法"三步走"：写出 的范围或 的单调区间 → 用 替换 → 解出 ； 2．闭区间求值域一定要"先算内层范围"，不能直接写 ； 3．若 ，先用诱导公式把 化为正数，再套用上述方法。 【易错清单】 1．闭区间求值域时直接把答案写成 ，忽略了区间的限制； 2．解不等式时三边没有同时运算，导致区间端点算错； 3．把对称轴与对称中心的公式混用（一个对应最值、一个对应零点）。 【题型1 参数的意义：最值与周期】 【例1】函数 的最大值与最小正周期分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【答案】A 【解题思路】 定最大值为 ， 定周期为 。 【解答过程】振幅 ，所以最大值为 ；，所以最小正周期 。故选A。 【方法点睛】"读参数"是最快的拿分方式：题目给出 ，最大值直接读 ，周期直接算 。 【变式1-1】函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最大值等于振幅 。 【解答过程】，所以最大值为 。故选A。 【变式1-2】函数 的最小正周期是____________。 【答案】 【解题思路】代入周期公式，注意 。 【解答过程】，所以 。 【变式1-3】函数 的初相是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】初相就是括号内的常数项 。 【解答过程】在 中，，即初相为 。故选A。 【方法点睛】区分三个名字： 叫振幅、 叫角频率、 叫初相；括号内整体 叫相位。 【题型2 图象的平移与伸缩变换】 【例2】要由 的图象得到 的图象，只需（　　） A．向左平移 个单位长度　B．向右平移 个单位长度　C．向上平移 个单位长度　D．向下平移 个单位长度 【答案】A 【解题思路】"左加右减"：括号内 加了正数就是左移。 【解答过程】 相对于 是 变成了 ，即向左平移 个单位长度。故选A。 【方法点睛】判断左右平移只看 被"加"还是"减"：加正数向左，减正数向右。上下平移才是把常数加在函数值上。 【变式2-1】要得到 的图象，需把 图象上所有点的横坐标（　　） A．伸长到原来的 倍　B．缩短到原来的 　C．保持不变　D．缩短到原来的 【答案】B 【解题思路】 的系数由 变为 ，横坐标缩短为原来的 。 【解答过程】把 换成 相当于横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），所以应缩短到原来的 。故选B。 【方法点睛】横向伸缩是"倒数关系"： 的系数乘 ，横坐标就除以 ，不要弄反方向。 【变式2-2】要由 的图象得到 的图象，需把图象上所有点的纵坐标变为原来的____________倍（横坐标不变）。 【答案】 【解题思路】纵坐标的变化倍数就是 。 【解答过程】 中 ，所以纵坐标应变为原来的 倍。 【变式2-3】把 的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），则得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按"先平移、后伸缩"的顺序逐步替换 。 【解答过程】第一步左移 ：把 换成 ，得 。第二步横坐标缩短到 ：把 换成 ，得 。故选A。 【方法点睛】"先平移后伸缩"时，平移量不被 影响（因为平移时 还是 ）。这比"先伸缩后平移"少一个坑。 【题型3 由性质反求参数】 【例3】若函数 （，）的最大值是 ，最小正周期是 ，则（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】A 【解题思路】最值定 ，周期定 。 【解答过程】由最大值 得 ；由 得 。故选A。 【方法点睛】"最值定 、周期定 "是固定顺序，先求哪个都不会错，但先求 通常更简单。 【变式3-1】已知函数 （）的最小正周期为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】由周期公式反解 。 【解答过程】由 ，得 。 【变式3-2】已知函数 （）的最大值为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】最大值等于振幅。 【解答过程】由最大值为 得 。 【变式3-3】已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且图象经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 、，再由点坐标求 ，注意范围限制。 【解答过程】由最大值 得 ；由 得 。把 代入得 ，即 。由 得 。故选A。 【方法点睛】求 时"范围限制"是筛选答案的关键： 的所有解中，只有 落在 内。 【题型4 单调区间与闭区间上的值域】 【例4】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 整体代入正弦函数的递增区间。 【解答过程】令 ，各边加 得 ，再同除以 得 。故选A。 【方法点睛】注意 ，所以最后一步除以 时 要写成 （不是 ），这正是选项D的错误所在。 【变式4-1】函数 在区间 上的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】该区间落在递增区间内，最大值在右端点取得。 【解答过程】当 时， 从 递增到 ，所以 的最大值为 。 【变式4-2】函数 在区间 上的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求内层整体的范围，再映射到正弦函数上。 【解答过程】当 时，。因为 在 上单调递增，所以 。故选A。 【方法点睛】闭区间求值域的三步：算内层范围 → 判断 在该范围上的单调性 → 求端点值。绝不能直接答 。 【变式4-3】函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】看内层整体范围是否包含 （正弦取最大值的点）。 【解答过程】当 时，，而 落在这个范围内，所以 能取到最大值 ，故 的最大值为 。故选A。 【方法点睛】求闭区间上的最大值，关键看"最值点是否落在区间内"：内层范围包含 就能取到最大值。 【题型5 对称轴与对称中心】 【例5】函数 的图象的一条对称轴是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】令整体等于 再解出 。 【解答过程】令 ，得 ，即 。取 得 。故选A。 【方法点睛】对称轴处函数取最值，所以把整体代入 ；对称中心处函数值为零，代入 。两个公式不要用反。 【变式5-1】函数 的图象的一个对称中心是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】余弦的对称中心在零点处，令 。 【解答过程】令 ，得 。取 得 。故选A。 【变式5-2】函数 的图象的一条对称轴是____________。 【答案】 【解题思路】令 解出 ，取一个值即可。 【解答过程】令 ，得 。取 得 。 【变式5-3】若函数 （）的图象关于直线 对称，则 的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把对称轴的横坐标代入对称轴方程，解出 后取最小正值。 【解答过程】由对称轴条件，，所以 ，解得 （）。因为 ，取 得最小值 。故选A。 【方法点睛】"关于直线 对称"就是"对称轴方程在 处成立"，把 代进去解参数即可，注意最后要按 取最小的正值。 【题型6 综合应用】 【例6】已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 代入解析式。 【解答过程】。故选A。 【方法点睛】求具体函数值时先算出括号内整体的值，再查三角函数值表，两步走不要跳步。 【变式6-1】已知函数 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】代入求值。 【解答过程】。 【变式6-2】函数 取得最大值时， 的取值集合是____________。 【答案】 【解题思路】令整体等于 后解出 。 【解答过程】令 ，得 ，即 。所以取值集合为 。 【方法点睛】注意最大值对应的是 （带 ），不是 （那是"对称轴"条件）。 【变式6-3】已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 、，再用"取最大值"这一条件求 。 【解答过程】由最大值 得 ；由 得 。因为 是最大值，所以 ，即 ，得 。由 得 。故选A。 【方法点睛】"在 处取到最大值"等价于"内层整体等于 "，这是求初相最省力的一类条件。 一、单选题 1．（★）函数 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】最大值等于振幅。 【解答过程】，所以最大值为 。故选B。 2．（★）函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入周期公式。 【解答过程】，所以 。故选B。 3．（★）函数 的初相是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】初相是括号内的常数项。 【解答过程】在 中 。故选A。 4．（★）把 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】"右减"：把 换成 。 【解答过程】向右平移 个单位，得 。故选B。 5．（★）函数 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】值域为 。 【解答过程】，所以值域为 。故选A。 6．（★★）函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【答案】A 【解题思路】 定周期， 定最大值。 【解答过程】，所以 ；，所以最大值为 。故选A。 7．（★★）函数 的图象的一条对称轴是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】令整体等于 。 【解答过程】令 ，得 。取 得 。故选A。 8．（★★）函数 在区间 上的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求内层整体范围，再映射到正弦函数。 【解答过程】当 时，，所以 。故选A。 二、多选题 9．（★）关于函数 （，），下列说法正确的是（　　） A．最大值为 　B．最小正周期为 　C．最小值为 　D．初相为 【答案】ABC 【解题思路】对照三个参数的意义判断。 【解答过程】A、B、C都正确；D错误，初相是 ，而 是角频率（决定周期）。故选ABC。 10．（★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．最大值为 　B．最小正周期为 　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项用参数意义或代入求值检验。 【解答过程】A正确（）；B正确（）；C正确（）；D错误，。故选ABC。 11．（★★）把函数 的图象经过下列变换，能得到 的图象的是（　　） A．先向左平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 　B．先把横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位　C．先向左平移 个单位，再把横坐标缩短到原来的 　D．先把横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位 【答案】AB 【解题思路】把每条路径的结果算出来，与目标函数比对。 【解答过程】A：左移 得 ，再缩 得 ，正确；B：缩 得 ，再左移 得 ，正确；C：左移 再缩 得 ，错误；D：缩 再左移 得 ，错误。故选AB。 三、填空题 12．（★）函数 的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】最大值等于振幅。 【解答过程】，所以最大值为 。 13．（★★）函数 的最小正周期是____________。 【答案】 【解题思路】代入周期公式。 【解答过程】，所以 。 14．（★★）函数 的单调递增区间是____________。 【答案】（） 【解题思路】整体代入正弦的递增区间。 【解答过程】令 ，各边减 得 ，再同除以 得 。 四、解答题 15．（★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与最大值； (2) 求 的值。 【答案】(1) 最小正周期为 ，最大值为 ； (2) 。 【解题思路】(1) 读参数；(2) 代入求值。 【解答过程】(1) ，所以最小正周期 ；振幅 ，所以最大值为 。 (2) 。 16．（★）求函数 在区间 上的值域。 【答案】。 【解题思路】先求内层整体的范围，再映射到正弦函数。 【解答过程】当 时，。因为 在 上递增、在 上递减，所以 的最小值为 （注意 ），最大值为 ，即 ，所以 。 17．（★★）已知函数 （，，）的最大值为 ，最小正周期为 ，且图象经过点 。求该函数的解析式。 【答案】。 【解题思路】按"最值定 、周期定 、点定 "的顺序求解。 【解答过程】由最大值 得 。由 得 。把 代入得 ，即 ，由 得 。所以解析式为 。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求它的单调递增区间； (2) 求它的图象的对称轴方程。 【答案】(1) （）； (2) （）。 【解题思路】(1) 整体代入单调递增区间；(2) 整体代入对称轴方程。 【解答过程】(1) 令 ，各边减 得 ，再同除以 得 。 (2) 令 ，得 ，即 。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的最大值以及取到最大值时 的集合； (2) 求 在区间 上的最小值。 【答案】(1) 最大值为 ， 的集合为 ； (2) 最小值为 。 【解题思路】(1) 令整体等于 ；(2) 求出内层范围后找正弦的最小值。 【解答过程】(1) 当 ，即 （）时取最大值 ，故取值集合为 。 (2) 当 时，。因为 在 上递增、在 上递减，所以 的最小值为 ，故 的最小值为 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题4.5 函数y=Asin（ωx+φ）　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $