专题3.3 导数与函数的单调性（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数的单调性核心考点，涵盖导数与单调性关系、单调区间求解及参数范围确定、大小比较等应用，按基础关系-应用策略-题型突破逻辑架构知识。通过考点梳理、方法指导（如构造函数技巧）、真题训练（近三年高考题及变式）等环节，帮助学生系统构建解题框架，突破分类讨论等难点。 资料以分层题型设计为特色，8大题型覆盖高考常见考法，每个题型配典型例题与变式训练。教学中注重数学思维培养，如含参单调性讨论通过“定义域-求导-分类讨论”步骤训练逻辑推理，构造函数解不等式时引导学生用数学语言表达关系。设置基础到综合的练习梯度，配合命题规律分析，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

专题3.3 导数与函数的单调性（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 (2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) (3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 导数与函数的单调性 新课标I卷：第10题，6分 全国甲卷（文数）：第6题，5分 全国甲卷（文数）：第20题（1），5分 全国二卷：第18题（2）（i），5分 全国一卷：第13题，5分 北京卷：第5题，4分 命题规律分析 1、导数与函数的单调性 导数与函数是高中数学的核心内容，是高考必考的重点内容，从近三年的高考情况来看，高考对导数与函数单调性的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大。本节在高考中侧重以导数为工具研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性解不等式、求参数范围等；常以选择题、填空题或解答题的第一问进行考查，试题难度以基础、中档为主。此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，复习时要加强训练. 考点1 导数与函数的单调性 知识点1 导数中函数单调性问题及其解题策略 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. 2．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 4．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 知识点2 导数中函数单调性的应用 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【解题方法与技巧】 导数关系构造函数的一些常见结构： (1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=. (5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=. (6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=. (7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=. 【题型1 求不含参函数的单调区间】 【例1】（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先得出函数的定义域，再令，解不等式即可. 【解答过程】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 故选：A. 【变式1-1】（2026·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先得出函数的定义域，再令，解不等式即可. 【解答过程】函数的定义域为，，令，解得：， 多取一个端点不影响单调性，所以在上单调递减. 故选：D. 【变式1-2】（2026·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可. 【解答过程】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二下·重庆·期中）函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导函数，然后解不等式，结合对数函数单调性即可得解. 【解答过程】因为，所以， 令得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【题型2 函数与导函数图象之间的关系】 【例2】（2026·云南昆明·模拟预测）函数的图象如图所示，为的导函数，下列排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据的图象判断的符号以及单调性，由此确定正确答案. 【解答过程】根据的图象可知，在区间上单调递增， 且函数增长的速度逐渐减慢，切线斜率递减. 所以，且单调递减， 所以. 故选：D. 【变式2-1】（2026·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导可得，再由二次函数的图象性质即可判断. 【解答过程】， 如图：因为的图象是开口向上的抛物线，所以 ； 应为函数图象关于轴对称，即为偶函数，所以； 因为有两根且互为相反数，所以. 综上：. 故选：B． 【变式2-2】（25-26高二下·山东烟台·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据函数图象确定与的符号区间，结合与同号即可求解. 【解答过程】由的图象可知，当时，；当时，；当或时，； 当时，；当时，；当或时，； 若不等式，则与同号，分情况讨论： ①当且时，交集为； ②当且时，交集为； 因此，不等式的解集为，故D正确. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高二下·河南·阶段检测）函数的部分图象如右图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③；④，， 其中正确的结论的序号为（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【解题思路】由函数图像可知函数在上单调递增，恒成立，据此可判断②④，结合函数在增长越来越缓慢即可判断①，再根据函数在点处切线的斜率小于割线的斜率即可判断③． 【解答过程】由图可知，函数在上单调递增，恒成立， 所以，，②正确，④错误； 由函数在增长越来越缓慢，可知在单调递减， 所以，①正确； 如图，函数在点处切线的斜率小于割线的斜率， 所以，即，③正确． 故选：B. 【题型3 判断不含参函数的单调性】 【例3】（2026·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【解答过程】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 【变式3-1】（2026·北京海淀·三模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由幂函数的单调性可判断AC；对求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D. 【解答过程】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 【变式3-2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）下列函数在上是单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导函数正负判断单调性判断A，C，D，根据对数复合型函数单调性判断B. 【解答过程】对于A，单调递减，有减区间，所以错误； 对于B．当时，单调递减，单调递增，所以当时单调递减，错误； 对于C．，在，故，错误； 对于D．在恒成立，正确， 故选：D． 【变式3-3】（2026·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据奇函数的定义，和函数单调性与导函数的关系，求出函数在区间上的单调性，分别判断各选项正误. 【解答过程】已知的定义域是，不是奇函数，所以A错误. 已知，定义域为，且，是奇函数， ，所以在区间上单调递增，所以B正确. 已知，则，在区间上单调递减，所以C错误. 已知，则，令，即，解得， 所以在上单调递减，所以D错误. 故选：B. 【题型4 含参函数的单调性讨论】 【例4】（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数单调性； (2)当时，函数有两个不同的零点，求证：. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2)证明见解析 【解题思路】（1）求出的定义域，根据导数与单调性的关系求解即可. （2）根据题意及函数的单调性得到，通过构造函数 ，求导，结合单调性证明即可. 【解答过程】（1）函数，定义域为，则， 当时，，函数在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）证明如下： 由（1）知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 由题知，， 不妨设，则， 设，， 则. 当时，，. 令 ，则， 当时，，所以在上单调递减， 故，即， 所以，所以单调递减，， 所以，即. 因为，所以，又，， 所以，即. 【变式4-1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【解题思路】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【解答过程】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 【变式4-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，，，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上递减，在上递增. (2) 【解题思路】（1）求出的定义域，求出，利用基本不等式得到，故分别按照和这两种情况讨论求解，当时，令，即，求出此方程的两个根，；利用韦达定理得到，解出和的解，从而得到的单调性. （2）设有三个零点，，，而.求出得到，，满足，，，求出的单调性，求出，，故由零点存在性定理得到当时，必存在三个不同实数，，，且，使得 ，从而得到的取值范围. 【解答过程】（1）的定义域为，， ，当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，， 则，所以在上单调递增； 当时，令，即， 则的两个根为，； 又，则， 则的解为或，的解为， 则在上单调递增，在上递减，在上递增； 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上递减，在上递增. （2）设有三个零点，，，而. 当且时，由，得到：； 故，，又因为， 故，，满足，，， 所以有两个不等实根， 即在有两个不同的实数根，，， 则，得到，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 取，所以， 由，设，， 设函数的导函数为， 则， 则在上递减，故，故在上递减. 故，故， 而，， 取时，， 故由零点存在性定理可知， 当时，必存在三个不同实数，，， 且，使得 . 故. 【变式4-3】（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个零点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：，． 【答案】(1)时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. (2)（i）； （ii）证明见解析 【解题思路】（1）先求导可得，分别讨论和的情况，进而求解即可； （2）（i）当时由函数在上单调则不符合题意；当时，分析时，都有，存在两个零点只需，可得； （ii）利用作差法证明极小值，即可得证. 【解答过程】（1）由题意得， ①当时，，所以在上单调递增； ②当时，由，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，时，在上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由于有两个零点， 由（1）可知，当时，在上单调递增，不符合题意； 当时，， ， 因为时，，时，，，即， 所以函数存在两个零点，只需， 由，所以， 令，显然在上单调递增， 又，所以由可得. 综上，当时，有两个零点. （ii）证明：由（i）知，若存在两个零点，则， 此时有最小值，只需证即可， 因为， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 又因为，所以， 所以， 即当时，存在，使得. 【题型5 根据函数的单调性求参数】 【例5】（2026·河北保定·二模）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由函数在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，即，就是求范围内的最大值，利用导数法求出单调性，通过单调性求出最大值即可得解. 【解答过程】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， ， 在区间上恒成立， ， ， 设， ， ，，，在上单调递增， 当时，， 则在内，有， 故，故的取值范围为. 故选：D. 【变式5-1】（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】通过将函数单调递增转化为恒成立问题，从而分离参数，构造新函数求最值即可. 【解答过程】因为函数在区间上单调递增， 所以在恒成立，即， 令，所以只需即可. 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取到最小值为，即， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 【变式5-2】（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二次函数的性质及导数分析分段函数单调性及最值，再利用单调递增条件构造不等式，从而求出的取值范围． 【解答过程】当时，，开口向下，对称轴为， 在上单调递增，最大值为； 当时，，求导得， 要使在上单调递增，需对所有恒成立， 即，则， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值，， ， 在上单调递增， ，解得， 综上可得，． 故选：D. 【变式5-3】（2026·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【解答过程】求导可得， 由题意有解， 即有解， 即有解， 令， 因为，易知在单调递增， 此时，所以， 又，， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：B. 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对数函数的单调性比较，构造函数，由导数得到函数单调性，然后比较，从而求得结果. 【解答过程】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. 故选：B． 【变式6-1】（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分别构造函数，，利用导数分析两个函数的单调性，即可得及关系，从而得到答案. 【解答过程】令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 又，所以 所以，即. 令，则， 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以恒成立，即恒成立，所以是减函数， 所以，即，即． 综上所述，. 故选：C. 【变式6-2】（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判断出，，，变形，构造函数，比较出，得到答案 【解答过程】，，， 其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， 所以. 故选：D. 【变式6-3】（2026·甘肃平凉·模拟预测）若，，，，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题可得，设，利用导数得到函数的单调性，进而可得，再判断与零的大小即可． 【解答过程】，， 则， 设， ， 令，， 在上单调递增，则时，， 即，则， 在上单调递减， ，即， ， ，， 则． 故选：B. 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合函数的奇偶性和单调性求解. 【解答过程】的定义域为R， 因为，所以函数是R上的增函数. 因为，所以函数是奇函数， 所以由得， 则，解得. 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式7-1】（2026·江苏·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据已知条件得出函数的对称性与单调性，再利用函数性质化简不等式求解. 【解答过程】由题意可得：，， 则关于对称，， 所以在上单调递增，等价于， 所以，即，所以． 故选：B． 【变式7-2】（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】证明的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【解答过程】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于， 即. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，， 所以的取值范围为. 故选：D. 【变式7-3】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【解答过程】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 故选：C. 【题型8 导数关系构造函数解不等式】 【例8】（2026·青海西宁·二模）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题干条件，构造辅助函数转化不等式，利用函数的单调性解不等式，从而求出不等式的解集. 【解答过程】解：设，则， 由，可得，又，所以， 则在上单调递增. 将原不等式两边同时除以得：，即，所以， 由在上单调递增，所以，即， 又因为且，所以， 综上，不等式的解集为. 故选：B. 【变式8-1】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式. 【解答过程】解：令， 则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于， 所以， 即不等式的解集为. 故选：D． 【变式8-2】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据可构造函数，将转化为的函数值间的大小比较，根据导数研究的单调性，进而可得关于的不等式，解不等式即可. 【解答过程】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 故选：D. 【变式8-3】（2026·云南大理·二模）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数根据导数判断单调性，结合单调性求解不等式即可. 【解答过程】令，则，所以在上单调递增， 则原不等式等价于，因为，所以， 故 ，所以， 解得，所以不等式 的解集为． 故选：D. 一、单选题 1．（2026·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【解答过程】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 2．（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   【答案】D 【解题思路】根据函数的单调性与导数的关系、以及函数下降速度的快慢判断即可. 【解答过程】当时，且递减，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”， 当时，且递增，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意. 故选：D. 3．（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据特殊值结合单调性的性质判断选项ABC；根据奇偶性的定义以及利用导数证明单调性即可判断D选项． 【解答过程】，定义域为， 又，所以为奇函数， 易知，则不单调，故A不符合题意； 因为， ，则为偶函数，故B不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， 又在单调递减， 则在单调递减，故C不符合题意； ，定义域为， 又，所以为奇函数， ，所以在上单调递增，故D符合题意． 故选：D. 4．（2026·河北沧州·三模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，求导可得，可得，令，利用导数可得，进而判断. 【解答过程】令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当，，即函数在上为增函数， 所以，所以，当且仅当时取到等号， 令，所以，所以， 因为，所以，所以， 令，求导得， 令，求导得， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以在上单调递增，所以， 令，则可得， 所以，所以， 所以. 故选：B. 5．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】在上单调递增，可得在上恒成立，得到，令，则只需（），利用导数求出的单调性，利用单调性得到，从而得到的取值范围. 【解答过程】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 故选：B. 6．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论. 【解答过程】设函数， 则 ． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 故选：A. 7．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据解析式得关于直线对称，利用导数判断在上单调性，再应用对称性和单调性判断函数值的大小即可. 【解答过程】由， 所以关于直线对称， 当时，，则， 所以在上单调递增， 由，则，而， 所以，故，即， 由 ，故，即， 综上，. 故选：A. 8．（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】构造函数，求导后可知在上单调递减，由得，不等式等价于，从而得解． 【解答过程】设，则， 所以在上单调递减； 因为，所以， 由，得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集是． 故选：D. 二、多选题 9．（2026·广东肇庆·二模）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【解题思路】先应用指数函数单调性转化已知条件，再应用导函数得出函数单调性求解参数判定A和B，再根据单调性判断C，D. 【解答过程】因为函数在上单调递增，所以原命题等价于“存在，使得函数在区间和上单调递减”. 又因为，所以，故A错误､B正确； 此时在上单调递增，在 和上单调递减， 所以在上单调递增，在和上单调递减，故C正确、D错误. 故选：BC. 10．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，且，则（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 【答案】ACD 【解题思路】根据可判断A；根据可判断B；求导即可研究其单调性判断C；根据单调性求其最小值即可判断D. 【解答过程】因，则，故A正确； ，则，故不是奇函数，B错误； ，令，则， 则在上单调递增，则， 故在上单调递增，C正确； 的定义域为，由C选项可知，在上单调递增， 因，， 则存在使得，即，， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因，则，则，等号成立时， 故，则，故D正确. 故选：ACD. 11．（2026·福建南平·二模）已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D．在上是减函数 【答案】ACD 【解题思路】令判断A，令可判断B，令，所给等式两边取导数可判断C，对两边取导数，再令可求出，即可得出函数单调性判断D. 【解答过程】令，可得，故A正确； 令，可得，即，所以函数为奇函数，故B错误； 令，则，两边取导数可得，即，故C正确； 由，对两边求导，， 令，可得，又，所以， 当时，，所以在上是减函数，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 12．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解题思路】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【解答过程】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 故答案为：. 13．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】根据函数的单调性与导数的关系，将问题转化为不等式恒成立的问题，再通过参数分离即可求出. 【解答过程】函数的定义域为，， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，令，则， 因为，所以，则， 故在上单调递减， 故，故的取值范围为. 故答案为：. 14．（2026·吉林长春·三模）已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 【答案】 【解题思路】根据函数奇偶性以及导函数性质可得，再求导并利用基本不等式可判断的单调性，解不等式可得结果. 【解答过程】由题意知，两边同时求导，即是奇函数， 又是偶函数， 则， 可得， 令， 可得， 易知，当且仅当时等号成立； 即函数在上单调递减，又是奇函数，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为函数是偶函数，则， 可知不等式等价于，即， 即，即可得，解得， 则不等式的解集是. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【解题思路】（1）对函数求导，分析导函数的符号，从而可判断函数的单调性； （2）先对不等式进行变形分离参数，再构造函数借助导数找到函数的最小值，从而得到m的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 16．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由为函数的极值点，得，从而求出的值； （2）设在定义域上单调，求出的取值范围，由此可得结论. 【解答过程】（1）由题意得， 因为为函数的极值点，所以，解得， 经检验，当时，为函数的极值点，所以． （2）因为的定义域为，， 设在单调， ①函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立， 又当时，，当且仅当时等号成立， 所以， ②函数在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立，矛盾 所以若在单调，则， 故若在定义域上不单调，则的取值范围为． 17．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. (2) 【解题思路】（1）利用导数与函数的单调性的关系，分和两种情况讨论，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与有两个交点，先求出的单调区间，进而求作出的图象，数形结合，即可求解. 【解答过程】（1）易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，得到，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）令，得到，即， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，且，的图象如图所示， 因为有两个零点，则与有两个交点， 所以，即， 所以的取值范围为. 18．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减； (2)； (3)证明见解析 【解题思路】（1）求导后分和两种情况讨论求解即可； （2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可； （3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明. 【解答过程】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 19．（2026·湖北随州·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：； (3)设函数，若有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 【答案】(1)在 上单调递增，在 上单调递减 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据导数与单调性的关系求解即可. （2）构造函数，结合导数与单调性及最值的关系分别证明不等式的左边及右边，即可得证. （3）通过分离常数将原问题转化为方程有两个不同的实根的问题，构造函数，结合导数与单调性及最值的关系作出简图，求出当时，的值，进一步讨论求解即可. 【解答过程】（1）当时， ， 由题意得，． 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）若，那么函数 ． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为． 左边：设 ，则， 所以在上单调递增，故，即； 右边：设 ，则， 因此函数在上单调递减，故，即． 综上，当时，. （3）由题意知 . ，是有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根． 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在上单调递增，在 上单调递减，则， 且当时，，当时，． 则的大致图像如图，可知若曲线与直线有两个交点， 交点的横坐标分别为，，则，且． 先考虑的情形： 此时，则，所以， 所以，此时． 当时，，，从而，不符合条件； 当时，，，从而，符合条件， 所以要使，必须，所以． 故的取值范围是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 导数与函数的单调性（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系 (2)能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) (3)会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等简单应用 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 导数与函数的单调性 新课标I卷：第10题，6分 全国甲卷（文数）：第6题，5分 全国甲卷（文数）：第20题（1），5分 全国二卷：第18题（2）（i），5分 全国一卷：第13题，5分 北京卷：第5题，4分 命题规律分析 1、导数与函数的单调性 导数与函数是高中数学的核心内容，是高考必考的重点内容，从近三年的高考情况来看，高考对导数与函数单调性的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大。本节在高考中侧重以导数为工具研究函数的单调性、求函数的单调区间、利用函数的单调性解不等式、求参数范围等；常以选择题、填空题或解答题的第一问进行考查，试题难度以基础、中档为主。此类问题体现了分类讨论、转化与化归等数学思想，复习时要加强训练. 考点1 导数与函数的单调性 知识点1 导数中函数单调性问题及其解题策略 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. 2．确定函数单调区间的步骤； (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．含参函数的单调性的解题策略： (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内. 4．根据函数单调性求参数的一般思路： (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 知识点2 导数中函数单调性的应用 1．比较大小： 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2．解不等式： 与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【解题方法与技巧】 导数关系构造函数的一些常见结构： (1)对于不等式f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x). (2)对于不等式f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x). 特别地，对于不等式f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx. (3)对于不等式f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x). (4)对于不等式f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=. (5)对于不等式xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=. (6)对于不等式f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=. (7)对于不等式f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=. 【题型1 求不含参函数的单调区间】 【例1】（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·四川成都·模拟预测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二下·重庆·期中）函数的单调递增区间为（  ） A． B． C． D． 【题型2 函数与导函数图象之间的关系】 【例2】（2026·云南昆明·模拟预测）函数的图象如图所示，为的导函数，下列排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·河北·模拟预测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二下·山东烟台·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，其导函数为，且，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二下·河南·阶段检测）函数的部分图象如右图所示，是的导函数，给出下列四个结论： ①； ②； ③；④，， 其中正确的结论的序号为（     ） A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【题型3 判断不含参函数的单调性】 【例3】（2026·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·北京海淀·三模）下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）下列函数在上是单调递增的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【题型4 含参函数的单调性讨论】 【例4】（2026·河南洛阳·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数单调性； (2)当时，函数有两个不同的零点，求证：. 【变式4-1】（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【变式4-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，，，且，求实数a的取值范围. 【变式4-3】（2026·山东烟台·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在两个零点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：，． 【题型5 根据函数的单调性求参数】 【例5】（2026·河北保定·二模）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·四川雅安·二模）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·山西吕梁·三模）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·河南·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·天津河西·二模）设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·甘肃平凉·模拟预测）若，，，，则a，b的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（2026·广东肇庆·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·江苏·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·安徽合肥·二模）已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型8 导数关系构造函数解不等式】 【例8】（2026·青海西宁·二模）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026·云南大理·二模）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   3．（2026·天津·二模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北沧州·三模）设，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，设，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·广东肇庆·二模）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 10．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数，且，则（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递增 D． 11．（2026·福建南平·二模）已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A． B．是偶函数 C． D．在上是减函数 三、填空题 12．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为__________． 13．（2026·河北保定·一模）已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围为__________． 14．（2026·吉林长春·三模）已知函数及其导数的定义域都是，若函数是偶函数，函数也是偶函数，则不等式的解集是__________. 四、解答题 15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 16．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 17．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 18．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 19．（2026·湖北随州·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：； (3)设函数，若有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $