专题3.3导数与函数的极值、最值（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 3.3 导数与函数的极值、最值（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会求函数的极值； 2．会用导数求函数在闭区间上的最大值与最小值； 3．会由极值、最值条件求参数； 4．了解函数零点的个数与图象交点之间的关系。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 求函数的极值（极值点） 选择题、解答题 第4~6题／第15题 基础 求导解零根，看两侧符号是否变号 求闭区间上的最值 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第15题 基础／中档 极值点与端点值一起比大小 由极值（最值）条件求参数 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 导数为零＋极大极小判断 恒成立求参数范围 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第16题 中档 转化为最值比较 函数零点个数判断 选择题 第6题 中档 极值异号 → 三个零点 命题规律分析 极值与最值是导数应用的核心，也是解答题第15～16题的主要出题点。新高考中，求极值、求闭区间最值常以选择题第4～6题、填空题第13题出现；含参极值与恒成立求参数多压在第6题、第13题这一档。本讲难度定位为：极值、最值的求解步骤必须规范（求导 → 求根 → 判断符号变号 → 得出极值；再与端点值比较得最值），第6题、第10题、第13题档的"恒成立求参数"用"最值比较"或"分离参数"两步拿下。三个高频陷阱： 不一定是极值点（如 在 处）；求闭区间最值不能只看极值而漏掉端点；极值点不能是区间端点。 考点1 函数的极值 知识点1 极值的概念与求法 若函数 在点 附近的所有点处的函数值都小于 ，则称 为 的一个极大值， 为极大值点；若都大于 ，则称 为极小值， 为极小值点。极大值与极小值统称极值。 极值的判定（用导数符号）：若 ，且在 的左侧 、右侧 ，则 是极大值点；若左负右正，则 是极小值点；若两侧符号相同，则 不是极值点。 求极值的三步：① 求定义域与 ；② 解方程 得到所有驻点；③ 列表判断每个驻点两侧 的符号，符号由正变负为极大值点，由负变正为极小值点，并算出对应的函数值。 【方法技巧】 1．判断极值只看"符号是否变号"，不看导数的大小； 2．列表法最稳妥：把定义域按驻点分段，写出每段的 符号与 的增减，一眼看出极值； 3．极值点必须落在定义域内，定义域端点上不能取到极值。 【易错清单】 1． 不是极值点的充分条件，例如 在 处 但无极值； 2．求极值时忘记与定义域取交集，把定义域外的驻点也算进来； 3．把"极大值"与"最大值"混为一谈——极大值只是"局部最大"。 知识点2 函数在闭区间上的最值 求函数 在闭区间 上的最值：先求出 在 内的所有极值，再把它们与端点函数值 、 一起比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。 若函数在区间上单调，则最值直接出现在两个端点处。 含参数的最值问题：先求驻点（可能含参数），再判断驻点是否落在给定区间内，按"驻点在区间左、在区间内、在区间右"分类讨论。 【方法技巧】 1．"极值点 + 两个端点"共三类值一起比较，这是闭区间求最值的固定动作； 2．可以先求导判断单调性，若单调则直接代端点，省去比较； 3．含参最值题先判断驻点与区间的位置关系，再分别写结论，最后"综上"。 【易错清单】 1．只比较极值、漏掉端点值，导致最值算错； 2．驻点不在给定区间内时仍把它当最值； 3．分类讨论不完整，漏掉某一种位置关系。 考点2 恒成立、零点与参数范围 知识点3 恒成立问题与参数范围 恒成立的两个基本结论： 对一切 恒成立 在 上的最小值 ； 对一切 恒成立 在 上的最大值 。 含参恒成立问题的两条路：① 直接求函数的最值，让最值满足不等式；② 分离参数，把问题变成 （或 ）恒成立，再求 的最值。 注意区分"恒成立"与"存在性"： 有解（存在解）等价于 的最大值 ，与恒成立的最值方向相反。 【方法技巧】 1．参数容易分离时优先分离参数，把参数问题变成"求另一个函数的最值"； 2．参数不容易分离时，直接对含参函数求最值，再解关于参数的不等式； 3．写下结论前先想清楚"是求最大值还是最小值"，方向搞错全盘皆输。 【易错清单】 1．把"恒成立"当成"存在解"，最值方向取反； 2．分离参数时不等号方向随除以负数而改变，漏改符号； 3．忘记检查等号能否取到，导致参数范围多一个端点。 知识点4 函数零点个数的判断 零点存在定理：若函数 在 上的图象连续不断，且 ，则 在 内至少有一个零点。 判断零点个数常用"极值符号法"：求出函数的极大值与极小值，若极大值大于 且极小值小于 ，则函数图象与 轴有三个交点，即有三个零点；若极值恰为零，则零点个数减少（出现重根情形）。 零点个数问题也常转化为"方程变形为两个函数，看两图象的交点个数"，画图配合单调性分析。 【方法技巧】 1．"三个零点"的条件是"极大值大于零且极小值小于零"，这是最常考的结论； 2．一个零点通常配合单调性（单调函数最多一个零点）； 3．遇到超越方程（含 、）时，优先转换为 的形式，看水平直线 与 的交点个数。 【易错清单】 1．把 当成充分必要条件（它只是充分条件）； 2．忘记说明函数在区间上连续、单调，直接下结论； 3．把"零点个数"与"极值个数"混为一谈。 【题型1 求函数的极值】 【例1】函数 的极大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导解零根，判断两侧符号变化确定极大值点，再代值。 【解答过程】，令 得 或 。当 时 ；当 时 ，所以 是极大值点，极大值为 。故选A。 【方法点睛】判断极值的顺序固定：先求根，再看根两侧导数的符号（正转负为极大、负转正为极小），最后代值。中间任何一步跳过都可能出错。 【变式1-1】函数 的极小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导解根，判断极小值点后代入。 【解答过程】，令 得 。当 时 ，当 时 ，所以 是极小值点，极小值为 。故选A。 【变式1-2】函数 的极小值是____________。 【答案】 【解题思路】求导因式分解后求出驻点，判断极小值点再代值。 【解答过程】，令 得 或 。当 时 ，当 时 ，当 时 ，所以 是极小值点，极小值为 。 【方法点睛】导数是二次式时先因式分解求根，再用"符号表"（正、负、正）判断极值点，比逐个代值试算清楚得多。 【变式1-3】函数 （）的极小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用乘法法则求导，解 得到驻点，再判断极小。 【解答过程】，令 得 ，即 。当 时 ，当 时 ，所以 是极小值点，极小值为 。故选A。 【方法点睛】解 得 ，这是对数型函数的高频驻点，建议记住这个结果。 【题型2 求函数在闭区间上的最值】 【例2】函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把区间内的极值与两个端点值一起比较。 【解答过程】，令 得 ，在 内的驻点只有 ，且 是极小值点，。端点值：，。比较 ，， 得最大值为 。故选B。 【方法点睛】闭区间求最值"三类值一起比"：区间内的极值 + 两个端点值。这里极大值点 不在区间内，不能算进去。 【变式2-1】函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求驻点并判断是否落在区间内。 【解答过程】，令 得 。 是极小值点，。端点值 ，。最小值不能大于极小值 ，故最小值为 。故选A。 【方法点睛】求最小值时只需比较"极小值"与两个端点值；若函数在区间上单调，则最小值一定在端点取到。 【变式2-2】函数 在区间 上的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】先判断单调性，单调函数最值直接代端点。 【解答过程】。当 时， 且 ，所以 ，即 在 上单调递减。故最大值为 。 【方法点睛】先判断单调性再代值，比"求极值＋比端点"更快。单调递减时最大值在左端点，不要顺手写右端点。 【变式2-3】函数 在区间 上的最大值与最小值分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【答案】A 【解题思路】求出区间内的极值，再与两个端点值一起比较。 【解答过程】，令 得 或 ，两者都在 内。 处导数由正变负，是极大值点，； 处导数由负变正，是极小值点，。端点值：，。比较得最大值为 ，最小值为 。故选A。 【方法点睛】注意本题出现"两个相等的极小值"（），这不影响结论，最小值就是 。 【题型3 由极值条件求参数】 【例3】若函数 在 处取得极小值，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用"极值点处导数为零"列方程，再验证确实是极小值。 【解答过程】，由 得 。验证：此时 ，当 （且靠近 ）时 ，当 时 ，所以 确为极小值点。故选A。 【方法点睛】"在 处取得极值"只能得到 这一个方程，求出参数后必须回代验证，因为 不一定有极值。 【变式3-1】若函数 在 处取得极小值，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】导数为零列方程求解。 【解答过程】，由 得 。此时 ，在 处由负变正，确为极小值点。 【变式3-2】若函数 在 处有极值，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】极值点处导数为零，列方程。 【解答过程】，由 ，解得 。验证：，在 处由负变正，确为极值点。故选A。 【方法点睛】题目说"有极值"比说"取得极小值"更宽松，只需验证 在该点两侧变号即可，不必判断极大还是极小。 【变式3-3】若函数 在 处取得极小值 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两个条件（导数零与函数值）列两个方程，解出 、。 【解答过程】。由 得 …①；由 得 …②。①－②得 ，代入②得 ，所以 。故选A。 【方法点睛】"极值点 + 极值"给了两条等式，正好解两个参数。联立时先减消元，比代入消元快。 【题型4 恒成立求参数范围】 【例4】若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】恒成立转化为函数最小值不小于零；也可用判别式。 【解答过程】记 。 恒成立，即最小值 ，解得 。故选A。 【方法点睛】恒成立问题"看最值"： 恒成立就是"最小值 "；配方法是最快的求最小值方式。 【变式4-1】若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】判断函数在区间上的单调性，确定最小值取在哪一端。 【解答过程】 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，最小值在 处取得。由 ，得 。 【变式4-2】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求左边函数的最小值，让 不超过它。 【解答过程】记 （），由基本不等式得 ，当且仅当 时取等号，所以最小值为 。要 恒成立，只需 。故选A。 【方法点睛】这里可用基本不等式快速求出最小值 ；也可用导数： 得 ，最小值 。 【变式4-3】若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求 的最小值，令其不小于零。 【解答过程】记 ，。当 时， 恒成立， 单调递增，且 （当 很小时），条件成立。当 时，令 得 ，这是极小值点，最小值 。由 得 ，即 。综上 。故选A。 【方法点睛】含参指数型恒成立问题：先按参数正负分情况，再求最小值。若直接分离参数得 ，还需讨论 的符号，反而更麻烦。 【题型5 函数零点与图象交点】 【例5】函数 的零点是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【答案】A 【解题思路】令 解方程。 【解答过程】令 ，即 ，解得 或 ，所以零点是 和 。故选A。 【方法点睛】注意"零点"是数（方程 的根），"零点个数"才是数量，答题时不要把两者混淆。 【变式5-1】若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】二次函数有两个零点等价于判别式大于零。 【解答过程】由 得 。故选A。 【方法点睛】二次函数零点的三种情形由判别式完全决定： 两个零点， 一个零点， 无零点。 【变式5-2】函数 （）的零点个数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先判断单调性，再用零点存在定理确认零点存在。 【解答过程】 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，最多有一个零点。又 ，，由零点存在定理知 在 内至少有一个零点。综上零点个数为 。故选B。 【方法点睛】"单调 + 两端异号"是证明"恰好一个零点"的标准两步，缺一不可：单调保证唯一，异号保证存在。 【变式5-3】若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求出极大值与极小值，三个零点要求极大值大于零且极小值小于零。 【解答过程】，令 得 。 是极大值点，极大值 ； 是极小值点，极小值 。要有三个零点，需极大值大于零且极小值小于零，即 且 ，解得 。故选A。 【方法点睛】三次函数"三个零点"的判定口诀：极大值大于零、极小值小于零，两个条件都要，缺一不可（若极值恰为零则出现重根，只剩两个零点）。 【题型6 最值与参数的综合问题】 【例6】函数 （）的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用基本不等式或导数求最小值。 【解答过程】由基本不等式 ，当且仅当 即 时取等号，所以最小值为 。故选C。 【方法点睛】用基本不等式求最值必须验证"等号能取到"，即验证解出的 落在定义域内（这里是 ，符合）。 【变式6-1】函数 （）的最小值是____________。 【答案】 【解题思路】等号无法取到时不能用基本不等式，改用单调性判断。 【解答过程】。当 时 ，所以 ，从而 ，即 在 上单调递增。故最小值为 。 【方法点睛】基本不等式等号取不到时（ 不在 内），必须改用单调性。这是"对勾函数"题的经典陷阱。 【变式6-2】若函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】先用单调性确定最大值取在哪一点，再列方程。 【解答过程】，令 得 （ 不在区间内）。端点与驻点处的函数值：，，。最大值在 处取得，由 得 。 【变式6-3】已知函数 （）的最大值为 ，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求极大值点，再令最大值等于 解参数。 【解答过程】。因为 ，令 得 。当 时 ，当 时 ，所以 是极大值点，也是最大值点，最大值为 。由 得 ，即 。故选A。 【方法点睛】 这个恒等式在对数型最值题里出现频率极高，务必熟练。 一、单选题 1．（★）函数 的极小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求驻点并代入求值。 【解答过程】，令 得 ，该点由负变正，是极小值点。极小值为 。故选A。 2．（★）函数 的极大值点是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】看导数在驻点两侧是否由正变负。 【解答过程】，驻点为 。 左侧 、右侧 ，故为极大值点； 为极小值点。故选A。 3．（★）函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先判单调性，再代端点。 【解答过程】 在 上恒成立，函数单调递增，最大值为 。故选C。 4．（★）若 ，则 （　　） A．一定是极值点　B．一定不是极值点　C．可能是极值点　D．一定是最大值点 【答案】C 【解题思路】理解 是极值的必要条件而非充分条件。 【解答过程】 时 可能是极值点（如 在 处），也可能不是（如 在 处），故只能说"可能是"。故选C。 5．（★）函数 在 处的导数值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导后代入。 【解答过程】，所以 。故选A。 6．（★★）函数 （）的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】求导解驻点，判断极小后代入。 【解答过程】，令 得 。当 时 ，当 时 ，所以 是极小值点，也就是最小值点，最小值为 。故选B。 7．（★★）函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】比较极值与端点值。 【解答过程】，驻点 （极大）与 （极小）都在区间内。，，，。比较得最小值为 。故选A。 8．（★★）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】二次式恒非负，用判别式。 【解答过程】由 得 。故选A。 二、多选题 9．（★）关于函数的极值，下列说法正确的是（　　） A．极值点处的导数可能不存在　B． 是 为极值点的必要不充分条件　C．函数的极大值一定大于极小值　D．函数在区间端点处不能取到极值 【答案】ABD 【解题思路】逐项对照极值的概念判断。 【解答过程】A正确，例如 在 处有极小值但不可导；B正确，极值点处导数可以为零，但导数为零的点不一定是极值点；C错误，极大值只是"局部最大"，可能小于另一处的极小值；D正确，极值要求在某点的"附近"都有定义，端点不满足。故选ABD。 10．（★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 处取得极大值　C．极大值为 　D． 在 上的最大值为 【答案】ABC 【解题思路】逐项求导、求极值、求最值检验。 【解答过程】A正确；B正确（ 处导数由正变负）；C正确，；D错误，，，最大值为 而不是 。故选ABC。 11．（★★）若函数 在 处取得极小值，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C． 的极大值为 　D． 在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】先由极值条件求出 ，再逐项验证。 【解答过程】，由 得 ，A正确；，B正确；， 处取极大值 ，C正确； 在 上为负，函数在该区间递减，不在 上单调递增，D错误。故选ABC。 三、填空题 12．（★）函数 的极小值是____________。 【答案】 【解题思路】求驻点后代入。 【解答过程】，令 得 ，极小值为 。 13．（★★）函数 在区间 上的最小值是____________。 【答案】 【解题思路】比较极值与端点值。 【解答过程】驻点 落在区间内，；端点值 ，。比较得最小值为 。 14．（★★）若函数 的最小值为 ，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】配方求最小值，再列方程。 【解答过程】，最小值为 ，由 得 。 四、解答题 15．（★）求函数 的极值。 【答案】极大值为 ，极小值为 。 【解题思路】求导、求驻点、判断符号变化、代入求值。 【解答过程】，令 得 或 。当 时 ，当 时 ，当 时 。所以 是极大值点，极大值为 ； 是极小值点，极小值为 。 16．（★）求函数 在区间 上的最大值与最小值。 【答案】最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】求驻点，比较驻点值与端点值。 【解答过程】，令 得 ，该点为极小值点，。端点值 ，。比较得最大值为 ，最小值为 。 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 若 在 处取得极小值，求 的值及该极小值。 【答案】(1) ； (2) ，极小值为 。 【解题思路】由极值条件求参数，再验证并求极值。 【解答过程】(1) 。 (2) 由 得 。此时 ，在 处导数由负变正，确为极小值点，极小值为 。 18．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 若 的最小值为 ，求 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】求出极小值点（也是最小值点）的表达式，令其等于 解方程。 【解答过程】(1) 。 (2) 令 得 。当 时 ，当 时 ，所以 是最小值点，最小值为 。由 得 ，显然 满足（）。所以 。 19．（★★）已知函数 。若 有三个零点，求实数 的取值范围。 【答案】。 【解题思路】求出极大值与极小值，由"极大值大于零、极小值小于零"列不等式组。 【解答过程】，令 得 。 为极大值点，极大值为 ； 为极小值点，极小值为 。要有三个零点，需 且 ，解得 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题3.3 导数与函数的极值、最值　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 3.3 导数与函数的极值、最值（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会求函数的极值； 2．会用导数求函数在闭区间上的最大值与最小值； 3．会由极值、最值条件求参数； 4．了解函数零点的个数与图象交点之间的关系。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 求函数的极值（极值点） 选择题、解答题 第4~6题／第15题 基础 求导解零根，看两侧符号是否变号 求闭区间上的最值 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第15题 基础／中档 极值点与端点值一起比大小 由极值（最值）条件求参数 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 导数为零＋极大极小判断 恒成立求参数范围 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第16题 中档 转化为最值比较 函数零点个数判断 选择题 第6题 中档 极值异号 → 三个零点 命题规律分析 极值与最值是导数应用的核心，也是解答题第15～16题的主要出题点。新高考中，求极值、求闭区间最值常以选择题第4～6题、填空题第13题出现；含参极值与恒成立求参数多压在第6题、第13题这一档。本讲难度定位为：极值、最值的求解步骤必须规范（求导 → 求根 → 判断符号变号 → 得出极值；再与端点值比较得最值），第6题、第10题、第13题档的"恒成立求参数"用"最值比较"或"分离参数"两步拿下。三个高频陷阱： 不一定是极值点（如 在 处）；求闭区间最值不能只看极值而漏掉端点；极值点不能是区间端点。 考点1 函数的极值 知识点1 极值的概念与求法 若函数 在点 附近的所有点处的函数值都小于 ，则称 为 的一个极大值， 为极大值点；若都大于 ，则称 为极小值， 为极小值点。极大值与极小值统称极值。 极值的判定（用导数符号）：若 ，且在 的左侧 、右侧 ，则 是极大值点；若左负右正，则 是极小值点；若两侧符号相同，则 不是极值点。 求极值的三步：① 求定义域与 ；② 解方程 得到所有驻点；③ 列表判断每个驻点两侧 的符号，符号由正变负为极大值点，由负变正为极小值点，并算出对应的函数值。 【方法技巧】 1．判断极值只看"符号是否变号"，不看导数的大小； 2．列表法最稳妥：把定义域按驻点分段，写出每段的 符号与 的增减，一眼看出极值； 3．极值点必须落在定义域内，定义域端点上不能取到极值。 【易错清单】 1． 不是极值点的充分条件，例如 在 处 但无极值； 2．求极值时忘记与定义域取交集，把定义域外的驻点也算进来； 3．把"极大值"与"最大值"混为一谈——极大值只是"局部最大"。 知识点2 函数在闭区间上的最值 求函数 在闭区间 上的最值：先求出 在 内的所有极值，再把它们与端点函数值 、 一起比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。 若函数在区间上单调，则最值直接出现在两个端点处。 含参数的最值问题：先求驻点（可能含参数），再判断驻点是否落在给定区间内，按"驻点在区间左、在区间内、在区间右"分类讨论。 【方法技巧】 1．"极值点 + 两个端点"共三类值一起比较，这是闭区间求最值的固定动作； 2．可以先求导判断单调性，若单调则直接代端点，省去比较； 3．含参最值题先判断驻点与区间的位置关系，再分别写结论，最后"综上"。 【易错清单】 1．只比较极值、漏掉端点值，导致最值算错； 2．驻点不在给定区间内时仍把它当最值； 3．分类讨论不完整，漏掉某一种位置关系。 考点2 恒成立、零点与参数范围 知识点3 恒成立问题与参数范围 恒成立的两个基本结论： 对一切 恒成立 在 上的最小值 ； 对一切 恒成立 在 上的最大值 。 含参恒成立问题的两条路：① 直接求函数的最值，让最值满足不等式；② 分离参数，把问题变成 （或 ）恒成立，再求 的最值。 注意区分"恒成立"与"存在性"： 有解（存在解）等价于 的最大值 ，与恒成立的最值方向相反。 【方法技巧】 1．参数容易分离时优先分离参数，把参数问题变成"求另一个函数的最值"； 2．参数不容易分离时，直接对含参函数求最值，再解关于参数的不等式； 3．写下结论前先想清楚"是求最大值还是最小值"，方向搞错全盘皆输。 【易错清单】 1．把"恒成立"当成"存在解"，最值方向取反； 2．分离参数时不等号方向随除以负数而改变，漏改符号； 3．忘记检查等号能否取到，导致参数范围多一个端点。 知识点4 函数零点个数的判断 零点存在定理：若函数 在 上的图象连续不断，且 ，则 在 内至少有一个零点。 判断零点个数常用"极值符号法"：求出函数的极大值与极小值，若极大值大于 且极小值小于 ，则函数图象与 轴有三个交点，即有三个零点；若极值恰为零，则零点个数减少（出现重根情形）。 零点个数问题也常转化为"方程变形为两个函数，看两图象的交点个数"，画图配合单调性分析。 【方法技巧】 1．"三个零点"的条件是"极大值大于零且极小值小于零"，这是最常考的结论； 2．一个零点通常配合单调性（单调函数最多一个零点）； 3．遇到超越方程（含 、）时，优先转换为 的形式，看水平直线 与 的交点个数。 【易错清单】 1．把 当成充分必要条件（它只是充分条件）； 2．忘记说明函数在区间上连续、单调，直接下结论； 3．把"零点个数"与"极值个数"混为一谈。 【题型1 求函数的极值】 【例1】函数 的极大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】函数 的极小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】函数 的极小值是____________。 【变式1-3】函数 （）的极小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 求函数在闭区间上的最值】 【例2】函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】函数 在区间 上的最大值是____________。 【变式2-3】函数 在区间 上的最大值与最小值分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【题型3 由极值条件求参数】 【例3】若函数 在 处取得极小值，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】若函数 在 处取得极小值，则实数 ____________。 【变式3-2】若函数 在 处有极值，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】若函数 在 处取得极小值 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 恒成立求参数范围】 【例4】若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 ____________。 【变式4-2】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 函数零点与图象交点】 【例5】函数 的零点是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【变式5-1】若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】函数 （）的零点个数是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 最值与参数的综合问题】 【例6】函数 （）的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】函数 （）的最小值是____________。 【变式6-2】若函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 ____________。 【变式6-3】已知函数 （）的最大值为 ，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）函数 的极小值是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）函数 的极大值点是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★）函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★）若 ，则 （　　） A．一定是极值点　B．一定不是极值点　C．可能是极值点　D．一定是最大值点 5．（★）函数 在 处的导数值是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）函数 （）的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）若不等式 对任意实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）关于函数的极值，下列说法正确的是（　　） A．极值点处的导数可能不存在　B． 是 为极值点的必要不充分条件　C．函数的极大值一定大于极小值　D．函数在区间端点处不能取到极值 10．（★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 处取得极大值　C．极大值为 　D． 在 上的最大值为 11．（★★）若函数 在 处取得极小值，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C． 的极大值为 　D． 在 上单调递增 三、填空题 12．（★）函数 的极小值是____________。 13．（★★）函数 在区间 上的最小值是____________。 14．（★★）若函数 的最小值为 ，则实数 ____________。 四、解答题 15．（★）求函数 的极值。 16．（★）求函数 在区间 上的最大值与最小值。 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 若 在 处取得极小值，求 的值及该极小值。 18．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 若 的最小值为 ，求 的值。 19．（★★）已知函数 。若 有三个零点，求实数 的取值范围。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题3.3 导数与函数的极值、最值　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $