专题3.5 导数与函数的极值、最值（举一反三复习讲义）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数的极值、最值核心考点，涵盖极值判定条件、求解方法及最值应用，按知识内在逻辑分层梳理，通过考点精讲、方法总结、7类题型真题训练，帮助学生构建系统解题框架，突破难点。 讲义突出数学思维培养，如分类讨论、转化与化归思想的应用，设计例、变式、综合题分层练习，结合近三年高考命题规律，助力学生规范解题语言，提升逻辑推理能力，为教师把控复习节奏提供精准指导，高效提升应考能力。

专题3.5 导数与函数的极值、最值（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件 (2)会用导数求函数的极大值、极小值 (3)掌握利用导数研究函数最值的方法 (4)会用导数研究生活中的最优化问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 导数与函数的极值、最值 新课标I卷：第10题，6分 新课标Ⅱ卷：第11题，6分 新课标Ⅱ卷：第16题（2），9分 全国甲卷（理）：第21题（1），5分 全国一卷：第19题（1），4分 全国二卷：第10题，6分 全国二卷：第13题，5分 全国二卷：第18题，15分 全国一卷：第6题，5分 北京卷：第20题（2），4分 命题规律分析 1、导数与函数的极值、最值 从近三年的高考情况来看，高考对导数与函数的极值、最值的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，是高考常考的热点内容。本节在高考中侧重以导数为工具研究函数的极值和最值问题；此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，选择题、填空题中主要考查极值、最值问题的求解，试题难度中档；解答题中常以其中一小问设问出现，常与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，侧重含参讨论、极值点判定与最值求解，试题难度中档偏难；体现了分类讨论、转化与化归等数学思想；复习时需要加强练习。 考点1 导数与函数的极值、最值 知识点1 函数的极值问题的求解思路 1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 2．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 知识点2 函数的最值问题的解题策略 1．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 2．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【方法技巧与总结】 1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例1】（2026·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【答案】C 【解题思路】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的极值以及函数的单调性，推出结果． 【解答过程】解：由导函数的图象可知：导函数在，导函数的符号为正，函数单调递增，A正确； 时，，函数单调递增，，，函数单调递减， 所以是的极大值点，B正确； 在区间上单调递减，D正确； 当时，函数单调递增，可能，所以C不正确； 故选：C． 【变式1-1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导函数图象和极值点关系即可得到答案. 【解答过程】由图知当时，，此时单调递增， 当时，， 当时，，此时单调递减， 则的极大值点为. 故选：C. 【变式1-2】（2026·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【答案】B 【解题思路】根据给定的函数图象，分析判断值为正或负的x取值区间作答. 【解答过程】观察图象知，当时，或且， 当时，或， 而当时，，当时，，因此当或时，， 当时，，当且仅当时取等号， 则在和上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，极大值，A，C，D不正确；B正确. 故选：B. 【变式1-3】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ）    A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【解题思路】根据导函数的正负即可求解的单调性，即可结合选项逐一求解. 【解答过程】由图象可知：当时，单调递减，当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值. 故选：C. 【题型2 求已知函数的极值（点）】 【例2】（2026·陕西·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【答案】C 【解题思路】求导得，令，求得极值点，进而可得的单调性，代入求解，即可得答案. 【解答过程】由题意，，， 令，解得或1， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当，取得极小值，且. 故选：C. 【变式2-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，利用给定极值点求出，进而求出极小值. 【解答过程】函数的定义域为R，求导得， 由是函数的极值点，得，解得， 函数，， 当或时，；当时，， 所以函数的极小值. 故选：A. 【变式2-2】（2026·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【答案】C 【解题思路】求导，根据极值点可得或，即可代入导数中，确定函数单调性，得函数的极值点求解. 【解答过程】由题意可得， 由于是极小值点，故，或    , 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极大值点，不符合题意，舍去， 当时，，当和时，，当时，， 故在单调递减，在和单调递增， 此时是函数的极小值点，符合题意，且是极大值点，故极大值为， 故选：C. 【变式2-3】（25-26高三上·江西·阶段检测）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由条件可得，即可得到的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由可得， 又是函数的极小值点，所以，解得或， 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即是的极大值点，不符合题意，故舍去； 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即是的极大值点，是的极小值点，符合题意， 此时， 所以的极大值为. 故选：D. 【题型3 根据极值（点）求参数】 【例3】（2026·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解题思路】由已知得，令，得，判断单调性，根据极小值求出参数的值. 【解答过程】由已知得，令，得， 当时，单调递减， 当或时，单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：A. 【变式3-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数在某区间有极值等同于其导数在该区间有变号零点，之后分离参数结合二次函数的性质可得. 【解答过程】， 因为函数在上有极值，说明其导数在内有变号零点， 即方程在内有解，且解两侧导数符号不同， 令，则在有解，且不能是重根. 分离参数可得， 令，则， 所以，所以， 当时，，仅在处， 故在上单调递减，无极值. 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式3-2】（2026·四川攀枝花·二模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【解题思路】先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值. 【解答过程】因为，所以. 由 或. 当时，. 由 或；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意； 当时，. 由 或；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 故不满足题意. 综上，. 故选：B． 【变式3-3】（2026·河南濮阳·模拟预测）若函数恰有2个极值点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对求导，得到的表达式,依题意有两个不同的实根，通过换元法，令，将方程转化为关于的方程，分析该方程有两个正根的条件，得到参数的取值范围,利用韦达定理得到与的关系式，将转化为关于的函数,求导，分析其单调性，进而确定取值范围. 【解答过程】函数，求导得：, 函数恰有2个极值点，即有两个不同实根， 整理得：, 令，转化为二次方程：有两个不同正根， 由二次方程根的分布：,其中， 故, 代入表达式得： , 令，求导得：, 令，，当时，，函数单调递增， 即函数单调递增，，因此在上单调递增， 因此：, 即的取值范围是. 故选：A. 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 【例4】（2026·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出函数导数，判断函数单调性，即可求得函数极值，即可求得答案. 【解答过程】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B. 【变式4-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用导数分析函数在定义域上的单调性，即可求出函数的最大值. 【解答过程】由题意知：的定义域为. . 设，则. 当时，，在上单调递减， 所以，，即， 故当时，，在单调递增； 当时，，在上单调递减. 所以，. 故选：A. 【变式4-2】（2026·陕西渭南·二模）函数的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分，，三种情况结合导数分析函数单调性求解即可. 【解答过程】当时，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则； 当时，， 函数在上单调递增，则； 当时，， 则，函数在上单调递增， 则. 综上所述，函数的最小值为6. 故选：A. 【变式4-3】（2026·云南·三模）设函数，，若存在，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由，得到，又由，得到在上单调递增，得到，令，求得，令 ，求得，得到在上单调递减，且，进而得到的单调性和极值（最值），即可求解. 【解答过程】由，可得，所以，又由，所以在上单调递增， 因为，所以，所以， 令，则， 令 ，则，可得， 所以在上单调递减，且， 当时，，，则在上单调递增； 当时，，，则在上单调递减， 所以当时，有极大值，即最大值，所以. 故选：A． 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 【例5】（2026·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【答案】(1)只有1条， (2)当时，，没有最大值；当时，，没有最小值． 【解题思路】（1）分是切点与不是切点两种情况求解，当不是切点时，利用导数几何意义求得对应切线方程，结合已知点在切线上可得，进而求解判断即； （2）分与两种情况，可得的单调性，进而可求最值. 【解答过程】（1）当时，，则， 由题意可知点在曲线上， ①所以当是切点时，则切线斜率为 进而切线方程为，即， ②当不是切点时，设切点为，且， 则切线斜率为， 进而切线方程为， 化简得， 将代入上式，得， 化简得，解得（舍），进而此时没有切线， 综上所述，过点且与曲线相切的直线只有1条，切线方程为． （2）， 当时，由解得，由解得， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，没有最大值； 当时，由解得，由解得， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，没有最小值． 综上，当时，，没有最大值； 当时，，没有最小值． 【变式5-1】（25-26高二下·广西贵港·阶段检测）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为. (2) 当时，， 当时，. 【解题思路】（1）代入得，求导得，分析其单调性即可； （2）求导得，分和讨论即可. 【解答过程】（1）函数定义域为， 当时，， 则， 令， 令， 所以的单调增区间为，单调减区间为. （2）， 令解得 ①当时， 当时，在区间上单调递增， 当时， 在区间上单调递减． . ②当时， 当时，，在区间单调递增． . 综上所述，当时，， 当时，. 【变式5-2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数（） (1)求在区间上的最大值． (2)设，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求出函数的导数，就、、分类讨论导数的符号后结合单调性可求最大值； （2）利用虚设零点结合不等式恒成立可求导数零点的范围，从而可求参数的取值范围. 【解答过程】（1），令，得 ①当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增 ②当，即时，恒成立， 此时在区间上单调递减 ， ③当，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 的最大值为与中的较大者. 当时， ，  ， 当时，  ，， 当时，， 综上所述：当时，， 当时，. （2）由题意： 令， 因为在上单调递减， 故在上单调递减，而，， 所以存在唯一的，使得，即. 当时，，，单增， 当时，，，单减， ， 由题意， 令，则 又因为在上为增函数，，，， 即，解得，， 所以的取值范围为. 【变式5-3】（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递减，最小值是；当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为；当时，在上单调递增，最小值是. 【解题思路】（1）求导后，根据正负可得单调性，结合极值定义可求得结果； （2）求导后，分别讨论、和时在上的单调性，进而确定最小值. 【解答过程】（1）当时，，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 的极大值为，无极小值. （2）由得：， ，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； ①当，即时，在上单调递减， 此时的最小值为； ②当，即时，在上单调递增，在上单调递减； ，，， 当时，，此时； 当时，，此时； ③当，即时，在上单调递增， 此时的最小值为； 综上所述：当时，在上单调递减，最小值是； 当时，在上单调递增，在上单调递减；此时若，最小值为；若，最小值为； 当时，在上单调递增，最小值是. 【题型6 已知函数最值求参数】 【例6】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【解题思路】先利用导函数研究函数的单调性及最值计算即可. 【解答过程】由题意可知：， 所以当时，则在上单调递增， 所以. 故选：D. 【变式6-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析可知函数在取极小值，可得出，则，利用导数分析函数的单调性，结合可求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【解答过程】函数的定义域为，且， 由于函数在有最小值，则函数在取极小值，则， 所以， 即， 当时，对任意的恒成立，，不合乎题意； 当时，由可得，由可得, 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极小值，即最小值，合乎题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数的减区间为，增区间为，此时函数在处取得极大值，不合乎题意. 所以，由题意可得，则，解得， 因此，. 故选：C. 【变式6-2】（2026·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出函数在上的极大值，根据函数有最大值可得出关于实数的不等式组，即可得出实数的最大值. 【解答过程】当时，，则， 当时，，此时，函数单调递增， 当时，，此时，函数单调递减， 则函数在处取得极大值，且极大值为， 因为函数函数有最大值，则，解得， 因此，实数的最大值为. 故选：C. 【变式6-3】（2026·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对函数求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【解答过程】由， 则， 令，得或， 当，即时，， 函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又，则在没有最大值，不符合题意； 当，即时， 令，得或， 令，得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减， 又， ， 要使在有最大值， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【题型7 函数的极值、最值与其他问题综合】 【例7】（2026·海南三亚·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．不存在，使得的图象与轴相切 B．存在，使得有极小值 C．若，则函数有且仅有零点 D．若，则 【答案】C 【解题思路】取，利用导数的几何意义可判断A选项；对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合极值点的定义可判断B选项；参变分离得出，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断C选项；证明出，结合不等式的性质可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，当时，，则，，则， 所以，曲线在处的切线方程为，A错； 对于B选项，，该函数的定义域为，， 当时，对任意的恒成立，此时函数在上为增函数，无极值； 当时，由可得，由可得， 此时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，函数有极大值点，无极小值点，B错； 对于C选项，由可得， 令，所以，直线与函数的图象有两个交点. ，由得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 函数的极大值为，当时，；当时，. 如下图所示： 由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点， 此时函数有且仅有个零点，C对； 对于D选项，令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递减，在上单调递增， 所以，，即， 当时，，可得， 即，D错. 故选：C. 【变式7-1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知函数有大于0的极大值，其中，都是实数，则（     ） A． B．函数有两个极值点 C．在内有2个零点 D．在内有1个零点 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，利用导数可得及并判断AB；由函数的零点的意义分离参数并构造函数，转化为直线与函数图象交点个数求解判断CD. 【解答过程】函数的定义域为，求导得， 当时，函数在上没有极值， 当时，函数在上没有极值， 则，由有极大值，得，因此，A错误； 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，函数有唯一极值点，B错误； 由函数的极大值大于0，得，整理得，即， 则，即，由，得， 令函数，求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上的图象，如图： 而，由，， 当时，直线与在上的图象有1个交点，在上的图象有1个交点； 当时，直线与在上的图象有1个交点，在上的图象有2个交点； 因此当时，函数在内有1个零点，在内有1个零点； 当时，函数在内有1个零点，在内有2个零点，C错误，D正确. 故选：D． 【变式7-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出原函数的导函数，由，求解验证即可； （2）分类讨论的范围，根据导数求得最小值，结合题意列出不等式求解即可． 【解答过程】（1）由题意得． 因为在处取得极值，所以，解得． 经验证，当时，在处取得极小值，符合题意，故． （2）由（1）知． ①若，则当时，，即恒成立， 所以在上单调递增，， 由，得，故． ②若，令，得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以， 由，可得，解得，故． 综上，实数的取值范围是． 【变式7-3】（2026·甘肃白银·三模）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，，求的取值范围； (3)设是函数在上的一个零点，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)极大值为，极小值为0 (2) (3)，理由见解析 【解题思路】（1）求导计算的极值； （2）由可得，令，求导得到，分和进行讨论可得结果； （3）利用放缩法证明，再结合导数计算单调性得到，从而得到. 【解答过程】（1）当时，，， 令，可得或， 当时，或，当时，， 所以当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为. 综上，的极大值为，极小值为0. （2）当时，，即， 令，求导得， 当时，，则，又，则，满足题意； 当时，令，设， 令，可得，令，可得，所以在上单调递减，上单调递增， 故，不满足题意. 综上，的取值范围是. （3）， 由是函数在上的一个零点，则，即，， 令，则，所以在上单调递减， 则，即，， 则，代入，可得，即，则， 再令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，上单调递增，则， 即，，所以，即. 一、单选题 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【解题思路】先求出导函数，再根据极值点及极值列式计算求解参数，再检验即可. 【解答过程】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增，在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴， 故选：D. 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数判断函数的单调性，进而可求得最大值. 【解答过程】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 3．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意可知有两个根，令，则，故直线与的图象有两个交点，先求两图像相切再求两个交点即可. 【解答过程】由题意，有两个极值点， 有两个不同的实根，即有两个根. 令，则，直线与的图象有两个交点. 若直线与的图象相切，则设切点为. 由于，则切线的斜率为，∴切线方程为， 即，，解得，. ∵要使直线与的图象有两个交点，，. 故选：A. 4．（2026·河南·模拟预测）已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】对函数求导，运用导数的零点来判断函数的极值点. 【解答过程】 化简得，令 ， 即 ，令， ， 令，则， 令，则，故在定义域内单调递增； 又因为，； 因此，使， 故在内单调递减，在内单调递增， 当时，，故时，， ， 同理得时，， ， 且 ， 故， 因此，在内，单调递增，在内，单调递减，在内单调递增， ， ， ， ， 故在，，区间分别有一个零点， 因此函数的极值点个数有3个. 故选：C. 5．（2026·云南·模拟预测）已知一个正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，若球的半径为1，则该正三棱柱体积的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】由条件结合球的体积公式求球的半径，设正三棱柱的底面边长为，求出三棱柱的高，结合棱柱的体积求三棱柱的体积，再利用导数求其最大值. 【解答过程】 设正三棱柱的上，下底面的中心分别为，连接， 根据对称性可得，线段的中点即为正三棱柱的外接球的球心， 线段为该外接球的半径，， 设正三棱柱的底面边长为，设线段的中点为， 则，， 在中，， 所以，， 又的面积， 所以正三棱柱的体积， 设，则，， 所以，， 所以， 令，可得或，舍去， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，取最大值，最大值为， 所以当时，三棱柱的体积最大，最大体积为. 故选：B. 6．（2026·陕西西安·一模）已知函数，则（    ） A．的单调递增区间为 B．的最大值为4 C．有两个零点 D． 【答案】D 【解题思路】利用导数分析函数的单调性即可判断AB；结合零点存在性定理及函数的单调性判断C；由，进而结合函数的单调性判断D. 【解答过程】由，则， 令，得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故A错误； 而，故B错误； 由，且时，， 根据零点存在性定理及函数的单调性可知，只有一个零点，故C错误； 由， 因为函数在上单调递减，且， 所以，故D正确. 故选：D. 7．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，则（  ） A．有三个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．的图象关于对称 【答案】C 【解题思路】对函数求导分析其单调区间与极值点，即可判断AC；通过因式分解得，即可判断B；通过计算即可判断D. 【解答过程】已知函数，则， 对于A，由得，当时，有或；当时，有， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以有两个极值点，极大值为，极小值为，故A错误； 对于B，由于，所以当且仅当或，故B错误； 对于C，因为，所以，由在上单调递增，所以，故C正确； 对于D，假设的图象关于对称，则有， 而，所以的图象关于对称，而不是对称，故D错误. 故选：C. 8．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．则极大值与极小值的差不小于1时，实数k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导后结合极值点定义可用表示出，并可借助韦达定理求出另一个极值点，再对进行分类讨论得到函数对应单调性及其极值点，最后解出对应不等式即可得解. 【解答过程】， 由题意可得有两个不等实根， 则，有，即，， 且有，即， 设的另一实根为，则，即； 由且，则，若，则， 当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 即的极大值为，极小值为， 此时有，解得； 若，则， 当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 即的极大值为，极小值为， 此时有恒成立； 综上可得：. 故选：A. 二、多选题 9．（2026·江苏·模拟预测）已知函数，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．的极大值为 C．存在， D．有最小值，无最大值 【答案】ABD 【解题思路】利用函数对称性的定义可判断A选项；利用函数的极值与导数的关系可判断B选项；利用函数在上的单调性可判断C选项；令，可得出，利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，函数的定义域为， ， 所以曲线关于直线对称，A对； 对于B选项，因为， 则， 由可得或， 由可得或， 所以函数的减区间为、，增区间为、， 所以函数的极大值为，B对； 对于C选项，当时，， 因为在上是减函数，所以，C错； 对于D选项，令，则， 设，其中，则，当且仅当时，等号成立， 故函数在上只有最小值，无最大值， 故函数有最小值，无最大值，D对. 故选：ABD. 10．（2026·四川泸州·一模）已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的最大值为1 D．在上存在唯一极值点 【答案】ACD 【解题思路】根据函数的性质，利用特殊值法分析判断选项A，对求导，利用导数分析函数单调性及极值，进而判断选项BCD． 【解答过程】选项A：，， ，， ， 需比较与的大小， ，，， ，故，故A正确； 选项B：，求导得，分母， ，对于任意，，， 又 ，， 对于任意成立， 在成立，故在上单调递减，故B错误； 选项C：当时，， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 在时取得最小值，即在上恒成立， ，当且仅当时， ，仅当时等号成立，故的最大值为1，故C正确； 选项D：，， 令， 当时，， ，故，函数单调递减； 当时，，， 当时，， 求导得，， ，函数单调递增，且， 在上单调递增，且，， 由零点存在定理知在上存在唯一零点，设为， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 是在上存在唯一极小值点，故D正确． 故选：ACD． 11．（2026·四川泸州·一模）已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则， B．函数既有极大值又有极小值 C．若是的极大值点，则在区间单调递增 D．当时，函数有三个零点时 【答案】ABD 【解题思路】利用对称性结合求出判断A；求出的导数并确定极值点情况判断B；由并求出极大值，再确定单调区间判断C；求出函数的极大值与极小值，再由函数的零点个数列式求出的范围判断D. 【解答过程】由三次函数的对称中心为，得， 则， 整理得，因此， 对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，，而，则由，得或， 显然是函数的变号零点，由二次函数图象性质知，当时，分别是的 极大值点和极小值点，当时，分别是的极小值点和极大值点， 因此函数既有极大值又有极小值，B正确； 对于C，由选项B知，当时，是的极大值点，而当时，， 当时，，函数在上递减，在上递增，在上不单调，C错误； 对于D，由，得，由选项B知，当时，函数在取得极大值， 在取得极小值，由函数有三个零点，得， 即，解得，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则__________． 【答案】2 【解题思路】对函数求导并结合求参数值，注意验证是否为极值点. 【解答过程】由题设，且，即， 此时且，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以是的极小值点，满足题设，故. 故答案为：. 13．（2026·宁夏银川·模拟预测）函数的最小值为__________. 【答案】0 【解题思路】利用函数导数与函数单调性求最值，结合换元法与二次函数性质求解即可. 【解答过程】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 令，，则， 因为函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为， 即函数的最小值为0. 故答案为：0. 14．（2026·安徽芜湖·模拟预测）函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】将函数有两个极值点转化为有2个不同的正实根，列出关于参数的不等式组，求解即得. 【解答过程】函数的定义域为， 且， 因该函数有两个极值点，则有2个不同的正实根， 即方程有2个不同的正实根，设为， 则，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（2026·云南·三模）已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 【解题思路】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数确定函数的单调性，再根据单调性求解即可. 【解答过程】（1）由题可知， 因为在处切线的斜率为1， 所以， 解得 （2）由（1）得，因此， 所以， 令，则. 因为，所以，所以，而， 所以在区间上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增. 又， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 所以时，取得极小值为，在上无极大值. 综上所述，在上的极小值为1，无极大值. 16．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由为函数的极值点，得，从而求出的值； （2）设在定义域上单调，求出的取值范围，由此可得结论. 【解答过程】（1）由题意得， 因为为函数的极值点，所以，解得， 经检验，当时，为函数的极值点，所以． （2）因为的定义域为，， 设在单调， ①函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 在上恒成立， 又当时，，当且仅当时等号成立， 所以， ②函数在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立，矛盾 所以若在单调，则， 故若在定义域上不单调，则的取值范围为． 17．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）通过极值点的函数值和导数值列方程组求解参数，并借助导数及极值点定义进行检验； （2）借助导数的几何意义设切点构造函数求最值. 【解答过程】（1），由题意可得，解得； 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； （2）由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， 有， 整理得，令， 则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为. 18．（2026·广东汕头·三模）设函数，． (1)当时，求曲线在点的切线方程； (2)若是函数的极大值点，求实数a的值； (3)若对任意的，恒有成立，求实数a的取值范围． 注：为自然对数的底数. 【答案】(1) (2) (3)． 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求出切线方程. （2）由是函数的极值点得，解得或，构造函数，利用导数法求出的单调性．结合导数的单调性和极值的定义分别讨论和，得到的值. （3）讨论和求解，①当时，对任意的，恒有成立，②当时，由恒成立得恒成立．构造函数，，通过讨论得到在递增，从而得到．构造函数，，求出，构造函数得到在递增，由得到时，，时，，从而得到的单调性，得到，得到a的取值范围． 【解答过程】（1）, 当时，，，． 又，所以曲线在点的切线方程为. （2）的定义域为，， 由是函数的极值点得， 得到或， 设，则， 当时，，所以当时，在单调递增． ①当时，， 由在递增且知， 时，，在递增， 所以不是的极大值点． ②当时，， 由在递增且知， 时，时， 在递增，递减；所以是的极大值点． 综上，若是函数的极大值点，则． （3）①当时，对任意的，恒有成立， ②当时，由恒成立得恒成立． 设，， 则，则在递增， 则． 设，， 则， 设，则， 则在递增，又， 则时，，时，， 则在递减，递增，则， 因为，所以． 综合①②得a的取值范围为． 19．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数. (1)判断的单调性； (2)设，其中. （i）证明：在上有唯一的极值点； （ii）若为在上的零点，为在上的极值点，比较与的大小，并说明理由. 【答案】(1)在上单调递增； (2)（i）证明见解析； （ii），理由见解析 【解题思路】（1）利用求导即可判断函数的单调性； （2）（i）对函数求导后得，令，求导并判断，得 在上单调递增.再利用零点存在定理证得在上存在唯一的变号零点即可. （ii）先分析的单调性，得到的大小关系，再由零点和极值点得到，构造函数，求导分析的单调性，得，根据在上的单调性即可得证. 【解答过程】（1）函数的定义域为 ， 因， 故在上单调递增. （2）（i）因，则， 令，则， 因为，所以，所以， 故在上单调递增.                   因，则， 所以在上存在唯一的变号零点， 所以在上有唯一的极值点. （ii），理由如下： 由（i）可知，在上有唯一的极值点，则， 当时，,则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增. 又，所以，而， 所以在上没有零点，在上存在唯一零点，所以， 因为，又因，， 则 ，          令，则， 所以在上单调递增，则，所以， 因，，且在上单调递增，则. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 导数与函数的极值、最值（举一反三复习讲义） 【全国通用】 考点要求 (1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件 (2)会用导数求函数的极大值、极小值 (3)掌握利用导数研究函数最值的方法 (4)会用导数研究生活中的最优化问题 高考真题统计 考点 2024年 2025年 2026年 导数与函数的极值、最值 新课标I卷：第10题，6分 新课标Ⅱ卷：第11题，6分 新课标Ⅱ卷：第16题（2），9分 全国甲卷（理）：第21题（1），5分 全国一卷：第19题（1），4分 全国二卷：第10题，6分 全国二卷：第13题，5分 全国二卷：第18题，15分 全国一卷：第6题，5分 北京卷：第20题（2），4分 命题规律分析 1、导数与函数的极值、最值 从近三年的高考情况来看，高考对导数与函数的极值、最值的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，是高考常考的热点内容。本节在高考中侧重以导数为工具研究函数的极值和最值问题；此类问题在选择、填空、解答题中都有考查，选择题、填空题中主要考查极值、最值问题的求解，试题难度中档；解答题中常以其中一小问设问出现，常与不等式、方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，侧重含参讨论、极值点判定与最值求解，试题难度中档偏难；体现了分类讨论、转化与化归等数学思想；复习时需要加强练习。 考点1 导数与函数的极值、最值 知识点1 函数的极值问题的求解思路 1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f'(x)； (3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根； (4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号； (5)求出极值. 2．根据函数极值求参数的一般思路： (1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解. (2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 知识点2 函数的最值问题的解题策略 1．利用导数求函数最值的解题策略： (1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤： ①求函数在(a,b)内的极值； ②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)； ③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤： 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值. 2．求含有参数的函数的最值的解题策略： 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 【方法技巧与总结】 1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值. 2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系. 【题型1 函数（导函数）图象与极值（点）的关系】 【例1】（2026·广东·一模）已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．在区间上单调递增 B．是的极大值点 C．当时， D．在区间上单调递减 【变式1-1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数的导函数为，且的图象如图所示，则的极大值点为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·四川成都·模拟预测）已知定义域为的函数的导函数为，且函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．有极小值，极大值 B．有极小值，极大值 C．有极小值，极大值和 D．有极小值，极大值 【变式1-3】（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ）    A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 【题型2 求已知函数的极值（点）】 【例2】（2026·陕西·模拟预测）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．7 【变式2-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知是函数的极值点，则函数的极小值为（   ） A． B． C．0 D． 【变式2-2】（2026·新疆·模拟预测）已知函数在处有极小值，则极大值为（    ） A．32 B．1 C． D．0 【变式2-3】（25-26高三上·江西·阶段检测）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据极值（点）求参数】 【例3】（2026·河南新乡·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式3-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）若函数在上有极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·四川攀枝花·二模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B．1 C． D．3 【变式3-3】（2026·河南濮阳·模拟预测）若函数恰有2个极值点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型4 由导数求函数的最值（不含参）】 【例4】（2026·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·陕西渭南·二模）函数的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【变式4-3】（2026·云南·三模）设函数，，若存在，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型5 由导数求函数的最值（含参）】 【例5】（2026·辽宁·三模）已知函数． (1)当时，判断过点且与曲线相切的直线有几条，并求出切线方程； (2)求的最值． 【变式5-1】（25-26高二下·广西贵港·阶段检测）已知函数； (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，求函数在上的最大值． 【变式5-2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数（） (1)求在区间上的最大值． (2)设，若恒成立，求的取值范围． 【变式5-3】（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数 (1)当时，求的极值； (2)当时，讨论函数在区间上的单调性及最小值． 【题型6 已知函数最值求参数】 【例6】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上的最小值为1，则实数a的值为（    ） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【变式6-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数在处有最小值，最小值小于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·江苏宿迁·二模）若函数有最大值，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·四川自贡·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型7 函数的极值、最值与其他问题综合】 【例7】（2026·海南三亚·一模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．不存在，使得的图象与轴相切 B．存在，使得有极小值 C．若，则函数有且仅有零点 D．若，则 【变式7-1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知函数有大于0的极大值，其中，都是实数，则（     ） A． B．函数有两个极值点 C．在内有2个零点 D．在内有1个零点 【变式7-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数． (1)若在处取得极值，求a的值； (2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【变式7-3】（2026·甘肃白银·三模）已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)当时，，求的取值范围； (3)设是函数在上的一个零点，判断与的大小关系，并说明理由． 一、单选题 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 2．（2026·河南驻马店·模拟预测）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·模拟预测）已知函数，则函数的极值点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·云南·模拟预测）已知一个正三棱柱的所有顶点都在球的球面上，若球的半径为1，则该正三棱柱体积的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．3 6．（2026·陕西西安·一模）已知函数，则（    ） A．的单调递增区间为 B．的最大值为4 C．有两个零点 D． 7．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，则（  ） A．有三个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．的图象关于对称 8．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．则极大值与极小值的差不小于1时，实数k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·江苏·模拟预测）已知函数，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．的极大值为 C．存在， D．有最小值，无最大值 10．（2026·四川泸州·一模）已知函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的最大值为1 D．在上存在唯一极值点 11．（2026·四川泸州·一模）已知三次函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则， B．函数既有极大值又有极小值 C．若是的极大值点，则在区间单调递增 D．当时，函数有三个零点时 三、填空题 12．（2026·重庆渝中·二模）已知是函数（）的极值点，则__________． 13．（2026·宁夏银川·模拟预测）函数的最小值为__________. 14．（2026·安徽芜湖·模拟预测）函数有两个极值点，则实数的取值范围为__________． 四、解答题 15．（2026·云南·三模）已知函数在处的切线的斜率为1. (1)求的值； (2)当时，求的极值. 16．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数． (1)若为函数的极值点，求的值； (2)若在定义域上不单调，求的取值范围． 17．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 18．（2026·广东汕头·三模）设函数，． (1)当时，求曲线在点的切线方程； (2)若是函数的极大值点，求实数a的值； (3)若对任意的，恒有成立，求实数a的取值范围． 注：为自然对数的底数. 19．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数. (1)判断的单调性； (2)设，其中. （i）证明：在上有唯一的极值点； （ii）若为在上的零点，为在上的极值点，比较与的大小，并说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $