专题03 圆锥曲线18大题型76题（期中专项训练）高二数学上学期人教B版

专题03 圆锥曲线 基础·固本强基 题型1 椭圆的定义与标准方程（重点） 题型2 椭圆的几何性质（重点） 题型3 双曲线的定义与标准方程（重点） 题型4 双曲线的渐近线（重点） 题型5 抛物线的定义与标准方程（重点） 题型6 抛物线的焦半径与焦点弦（重点） 提升·融会贯通 题型1 求圆锥曲线的标准方程（重点） 题型2 离心率的求值与取值范围 题型3 直线与圆锥曲线的位置关系 题型4 圆锥曲线的弦长与面积问题（重点） 题型5 焦点三角形的“四心”问题 题型6 圆锥曲线中的最值与范围问题（难点） 拔高·压轴突破 题型1 定点与定值问题（共4小题） 题型2 存在性与探索性问题（难点） 题型3 圆锥曲线性质辨析（多选综合） 题型4 新定义与轨迹探究（重难点） 题型5 圆锥曲线的光学性质与实际应用（难点） 题型6 解答题综合（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 椭圆的定义与标准方程（共5小题） 【模型】先定型再定量：由焦点位置定 型还是 型，再用 把 串起来。 【步骤】① 由焦点所在坐标轴确定标准方程的形式；② 用顶点、焦点、过定点等条件列方程；③ 联立 解出 ；④ 表示椭圆时别忘分母都正且不相等。 【易错】“方程表示椭圆”要求两个分母都为正且不相等；焦点在 轴还是 轴由较大的分母决定，不是看 的分母一定大。 1．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（　　） A．13　　B．16　　C．20　　D． 4．(25-26高二上·辽宁沈阳市五校协作体·期中)已知点是椭圆的一个焦点，则（　　） A．　　B．5　　C．　　D．7 5．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为___________ 题型2 椭圆的几何性质（共4小题） 【模型】焦点三角形两板斧：周长 ，面积 （）。 【步骤】① 用椭圆定义把 写出来；② 结合已知角或边长用余弦定理；③ 面积可用 ，也可用 秒杀。 【易错】焦点三角形面积公式 只在 时成立，换成顶角在焦点处就不适用了。 6．已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为__________. 7．已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．(25-26高二上·辽宁沈阳市五校协作体·期中)已知点是椭圆上的一个动点，分别是的左、右焦点，则的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．（多选）已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（　　） A．存在点使　　B．的周长为16 C．的最大面积为12　　D．的最小值为 题型3 双曲线的定义与标准方程（共4小题） 【模型】定义是根：，且 （注意不是 ）。 【步骤】① 由定义求焦半径之差；② 由 关系求第三个量；③ 方程表示双曲线要求两分母异号。 【易错】双曲线里 最大（），与椭圆的 别混；已知 求 时，两支要分别讨论。 10．已知双曲线:的两个焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（　　） A．1　　B．13　　C．1或9　　D．1或13 11．双曲线的焦距为（　　） A．8　　B．12　　C．6　　D．4 12．已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则______． 13．“”是方程“”表示双曲线的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分又不必要条件 题型4 双曲线的渐近线（共4小题） 【模型】渐近线只与 有关： 型为 ， 型为 ；焦点到渐近线的距离恒为 。 【步骤】① 由标准方程直接写渐近线；② 由渐近线反求 ；③ 用“焦点到渐近线距离为 ”秒求 。 【易错】 型双曲线 的渐近线是 ，分子是 不是 ——先看清焦点在哪条轴上。 14．双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是______． 15．双曲线的渐近线方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 16．双曲线的渐近线方程为（请用一般式方程作答）_________. 17．已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型5 抛物线的定义与标准方程（共5小题） 【模型】定义优先：抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离（）。 【步骤】① 由方程定开口方向与 ；② 用“到焦点距离 到准线距离”把焦半径转成横坐标；③ 求 时先把方程化成 或 的标准形。 【易错】 的焦点是 、准线 ，焦点到准线距离是 而不是 ；开口向负方向时方程为 。 18．抛物线的准线方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 19．抛物线的焦点到其准线的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D．4 20．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则实数的值是（　　） A．　　B．2　　C．4　　D．8 21．已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（　　） A．　　B．1　　C．2　　D．4 22．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)（多选）已知抛物线（）过点，则下列结论正确的是（　　） A．点P到抛物线焦点的距离为 B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则的面积为 C．过点P与抛物线相切的直线方程为 D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值 题型6 抛物线的焦半径与焦点弦（共4小题） 【模型】焦点弦三公式：、、（）。 【步骤】① 设焦点弦端点坐标或设直线方程；② 联立抛物线用韦达定理；③ 用焦半径公式把长度转成横坐标之和。 【易错】通径最短，长 ；“过焦点的弦长为 求中点横坐标”这类题直接用 ，别去解整条直线。 23．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______． 24．已知点和抛物线，抛物线的焦点为为抛物线上的动点，则的最小值是__________. 25．抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为__________. 26．（多选）抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则下列说法一定正确的是（　　） A．的最小值为4　　 B．线段为直径的圆与直线相切 C．为定值　 　D．若，则 提升·融会贯通 题型1 求圆锥曲线的标准方程（共4小题） 【模型】待定系数法：先由焦点位置定型，再找两个独立条件列两个方程解 。 【步骤】① 判断焦点在哪条轴上，写出标准方程框架；② 把“过点”“顶点”“离心率”“渐近线”翻译成方程；③ 解出参数后回代检验（如 ）。 【易错】条件“过点 ”对焦点在 轴和 轴两种情形都要试，解出来不满足 的那一支要舍去。 27．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 28．（多选）过点且的双曲线的标准方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 29．若椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，过作轴的垂线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求三角形的面积. 30．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 题型2 离心率的求值与取值范围（共5小题） 【模型】离心率本质是 ：椭圆找 关系，双曲线找 关系，含参时先列不等式再解范围。 【步骤】① 由已知几何条件（角度、比例、菱形、正三角形）列 的等式；② 用 （椭圆）或 （双曲线）消元；③ 两边同除以 得到关于 的方程或不等式。 【易错】椭圆 、双曲线 ，求出 后必须回到这个范围验根；“离心率的取值范围”类题别忘了端点能否取到。 31．椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 32．椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 33．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 34．若，则双曲线的离心率的取值范围是______________． 35．已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为__________. 题型3 直线与圆锥曲线的位置关系（共5小题） 【模型】几何法判位置、代数法算交点：联立后看判别式，弦长用 。 【步骤】① 联立直线与曲线方程得一元二次方程；② 用 判交点个数；③ 韦达定理求 、 进而求弦长或中点坐标。 【易错】联立后二次项系数可能为零（直线与渐近线平行），此时只有一个交点，必须先讨论这一特殊情形。 36．下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 37．（多选）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆的长轴长为　　 B．椭圆的离心率 C．直线的方程为　　 D．直线的方程为 38．(25-26高二上·辽宁营口市普通高中·期中)若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（　　） A．　　B．　　C．1　　D．2 39．若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有__________条． 40．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)（多选）斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于两点，是线段的中点，则下列说法正确的是（　　） A．是双曲线两条渐近线所构成的“”形图像的方程 B．也是线段的中点 C．若过双曲线的焦点，则直线的斜率是 D．若过双曲线的焦点，点的坐标为，则该双曲线的离心率为 题型4 圆锥曲线的弦长与面积问题（共4小题） 【模型】弦长两条路：弦长公式 ，或焦半径求和；面积用 底 高或坐标法。 【步骤】① 求交点坐标或韦达定理；② 代入弦长公式；③ 面积可拆成两个三角形（焦点弦常用 ）。 【易错】焦点弦三角形 的周长是 （椭圆）——直接用定义省掉整段计算；弦长公式里的 别漏。 41．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（　　） A．16　　B．　　C．　　D． 42．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 43．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 44．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则______． 题型5 焦点三角形的“四心”问题（共4小题） 【模型】内心、外心、重心各有公式：内心 满足 周长 ；焦点三角形内心横坐标恒为 时可直接用。 【步骤】① 画出焦点三角形，标出已知的角与边长；② 用正弦定理或余弦定理求边长；③ 内心问题常用“面积 半周长 内切圆半径”建立等式。 【易错】双曲线焦点三角形的内心在实轴上（横坐标为 ），别把椭圆与双曲线的结论混用。 45．双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若内切圆的半径为1，则直线的斜率等于___________. 46．(25-26高二上·辽宁沈阳市东北育才学校·期中)（多选）若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（　　） A．双曲线的离心率为　　B．点的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若，，则.　　D．存在点，使得 47．已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 48．已知分别是双曲线E：的左､右焦点，A和B是以O为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且为等边三角形，则双曲线E的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型6 圆锥曲线中的最值与范围问题（共4小题） 【模型】最值两条主线：几何法（定义转化、三点共线）与代数法（函数/基本不等式/判别式）。 【步骤】① 看清目标量的几何意义（距离和、距离差、面积）；② 优先用定义把焦半径转化成到准线的距离；③ 代数法求完后检验等号能否取到。 【易错】“ 最小”要先把 换成到准线的距离，再找三点共线；求范围时别只算端点，区间开闭要写清。 49．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（　　） A．2　　B．　　C．0　　D． 50．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为________________. 51．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为___________. 52．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 拔高·压轴突破 题型1 定点与定值问题（共4小题） 【模型】定值套路：设参数 表达目标量 化简到与参数无关；定点套路：整理成“参数 ”，令 。 【步骤】① 设直线（或点）的参数；② 联立后用韦达定理表示目标量；③ 化简，若与参数无关即为定值；④ 定点则令参数系数与常数项同时为零。 【易错】联立后必须交代 与斜率存在的前提；动直线过定点要代回检验是否满足题设（如与曲线有两个交点）。 53．(25-26高二上·辽宁锦州市渤海大学附属高级中学·期中)已知椭圆经过点与点.(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于异于的，两点，且.①证明：直线过定点；②求的面积的最大值. 54．已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 55．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l，交椭圆C于A，B两点，求证：为定值． 56．(25-26高二上·辽宁营口市普通高中·期中)已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，虚轴长为4，且渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)设为上异于顶点，的动点，证明直线与的斜率之积为定值，并求该定值. 题型2 存在性与探索性问题（共4小题） 【模型】存在性四步：假设存在 列方程 求解 检验（、范围、是否重合）。 【步骤】① 明确“存在什么”（点、直线、实数 ）；② 设出后把条件翻译成方程；③ 解方程；④ 检验解是否满足所有约束，不满足则回答“不存在”。 【易错】结论必须写完整——“存在，且为……”或“不存在，理由是……”，只求出数值不检验是不给全分的。 57．设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点． (1)求椭圆的方程； (2)若，求k的值； (3)是否存在实数k，使？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 58．已知椭圆M：（a>b>0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2. (1)求椭圆M的方程； (2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由. 59．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为___________. 60．(25-26高二上·辽宁营口市普通高中·期中)若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是___________，的离心率的取值范围是___________. 题型3 圆锥曲线性质辨析（多选综合）（共4小题） 【模型】多选逐项破：每个选项就是一道独立小题，定义、公式、特殊值轮着上。 【步骤】① 把每个选项转成一个小判断；② 对含参数的曲线先分类（椭圆/双曲线/圆）；③ 拿不准的选项用特殊点或特殊位置试探。 【易错】“下列说法正确的是”类多选，宁少选勿错选；看到 先按 的正负与大小分类讨论。 61．（多选）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（　　） A．若是椭圆，则　　B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8　　　D．若，则的离心率为 62．（多选）已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（　　） A．的取值集合为 B．当时，焦点坐标为 C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则 D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆 63．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)（多选）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（　　） A．若，则　　B．面积的最大值为3 C．的最大值为　 　D．满足是直角三角形的点P有4个 64．（多选）已知方程，则（　　） A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 题型4 新定义与轨迹探究（共4小题） 【模型】新定义先翻译：把陌生定义写成熟悉的方程或不等式，再套解析几何的常规方法。 【步骤】① 逐字读定义，写出对应的代数表达式；② 化简成标准方程辨曲线类型；③ 结合定义域（轨迹范围）剔除多余的点。 【易错】新定义轨迹题最容易丢“范围”——求完方程要回头看定义对点的限制，把不符合条件的点或区间去掉。 65．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 66．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)（多选）平面上的动点到两定点，的距离之积为9的点轨迹的图形，类似“”.该曲线上任意一点的坐标为，则下列选项正确的是（　　） A．该曲线关于轴和轴均对称　　B．曲线方程为 C．的最大值为3　　 D．的最大值为 67．设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（　　） A．　B．　C．　D． 68．(25-26高二上·辽宁大连王府高级中学·期中)若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型5 圆锥曲线的光学性质与实际应用（共4小题） 【模型】应用题三步：建系 条件坐标化 圆锥曲线模型求解，最后回到实际意义作答。 【步骤】① 据对称轴建直角坐标系，写出曲线方程；② 把光线、反射、投影等条件翻译成几何关系；③ 用光学性质（过焦点反射后平行/反向延长线过另一焦点）求解。 【易错】抛物线的光学性质是“过焦点的光线反射后平行于轴”，双曲线则是“反射光线的反向延长线过另一焦点”，两者别记反。 69．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（　　） A．4　　B．　　C．　　D． 70．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为__________． 71．（多选）平行于抛物线对称轴的光线经抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源运用抛物线的这一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶反过来，从焦点处发出的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用这一性质，人们制造了探照灯如图所示，已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过点反射后，沿直线射出，经过点，为抛物线焦点，为抛物线上一点，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为　　B．　　C．　　D．平分 72．(25-26高二上·辽宁抚顺市六校协作体·期中)如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 题型6 解答题综合（共4小题） 【模型】解答题三段式：第(1)问待定系数求方程，第(2)问设直线联立韦达，第(3)问处理定点/定值/最值。 【步骤】① 用已知条件确定曲线方程；② 设直线（含斜率不存在的讨论）并联立，写韦达定理；③ 把第(3)问的目标量用韦达定理表示后化简；④ 交代 与取值范围。 【易错】设点斜式之前先检验斜率不存在的情形能否满足题意；凡是“设直线 ”都要补一句“当斜率不存在时……”。 73．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 74．已知焦点位于x轴的抛物线C过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 75．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)已知椭圆两个焦点分别为，，并且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左、右顶点为，，直线的方程为：，该直线与椭圆交于，两点（，不与顶点，重合），记直线，，的斜率分别为、、. ①证明：； ②若，求的取值范围. 76．以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”.已知椭圆的焦距为，短轴长为2. (1)求及的辅助圆的方程. (2)已知与轴平行，且不经过原点的直线与及的辅助圆分别交于两点（均在同一个象限），过作的辅助圆的切线与轴交于点，且直线的斜率为，记的面积为，证明：. (3)已知斜率不为0，且不经过原点的直线与交于两点，判断在的辅助圆上是否存在点，使得四边形是平行四边形.若存在，求面积的最大值；若不存在，说明理由. $专题03 圆锥曲线 基础·固本强基 题型1 椭圆的定义与标准方程（重点） 题型2 椭圆的几何性质（重点） 题型3 双曲线的定义与标准方程（重点） 题型4 双曲线的渐近线（重点） 题型5 抛物线的定义与标准方程（重点） 题型6 抛物线的焦半径与焦点弦（重点） 提升·融会贯通 题型1 求圆锥曲线的标准方程（重点） 题型2 离心率的求值与取值范围 题型3 直线与圆锥曲线的位置关系 题型4 圆锥曲线的弦长与面积问题（重点） 题型5 焦点三角形的“四心”问题 题型6 圆锥曲线中的最值与范围问题（难点） 拔高·压轴突破 题型1 定点与定值问题（共4小题） 题型2 存在性与探索性问题（难点） 题型3 圆锥曲线性质辨析（多选综合） 题型4 新定义与轨迹探究（重难点） 题型5 圆锥曲线的光学性质与实际应用（难点） 题型6 解答题综合（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 椭圆的定义与标准方程（共5小题） 【模型】先定型再定量：由焦点位置定 型还是 型，再用 把 串起来。 【步骤】① 由焦点所在坐标轴确定标准方程的形式；② 用顶点、焦点、过定点等条件列方程；③ 联立 解出 ；④ 表示椭圆时别忘分母都正且不相等。 【易错】“方程表示椭圆”要求两个分母都为正且不相等；焦点在 轴还是 轴由较大的分母决定，不是看 的分母一定大。 1．已知椭圆的右焦点为，则的长轴长为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，解得，所以椭圆的长轴长为． 故选：B. 2．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故选：A 3．设分别是椭圆的左、右焦点，P是C上的点，则的周长为（　　） A．13　　B．16　　C．20　　D． 【答案】B 【详解】由椭圆的定义，，焦距， 所以的周长为. 故选：B 4．(25-26高二上·辽宁沈阳市五校协作体·期中)已知点是椭圆的一个焦点，则（　　） A．　　B．5　　C．　　D．7 【答案】C 【详解】由题意得，则，则. 故选：C 5．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)椭圆的两个焦点都在轴上，且它们到原点的距离都是，是过的弦，且的周长为12，则椭圆的方程为___________ 【答案】 【详解】由椭圆的两个焦点都在轴上，设椭圆的方程为， 因为两个焦点都到原点的距离都是，可得， 又因为过 的弦，且的周长为，根据椭圆的定义，可得，解得， 所以，所以椭圆的方程为. 故答案为：. 题型2 椭圆的几何性质（共4小题） 【模型】焦点三角形两板斧：周长 ，面积 （）。 【步骤】① 用椭圆定义把 写出来；② 结合已知角或边长用余弦定理；③ 面积可用 ，也可用 秒杀。 【易错】焦点三角形面积公式 只在 时成立，换成顶角在焦点处就不适用了。 6．已知椭圆中，点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且，则的面积为__________. 【答案】 【详解】由题意，，，，中，， 所以， ∴， 所以. 故答案为：． 7．已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】椭圆的焦点， 设，， 所以， 由于，， 所以的取值范围为. 故选：A 8．(25-26高二上·辽宁沈阳市五校协作体·期中)已知点是椭圆上的一个动点，分别是的左、右焦点，则的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】当点是短轴的端点时，取得最大值，取得最小值， 因为， 所以， 所以. 故选：. 9．（多选）已知椭圆的左､右两个焦点分别为为椭圆上一动点，，则下列说法正确的是（　　） A．存在点使　　B．的周长为16 C．的最大面积为12　　D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】由，得. 对于A：假设存在点使得，则， 所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则， 因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即， 由可知，圆与椭圆有交点， 所以假设成立，即存在点使得，故A正确； 对于B：的周长为，故B错误； 对于C：当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大， 所以，故C正确； 对于D： ，又，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 题型3 双曲线的定义与标准方程（共4小题） 【模型】定义是根：，且 （注意不是 ）。 【步骤】① 由定义求焦半径之差；② 由 关系求第三个量；③ 方程表示双曲线要求两分母异号。 【易错】双曲线里 最大（），与椭圆的 别混；已知 求 时，两支要分别讨论。 10．已知双曲线:的两个焦点分别为，双曲线上有一点，若，则（　　） A．1　　B．13　　C．1或9　　D．1或13 【答案】B 【详解】双曲线，则，，， 所以， 又，解得或， 但是，所以. 故选：B 11．双曲线的焦距为（　　） A．8　　B．12　　C．6　　D．4 【答案】B 【详解】由双曲线可得， 则，所以焦距为. 故选：B 12．已知双曲线：的左、右焦点分别是是双曲线上一点，若，则______． 【答案】 【详解】根据双曲线方程，，， 根据双曲线的定义，由已知， 又， 所以． 故答案为：. 13．“”是方程“”表示双曲线的（　　） A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件　　C．充要条件　　D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若方程表示双曲线，则满足，解得或， 所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件. 故选：A. 题型4 双曲线的渐近线（共4小题） 【模型】渐近线只与 有关： 型为 ， 型为 ；焦点到渐近线的距离恒为 。 【步骤】① 由标准方程直接写渐近线；② 由渐近线反求 ；③ 用“焦点到渐近线距离为 ”秒求 。 【易错】 型双曲线 的渐近线是 ，分子是 不是 ——先看清焦点在哪条轴上。 14．双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离是______． 【答案】1 【详解】由知：， ，所以 ，即， 右焦点 ，其中一条渐近线， 所以右焦点到渐近线距离为， 故答案为：1 15．双曲线的渐近线方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】因为双曲线的焦点在轴， 所以它的渐近线方程为，故A，B，C错误. 故选：D. 16．双曲线的渐近线方程为（请用一般式方程作答）_________. 【答案】 【详解】双曲线的渐近线方程为，即. 故答案为： 17．已知直线与双曲线交于A，B两点，点是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】设，， 则，，. 因为A，B两点在双曲线C上， 所以， 所以， 则， 即， 故双曲线C的渐近线方程是. 故选：D. 题型5 抛物线的定义与标准方程（共5小题） 【模型】定义优先：抛物线上点到焦点的距离等于它到准线的距离（）。 【步骤】① 由方程定开口方向与 ；② 用“到焦点距离 到准线距离”把焦半径转成横坐标；③ 求 时先把方程化成 或 的标准形。 【易错】 的焦点是 、准线 ，焦点到准线距离是 而不是 ；开口向负方向时方程为 。 18．抛物线的准线方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 19．抛物线的焦点到其准线的距离为（　　） A．　　B．　　C．　　D．4 【答案】B 【详解】解：抛物线的标准方程为， 所以焦点坐标为，其准线方程为， 所以抛物线的焦点到其准线的距离为， 故选：B 20．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，则实数的值是（　　） A．　　B．2　　C．4　　D．8 【答案】C 【详解】抛物线上点到其焦点的距离为5，，解得点在抛物线上，，又. 故选：C. 21．已知点为抛物线上一点，过点A作C准线的垂线，垂足为B．若（O为坐标原点）的面积为2，则（　　） A．　　B．1　　C．2　　D．4 【答案】C 【详解】由题意点为抛物线上一点可得， 即，则的面积， 解得， 故选：C 22．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)（多选）已知抛物线（）过点，则下列结论正确的是（　　） A．点P到抛物线焦点的距离为 B．过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q，则的面积为 C．过点P与抛物线相切的直线方程为 D．过点P作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M，N两点，则直线MN的斜率为定值 【答案】BC 【详解】由抛物线过点，所以，所以， 所以抛物线的方程为：； 可得抛物线的焦点的坐标为：，准线方程为：， 对于A，由抛物线的性质可得到焦点的距离为，故A错误； 对于B，可得直线的斜率，所以直线的方程为：， 代入抛物线的方程可得：，解得， 所以，故B正确； 对于C，过点P与抛物线相切的直线斜率存在，设直线方程为， 与联立，得：， 所以，解得，所以切线方程为，故C正确； 对于D，设直线的方程为：， 与抛物线联立可得， 所以，所以， 代入直线中可得，即， 直线的方程为：， 代入抛物线的方程，可得，所以，即， 代入直线的方程可得，所以， 所以为定值，故D错误． 故答案为：BC. 题型6 抛物线的焦半径与焦点弦（共4小题） 【模型】焦点弦三公式：、、（）。 【步骤】① 设焦点弦端点坐标或设直线方程；② 联立抛物线用韦达定理；③ 用焦半径公式把长度转成横坐标之和。 【易错】通径最短，长 ；“过焦点的弦长为 求中点横坐标”这类题直接用 ，别去解整条直线。 23．已知抛物线C：的焦点为F，直线l与抛物线C交于A、B两点，若AB的中点的纵坐标为5，则______． 【答案】13 【详解】抛物线C：的准线方程为，设，， 由抛物线定义得：，，因AB的中点的纵坐标为5，则有， 所以． 故答案为：13 24．已知点和抛物线，抛物线的焦点为为抛物线上的动点，则的最小值是__________. 【答案】6 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义得，， 当点、、三点共线时，即当与直线垂直时，取得最小值，且最小值为． 故答案为：. 25．抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为__________. 【答案】2 【详解】抛物线的准线的方程为：，焦点为,分别过， 作，垂足为，在直角梯形中，， 由抛物线的定义可知：，因此有， 所以点的横坐标为. 故答案为：2. 26．（多选）抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则下列说法一定正确的是（　　） A．的最小值为4　　B．线段为直径的圆与直线相切 C．为定值　　D．若，则 【答案】ABCD 【详解】A选项： 抛物线，焦点为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短， 所以的最小值为，故A正确； B选项： 如图：设线段的中点为，过点作准线的垂线，垂足分别为， 由抛物线的定义可得，， 所以， 所以以线段为直径的圆与直线相切，故B正确； C选项： 设直线所在的直线方程为， 由，消去可得， 所以，，故C正确； D选项： 由C得，， 故，故D正确； 故选：ABCD． 提升·融会贯通 题型1 求圆锥曲线的标准方程（共4小题） 【模型】待定系数法：先由焦点位置定型，再找两个独立条件列两个方程解 。 【步骤】① 判断焦点在哪条轴上，写出标准方程框架；② 把“过点”“顶点”“离心率”“渐近线”翻译成方程；③ 解出参数后回代检验（如 ）。 【易错】条件“过点 ”对焦点在 轴和 轴两种情形都要试，解出来不满足 的那一支要舍去。 27．已知直线经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】令，可得；令，可得. 则由已知可得，椭圆的两个顶点坐标为，. 因为，所以椭圆的焦点在轴上. 设椭圆的方程为，则，， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 28．（多选）过点且的双曲线的标准方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】AC 【详解】，，于是， 若双曲线方程为，则，，双曲线方程为， 若双曲线方程为，则，双曲线方程为， 故选：AC 29．若椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，过作轴的垂线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)求三角形的面积. 【答案】(1)(2)3 【详解】（1）由题知焦点坐标分别是， 设椭圆方程为：将代入得：解得，（2）过作轴的垂线，其方程为，与联立解得： 30．求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，， 双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：， 双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：， 双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 题型2 离心率的求值与取值范围（共5小题） 【模型】离心率本质是 ：椭圆找 关系，双曲线找 关系，含参时先列不等式再解范围。 【步骤】① 由已知几何条件（角度、比例、菱形、正三角形）列 的等式；② 用 （椭圆）或 （双曲线）消元；③ 两边同除以 得到关于 的方程或不等式。 【易错】椭圆 、双曲线 ，求出 后必须回到这个范围验根；“离心率的取值范围”类题别忘了端点能否取到。 31．椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 因为的周长为，所以，所以， 所以椭圆的离心率为， 故选：B. 32．椭圆的焦点为，，上顶点为A，若，则椭圆的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由题意可得，如下图所示： 又因为,根据对称性可得, 可得,解得. 故，故离心率为， 故选：C. 33．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 34．若，则双曲线的离心率的取值范围是______________． 【答案】 【详解】双曲线的离心率根据，知故答案为 35．已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【详解】如图， 设双曲线的左焦点为，连结， 因为四边形是菱形，所以，所以， 并且根据对称性可知是等边三角形，所以 ，， 所以根据双曲线定义可知，即， 解得，所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 题型3 直线与圆锥曲线的位置关系（共5小题） 【模型】几何法判位置、代数法算交点：联立后看判别式，弦长用 。 【步骤】① 联立直线与曲线方程得一元二次方程；② 用 判交点个数；③ 韦达定理求 、 进而求弦长或中点坐标。 【易错】联立后二次项系数可能为零（直线与渐近线平行），此时只有一个交点，必须先讨论这一特殊情形。 36．下列直线被椭圆截得的弦长大于被C截得的弦长的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】A 【详解】解：易知椭圆关于x轴、y轴、原点对称， 直线与直线关于x轴对称， 直线与直线关于原点对称， 所以椭圆被直线、、所截得的弦长相等，故排除B、C； 根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小，过原点比到原点的距离远， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要短，故排除D， 故截椭圆所得的弦长比截椭圆的弦长要长， 故选： 37．（多选）已知椭圆：内一点，直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆的长轴长为　 　B．椭圆的离心率 C．直线的方程为　　 D．直线的方程为 【答案】BD 【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，， 如图： 则，，.椭圆的长轴长为，离心率，故A错误，B正确； 设，，，，则，， 两式作差可得：，为线段的中点，，，则，直线的方程为，即，故C错误，D正确. 故选：BD 38．(25-26高二上·辽宁营口市普通高中·期中)若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（　　） A．　　 B．　　 C．1　 　D．2 【答案】D 【详解】由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 39．若直线l过点，且与双曲线有且只有一个公共点，则满足条件的直线有__________条． 【答案】4 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线为，与曲线有且只有一个公共点． 当直线l的斜率存在时，可设直线为，代入曲线方程整理得，若，则，此时有两条分别平行于双曲线的两条渐近线的直线，与曲线有且只有一个公共点； 当时，则由，得，此时有一条直线与曲线相切，有且只有一个公共点．综上，这样的直线共有4条． 故答案为：4 40．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)（多选）斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于，两点，与双曲线交于两点，是线段的中点，则下列说法正确的是（　　） A．是双曲线两条渐近线所构成的“”形图像的方程 B．也是线段的中点 C．若过双曲线的焦点，则直线的斜率是 D．若过双曲线的焦点，点的坐标为，则该双曲线的离心率为 【答案】ABD 【详解】对于A：或这恰为双曲线两条渐近线，故A正确； 对于B：设直线方程为，分别联立与，得和，这两式的两根之和都是，所以线段的中点与线段的中点为同一个点，故B正确； 对于C：因为两式相减得 ，即直线的斜率是，故C错误； 对于D：由C选项可知，得，则故D正确. 故选：ABD. 题型4 圆锥曲线的弦长与面积问题（共4小题） 【模型】弦长两条路：弦长公式 ，或焦半径求和；面积用 底 高或坐标法。 【步骤】① 求交点坐标或韦达定理；② 代入弦长公式；③ 面积可拆成两个三角形（焦点弦常用 ）。 【易错】焦点弦三角形 的周长是 （椭圆）——直接用定义省掉整段计算；弦长公式里的 别漏。 41．已知分别是椭圆的焦点，过点的直线交椭圆于两点，则的周长是（　　） A．16　　 B．　 　C．　　 D． 【答案】A 【详解】因为椭圆方程为，所以， 由椭圆的定义得：， 所以，所以的周长是16. 故选：A 42．已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________． 【答案】 【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点， 且，所以四边形为矩形， 设，则， 所以，，即四边形面积等于. 故答案为：. 43．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，， 又，，，，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 44．已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则______． 【答案】4 【详解】由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形， 故，，所以， 其中准线l与x轴交点为P，则，故，所以． 故答案为：4. 题型5 焦点三角形的“四心”问题（共4小题） 【模型】内心、外心、重心各有公式：内心 满足 周长 ；焦点三角形内心横坐标恒为 时可直接用。 【步骤】① 画出焦点三角形，标出已知的角与边长；② 用正弦定理或余弦定理求边长；③ 内心问题常用“面积 半周长 内切圆半径”建立等式。 【易错】双曲线焦点三角形的内心在实轴上（横坐标为 ），别把椭圆与双曲线的结论混用。 45．双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为△的内心，若内切圆的半径为1，则直线的斜率等于___________. 【答案】 【详解】设与圆的切点分别为. 则 ， 所以又，解得 连接则， 故答案为：. 46．(25-26高二上·辽宁沈阳市东北育才学校·期中)（多选）若双曲线， 分别为左、右焦点，设点在双曲线上且在第一象限的动点，点为的内心，点为的重心，则下列说法正确的是（　　） A．双曲线的离心率为　　B．点的运动轨迹为双曲线的一部分 C．若，，则.　　D．存在点，使得 【答案】ACD 【详解】由题意，双曲线，可得， 则离心率为，所以A正确； 设，的内切圆与边切于点，与边切于点， 与边切于点，可得， 由双曲线的定义可得，即， 又由，解得，则的横坐标为， 由与的横坐标相同，可得的横坐标为，可得在定直线上运动， 所以B不正确； 由且，解得， 则，可得， 所以，同理可得， 设直线，直线， 联立方程组，求得， 设的内切圆的半径为，则， 解得，即有， 可得， 由，可得，解得， 可得，所以C正确； 设，则， 设的内切圆的半径为，则， 于是，可得， 若，可得，即， 又由，联立可得， 因此，解得， 即存在点，使得，所以D正确. 故选：ACD. 47．已知，分别为双曲线C：左、右焦点，过点的直线与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】由，结合正弦定理得， 因为，所以，． 又，即， 则，所以． 设，则， 又，则，解得， 所以，， 所以是正三角形，从而． 在中，由， 得，得，所以． 故选：C． 48．已知分别是双曲线E：的左､右焦点，A和B是以O为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且为等边三角形，则双曲线E的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】D 【详解】连接为等边三角形，，从而，， 由双曲线定义得双曲线E的离心率为, 故选：D 题型6 圆锥曲线中的最值与范围问题（共4小题） 【模型】最值两条主线：几何法（定义转化、三点共线）与代数法（函数/基本不等式/判别式）。 【步骤】① 看清目标量的几何意义（距离和、距离差、面积）；② 优先用定义把焦半径转化成到准线的距离；③ 代数法求完后检验等号能否取到。 【易错】“ 最小”要先把 换成到准线的距离，再找三点共线；求范围时别只算端点，区间开闭要写清。 49．已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（　　） A．2　　B．　　C．0　　D． 【答案】A 【详解】由椭圆方程可知， 且焦点在x轴上，则， 因为，可知点在椭圆内， 又因为，即， 则， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：A． 50．(24-25高二上·辽宁抚顺市四方高级中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点，则的最小值为________________. 【答案】 【详解】由题意知为椭圆上任意一点，为圆：上任意一点， 故， 故，当且仅当共线时取等号， 所以， 当且仅当共线时取等号， 而, 故的最小值为， 故答案为： 51．(25-26高二上·辽宁辽西重点高中·期中)已知圆，椭圆，点M，N分别在圆和椭圆上，则线段长度的最小值为___________. 【答案】 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 设点的坐标为，则， 又点在椭圆上，所以，即，， 所以， 则当时，取得最小值，结合圆的几何性质可得. 故答案为：. 52．如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（　　） A．　 　B．　 　C．　 　D． 【答案】D 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 拔高·压轴突破 题型1 定点与定值问题（共4小题） 【模型】定值套路：设参数 表达目标量 化简到与参数无关；定点套路：整理成“参数 ”，令 。 【步骤】① 设直线（或点）的参数；② 联立后用韦达定理表示目标量；③ 化简，若与参数无关即为定值；④ 定点则令参数系数与常数项同时为零。 【易错】联立后必须交代 与斜率存在的前提；动直线过定点要代回检验是否满足题设（如与曲线有两个交点）。 53．(25-26高二上·辽宁锦州市渤海大学附属高级中学·期中)已知椭圆经过点与点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与椭圆交于异于的，两点，且. ①证明：直线过定点； ②求的面积的最大值. 【答案】(1)(2)①证明：由（1）知，椭圆的方程为， 设，不妨令在轴上方， 则， 假设直线斜率不存在，设直线方程为， 联立方程，可得， 所以解得或（舍去）， 所以直线方程为； 假设斜率存在，设直线方程为， 联立方程，得， 所以，， 由， 可得， 解得或， 所以直线方程为或， 所以直线恒过或（舍去）， 综上，直线恒过定点. ② 【详解】（1）设椭圆为， 因为椭圆经过点与点， 所以，解得，所以椭圆的方程为. （2）①略 ②由上述可知，当直线斜率不存在时，， 设定点为点，则， 所以； 当直线斜率存在时，，则设方程为， 联立得， 则，， 所以， 设，则， 所以， 由函数在上单调递增知， 所以，当且仅当，即时取等， 故的面积的最大值为. 54．已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标； (3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，，， 联立方程组消去得， 则，， 由，得， 由，得，即， 化简得， 从而， 化简得，即， 所以或（直线过点，舍去）， 即直线的方程为，所以直线过定点． 当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得， 则， 所以， 可得， 则，解得或（舍）， 所以直线的方程为，也过定点； (3). 【详解】（1）由已知得，且， 所以椭圆的标准方程为； （2）略 （3）由（2）知且，， ， 因为直线，，的斜率分别为，且， 所以，即，即， 又，所以，， 因为直线的斜率存在且不过原点，结合可得， 而斜率存在，故不为上下顶点，故， 设为点到直线的距离， 则 ， 所以的取值范围为. 55．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点，过P作斜率为的直线l，交椭圆C于A，B两点，求证：为定值． 【答案】(1) (2) 设，则直线l的方程为， 联立 可得． 设，，则，， ∴ ． ∴为定值． 【详解】（1）短轴长为2，离心率为． ，， 又，解得，． ∴椭圆C的方程为． （2）略 56．(25-26高二上·辽宁营口市普通高中·期中)已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，虚轴长为4，且渐近线方程为. (1)求的标准方程； (2)设为上异于顶点，的动点，证明直线与的斜率之积为定值，并求该定值. 【答案】(1)； (2) 设，则，即， 不 妨设为左顶点，则，， 则， 所以直线与的斜率之积为定值，且该定值为4. 【详解】（1）依题意可设的方程为， 则解得，， 所以的标准方程为. （2）略 题型2 存在性与探索性问题（共4小题） 【模型】存在性四步：假设存在 列方程 求解 检验（、范围、是否重合）。 【步骤】① 明确“存在什么”（点、直线、实数 ）；② 设出后把条件翻译成方程；③ 解方程；④ 检验解是否满足所有约束，不满足则回答“不存在”。 【易错】结论必须写完整——“存在，且为……”或“不存在，理由是……”，只求出数值不检验是不给全分的。 57．设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点．(1)求椭圆的方程；(2)若，求k的值；(3)是否存在实数k，使？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 不存在实数，使直线平行于直线，证明如下： 由题意，，则， 若，则， 所以，即， 即， 化简得，， 由（2）得，，解得， 解得， 所以，整理得，无解， 所以不存在实数，使直线平行于直线. 【详解】（1）由题意，解得， 故椭圆的方程为； （2） 由题意知，，直线的方程为，则， 联立，可得， ， 设，有， 则中点横坐标为， 又，则中点横坐标为， 又因为，且四点共线，取中点， 则， 所以，即， 所以是的中点，即的中点重合， 即，解得. （3）略 58．已知椭圆M：（a>b>0）的离心率为，AB为过椭圆右焦点的一条弦，且AB长度的最小值为2. (1)求椭圆M的方程； (2)若直线l与椭圆M交于C，D两点，点，记直线PC的斜率为，直线PD的斜率为，当时，是否存在直线l恒过一定点？若存在，请求出这个定点；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)(2)存在， 【详解】（1）因为（a>b>0）的离心率为，过椭圆右焦点的弦长的最小值为， 所以a=2，，， 所以椭圆M的方程为. （2）设直线l的方程为m(x－2)+ny=1，，， 由椭圆的方程，得. 联立直线l的方程与椭圆方程，得， 即，， 所以， 化简得， 代入直线l的方程得， 即， 解得x=－2，y=－4，即直线l恒过定点. 59．(25-26高二上·辽宁铁岭市西丰县高级中学·期中)已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为___________. 【答案】 【详解】因为双曲线的右焦点为,则,即, 且双曲线C的渐近线方程为, 设为圆上一点,且圆心为,半径, 则的中点在其渐近线上,可得, 即,所以点P在直线上, 因为圆心到直线的距离， 因为圆M上存在点P满足条件,所以直线与圆M有公共点, 所以,即,可得,可得,所以, 又因为双曲线的离心率,所以, 所以双曲线C的离心率的取值范围为. 故答案为： 60．(25-26高二上·辽宁营口市普通高中·期中)若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是___________，的离心率的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由，得，则，所以. 因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则， 即，，所以的实轴长的取值范围为. 且，所以. 故答案为：；. 题型3 圆锥曲线性质辨析（多选综合）（共4小题） 【模型】多选逐项破：每个选项就是一道独立小题，定义、公式、特殊值轮着上。 【步骤】① 把每个选项转成一个小判断；② 对含参数的曲线先分类（椭圆/双曲线/圆）；③ 拿不准的选项用特殊点或特殊位置试探。 【易错】“下列说法正确的是”类多选，宁少选勿错选；看到 先按 的正负与大小分类讨论。 61．（多选）已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（　　） A．若是椭圆，则　　B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8　　　D．若，则的离心率为 【答案】BCD 【详解】对于A：若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，所以A错误； 对于B：若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确； 对于C：若，则是椭圆.因为，，，所以的周长为，故C正确； 对于D:若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确. 故选：BCD. 62．（多选）已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（　　） A．的取值集合为 B．当时，焦点坐标为 C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则 D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆 【答案】BCD 【详解】A选项，因为，则,且，所以的取值范围是，故A选项错误； B选项，当时，椭圆方程为，则椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，所以焦点坐标为； C选项，当时，椭圆方程为，则椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，，则椭圆所包围的区域面积为，且，则C选项正确； D选项，时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，则，，，则当，时，离心率表示单调递减的函数，则随着越大，椭圆的离心率越接近0，椭圆越圆，故D选项正确. 故选：BCD 63．(25-26高二上·辽宁鞍山市海城市育才学校·期中)（多选）已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（　　） A．若，则　　B．面积的最大值为3 C．的最大值为　　D．满足是直角三角形的点P有4个 【答案】AC 【详解】椭圆中，，则， 由椭圆的定义得，， 对于A，若，则， 由余弦定理得：，所以，故A错误； 对于B，因为，又， 所以，故面积的最大值为，故B正确； 对于C，，又， 所以，故C正确； 对于D，由于时，，则，即的最大角为， 故满足使得是直角三角形的点P有4个，如下图：使得是直角三角形的点P有2个，使得是直角三角形的点P有2个，如下图： 综上，满足是直角三角形的点P共有8个，故D不正确. 故选：AC. 64．（多选）已知方程，则（　　） A．时，方程表示椭圆 B．时，所表示的曲线离心率为 C．时，方程表示焦点在y轴上的双曲线 D．时，所表示曲线的渐近线方程为 【答案】BC 【详解】解：因为， 对于A：若方程表示椭圆，所以，解得或，故A错误； 对于B：若，则，所以、，所以，所以离心率，故B正确； 对于C：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得，故时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确； 对于D：若，则曲线方程为，则渐近线方程为，故D错误； 故选：BC 题型4 新定义与轨迹探究（共4小题） 【模型】新定义先翻译：把陌生定义写成熟悉的方程或不等式，再套解析几何的常规方法。 【步骤】① 逐字读定义，写出对应的代数表达式；② 化简成标准方程辨曲线类型；③ 结合定义域（轨迹范围）剔除多余的点。 【易错】新定义轨迹题最容易丢“范围”——求完方程要回头看定义对点的限制，把不符合条件的点或区间去掉。 65．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】设点，，， 所以动点的轨迹为阿氏圆：， 又直线恒过点， 若对任意实数直线与圆恒有公共点，在圆的内部或圆上，所以，所以，解得， 即的取值范围为. 故选：C 66．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)（多选）平面上的动点到两定点，的距离之积为9的点轨迹的图形，类似“”.该曲线上任意一点的坐标为，则下列选项正确的是（　　） A．该曲线关于轴和轴均对称　　B．曲线方程为 C．的最大值为3　　D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于选项B：由题意可知：，即， 整理可得，故B正确； 对于选项A：用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 综上所述：该曲线关于轴和轴对称，故A正确； 对于选项C：因为曲线方程为， 令，可得，解得或，即或， 可知点在曲线上，则的最大值不为3，故C错误； 对于选项D：因为， 即，可得， 当且仅当时，等号成立， 即，可得，所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 67．设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 68．(25-26高二上·辽宁大连王府高级中学·期中)若两定点，，动点满足，则动点的轨迹围成区域的面积为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】设，因为定点，，，化简得：，即.点的轨迹为圆，半径为，所以圆面积为：. 故选：B 题型5 圆锥曲线的光学性质与实际应用（共4小题） 【模型】应用题三步：建系 条件坐标化 圆锥曲线模型求解，最后回到实际意义作答。 【步骤】① 据对称轴建直角坐标系，写出曲线方程；② 把光线、反射、投影等条件翻译成几何关系；③ 用光学性质（过焦点反射后平行/反向延长线过另一焦点）求解。 【易错】抛物线的光学性质是“过焦点的光线反射后平行于轴”，双曲线则是“反射光线的反向延长线过另一焦点”，两者别记反。 69．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的面积为（　　） A．4　　B．　　C．　　D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以，又，所以4）， 即，又， 所以，解得或，所以， 又因为， 点到直线的距离， 所以的面积. 故选：. 70．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为__________． 【答案】 【详解】因为， 则，， 设，则，， 由双曲线的定义可得，， 则，可得， 即，， 在直角三角形中，则， 即，可得，即. 故答案为：. 71．（多选）平行于抛物线对称轴的光线经抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源运用抛物线的这一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶反过来，从焦点处发出的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用这一性质，人们制造了探照灯如图所示，已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过点反射后，沿直线射出，经过点，为抛物线焦点，为抛物线上一点，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为　　B．　　C．　　D．平分 【答案】BCD 【详解】解：过作垂直的准线，垂足为， 所以， 过作垂直的准线，垂足为， 因为，所以， 因为，当且仅当三点共线时，取等号，故选项A错误； 因为平行轴，， 所以， 所以，即， 所以， 又因为，所以过的直线为， 联立,得， 所以，故选项B正确； 因为可得，或，即， 代入，可得，即， 所以，故选项C正确； 因为，，， 所以， 所以， 所以平分，故选项D正确． 故选：BCD. 72．(25-26高二上·辽宁抚顺市六校协作体·期中)如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B 【详解】设球的半径为，则椭圆的短轴长，即. 过椭圆的长轴作的垂面，得到如图所示的截面图， 其中DE是椭圆的长轴，，AD，BE是光线， A，B是光线与球面的切点，则， 椭圆的长轴长，即. 故椭圆的离心率. 故选：B. 题型6 解答题综合（共4小题） 【模型】解答题三段式：第(1)问待定系数求方程，第(2)问设直线联立韦达，第(3)问处理定点/定值/最值。 【步骤】① 用已知条件确定曲线方程；② 设直线（含斜率不存在的讨论）并联立，写韦达定理；③ 把第(3)问的目标量用韦达定理表示后化简；④ 交代 与取值范围。 【易错】设点斜式之前先检验斜率不存在的情形能否满足题意；凡是“设直线 ”都要补一句“当斜率不存在时……”。 73．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且．(1)求抛物线的方程；(2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）根据抛物线的定义可知，，即，解得， 所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，抛物线焦点为, 若直线l的斜率不存在，则, 则，不满足题意， 所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则， 设， 联立，消去可得，， 所以， 因为， 解得， 所以直线的方程为. 74．已知焦点位于x轴的抛物线C过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为的直线，交抛物线于A，B两点，求线段AB的长度. 【答案】(1)，准线方程为(2) 【详解】（1）由题意可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴， 设抛物线的方程为， ∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； （2）由（1）知，抛物线焦点为，直线AB的倾斜角为， 则直线AB：，设，， 由，得：， 则， 则． 75．(25-26高二上·辽宁协作校·期中)已知椭圆两个焦点分别为，，并且椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)椭圆的左、右顶点为，，直线的方程为：，该直线与椭圆交于，两点（，不与顶点，重合），记直线，，的斜率分别为、、. ①证明：； ②若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明：设l与x轴的交点为D， 联立， 则，需满足， 设，则， 又，故； ② 【详解】（1）设椭圆方程为， 由焦点坐标可得， 由椭圆经过点，得， 又，联立可得：， 故椭圆方程为； （2）①略 ②当，由， 可得， 即， 所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 由可知，直线斜率不为， 所以直线交椭圆于在轴的两侧， 所以， 则， 故， 此时直线l为，过定点，与椭圆C交于不同两点； 此时， ， 令，由于l与轴不垂直，故，所以， 故， 设，时，， 即在上单调递增，即， 故， 即的面积的取值范围为. 76．以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“辅助圆”.已知椭圆的焦距为，短轴长为2. (1)求及的辅助圆的方程. (2)已知与轴平行，且不经过原点的直线与及的辅助圆分别交于两点（均在同一个象限），过作的辅助圆的切线与轴交于点，且直线的斜率为，记的面积为，证明：. (3)已知斜率不为0，且不经过原点的直线与交于两点，判断在的辅助圆上是否存在点，使得四边形是平行四边形.若存在，求面积的最大值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2) 方法一：证明：设，直线与轴交于点，则. 由得. 易证， 则，得， 所以. 方法二：证明：不妨假设均在第一象限或第二象限， 设直线的方程为或0）， 由，得， 得. 直线， 令，得. 故. 同理可证在第三象限或第四象限时，. 故. (3)存在，最大值为1 【详解】（1）设的焦距为，则得 所以的方程为，的辅助圆的方程为. （2）略 （3）设点. 由得， 由，得， 得 假设在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形， 则， 得. 因为在的辅助圆上，所以，得， 满足，所以在的辅助圆上存在点，使得四边形是平行四边形. 直线在轴上的截距为， 则， 将， 得， 当且仅当，即时，等号成立. 故面积的最大值为1. $