专题二·期中综合复习·培优提升讲义（二次函数·概率·圆）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题二·期中综合复习·培优提升讲义 （二次函数·概率·圆）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数y=ax²、y=a(x-h)²+k的图象与性质，能求对称轴、顶点坐标并判断图象平移 · 会用待定系数法求二次函数解析式，能解决销售、面积、投球等实际最值问题 · 理解必然事件、不可能事件、随机事件，能用列举法、列表法、树状图法计算简单事件的概率 · 理解频率与概率的关系，会用频率估计概率并判断游戏的公平性 · 掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系与垂径定理，能解决正多边形和圆的综合计算与证明 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 二次函数y=ax²的图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下，|a|越大开口越窄 顶点式y=a(x-h)²+k的顶点为(h,k)，对称轴为直线x=h；由y=ax²平移得到：左加右减、上加下减 一般式y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-，顶点坐标为(-, ) 抛物线上对称的两点纵坐标相同时，对称轴为这两点横坐标的平均数；增减性以对称轴为界 概念辨析例题：抛物线y=2(x-1)2+3的顶点坐标是____，将它向左平移2个单位、再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为____ 答案：(1,3)；y=2(x+1)2 解析：顶点式y=a(x-h)²+k的顶点为(h,k)，故顶点为(1,3)；向左平移2个单位则x-1变为x+1，向下平移3个单位则+3变为+0，故所得解析式为y=2(x+1)²。 ☆ 2.二次函数的解析式与实际应用 待定系数法：已知顶点设顶点式y=a(x-h)²+k；已知三点设一般式y=ax²+bx+c；已知与x轴两交点设交点式y=a(x-x1)(x-x2) 最值问题：当a>0时顶点为最低点有最小值，当a<0时顶点为最高点有最大值，实际问题要结合自变量取值范围 销售利润问题：利润=(售价-进价)×销售量，建立二次函数后求顶点处的最大利润 面积问题：用含x的代数式表示边长，建立面积关于x的二次函数，注意图形的实际限制 概念辨析例题：已知抛物线的顶点为(2,-3)，且过点(0,1)，求该抛物线的解析式 答案：y=(x-2)2-3=x2-4x+1 解析：已知顶点设顶点式y=a(x-2)²-3；代入点(0,1)得1=a(0-2)²-3=4a-3，解得a=1；故解析式为y=(x-2)²-3，展开得y=x²-4x+1。 ☆ 3.概率的计算与频率估计 事件分类：必然事件、不可能事件统称确定事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件 概率公式：若所有等可能结果共n种，事件A包含其中m种，则P(A)= 两步及以上试验用列表法或树状图法不重不漏地列举所有等可能结果 大量重复试验中频率稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率；可用频率估计概率 概念辨析例题：掷两枚质地均匀的硬币，求两枚都正面朝上的概率 答案： 解析：所有等可能结果为(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)共4种，两枚都正面朝上只有1种，故P=。 ☆ 4.圆的基本性质 点与圆的位置关系：设圆半径为r，点到圆心距离为d，则d<r点在圆内，d=r点在圆上，d>r点在圆外 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；常结合勾股定理构造半径、弦心距、半弦长的直角三角形 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角 圆内接四边形对角互补；弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等、所对的圆心角相等 概念辨析例题：⊙O的半径为5，弦AB=8，求圆心O到弦AB的距离 答案：3 解析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=AB=4；在Rt△OAC中，OC===3。 ☆ 5.正多边形和圆 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆半径叫做正多边形的半径 正n边形的中心角为；正多边形的半径、边心距、边长的一半构成直角三角形 正多边形的外角和为360°，每个外角等于其中心角；由中心角可求边数n 正多边形和圆的综合计算常结合等边三角形、等腰三角形与勾股定理 概念辨析例题：正多边形的每个外角为24°，求这个正多边形的边数 答案：15 解析：多边形外角和为360°，每个外角为24°，故边数n==15。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数顶点式 y=a(x-h)²+k，顶点(h,k) 左加右减、上加下减 对称轴公式 x=- a的符号决定开口方向 概率公式 P(A)= 结果须等可能、不重不漏 频率与概率 大量试验下频率估计概率 试验次数越多频率越稳定 垂径定理 直径垂直弦则平分弦及弧 构造半径、弦心距直角三角形 圆周角定理 圆周角=同弧圆心角的一半 直径所对圆周角为直角 正多边形中心角 与外角相等 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与性质（第1-6题） · 由a的符号判断开口方向，由|a|的大小判断开口宽窄 · 顶点式y=a(x-h)²+k直接读出顶点(h,k)与对称轴x=h · 图象平移按「左加右减、上加下减」规律变换，注意平移是针对x和常数项 · 抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴等于两点横坐标的平均数 · 配方法把一般式化为顶点式，从而确定顶点、对称轴与最值 1．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的最值，结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】二次函数 的大致图象如下： ①当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即， 解得：或(均不合题意，舍去)； ②当时, 当时，取最小值，即， 解得：（正数舍去）， 当时，取最大值，即, 解得： 或时，取最小值， 时取最大值， ， ， ， ∴此种情形不合题意， 所以， 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的顶点坐标是______． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键熟练掌握其图象与性质． 根据二次函数的顶点坐标为直接求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故答案为：． 4．（2024·福建泉州·一模）已知二次函数的图象经过点，，若，，都有，则的最大值为_____． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质分和时即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质时解题的关键． 【详解】解：当时，则二次函数的顶点，图象开口向下，最大值为， ∴不符合题意， 当时，图象开口向上，最小值为， ∵，，都有， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段检测）关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 【答案】 解：乙的说法对．理由如下： 对配方可得， 因为无论a取何值，， 所以， 故无论a取何值，该函数一定是二次函数． 【知识点】配方法的应用、二次函数的识别 【分析】本题考查二次函数的定义，配方法的应用．只需要判断含x的二次项的系数是否为0即可． 【详解】略 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【答案】(1)，对称轴为轴，顶点坐标为 (2) 【知识点】y=ax²的图象和性质、根据二次函数的定义求参数 【分析】（）根据二次函数的定义和性质可求出的值，进而由解析式可求出对称轴和顶点坐标； （）列表、描点、连线，画出函数图象，再根据图象求出的范围即可； 本题考查了二次函数的定义和性质，画二次函数图象，根据函数图象求函数的取值范围，正确画出函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵当时，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴，顶点坐标为； （2）解：列表如下： 画函数图象如下： 由函数图象可得，当时，的范围为， 故答案为：． 【考点2】二次函数的解析式与实际应用（第7-16题） · 根据已知条件灵活设解析式：顶点设顶点式、三点设一般式、交点设交点式 · 实际问题先设自变量、用含自变量的式子表示相关量，再建立函数关系 · 销售利润问题牢记：利润=(单价-进价)×销售量 · 求最值时先求顶点横坐标，再判断是否在自变量取值范围内 · 图象法解一元二次不等式：抛物线在x轴上方的部分对应函数值大于0 7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为__________． 【答案】 【知识点】矩形性质理解、列二次函数关系式 【分析】本题考查了矩形的性质，求二次函数的关系式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意再表达另一边的长度为米，运用矩形的面积公式进行列式，得，即可作答． 【详解】解：依题意，另一边的长度为（米）， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·福建莆田·期中）一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为______． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正方形的面积． 首先表示出原边长为4厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程． 【详解】解：原边长为4厘米的正方形面积为：（平方厘米）， 边长增加x厘米后边长变为：， 则面积为：平方厘米， ∴． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·山东泰安·期末）二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则______________，________________． 【答案】 4 【知识点】根据二次函数的定义求参数、数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二次函数的定义，有理数的加法和乘法运算，解二元一次方程组，掌握相关知识点是解题关键．由二次函数的定义可得，进而得到或，再分别求解即可． 【详解】解：二次函数的解析式为， ， ， 或， 当时，，， 解得：，，满足，符合题意； 当时，，， 解得：，，不满足，不符合题意； 故答案为：；4． 10．（2024·浙江舟山·中考真题）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半是解决问题的关键．先求出，根据直角三角形的性质得，再由勾股定理可得，然后等边的边长为1，得，，据此可得出函数的表达式． 【详解】解：如图，连接， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， ， 由勾股定理得：， 等边的边长为1，， ， ， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、其他问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 【详解】解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 12．（22-23九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的定义求参数、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）把代入函数解析式中得：， 当时，， ∴y的值为． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 13．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)或 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 14．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）某书店购入一批进价为10元/本的经典小说进行销售．经市场调查发现：销售单价定为18元时，每天可售出40本；销售单价每提高1元，每天少售出2本．设销售单价提高x元时，书店每天销售该小说的利润为y元． (1)求出y关于x的函数表达式． (2)每本书的售价定为多少元时，每天销售该小说获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，（，且为整数） (2)每本书的售价定为24元时，每天销售该小说获得的利润最大，最大利润是392元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据总利润等于每本小说的利润乘以销售量列式求解即可； （2）根据（1）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， （，且为整数）； （2）解：由（1）得 ， ∵， ∴当，即时，y有最大值，最大值为392， ∴此时的售价为元， 答：每本书的售价定为24元时，每天销售该小说获得的利润最大，最大利润是392元． 15．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C的坐标为． (1)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式； (2)如果M为抛物线的顶点，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)15 【知识点】面积问题(二次函数综合)、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题为二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识． （1）先求出点A、B的坐标分别为，再利用待定系数法即可求解； （2）先求出顶点M的坐标为，过点M作轴于点D，交AB于点E，再求出，利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，得， ∴点A、B的坐标分别为． 设经过A，B，C三点的抛物线解析式为， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴过A，B，C三点的抛物线解析式为； （2）解：， ∴顶点M的坐标为． 如图，过点M作轴于点D，交AB于点E， 则， 把代入直线得， ∴点E坐标为， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 【答案】(1)是“邻交函数” (2) (3)的最大值为 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、求抛物线与x轴的交点坐标 【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案； （2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值； （3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； （2）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； （3）解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． 【考点3】事件的分类、概率计算与频率估计（第17-29题） · 判断事件类型：一定发生为必然事件、一定不发生为不可能事件、可能发生为随机事件 · 概率公式P(A)=的前提是所有结果等可能 · 两步试验用列表法，三步及以上用树状图法，做到不重不漏 · 游戏公平性比较双方获胜的概率是否相等 · 大量重复试验下频率稳定于概率，可用频率估计概率 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，下面（　　）游戏规则是公平的． A．上面是质数娜娜胜，上面是合数欣欣胜 B．上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜 C．上面的数小于3娜娜胜，上面的数大于3欣欣胜 D．上面的数小于4娜娜胜，上面的数大于4欣欣胜 【答案】B 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题主要考查了游戏是否公平，先确定质数和合数，再说明可能性的大小，进而判断A，再确定偶数和奇数，并说明可能性的大小，判断B，然后确定大于3（4），小于3（4）的个数，说明可能性，判断C，D 即可．一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数除了1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数；不能被2整除的数叫做奇数；能被2整除的数叫做偶数． 【详解】A.质数有2，3，5一共3个；合数有4，6一共2个；3>2，娜娜获胜的机会多，游戏不公平； B.偶数有2，4，6一共3个，奇数有1，3，5一共3个，3=3，获胜的机会相同，游戏公平； C．小于3的数有1，2一共2个；大于3的数有4，5，6一共3个，2＜3，欣欣获胜的机会多，游戏不公平； D．小于4的数有1，2，3一共3个；大于4的数有5，6一共2个；3>2，娜娜获胜的机会多，游戏不公平． 娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜游戏规则是公平的． 故选：B． 18．（2024·贵州贵阳·模拟预测）九年级（2）班有名男生和名女生，现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，下列说法正确的是（     ） A．抽到男生的可能性较大 B．抽到男、女生的可能性一样大 C．抽到女生的可能性较大 D．抽到男、女生的可能性大小不能确定 【答案】C 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答． 【详解】∵九年级（2）班有名男生和名女生， ∴现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，抽到男生的可能性为， 抽到女生的可能性为， ∴抽到女生的可能性大于抽到男生的可能性． 故选：C． 19．（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 【答案】A 【知识点】游戏的公平性 【分析】本题考查游戏公平性的判断，判断游戏规则是否公平，就要计算每个参与者取胜的可能性，可能性相等就公平，否则就不公平． 看游戏规则是否公平，主要看双方是否具有均等的机会，如果机会是均等的，那就公平，否则，则不公平；据此逐项分析后再选择． 【详解】解：A、质数有：2、3、5、7共4个，合数有：4、6、8、9共4个，双方的机会是均等的，所以说这个游戏规则对双方都公平； B、2的倍数有：2、4、6、8共4个，3的倍数有：3、6、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平； C、小于5的数有：2、3、4共3个，大于5的数有：6、7、8、9共4个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小刚不公平； D、小于6的数有：2、3、4、5共4个，大于6的数有：7、8、9共3个，双方的机会是不均等的，所以说这个游戏规则对小明不公平． 故选：A． 20．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一口锅里有外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，2个是山楂馅的．小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（     ） A．花生馅汤圆 B．豆沙馅汤圆 C．黑芝麻馅汤圆 D．山楂馅汤圆 【答案】B 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】总情况数固定时，某一类事件对应的数量越多，发生该事件的可能性越大，只需比较不同馅料汤圆的数量即可求解. 【详解】解：由题意得四种汤圆的数量分别为：花生馅7个，黑芝麻馅5个，豆沙馅8个，山楂馅2个， ∵ ，豆沙馅汤圆的数量最多， ∴ 随意捞起一个，捞到豆沙馅汤圆的可能性最大. 21．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球，下面说法中正确的是（    ） A．他第11次摸到的一定还是黄球 B．他第11次摸到的可能还是黄球 C．盒子里一定都是黄球 D．盒子里一定还有其它颜色的球 【答案】B 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了可能性．根据题意，小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球，说明盒子里有黄球，也可能有其它颜色的球，他第11次摸到的可能还是黄球，也可能不是黄球． 【详解】解：．他第11次摸到的不一定还是黄球，故该选项不符合题意； ．他第11次摸到的可能还是黄球，故该选项符合题意； ．盒子里不一定都是黄球 ，故该选项不符合题意； ．盒子里不一定还有其它颜色的球．，故该选项不符合题意； 故选：B． 22．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用、判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了概率和随机事件的概论，根据已知条件，结合指针停在每个扇形的可能性相同，指针停在哪个扇形区域都是随机事件，即可求解． 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． 23．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【知识点】由频率估计概率、关于频率与概率关系说法的正误、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验． 【详解】解：由题意知，试验的频率约为， A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符； B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符； C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有  1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致； D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符． 故选：C． 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)小明任意抛掷一枚质地均匀的硬币，前3次抛掷落地后都是“正面朝上”，则他第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是必然事件； (2)因为小明的父亲买彩票从未中过一等奖，所以“今后他买彩票中一等奖”是不可能事件． 【答案】(1) 不同意， 理由：因为每次抛掷硬币“正面朝上”是一个随机事件，它不受前面出现结果的影响，虽然前面3次出现的结果都是“正面朝上”，但第4次可能出现“正面朝上”或“正面期下”， 所以第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是随机事件， 故不同意； (2) 不同意， 理由：因为每次买彩票是否中一等奖是一个随机事件，且它不受前面出现的结果的影响 故不同意， 所以“今后他买彩票中一等奖”是随机事件， 故不同意． 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了事件的分类，解题的关键是： （1）根据随机事件、必然事件的定义判断即可； （2）根据随机事件、不可能事件的定义判断即可 【详解】（1）略 （2）略 25．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）根据事件发生的可能性不同对下列事件进行判断，并在括号内填写“必然事件”、“不可能事件”或“不确定事件”： (1)在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下．( ) (2)从装有黄球和红球的袋子里摸出白球．( ) (3)余姚明年五一节当天的最高气温是．( ) (4)三角形的内角和为．( ) (5)购买一张彩票刚好中奖．( ) (6)一个标准大气压下，气温为时，冰能融化成水．( ) (7)手可摘星辰．( ) (8)三点确定一个圆．( ) 【答案】(1)必然事件 (2)不可能事件 (3)不确定事件 (4)必然事件 (5)不确定事件 (6)必然事件 (7)不可能事件 (8)不确定事件 【知识点】事件的分类 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐一判断即可． 【详解】（1）在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下．（必然事件 ） （2）从装有黄球和红球的袋子里摸出白球．（不可能事件） （3）余姚明年五一节当天的最高气温是．（不确定事件） （4）三角形的内角和为．（必然事件 ） （5）购买一张彩票刚好中奖．（不确定事件） （6）一个标准大气压下，气温为时，冰能融化成水．（必然事件 ） （7）手可摘星辰．（不可能事件） （8）三点确定一个圆．（不确定事件） 26．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1) (2)补全树状图如图所示： (3)向西参观的概率较大 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）补全树状图即可； （3）由（2）知，共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种，由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：嘉淇走到十字道口A，可能直行（向西），也可能向左转（向南）或向右转（向北），共3种等可能性结果， ∴向北走的概率为； （2）略 （3）解：由树状图可知共有9种等可能结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， （向西参观），（向南参观）（向北参观）（向东参观）， ， ∴向西参观的概率较大． 27．（26-27九年级上·全国·课后作业）某次抽奖活动，中奖率为，请你通过试验估计： (1)抽奖10次，至少有一次中奖的概率； (2)抽奖10次，才第一次中奖的概率． 【答案】(1) 约为（或） (2) 约为（或） 【知识点】概率在转盘抽奖中的应用、根据概率公式计算概率、概率的意义理解 【分析】（1）利用对立事件，先求全部不中奖的概率，再用减去该概率求解； （2）明确“10次才第一次中奖”为前次未中奖、第次中奖，计算求解． 【详解】（1）解：∵单次抽奖活动中奖率为， ∴ 单次抽奖活动不中奖率为， ∴抽奖次，都不中奖的概率为， ∵至少有一次中奖与次全部不中奖互为对立事件， ∴至少有一次中奖的概率为； （2）解： ∵“抽奖次才第一次中奖”即前次均不中奖，第次中奖， ∴该事件的概率为． 28．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明有红色、白色、黄色、黑色四件衬衫，又有米色、蓝色两条长裤．如果他最喜欢的搭配是白色衬衫配蓝色长裤，那么黑暗中他随机拿出衬衫一件、长裤一条，正好是他最喜欢的搭配的概率是多少？如果他不喜欢红色衬衫配蓝色长裤或者黑色衬衫配蓝色长裤，那么，黑暗中他随机拿出的衬衫与长裤正好是他不喜欢的搭配的概率又是多少？ 【答案】； 【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率 【分析】根据题意先列出树状图，再依据树状图求概率． 【详解】解：衬衫与长裤的搭配情况如图所示： 由树状图可知，衬衫与长裤的搭配共有8种机会均等的情况，其中白色衬衫配蓝色长裤只有1种情况，红色衬衫配蓝色长裤与黑色衬衫配蓝色长裤分别各有1种情况，记“小明最喜欢的搭配”为事件，“小明不喜欢的搭配”为事件， ， ． 29．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【答案】(1) (2) (3)③④ 【知识点】由频率估计概率、求某事件的频率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）由表中的最大值所对应的频率即为所求； （2）根据白球个数球的总数得到的白球的概率，即可得出答案； （3）试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近； 故答案为：； （2）解：根据题意得：（个）， 故答案为：； （3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意； 掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意； 从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意； 在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意． 故答案为：③④． 【考点4】圆的基本概念、点和圆与三角形外接圆（第30-35题） · 点与圆的位置关系由点到圆心距离d与半径r的大小比较决定 · 三角形外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等 · 90°的圆周角所对的弦是直径，由此可确定直角三角形外接圆直径 · 过圆内一点的最长弦是经过该点的直径 30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三线合一、判断三角形外接圆的圆心位置 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、三角形外接圆，正确找出三角形外接圆的圆心是解题关键． 先根据等腰三角形的三线合一可得是的垂直平分线，从而可得点O即为外接圆的圆心，再利用圆的面积公式即可得． 【详解】解：，是的平分线 ，且是边上的中线（等腰三角形的三线合一） 是的垂直平分线 ∵是的中点，过点作交于点， ∴是的垂直平分线， 点O为外接圆的圆心，为外接圆的半径 ， 外接圆的面积为 故选：D． 31．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、求三角形外心坐标 【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线， ，， ， ， ． ， ， B正确，C错误； ，， ， 点为的外心，故D正确； ，， ，故A正确． 故选：C． 32．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为______． 【答案】 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、求四边形外接圆的直径、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】连接，，，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出，根据勾股定理求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：连接，，， 在中，，， ， 点分别是和的中点， ，，，， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形，且， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边对等角等知识，解题的关键是正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质． 33．（24-25九年级上·北京·阶段检测）判断下列说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误，请举出反例．（注：本题无论正误都需要画图并说明） (1)圆的任意一条弦的两个端点把圆分成优弧和劣弧； (2)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 【答案】(1) 不正确．直径弦的两个端点把圆分成两条等弧．如图：； (2) 不正确．平分直径弦的直径不一定垂直于直径弦，并且不一定平分直径弦所对的两条弧． 如图：直径平分弦，但是不垂直，，． 【知识点】圆的基本概念辨析、垂径定理的推论 【分析】本题主要考查了圆．熟练掌握弦，直径，弧，垂径定理推论，是解决本题的关键． （1）非直径弦分圆成优弧和劣弧，直径弦分圆两条等弧； （2）平分非直径弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 【详解】（1）略 （2）略 34．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【答案】(1)当时，点A，B都在圆外． (2)时，点A在圆内，点B在圆外． 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点到圆心的距离与半径的大小关系，从而确定的范围． （2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点在圆内、点在圆外时的范围，再取交集． 【详解】（1）解：， 当时，点A，B都在圆外． （2）解：， 当，即时，点A在圆内，点B在圆外． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆外，时点在圆内是解题的关键． 35．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】求特殊三角形外接圆的半径、三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质 【分析】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出是解题关键． （1）连接，通过证得，从而问题得解； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和得出．再根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵O为的外心， ， ， ， ， ， （2）解：∵由（1）得，， ， ∴ 为正三角形， ， ． 【考点5】弧弦圆心角、圆周角与垂径定理（第36-54题） · 同圆或等圆中，弧、弦、圆心角三组量知一组相等可推出其余各组相等 · 圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，用于角度计算与证明 · 垂径定理常作弦心距，构造由半径、弦心距、半弦组成的直角三角形用勾股定理 · 圆内接四边形对角互补，外角等于它的内对角 · 平行弦问题注意两弦在圆心同侧或异侧两种情况，防止漏解 · 证明题常用全等三角形、等腰三角形性质结合弧弦关系 36．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 【答案】A 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等,即可解答． 【详解】解：A、等弧所对的弦一定相等；故原说法正确； B、在同圆和等圆中，相等的弦所对的弧相等，故原说法错误； C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； D、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．故原说法错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系．此题比较简单，注意掌握定理的条件（在同圆或等圆中）是解此题的关键． 37．（2024·湖南长沙·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，若， ∴， ∴． 故选D． 38．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 39．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角 【分析】本题考查了圆心角定理，等腰三角形的判定及性质等；由弧的度数得，由等腰三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】解：连接， 的度数为， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 40．（25-26九年级下·陕西·期中）某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形 【分析】由垂径定理可得，连接，设，则，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：， ∵经过圆心， ∴， 如图，连接， ， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的半径是． 41．（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】作垂线(尺规作图)、相似三角形的判定综合、尺规作一个角等于已知角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了尺规作图，相似三角形的判定，圆内接四边形的性质，三角形中位线定理．分别根据作图痕迹，依据相似三角形的判定定理，即可判断． 【详解】解：B、由作图知，， ∴，故本选项不符合题意； C、由作图知，四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴，故本选项不符合题意； D、由作图知，点和点分别是和的中点， ∴， ∴，故本选项不符合题意； A、由作图知，和分别是的角平分线，不能说明和相似，故本选项符合题意； 故选：A． 42．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，是的直径，，，则的大小为______． 【答案】/度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再由平角的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 连接，由求得，根据，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为， 故答案为：． 44．（2024·浙江温州·三模）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 【答案】20 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接，设半径为米，则米，由垂径定理可得米，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，找出石拱桥圆弧形的圆心，连接， ， 设半径为米，则米， ∵跨度为24米，， ∴米， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴这个弧形石拱桥设计的半径为米， 故答案为：． 45．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ________________； （）若，则 ________________． 【答案】 = = 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题题考查了圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等，即四者有一个相等，则其它三个都相等． 【详解】解：（1）∵， ∴． 故答案为：=； （2）∵， ∴． 故答案为：=． 46．（2024·宁夏银川·一模）如图，已知点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于_______________．    【答案】/140度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，连接，根据等弧所对的圆心角相等，可得，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得，由此可解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为_____． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、解直角三角形的相关计算、已知圆内接四边形求角度、圆周角定理 【分析】连接，，过点作，垂足为，由圆内接四边形对角互补可得，由圆周角定理可得，再由可得，由角所对直角边等于斜边的一半可得长，利用勾股定理求出，由垂径定理得，即可得出． 【详解】解：如图，连接，，过点作，垂足为， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，等腰三角形性质，角所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，垂径定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 48．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是____________． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】设交于，连接、、，过作于，连接，由题意易证明是等边三角形，即得出，，从而由勾股定理可求出．再根据直角三角形斜边中线的性质可知，最后利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：设交于，连接、、，过作于，连接， ， ， ， 是等边三角形， ，， 由勾股定理得：． ， ． ， ， 在中，， ， 的最小值是， 故答案为： 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质和三角形三边关系的应用．圆的基本性质，正确的作出辅助线是解题关键． 49．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 【答案】2或14 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．根据题意画出图形是解题的关键． 由于弦和平行，且它们与圆心的相对位置不确定，需分同侧和异侧两种情况，分别根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【详解】解：①当在圆心的同侧，如图（一）所示时，过O作交于F，连接， 由垂径定理可知， 在中，； 在中，， 所以； ②当在圆心的异侧，如图（二）所示时，过O作交于F，连接， 同（一）可知：， 所以． 故答案为：2或14． 50．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：过O作于M，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴； (2) 证明：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ． 【知识点】利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键 （1）过O作于M，连接、，利用等腰三角形三线合一证明，，则问题可证； （2）利用等腰三角形三线合一，可证明，，进行角的组合可证明，利用圆心角、弦、弧的关系，即可证． 【详解】（1）略 （2）略 51．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．    (1)点M的坐标是 ； (2)判断与y轴的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 相交． 根据网格特征可得： 的半径 圆心M到y轴的距离 ∴ ∴与y轴相交． 【知识点】判断直线和圆的位置关系、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求解其他问题 【分析】此题考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握圆心的确定方法，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，以点M为圆心； （2）先利用勾股定理求出，即得的半径为，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离，然后比较d与r的大小即可得出于y轴的位置关系． 【详解】（1）连接，分别作的垂直平分线交于点M，如图所示：    根据网格的特征可得：点M的坐标为， 故答案为：． （2）略 52．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，已知．求证：． 【答案】 证明：如图，连接，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、等边对等角、灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握相等的圆心角所对的弦相等是解题关键． 连接、，证得，得，根据相等的圆心角所对的弦相等即可得证． 【详解】略 53．（25-26九年级上·河北·单元复习）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 【答案】(1) 证明：连接，    ∵为直径 ∴，                       ∴，                      ∵， ∴，                           ∴，                        ∴，                                   ∵，                        ∴； (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、利用垂径定理求值、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同角的余角相等，垂径定理，勾股定理， 对于（1），连接，根据直径所对的圆周角是直角得，                      再根据同角的余角相等得，然后根据同弧所对的圆周角相等得，即可得出答案；                        对于（2），连接，先说明，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理求出，最后根据勾股定理得出方程，求出解即可. 【详解】（1）略 （2）解：连接，    ∵， ∴，                  ∴，                                      ∵为直径，， ∴，                                       在中，，              ∴，                                       设的半径为x，， ∵， ∴ ， 解得， ∴的半径为. 54．（2026·安徽安庆·二模）如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． (2)的长为． 【知识点】根据等角对等边证明边相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、利用弧、弦、圆心角的关系求解、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用直径和垂线证明，利用“等弧所对圆周角相等”证明，进而推出，利用“等角对等边”即可得结论； （2）利用“相等的弧所对的弦也相等”得到，再利用勾股定理计算的长，利用直角三角形的等面积法可计算的长． 【详解】（1）略 （2）解：∵为的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点6】正多边形和圆的综合应用（第55-60题） · 正n边形的中心角为，与每个外角相等 · 由中心角求边数：n= · 正多边形的半径、边心距、边长一半构成直角三角形，结合勾股定理计算 · 正多边形综合题常与等边三角形、等腰三角形、折叠、平面镶嵌结合，注意分类讨论 55．（2025·浙江·模拟预测）如图，为的直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下． 甲：作的中垂线，交于左，右两点； 再作的中垂线，交于左，右两点； 连结，六边形即为所求的六边形． 乙：以D为圆心，长为半径作圆弧，交于左，右两点； 再以A为圆心，长为半径作圆弧，交于左，右两点； 连结，六边形即为所求的六边形． 对于甲、乙两人的作法，可得到以下判断（    ） A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】此题主要考查了作图-复杂作图，关键是掌握垂径定理及圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识． 根据作图即可得到，，进而得出六边形为正六边形．进而即可判断． 【详解】解：甲：∵作的中垂线，交于左，右两点， ∴， 又， ∴， ∴为等边三角形， 同理可得，，，，均为等边三角形， 故，， 所以六边形为正六边形； 乙：由作图可得，，即为等边三角形， 同理可得，，均为等边三角形， 故，而， 所以，均为等边三角形， 所以，， 所以六边形为正六边形； 因此，甲、乙两人的作法均正确， 故选：A 56．（23-24九年级上·浙江台州·期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则_______．      【答案】/ 【知识点】正多边形的外角问题、三角形的外角的定义及性质、求正多边形的中心角、等腰三角形的性质和判定 【分析】连接，，过C作于T，根据在正八边形性质，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质证得，则，进而， 证明等腰直角三角形，求得即可求解． 【详解】解：连接，，过C作于T，    在正八边形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴等腰直角三角形，则， 由勾股定理得， ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握正多边形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 57．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ________．    【答案】/18度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接、，    ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 58．（2025·浙江·模拟预测）如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和四边形镶嵌而成，，，为各多边形顶点，则的值为________． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、平面镶嵌 【分析】在图中标出字母如下，过点作延长线于点，连接，作于点，过点作于点，易得四边形和是矩形，再根据正六边形的性质求出每个内角的度数，进而得到是等边三角形，设，易表示出，，，，再利用矩形的性质和勾股定理求解和的长度即可求解． 【详解】解：在图中标出字母如下，过点作延长线于点，连接，作于点，过点作于点， 则四边形和是矩形． 人行道上地板砖由正六边形和四边形镶嵌而成， 正六边的内角为， ， , ，是等边三角形． 设， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，平面镶嵌，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，标出字母，作出辅助线构建直角三角形是解答关键． 59．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ____________________． 【答案】或或 【知识点】折叠问题、正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】分三种情况讨论，设的半径为，分别根据勾股定理，即可求解． 【详解】设的半径为，当经过的中点，即经过的中点， ∴， 当经过的中点，则， ∴，， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 当经过的中点，即经过的中点，设的中点为， ∴ ∴ 解得： 综上所述，半径为、、 故答案为：或或． 【点睛】本题考查翻折的性质，勾股定理，正方形的性质，掌握翻折的性质，勾股定理，正方形的性质以及分类讨论是正确解答的关键． 60．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】解直角三角形的相关计算、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用． （1）连接、，作于H，先求出，再由三线合一定理得到，最后根据余弦的定义计算即可； （2）先解直角三角形得到，则，再根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：连接、，作于H， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为； （2）解：在中，， ∴， ∴正六边形的面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数先定a的符号与顶点，图象平移严格按左加右减、上加下减 · 实际应用问题先设自变量、写关系式，再结合取值范围求最值 · 概率列举要等可能、不重不漏，两步用列表、三步以上用树状图 · 圆的计算多作弦心距构造直角三角形，垂径定理与勾股定理联用 · 圆周角、圆心角关系记牢「一半」，直径所对圆周角为直角是常用突破口 【作业1】．（23-24九年级上·安徽·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握抛物线的顶点式．根据顶点式可直接写出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标是， 故选：D． 【作业2】．（2026九年级上·浙江·专题练习）平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【知识点】圆的基本概念辨析、判断确定圆的条件、求能确定的圆的个数 【分析】根据圆的概念求解． 【详解】解：∵圆心P为定点，半径为是定长， ∴满足条件的圆有1个． 【作业3】．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，正五边形内接于，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等边对等角、正多边形和圆的综合、正多边形的内角问题 【分析】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和是解题的关键． 根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出、，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， 故选：A． 【作业4】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据概率公式计算概率、概率在比赛中的应用 【分析】本题考查了概率的计算，根据题意，计算出每一轮比赛队伍的支数，然后求出每一轮抽到轮空概率，结合赢得总决赛的概率，算得答案即可． 【详解】解：∵所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式， ∴第一轮共有17支队伍，第二轮共有9支队伍，第三轮共有5支队伍，第四轮共有3支队伍， ∴第一轮抽中轮空概率为，第二轮抽中轮空概率为，第三轮抽中轮空概率为，第四轮抽中轮空概率为， ∵赢得总决赛概率为， ∴那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为：． 故选：B． 【作业5】．（24-25七年级下·河北保定·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 【答案】D 【知识点】由频率估计概率 【分析】本题通过大量重复试验中频率的稳定值来估计概率．随着试验次数的增加，频率逐渐趋近于概率．观察大样本量的数据，其频率稳定在0.95附近，因此可估计发芽概率为0.95． 【详解】由试验数据可知，当种子数量较大时（如700、900、1000），发芽频率分别为0.949、0.953、0.951，均稳定在0.95左右． 根据频率估计概率的原理，大样本量的频率更接近真实概率． 因此，发芽概率约为0.95，对应选项D． 故选：D． 【作业6】．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知点在半径为的上，点在外，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点与圆的位置关系、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形三边关系，掌握相关性质定理是解题的关键．根据点与圆的位置关系可得，，分两种情况讨论：当、、三点不共线时，根据三边关系确定的取值范围；当、、三点共线，根据线段和差关系确定的值，即可得解． 【详解】解：点在半径为的上， ， 点在外， ， 当、、三点不共线时，在中，，， 由三角形三边关系可得：， 即， ， ， 当、、三点共线，且点在点与点之间时，． 的取值范围为． 故选：C． 【作业7】．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）已知点、、为抛物线上的点，则______． 【答案】3 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．二次函数图象上所有点的坐标均满足该函数解析式． 由抛物线的解析式可知抛物线的对称轴是直线，根据点和的坐标知，则点和关于直线对称．据此易求的值，进而把点的坐标代入解析式即可求得的值． 【详解】解：抛物线解析式为， 该抛物线的对称轴是直线， 又点和关于直线对称， ， ， 把代入抛物线的解析式得，． 故答案为：3． 【作业8】．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【答案】6 【知识点】求过圆内一点的最长弦 【分析】本题考查了圆的直径，半径，熟练掌握直径是圆的最大弦是解题的关键． 根据直径是圆中最大的弦解答即可． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点O， ∵直径是圆中最大的弦， ∴过P，O作圆的直径，则，， ∴， ∴圆的直径为， 故答案为：6． 【作业9】．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是___________． 【答案】13或19 【知识点】利用点与圆的位置关系求半径 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 由题意知，分点在内，点在外两种情况求解即可． 【详解】解：由题意知，分点在内，点在外两种情况求解； 当点在内，如图1， ∴，， ∴， ∴最大距离是13； 当点在外，如图2， ∴，， ∴， ∴最大距离是19； 综上所述，的半径是13或19； 故答案为：13或19． 【作业10】．（25-26七年级下·山东淄博·期末）“煮熟的鸭子飞了”这个事件是_______________．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 【答案】不可能事件 【知识点】事件的分类 【详解】解：煮熟的鸭子已经不具备飞行能力，该事件一定不会发生，符合不可能事件的定义，因此该事件是不可能事件． 【作业11】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【答案】10 【知识点】垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接，先由垂径定理得，再由勾股定理求出，然后求出的长即可． 【详解】解：设圆弧的圆心为O，过O作于C，交于D，连接， 则，， ∴， ∴， 即这些钢索中最长的一根为， 故答案为：10． 【作业12】．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则______．    【答案】/十五 【知识点】已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果． 【详解】解：连接，    ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【作业13】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为______． 【答案】或 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，理解题意是解题关键．将，代入求解即可． 【详解】解：将，代入，得：， 解得：，． 故答案为：或． 【作业14】．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】16.9 【知识点】垂径定理的实际应用、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的实际应用．由题意可得，，过圆心作交于，交于，连接、，设半径，由垂径定理得到，，结合，得到，，即可求出，再根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 过圆心作交于，交于，连接、，设半径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【作业15】．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为________． 【答案】 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】根据题意调查到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是半径为5和半径为所组成的环形面积即可．本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：如图， 到点的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形是图中环形， 所以 ． 故答案为：． 【作业16】．（2022·浙江台州·模拟预测）小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【答案】 【知识点】列表法或树状图法求概率 【分析】列表或树状图将所有等可能的结果全部列举出来，用概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 羊1 羊2 猴A 猴B 羊1 1，1 1，2 1，A 1，B 羊2 2，1 2，2 2，A 2，B 猴A A，1 A，2 A，A A，B 猴B B，1 B，2 B，A B，B 由列表得：共有16种等可能的结果，两次抽取的卡片画面不同的有8种， 故两张抽取的卡片画面不同的概率是． 【作业17】．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【答案】 ， 或 【知识点】图象法解一元二次不等式、根据交点确定不等式的解集、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 【作业18】．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理等知识点，根据勾股定理、垂径定理求出的长是解题的关键． 过O作于H，由垂径定理得到，由勾股定理求出，当C和H重合时，的最小值是，当是圆直径时，的值最大是，即可得到的取值范围． 【详解】解：过O作于H， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴当C和H重合时，的最小值是4，的最小值是， 当是圆直径时，的值最大是， ∴的取值范围是． 故答案为：． 【作业19】．（22-23九年级上·广西玉林·阶段检测）已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式是解题的关键． 设顶点式，然后把原点坐标代入，求出即可． 【详解】解：设该二次函数的解析式为， 把原点坐标代入，得：， 整理，得：， 解得：， 该二次函数的解析式为． 【作业20】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？ (4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 【答案】(1)成功了次，成功率是，不是他所在小组成功率最高的人 (2)两位同学的成功率一样；再做次试验，成功率不一定出现类似的情况 (3)一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数；第一组的成功率最高 (4)完成各抛掷次数对应的频数与频率数据统计表如下： 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 根据统计表画成的折线图如图所示， 根据折线图会看到：随着抛掷次数的增加，出现两个正面的频率逐渐稳定在附近 【知识点】由频率估计概率、求某事件的频率、根据数据描述求频数、根据数据填写频数、频率统计表、根据数据描述求频率、判断事件发生的可能性的大小 （3）根据成功率的公式计算，即可得到答案；根据每组人，每人次，得到每组总的试验次数为次，分别算出各组的成功率，比较个百分数，选出最大的一组即可． （4）统计抛掷次至次出现两个正面的频数，根据频率频数累计抛掷次数，得到频率，画出折线图：横轴抛掷总次数，纵轴频率，并根据折线图总结出规律即可． ∴成功率是， ∵根据该组中号的同学在次试验中，成功了次，， ∴成功率是一样的， ∵试验的结果是随机的，不确定的， ∴如果他们两人再做次试验，成功率不一定出现类似的情况； （3）解：∵一组同学的成功率为：成功的总次数试验的总次数， ∴一组同学的成功率为该组出现两个正面的总次数除以该组试验的总次数， ∴第一组的成功率为：， 第二组的成功率为：， 第三组的成功率为：， 第四组的成功率为：， ∵， ∴第一组的成功率最高； （4）略． 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二·期中综合复习·培优提升讲义 （二次函数·概率·圆）（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数y=ax²、y=a(x-h)²+k的图象与性质，能求对称轴、顶点坐标并判断图象平移 · 会用待定系数法求二次函数解析式，能解决销售、面积、投球等实际最值问题 · 理解必然事件、不可能事件、随机事件，能用列举法、列表法、树状图法计算简单事件的概率 · 理解频率与概率的关系，会用频率估计概率并判断游戏的公平性 · 掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系与垂径定理，能解决正多边形和圆的综合计算与证明 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 二次函数y=ax²的图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下，|a|越大开口越窄 顶点式y=a(x-h)²+k的顶点为(h,k)，对称轴为直线x=h；由y=ax²平移得到：左加右减、上加下减 一般式y=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-，顶点坐标为(-, ) 抛物线上对称的两点纵坐标相同时，对称轴为这两点横坐标的平均数；增减性以对称轴为界 概念辨析例题：抛物线y=2(x-1)2+3的顶点坐标是____，将它向左平移2个单位、再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为____ 答案：(1,3)；y=2(x+1)2 解析：顶点式y=a(x-h)²+k的顶点为(h,k)，故顶点为(1,3)；向左平移2个单位则x-1变为x+1，向下平移3个单位则+3变为+0，故所得解析式为y=2(x+1)²。 ☆ 2.二次函数的解析式与实际应用 待定系数法：已知顶点设顶点式y=a(x-h)²+k；已知三点设一般式y=ax²+bx+c；已知与x轴两交点设交点式y=a(x-x1)(x-x2) 最值问题：当a>0时顶点为最低点有最小值，当a<0时顶点为最高点有最大值，实际问题要结合自变量取值范围 销售利润问题：利润=(售价-进价)×销售量，建立二次函数后求顶点处的最大利润 面积问题：用含x的代数式表示边长，建立面积关于x的二次函数，注意图形的实际限制 概念辨析例题：已知抛物线的顶点为(2,-3)，且过点(0,1)，求该抛物线的解析式 答案：y=(x-2)2-3=x2-4x+1 解析：已知顶点设顶点式y=a(x-2)²-3；代入点(0,1)得1=a(0-2)²-3=4a-3，解得a=1；故解析式为y=(x-2)²-3，展开得y=x²-4x+1。 ☆ 3.概率的计算与频率估计 事件分类：必然事件、不可能事件统称确定事件，随机事件是可能发生也可能不发生的事件 概率公式：若所有等可能结果共n种，事件A包含其中m种，则P(A)= 两步及以上试验用列表法或树状图法不重不漏地列举所有等可能结果 大量重复试验中频率稳定在某个常数附近，这个常数就是该事件的概率；可用频率估计概率 概念辨析例题：掷两枚质地均匀的硬币，求两枚都正面朝上的概率 答案： 解析：所有等可能结果为(正,正)、(正,反)、(反,正)、(反,反)共4种，两枚都正面朝上只有1种，故P=。 ☆ 4.圆的基本性质 点与圆的位置关系：设圆半径为r，点到圆心距离为d，则d<r点在圆内，d=r点在圆上，d>r点在圆外 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；常结合勾股定理构造半径、弦心距、半弦长的直角三角形 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角 圆内接四边形对角互补；弧、弦、圆心角之间的关系：同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等、所对的圆心角相等 概念辨析例题：⊙O的半径为5，弦AB=8，求圆心O到弦AB的距离 答案：3 解析：过O作OC⊥AB于C，由垂径定理得AC=AB=4；在Rt△OAC中，OC===3。 ☆ 5.正多边形和圆 正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆半径叫做正多边形的半径 正n边形的中心角为；正多边形的半径、边心距、边长的一半构成直角三角形 正多边形的外角和为360°，每个外角等于其中心角；由中心角可求边数n 正多边形和圆的综合计算常结合等边三角形、等腰三角形与勾股定理 概念辨析例题：正多边形的每个外角为24°，求这个正多边形的边数 答案：15 解析：多边形外角和为360°，每个外角为24°，故边数n==15。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数顶点式 y=a(x-h)²+k，顶点(h,k) 左加右减、上加下减 对称轴公式 x=- a的符号决定开口方向 概率公式 P(A)= 结果须等可能、不重不漏 频率与概率 大量试验下频率估计概率 试验次数越多频率越稳定 垂径定理 直径垂直弦则平分弦及弧 构造半径、弦心距直角三角形 圆周角定理 圆周角=同弧圆心角的一半 直径所对圆周角为直角 正多边形中心角 与外角相等 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与性质（第1-6题） · 由a的符号判断开口方向，由|a|的大小判断开口宽窄 · 顶点式y=a(x-h)²+k直接读出顶点(h,k)与对称轴x=h · 图象平移按「左加右减、上加下减」规律变换，注意平移是针对x和常数项 · 抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，对称轴等于两点横坐标的平均数 · 配方法把一般式化为顶点式，从而确定顶点、对称轴与最值 1．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北荆门·阶段检测）二次函数，当且时，y的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）二次函数的顶点坐标是______． 4．（2024·福建泉州·一模）已知二次函数的图象经过点，，若，，都有，则的最大值为_____． 5．（22-23九年级上·江苏苏州·阶段检测）关于x的函数，甲说：此函数不一定是二次函数；乙说：此函数一定是二次函数，你认为谁的说法正确？为什么？ 6．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值，并写出对称轴和顶点坐标； (2)请画出该函数图象，并根据图象写出当时，的范围为______． 【考点2】二次函数的解析式与实际应用（第7-16题） · 根据已知条件灵活设解析式：顶点设顶点式、三点设一般式、交点设交点式 · 实际问题先设自变量、用含自变量的式子表示相关量，再建立函数关系 · 销售利润问题牢记：利润=(单价-进价)×销售量 · 求最值时先求顶点横坐标，再判断是否在自变量取值范围内 · 图象法解一元二次不等式：抛物线在x轴上方的部分对应函数值大于0 7．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为__________． 8．（23-24八年级下·福建莆田·期中）一个边长为4厘米的正方形，如果它的边长增加厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y关于x的函数解析式为______． 9．（23-24九年级上·山东泰安·期末）二次函数的解析式为，满足如下四个条件：；；，，则______________，________________． 10．（2024·浙江舟山·中考真题）如图，正三角形的边长为1，是边上的一点，过作边的垂线，交于，用表示线段的长度，显然线段的面积是线段长度的函数，这个函数的表达式是________． 11．（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 12．（22-23九年级上·天津滨海新区·阶段检测）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 13．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 14．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）某书店购入一批进价为10元/本的经典小说进行销售．经市场调查发现：销售单价定为18元时，每天可售出40本；销售单价每提高1元，每天少售出2本．设销售单价提高x元时，书店每天销售该小说的利润为y元． (1)求出y关于x的函数表达式． (2)每本书的售价定为多少元时，每天销售该小说获得的利润最大？最大利润是多少？ 15．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C的坐标为． (1)求经过A，B，C三点的抛物线的表达式； (2)如果M为抛物线的顶点，连接，求的面积． 16．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” (1)判断二次函数是不是“邻交函数” (2)若二次函数是“邻交函数”，求的值． (3)若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 【考点3】事件的分类、概率计算与频率估计（第17-29题） · 判断事件类型：一定发生为必然事件、一定不发生为不可能事件、可能发生为随机事件 · 概率公式P(A)=的前提是所有结果等可能 · 两步试验用列表法，三步及以上用树状图法，做到不重不漏 · 游戏公平性比较双方获胜的概率是否相等 · 大量重复试验下频率稳定于概率，可用频率估计概率 17．（24-25九年级上·全国·课后作业）娜娜和欣欣玩掷骰子游戏，骰子各面上的数字分别是1、2、3、4、5、6，下面（　　）游戏规则是公平的． A．上面是质数娜娜胜，上面是合数欣欣胜 B．上面是偶数娜娜胜，上面是奇数欣欣胜 C．上面的数小于3娜娜胜，上面的数大于3欣欣胜 D．上面的数小于4娜娜胜，上面的数大于4欣欣胜 18．（2024·贵州贵阳·模拟预测）九年级（2）班有名男生和名女生，现从中随机抽取一名同学去领取劳动工具，下列说法正确的是（     ） A．抽到男生的可能性较大 B．抽到男、女生的可能性一样大 C．抽到女生的可能性较大 D．抽到男、女生的可能性大小不能确定 19．（23-24七年级上·河南南阳·开学考试）袋中有形状、大小都相同的8个球，上面依次写着2、3、4、5、6、7、8、9八个数字，小刚和小明两人玩摸球游戏，下面规则中对双方都公平的是（   ） A．任意摸一球，摸到质数小刚胜，摸到合数小明胜 B．任意摸一球，摸到2的倍数小刚胜，摸到3的倍数小明胜 C．任意摸一球，小于5小刚胜，大于5小明胜 D．任意摸一球，小于6小刚胜，大于6小明胜， 20．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）在一口锅里有外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，2个是山楂馅的．小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（     ） A．花生馅汤圆 B．豆沙馅汤圆 C．黑芝麻馅汤圆 D．山楂馅汤圆 21．（24-25九年级上·浙江金华·阶段检测）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸10次，每次摸到的都是黄球，下面说法中正确的是（    ） A．他第11次摸到的一定还是黄球 B．他第11次摸到的可能还是黄球 C．盒子里一定都是黄球 D．盒子里一定还有其它颜色的球 22．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 23．（24-25九年级上·安徽六安·期末）明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率 B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率 C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率 24．（25-26八年级下·全国·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)小明任意抛掷一枚质地均匀的硬币，前3次抛掷落地后都是“正面朝上”，则他第4次抛掷硬币落地后“正面朝上”是必然事件； (2)因为小明的父亲买彩票从未中过一等奖，所以“今后他买彩票中一等奖”是不可能事件． 25．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段检测）根据事件发生的可能性不同对下列事件进行判断，并在括号内填写“必然事件”、“不可能事件”或“不确定事件”： (1)在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下．( ) (2)从装有黄球和红球的袋子里摸出白球．( ) (3)余姚明年五一节当天的最高气温是．( ) (4)三角形的内角和为．( ) (5)购买一张彩票刚好中奖．( ) (6)一个标准大气压下，气温为时，冰能融化成水．( ) (7)手可摘星辰．( ) (8)三点确定一个圆．( ) 26．（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）某博物馆展厅的俯视示意图如图1所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． (1)嘉淇走到十字道口A向北走的概率是______________． (2)补全图2的树状图． (3)借助图2的树状图分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 27．（26-27九年级上·全国·课后作业）某次抽奖活动，中奖率为，请你通过试验估计： (1)抽奖10次，至少有一次中奖的概率； (2)抽奖10次，才第一次中奖的概率． 28．（26-27九年级上·全国·课后作业）小明有红色、白色、黄色、黑色四件衬衫，又有米色、蓝色两条长裤．如果他最喜欢的搭配是白色衬衫配蓝色长裤，那么黑暗中他随机拿出衬衫一件、长裤一条，正好是他最喜欢的搭配的概率是多少？如果他不喜欢红色衬衫配蓝色长裤或者黑色衬衫配蓝色长裤，那么，黑暗中他随机拿出的衬衫与长裤正好是他不喜欢的搭配的概率又是多少？ 29．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据： 摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000 摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252 摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）； (2)试估算盒子里白球有 个； (3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是 （填写所有正确结论的序号）． ①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上． ②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”． ③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”． ④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项． 【考点4】圆的基本概念、点和圆与三角形外接圆（第30-35题） · 点与圆的位置关系由点到圆心距离d与半径r的大小比较决定 · 三角形外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等 · 90°的圆周角所对的弦是直径，由此可确定直角三角形外接圆直径 · 过圆内一点的最长弦是经过该点的直径 30．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，中，，是的平分线，是的中点，过点作交于点，交于点．若，则外接圆的面积为（   ） A． B． C． D． 31．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N；②作直线交于点D，连结，若，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．点D为的外心 32．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为______． 33．（24-25九年级上·北京·阶段检测）判断下列说法是否正确，如正确，请说明理由；如错误，请举出反例．（注：本题无论正误都需要画图并说明） (1)圆的任意一条弦的两个端点把圆分成优弧和劣弧； (2)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 34．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 35．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【考点5】弧弦圆心角、圆周角与垂径定理（第36-54题） · 同圆或等圆中，弧、弦、圆心角三组量知一组相等可推出其余各组相等 · 圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半，用于角度计算与证明 · 垂径定理常作弦心距，构造由半径、弦心距、半弦组成的直角三角形用勾股定理 · 圆内接四边形对角互补，外角等于它的内对角 · 平行弦问题注意两弦在圆心同侧或异侧两种情况，防止漏解 · 证明题常用全等三角形、等腰三角形性质结合弧弦关系 36．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．等弧所对的弦相等 B．相等的弦所对的弧相等 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．相等的圆心角所对的弦相等 37．（2024·湖南长沙·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26九年级上·河北廊坊·期末）一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 39．（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，内接于，是的直径．若，的度数为70°，则等于（    ） A． B． C． D． 40．（25-26九年级下·陕西·期中）某小区的排水管道的截面示意图如图所示，点、、在上，点是的中点，且经过圆心，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 41．（2025·浙江嘉兴·二模）用“尺规作图”将一个三角形分割成一个小三角形和一个四边形，则下列图形中，分割出来的小三角形与原三角形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 42．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，是的直径，，，则的大小为______． 43．（25-26九年级上·山东聊城·期末）如图，已知，是的两条直径，弦，的度数为，则的度数为______°． 44．（2024·浙江温州·三模）温州有很多历史悠久的石拱桥，它们是圆弧的桥梁．如图是温州某地的石拱桥局部，其跨度为24米，拱高为4米，则这个弧形石拱桥设计的半径为______米． 45．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点 ，，， 在上． （）若，则 ________________； （）若，则 ________________． 46．（2024·宁夏银川·一模）如图，已知点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于_______________．    47．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，四边形是的内接四边形，，的半径为，则的长为_____． 48．（23-24九年级下·四川广元·开学考试）如图，的半径是4，点A是圆上一个定点，点在上运动，且，，垂足为点，连接，则的最小值是____________． 49．（23-24九年级上·山东菏泽·期中）在中，弦，，的直径为20，则弦之间的距离为 ____________． 50．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）如图，在中，半径分别交弦于点E，F，且． (1)求证：； (2)求证：． 51．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在平面直角坐标系中，．经过A，B，C三点．    (1)点M的坐标是 ； (2)判断与y轴的位置关系，并说明理由． 52．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，已知．求证：． 53．（25-26九年级上·河北·单元复习）已知A、B、C、D是上的点，为直径，过点D作的垂线交延长线于点E．    (1)求证：； (2)若，当时，求半径的长． 54．（2026·安徽安庆·二模）如图，以的边为直径作，点在上，点为上一点，连接，且为的中点，于点，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【考点6】正多边形和圆的综合应用（第55-60题） · 正n边形的中心角为，与每个外角相等 · 由中心角求边数：n= · 正多边形的半径、边心距、边长一半构成直角三角形，结合勾股定理计算 · 正多边形综合题常与等边三角形、等腰三角形、折叠、平面镶嵌结合，注意分类讨论 55．（2025·浙江·模拟预测）如图，为的直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下． 甲：作的中垂线，交于左，右两点； 再作的中垂线，交于左，右两点； 连结，六边形即为所求的六边形． 乙：以D为圆心，长为半径作圆弧，交于左，右两点； 再以A为圆心，长为半径作圆弧，交于左，右两点； 连结，六边形即为所求的六边形． 对于甲、乙两人的作法，可得到以下判断（    ） A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 56．（23-24九年级上·浙江台州·期末）图1是微信朋友圈的图案，它是中心对称图形，图2是其示意图．其作图过程为：取正八边形中心点O，延长，交于点M，为半径作，再延长正八边形其余七边得到的八等分点．若，则_______．      57．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ________．    58．（2025·浙江·模拟预测）如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和四边形镶嵌而成，，，为各多边形顶点，则的值为________． 59．（2024·浙江·一模）如图，正方形的边长为，以边上的动点为圆心，为半径作圆，将沿翻折至，若过一边上的中点，则的半径为 ____________________． 60．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 💯 课后巩固 复习建议 · 二次函数先定a的符号与顶点，图象平移严格按左加右减、上加下减 · 实际应用问题先设自变量、写关系式，再结合取值范围求最值 · 概率列举要等可能、不重不漏，两步用列表、三步以上用树状图 · 圆的计算多作弦心距构造直角三角形，垂径定理与勾股定理联用 · 圆周角、圆心角关系记牢「一半」，直径所对圆周角为直角是常用突破口 【作业1】．（23-24九年级上·安徽·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（2026九年级上·浙江·专题练习）平面内已知点P，以P为圆心，为半径作圆，这样的圆可以作（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【作业3】．（25-26九年级上·浙江·阶段检测）如图，正五边形内接于，连接，则为（   ） A． B． C． D． 【作业4】．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）体育场内，所在的队伍与其他十六支队伍进行足球比赛，比赛采用晋级赛的形式（即共分为四轮比赛，每一轮比赛中，随机抽取一支队伍轮空直接晋级下一轮，非轮空的队伍之间两两进行比赛，胜者晋级下一轮．最后一轮结束时，由轮空队伍与该轮获胜队伍进行总决赛，总决赛胜者为冠军）假定每支队伍实力均等（即每场比赛双方的胜率均为），那么所在的队伍每一轮都被抽为轮空且最终在决赛赢得冠军的概率为（    ）．（已知：独立事件的联合概率等于各独立事件概率的乘积） A． B． C． D． 【作业5】．（24-25七年级下·河北保定·期末）为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 【作业6】．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）已知点在半径为的上，点在外，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【作业7】．（23-24九年级上·重庆九龙坡·期末）已知点、、为抛物线上的点，则______． 【作业8】．（24-25九年级上·河北唐山·期中）外一点到圆周上一点的最长距离为，最短距离为，则的直径长为________． 【作业9】．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一平面内，的半径是8，点不在上，若点到上的点的最小距离是，则点到上的点最大距离是___________． 【作业10】．（25-26七年级下·山东淄博·期末）“煮熟的鸭子飞了”这个事件是_______________．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 【作业11】．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）如图，拱桥可以近似的看作直径为260的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，那么这些钢索中最长的一根的长度为__________． 【作业12】．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段检测）如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则______．    【作业13】．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）从地面竖直向上发射出的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射出时的速度科学小组在高的实验楼前从地面竖直向上发射出小球，如图所示若发射出小球的初速度，当小球离地面的高度与实验楼的高度相同时，的值为______． 【作业14】．（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 【作业15】．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）由所有到已知点O的距离不小于3，并且不大于5的点组成的图形的面积为________． 【作业16】．（2022·浙江台州·模拟预测）小王设计一种游戏，2张卡片上各画1只羊，另2张卡片上各画1只猴，从这4张卡片中第一次随机抽取1张后重新放回，第二次再随机抽取1张，两张抽取的卡片画面不同的概率是______． 【作业17】．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是__________；不等式的解集是______________；不等式的解集是________________． 【作业18】．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）如图，的半径为5，弦，点C在弦上，延长交于点D，则的取值范围是______． 【作业19】．（22-23九年级上·广西玉林·阶段检测）已知二次函数的图象过坐标原点，其顶点坐标是，求这个二次函数的解析式． 【作业20】．（26-27九年级上·全国·课后作业）某校九年级（）班位同学每人一组，每人做次抛掷两枚硬币的试验，想看看“出现两个正面”的频率是否会逐渐稳定下来，得到了下面个试验结果． 第一组同学的学号 出现两个正面的次数 第二组同学的学号 出现两个正面的次数 第三组同学的学号 出现两个正面的次数 第四组同学的学号 出现两个正面的次数 (3)如何计算一组同学的成功率？哪一组的成功率最高？ (4)逐步累计所有同学的试验结果，完成下面的数据统计表，如果把这张表画成相应的折线图，你会看到什么？ 抛掷次数 出现两个正面的频数 出现两个正面的频率 试卷第1页（共3页） 1 学科网（北京）股份有限公司 $