自由落体、竖直上抛相关计算 专项训练 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

自由落体、竖直上抛相关计算 一、自由落体计算（基础） 1．一个物体做自由落体运动，重力加速度大小为，求： (1)物体2s末的速度大小； (2)物体前6s的平均速度大小 2．高空抛物会造成严重的安全隐患，刑法修正案（十一）新设高空抛物罪，“高空抛物”正式入刑。若一小玻璃球从高度处的楼层由静止滑落，不计空气阻力，取重力加速度g=10m/s2，求： (1)小玻璃球经过多长时间落到地面； (2)小玻璃球落地时的速度； (3)下落过程中，小玻璃球在最后2s内的位移大小。 3．一长1.45m的均匀细杆，杆下端与楼顶边缘对齐，竖直从一楼顶静止释放（忽略空气阻力）经过该楼侧面的一窗户，该窗户高2m，窗户上沿到楼顶边缘距离为5m，重力加速度。求： (1)求杆下端落到窗户上边沿时速度的大小； (2)这根杆经过窗户所需要的时间。 4．如图所示，一位同学在教学楼上做自由落体实验。该同学在四楼位置A 将小球静止释放。位置 A、B在同一条竖直线上，每层楼高度相等为h，不计空气阻力，重力加速度为 g。求：（结果用所给字母表示） (1)小球运动到 B位置时的速度大小。 (2)小球从位置A、B运动到地面所需的时间。 二、自由落体计算（提高） 5．如图所示，屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第6滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，此时第4滴与第3滴分别位于高2.0m的飘窗的上、下沿。求：此屋檐离地面高H及滴水的时间间隔T的大小。（g=9.8m/s2） 6．如图所示，直杆与圆筒竖直放置，直杆长为，圆筒高为，直杆位于圆筒正上方处，直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿越圆筒，求： (1)由释放到直杆下端刚好开始进入圆筒时经历的时间； (2)直杆从开始进入到完全穿越圆筒所用的时间； (3)若直杆下端开始进入圆筒时，释放圆筒让其做自由落体，直杆从开始进入到完全穿越圆筒所用的时间。 7．暑假期间，小华去了处于梅雨季节的江南古镇，观察发现屋檐滴水的情景与自由落体运动一致。他观察到水滴下落的时间间隔相同，于是利用手机拍摄水滴自由下落的照片如图所示，测得水滴A、B之间的实际距离为35cm，水滴B、C之间的实际距离为45cm，屋檐高为3.2m。取重力加速度g=10m/s2，不计空气阻力，水滴可视为质点。求： (1)相邻两水滴离开屋檐时的时间间隔； (2)拍摄时，水滴A与屋檐间的距离； (3)某水滴刚落地时，其上方与它距离最近的水滴离地面的高度。 8．图甲为意大利著名建筑物比萨斜塔，相传伽利略在此做过自由落体实验。如图乙所示，现将两个小铁球P和Q用长L=6.2m不可伸长的轻绳连接，从与比萨斜塔的塔顶等高的A处将悬吊Q球的P球由静止释放，测得Q球落地的时间t=3s，忽略空气阻力，g取10m/s2，可能用到3.22=10.24，求： (1)开始下落时，PQ连接体的加速度大小； (2)比萨斜塔的高度H； (3)P、Q球落地的时间差△t。 9．小明利用无人机拍摄学校运动会的鸟瞰视频，最后因操作不当，无人机从某一高度由静止开始做自由落体运动，距地面时速度为，接下来以速度开始匀速降落，在距地面时，开始匀减速降落直至到达地面速度为0，求： (1)无人机下落的高度为多少； (2)无人机匀减速阶段的加速度大小； (3)无人机从高度处落到地面所用的时间。 10．跳伞表演被称为“空中芭蕾”。跳伞运动员为了在空中做如图组合造型，离开飞机后并不马上打开降落伞，而是先在空中自由“飞翔”一段时间，然后再打开降落伞。假设在一次表演中，某运动员离开飞机后做自由落体运动，到离地面212.5m时他才打开降落伞，从而产生很大阻力，忽略开伞时间，立即以大小为15m/s2的加速度做匀减速直线运动，安全着陆时的速度仅为5m/s。重力加速度g=10m/s2。求： (1)该运动员开伞时的速度大小v1； (2)该运动员离开飞机时距地面高度h； (3)离开飞机后，到达地面的总时间t。 11．某跳伞运动员进行低空跳伞训练。他离开悬停的飞机后可以认为先做自由落体运动，下落125m时开始打开降落伞，沿竖直方向做加速度大小为的匀减速直线运动，速度减为5m/s后匀速运动，随后经过28s落地。问： (1)运动员打开降落伞时的速度是多少？ (2)运动员离开飞机时距地面的高度为多少？ (3)运动员离开飞机后，经过多少时间才能到达地面？ 12．在很多游乐场中，都有一种叫“跳楼机”的大型游戏机，如图所示。跳楼机能把乘客带入一定高度后，从静止开始下落做自由落体运动，达到最大速度后，由装置控制做匀速直线运动，匀速时间，匀速后立刻在装置作用下又开始做匀减速下降了，到距离地面处速度刚好减为零，减速加速度大小都设定为一般人能较长时间承受的值。某同学在参加这一娱乐活动时，用手机里的加速度传感器记录了匀减速下落过程加速度大小为。求： (1)下落过程中的最大速度的大小 (2)下落过程中经历的时间及整个游戏机开始下落时距离地面高度 (3)下落过程中第2~5s内通过的距离d 13．如图所示为极限运动爱好者在三峡体验蹦极项目，该项目的蹦极绳长为45米，蹦极绳一端固定于跳台，另一段系于腰间，体验者由静止开始竖直下落，其初始位置的重心与跳台位置等高。忽略空气阻力。在绳子拉直之后体验者马上做近似匀减速直线运动，经过15米速度恰好减为零。 (1)体验者在空中的最大速度是多少？ (2)绳子拉直后，体验者匀减速直线运动的加速度大小为多少？ 三、竖直上抛计算 14．如图所示，体育课同学们在练习排球。某同学在一次练习中用手把排球以4m/s的速度竖直向上垫起，然后排球落地。该同学垫球时，手距离地面的高度为1m，不计空气阻力，重力加速度大小g=10m/s2。求： (1)排球上升到最高点时距地面的高度； (2)排球在空中运动的总时间； (3)排球落地时速度大小。 15．矿井中的升降机从井底开始以5m/s的速度竖直向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，经过3s升降机底板上升至井口，此时松脱的螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度大小，求： (1)螺钉落到井底时的速度大小v； (2)矿井的深度H； (3)螺钉从脱落到井底的平均速度。 16．如图，气球下面用细线吊着一个物体，从地面由静止释放后一起加速上升，速度达到时，吊着物体的细线恰好断开，在物体落地前的整个过程，重力加速度为，不计物体受到的空气阻力，求： (1)物体落地前的整个过程，上升的最大高度； (2)物体从释放到落地的时间； (3)从细线断开到落地整个运动过程中物体的平均速度。 17．垫球是排球运动的基本技术之一。如图所示，某次垫球训练过程中，排球以方向竖直向下、大小为10m/s的速度落在运动员手上，运动员将其以原速率竖直向上垫起，不计排球所受空气阻力，已知排球和运动员接触的时间为0.2s，求排球： (1)离开手后上升的最大高度h； (2)一次垫球过程中在空中运动的时间t； (3)与运动员接触过程中的平均加速度a。 18．2023年杭州亚运会上，中国蹦床队展现了卓越的实力与风采，成功包揽了男子与女子蹦床项目的冠军，这是一项令人瞩目的成就。中国队的成绩也再次证明了中国体育的强大实力和深厚底蕴。如图为我国男子冠军严浪宇训练画面，某次运动员从脚离床面高下落，经反弹上升到最高处，脚离床面高，在空中始终保持直立状态，假设把运动员空中的运动看成自由落体和竖直上抛，g取，求： (1)运动员下落所用的时间 (2)运动员脚刚离开蹦床时的速度大小 (3)从高处运动到高处的平均速度大小（不计运动员与网的接触时间）。 19．一小球从空中自由下落，每次撞击地面后被竖直弹起，速度大小变为碰撞前的0.6倍，其速度随时间变化的情况如表格和图像所示（取向下为正方向），不计空气阻力，求小球： 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2 4 0 2 (1)在0~过程中的位移大小； (2)运动过程中的最大速率； (3)在0~内的平均速度大小。 20．在水平地面铺设一种特殊材料，一小球从距地面高处静止释放，小球与地面碰撞后速度大小减为碰前的一半，当碰前速度小于等于时，将不再反弹。不计小球与地面接触时间，不计空气阻力，取，求： (1)小球第一次与地面碰撞前的速度； (2)小球开始下落后经多长时间与地面发生第二次碰撞； (3)小球与地面碰撞次数及在空中运动的总路程。 四、竖直方向多过程计算 21．大疆无人机系列产品被《时代周刊》评为“十大科技产品”，它是一种能够垂直起降的小型遥控飞行器。在一次训练使用中，一大疆无人机静止在地面上，某时刻开始以的加速度竖直上升，后关闭发动机，不计空气阻力，，求： (1)末时离地面高度是多少? (2)关闭发动机后经多长时间坠落到地面? (3)重启发动机后，无人机产生向上的最大的加速度为，关闭发动机后最长多久后重启，可以让无人机恰好安全降落到地面（落到地面时速度恰好为0）? 22．学校社团活动中，某同学自制二级水火箭模拟火箭的运动，水火箭从水平地面由静止竖直向上发射，第一级启动时水火箭可以看作是匀加速直线运动，经过，水火箭速度达到，此时第二级启动，水火箭以的加速度继续向上做匀加速直线运动，经过耗尽箭体内的水，忽略空气的作用力，，整个运动过程中可将水火箭视为质点（本题为理想化模型），求： (1)火箭体内水耗尽时，水火箭的离地高度； (2)水火箭落回地面时的速度大小； (3)水火箭从发射到落回地面所用的时间。 23．弹射座椅是利用弹动力将飞行员和座椅一起弹离飞机，然后张开降落伞使飞行员安全降落的座椅型救生装置，如图为某次弹射座椅性能测试，在离地5m高的平台上（弹出后马上撤掉），飞行员和座椅一起在座椅下的火箭动力作用下竖直向上做匀加速直线运动，经过后，火箭失去动力，继续上升了到达最高点，在最高点人椅分离，然后飞行员竖直下落，下落到某一高度时打开降落伞，最后安全落地，已知飞行员和伞包的总质量为70kg，开伞后飞行员以5m/s2的加速度匀减速竖直下降。伞未打开时上升与下降过程空气阻力均不计。为了安全，人着陆时的速度大小不能大于v3=5m/s，求： (1)求飞行员上升过程的最大速度vm； (2)飞行员的最大离地高度H； (3)为保障安全，飞行员打开降落伞时离地的高度h需满足什么条件？ 五、与追及相遇结合的计算 24．如图所示，小球从离地高处由静止释放，与地面碰撞后向上弹起，每次弹起速度均为碰前速度的一半，不计空气阻力，忽略小球与地面碰撞的时间，求： (1)小球第一次与地面碰撞前的速度大小； (2)小球第一次与地面碰撞后向上运动的最大高度； (3)小球从静止释放至第三次与地面碰撞时，小球运动的总时间。 25．如图甲所示，下端离地面处有一竖直的空管，管长L为2.8m，A、B为空管的上、下两端，空管由于受外力作用，由静止开始竖直向下运动，其运动图像如图乙所示，同时在B处一个大小不计的小球以初速度竖直上抛，不计一切阻力和在地面的反弹，取。求： (1)若小球初速度为8m/s，小球经过多长时间从管的A端相对向上穿出： (2)欲使在空管落地瞬间，小球必须处于空管之内，在其他条件不变的前提下，求小球的初速度大小的范围。 26．城市高层建筑越来越多，高空坠物事件时有发生。如图所示，某居民楼距地面高的阳台上的花盆如受扰动而掉落，掉落过程可看作自由落体运动（花盆可视为质点）。现有一辆长的自行车，正以的速度驶向阳台正下方的通道。花盆刚开始掉落时，自行车车头距花盆的水平距离为，由于道路狭窄，自行车只能直行通过阳台的正下方的通道，且自行车手骑行时，他的头部离地面高度米，为简化计算，设人和车整体高度就为米（即花盆掉到此高度，就算砸到车子）。    (1)若骑手没有发现花盆掉落，自行车保持的速度匀速直行，通过计算说明自行车是否会被花盆砸到？ (2)若骑手发现花盆开始掉落，采取制动的方式来避险，如自行车最大加速为，为使自行车在花盆砸落点前停下，求自行车手允许反应的最长时间； (3)若骑手发现花盆开始掉落，骑手反应时间，则骑手可以以何加速度加速来避险（自行车可视为匀变速）。 27．如图所示，水平地面上一辆平板车以m/s的速度向前匀速行驶，时刻，在平板车前端M点的正前方m距离处有一个小球在离地面m高度处正以m/s的初速度竖直向上抛出。已知平板车上表面离地高度为m，车身长度m，重力加速度m/s2，不计空气阻力。 (1)求小球运动过程中距离地面的最大高度； (2)求小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离； (3)为了避免小球落在平板车上，小球竖直向上抛出的同时，小车开始做匀加速直线运动，求平板车的加速度大小a所满足的条件。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《自由落体、竖直上抛相关计算》参考答案 1．(1) (2) 【详解】（1）根据速度时间关系可知 （2）物体前6s的位移 物体前6s的平均速度大小 2．(1) (2)，方向竖直向下 (3) 【详解】（1）小玻璃球做自由落体运动，由 解得 （2）根据速度时间公式 解得落地时的速度 方向竖直向下 （3）前1s小玻璃球下落的位移大小为 解得 最后2s内的位移大小为 解得 3．(1) (2) 【详解】（1）杆下端初始位置与楼顶对齐，下落至窗户上边沿时，下落高度 由自由落体速度位移公式 解得 （2）从杆下端到达窗户上沿开始，到杆上端离开窗户下沿结束，这根杆经过窗户所需时间为两段过程所用时间的差值。由自由落体位移公式 得下落时间 杆下端到达窗户上沿的时间 已知窗高，杆长，当杆上端离开窗户下沿时，杆下端总下落高度 对应时间 因此杆经过窗户的时间 4．(1) (2)， 【详解】（1）根据自由落体运动公式 解得小球运动到 B位置时的速度大小为 （2）小球从位置A运动到地面过程，根据自由落体运动公式 解得小球从位置A运动到地面所需的时间为 小球从位置A运动到位置B过程，有 解得 则小球从位置B运动到地面所需的时间为 5．10m， 【详解】雨滴下落过程中自由落体运动，则 代入数据解得 屋檐离地面高为 6．(1) (2) (3) 【详解】（1）由释放到直杆下端刚好开始进入圆筒时，直杆下落高度 解得； （2）由释放到直杆完全穿越圆筒时，直杆下落高度 解得 则； （3）直杆下端开始进入圆筒速度 此后直杆与圆筒加速度相同，相对运动为匀速直线运动，则有 解得 7．(1)0.1s (2)0.45m (3)0.75m 【详解】（1）根据 解得 （2）B点的速度大小为 水滴A与屋檐间的距离为 （3）某水滴刚落地时，其上方与它距离最近的水滴离地面的高度为 联立解得 8．(1)10m/s2 (2)51.2m (3)0.2s 【详解】（1）开始下落时，PQ连接体只受重力作用，则加速度大小为g=10m/s2； （2）根据自由落体运动的规律，对Q从开始下落打落到地面有 解得H=51.2m （3）根据，可得P落地的时间 P、Q球落地的时间差 9．(1) (2) (3) 【详解】（1）无人机做自由落体运动下落的高度为 无人机下落的高度为 （2）无人机匀减速阶段的加速度大小 （3）无人机匀加速阶段的时间为 无人机匀速阶段的时间为 无人机匀减速阶段的时间为 无人机从高度处落到地面所用的时间 10．(1)80m/s (2)532.5m (3)13s 【详解】（1）设，，，根据速度位移公式可得开伞时的速度满足 解得运动员开伞时的速度大小 （2）根据自由落体规律可得 解得自由自由下落高度为 则运动员离开飞机时距地面高度 （3）加速时间为 减速时间为 可得到达地面的总时间 11．(1) (2) (3) 【详解】（1）打开降落伞前做自由落体运动，由 解得 （2）自由落体过程 减速运动过程 匀速运动过程 距离地面高度 （3）自由落体过程 减速运动过程 匀速运动过程 距离地面高度 12．(1) (2)5.2s， (3) 【详解】（1）匀减速过程 得 （2）自由落体过程 匀减速过程 总时间 自由落体过程 匀速过程 所以 （3）第末到第末（自由落体阶段）： 第末的速度为： 第末的速度即为最大速度： 该段时间内的位移： 第末到第末（匀速阶段）： 该段时间内的位移： 第末到第末（匀减速阶段）： 第末的速度为 第末的速度为： 该段时间内的位移： 求总位移： 13．(1)30m/s (2)30m/s2 【详解】（1）由题可知，体验者先做自由落体运动，绳子拉直后做匀减速直线运动，故自由落体运动末，体验者的速度最大，则有 解得 （2）由题可知，自由落体运动末的速度恰好是匀减速运动时的初速度，故有 解得 所以体验者匀减速直线运动的加速度大小为30m/s2。 14．(1) (2)1s (3) 【详解】（1）减速上升的距离为 排球上升的最大高度为 （2）减速上升的时间 排球下落过程，根据，解得下落时间 排球从上升到落地的时间为 （3）排球落地时速度大小 15．(1) (2) (3)，方向竖直向下 【详解】（1）螺钉落到井底的速度 代入数据解得 即螺钉落到井底的速度大小为，方向竖直向下。 （2）由题可知，升降机的位移 螺钉的位移 即螺钉的位移大小为，方向竖直向下，则矿井的深度 （3）螺钉从脱落到井底的平均速度 即螺钉从脱落到井底的平均速度大小为，方向竖直向下。 16．(1) (2) (3)，方向竖直向下 【详解】（1）物体加速上升过程，上升的高度为 细线断开后，物体做竖直上抛运动，继续上升的高度为 则物体落地前的整个过程，上升的最大高度为 （2）细线断开后，物体做竖直上抛运动，继续上升到最高点所用时间为 物体从最高点做自由落体运动，则有 解得 则物体从释放到落地的时间为 （3）从细线断开到落地整个运动过程中，通过的位移大小为 方向竖直向下，则从细线断开到落地整个运动过程中物体的平均速度大小为 方向竖直向下。 17．(1) (2) (3)，方向竖直向上 【详解】（1）选择向上方向为正方向，排球会以10m/s的速度竖直向上运动，在不计空气阻力情况下上升高度 代入数据解得 （2）排球以10m/s的速度做竖直上抛运动上升阶段做匀减速直线运动，则有 解得 下落阶段做自由落体运动，和上升阶段对称，则 一次垫球过程中在空中运动的时间 （3）与运动员接触过程中，时间为0.2s排球速度变化量 加速度定义式 方向竖直向上。 18．(1)0.5s (2)10m/s (3)2.5m/s 【详解】（1）运动员下落所用的时间 （2）运动员脚刚离开蹦床时的速度大小 （3）上升的时间 从高处运动到高处的平均速度大小 19．(1)0.45m (2)5m/s (3)1m/s 【详解】（1）由图表可得 则在0~过程中的位移 （2）由图像可知时的速率最大，有 （3）0~过程中的位移 撞击地面后的速速 弹起的最大高度 由图像得第二次下降的时刻是，下降的位移 则 在0~内的平均速度 20．(1)20m/s (2)4s (3)4次，33.125m 【详解】（1）根据自由落体运动公式可得 解得小球第一次与地面碰撞前的速度为 （2）小球自由下落过程，有 解得 小球与地面碰撞后速度大小为 小球第一次与地面碰撞到与地面发生第二次碰撞所用时间为 小球从开始下落到与地面发生第二次碰撞所用时间为 （3）小球第一次与地面碰撞后上升的高度为 小球第二次与地面碰撞后速度大小为 小球第二次与地面碰撞后上升的高度为 小球第三次与地面碰撞后速度大小为 可知小球第四次与地面碰撞后不再反弹，则小球与地面碰撞次数为4次。 小球第三次与地面碰撞后上升的高度为 则小球在空中运动的总路程为 21．(1)100m (2) (3) 【详解】（1）根据位移公式有 解得 （2）10s末，根据速度公式有 关闭发动机后无人机做竖直上抛运动，则有 舍去负值，解得 （3）令关闭发动机后最长后重启，则关闭发动机过程，则有 ， 重启发动机，无人机向下减速至0，利用逆向思维有 结合上述有 时间舍去负值解得 22．(1)25m (2) (3) 【详解】（1）根据匀变速运动公式，水耗尽时的火箭速度为 第一级启动后火箭上升的高度为 第二级启动后火箭上升的高度为 可得火箭体内水耗尽时，水火箭的离地高度为 （2）耗尽火箭体内的水之后火箭向上做竖直上抛，上升的高度 上升的最大高度为 设水火箭落回地面时的速度为，有 解得 （3）竖直上抛直到回到地面所用的时间为，则 可解得，或 水火箭从发射到落回地面所用的时间是 23．(1) (2)365m (3) 【详解】（1）设飞行员和座椅一起竖直向上做匀加速直线运动时的加速度为a1，火箭失去动力的时刻，飞行员和座椅的速度最大，设该速度为v1；火箭失去动力后，飞行员和座椅继续向上运动，在最高点时速度为零，则有 解得 ， （2）上升过程的总位移为 飞行员的最大离地高度为 （3）设飞行员开伞时的速度为v2，开伞后飞行员的加速度记为，最后恰好以的速度落地，则有 联立解得 24．(1)10m/s (2)1.25m (3)2.5s 【详解】（1）根据速度—位移公式有 解得 （2）每次弹起速度均为碰前速度的一半，根据速度—位移公式有 解得 （3）小球第一次落地的时有 解得 小球第一次碰后反弹的时间满足 解得 小球第二次碰后反弹的时间满足 解得 则 25．(1)0.4s (2) 【详解】（1）由图像可得 设时刻圆筒还未到达匀速，小球从圆筒上端穿出，小球上升的位移大小为 圆筒下落的位移大小为 又 联立解得 或（舍去） （2）当时，圆筒匀加速下落的距离为 匀速下落 圆筒落地总时间为 则小球在时间内满足 解得 26．(1)人会被花盆砸到 (2) (3) 【详解】（1）设花盆掉落到与人头顶等高处所用时间为，则可得 解得 此时人的位移为 可知 因此人会被花盆砸到。 （2）设骑手做减速运动的加速度大小为，速度减为零的位移为，则有 设允许骑手反应的最长时间为，骑手反应时间内做匀速直线运动，则可得 （3）设骑手反应时间内的位移为，可得 骑手要加速通过，不被花盆砸到，可知加速运动的位移为 而花盆下落到与骑手等高位置所用的时间为，因此可知，骑手要在反应后1s内通过位移，设其加速度运动的加速度大小为，则有 代入数据解得 27．(1)11.75m (2)2m (3)m/s2 【详解】（1）根据 可得小球上升的最大高度 则距离地面最大高度为 （2）设小球经过时间t落在小车上，取竖直向上为正方向，则有 解得或（舍去） 平板车运动的位移为 则小球落在平板车上的位置到车身前端M的距离为 （3）小车做匀加速直线运动，设最小加速度为，则小车运动位移满足条件为 解得 则平板车的加速度应满足 $