第一章 第3课时 菱形的性质与判定(2)（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第3课时　菱形的性质与判定(2) 1．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是(C) 2．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF。 (1)求证：四边形EBFD是平行四边形； (2)若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形。 证明：(1)在▱ABCD中，OA＝OC，OB＝OD。 ∵AE＝CF，∴OE＝OF， 又∵OB＝OD，∴ 四边形EBFD是平行四边形。 (2)∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA， ∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC。 ∵OA＝OC，∴DB⊥EF， 又由(1)知四边形EBFD是平行四边形， ∴ 四边形EBFD是菱形。 3．如图，在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM。将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形。 证明：∵DM∥AB， ∴∠BAM＝∠AMD。 ∵△ADC是由△ABC沿AC翻折得到的， ∴∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM， ∴∠DAM＝∠AMD，∴AD＝DM， ∴AD＝DM＝AB＝BM，∴ 四边形ABMD是菱形。 4．【新趋势·条件开放】如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AC与BD相交于点O，请添加一个条件AB＝BC(答案不唯一)，使四边形ABCD是菱形。 5．【新趋势·条件开放】如图，在△ABC中，D是AC 的中点，E是AB上一点，连接ED并延长ED到点F，使AB∥CF。连接CE，AF ，请添加一个条件使四边形AECF为菱形，并加以证明。 解：添加的条件是“AC⊥EF”。证明如下： ∵AB∥CF， ∴∠CFD＝∠AED， ∵D是AC的中点，∴AD＝CD， 在△AED和△CFD中， ∴△AED≌△CFD(AAS)，∴ED＝FD， 又∵DC＝DA，∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形 (答案不唯一，合理即可) 6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是(D) A．∠BAC＝∠BCA B．∠ABD＝∠CBD C．OA2＋OD2＝AD2 D．AD2＋OA2＝OD2 7．如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD。若从三个条件①AB＝AC，②AB＝BC，③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是②(填序号)。 8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F是对角线AC上两点，且∠ABF＝∠CDE，AE＝CF。 (1)求证：△ABF≌△CDE； (2)当四边形ABCD的边AB，AD满足什么条件时，四边形BEDF 是菱形？说明理由。 (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA。 ∵AE＝CF， ∴AE＋EF＝CF＋EF， 即AF＝CE。 在△ABF和△CDE中， ∴△ABF≌△CDE(AAS)。 (2)解：当四边形ABCD满足AB＝AD时，四边形BEDF是菱形。理由如下： 连接BD交AC于点O，如答图。 由(1)得△ABF≌△CDE， ∴AB＝CD，BF＝DE， ∠AFB＝∠CED，∴BF∥DE。 ∵AB∥CD，AB＝CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形。 又∵AB＝AD，∴ 平行四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC。 ∵BF＝DE，BF∥DE，∴ 四边形BEDF是平行四边形， ∴ 四边形BEDF是菱形。 9．【教材P27T8变式】如图1，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，点P是底边BC上的一个动点，PD∥AC交AB于点D，PE∥AB交AC于点E。 (1)用a表示四边形ADPE 的周长：2a； (2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形？请说明理由； (3)如果△ABC不是等腰三角形，如图2，其他条件不变，点P 运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形(不必说明理由)? 解：(2)当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形。理由如下： 如答图1，连接AP。 ∵PD∥AC，PE∥AB，∴ 四边形ADPE为平行四边形。 ∵AB＝AC，P为BC的中点，∴∠PAD＝∠PAE。 ∵PE∥AB，∴∠PAD＝∠APE， ∴∠PAE＝∠APE，∴EA＝EP， ∴ 四边形ADPE是菱形。 　　 (3)点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是菱形。如答图2，连接AP。 ∵PD∥AC，PE∥AB，∴ 四边形ADPE是平行四边形。 ∵AP平分∠BAC，∴∠1＝∠2， ∵AB∥EP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3， ∴AE＝EP，∴ 四边形ADPE是菱形。 学科网（北京）股份有限公司 $