5.2二次函数的图象第2课时（教学设计）数学新教材北师大版九年级上册

5.2二次函数的图象（第2课时） 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版九年级上册 教学目标 1.会画二次函数 和 的图象； 2.掌握二次函数 和 的性质并会应用； 3.比较函数 与 的联系。 教学重点 二次函数 和 的图象与性质及其应用； 与 的联系和平移规律。 教学难点 由图象归纳含参数 的一般性质； 理解 对开口大小的决定作用，以及 对图象上下平移和顶点纵坐标的影响。 教材分析 本课选自北师大初中数学九年级上册第五章《二次函数》第二节《二次函数的图象》（第2课时），核心知识点为二次函数 与 的图象、性质及二者的上下平移联系。 本课是在学生已研究 、 图象的基础上，由特殊到一般推广到 ，再通过常数项 的变化研究 。教材以描点法画图为切入点，借助图象比较，引导学生归纳： 的符号决定开口方向， 越大开口越小； 决定图象沿 轴上下平移，顶点为 ，对称轴仍为 轴。其核心是数形结合、从特殊到一般和类比迁移。该内容完善了二次函数图象与性质体系，为后续研究 及二次函数综合应用奠定基础。教学中应突出“画图—观察—比较—归纳—应用”的过程，把图象特征与解析式系数建立联系，重点落在性质应用和平移联系上。 学情分析 学生已学过 、 的图象与性质，具备用描点法画函数图象的经验，能进行坐标代入、多项式求值和简单一元一次方程求解，这为画图、求解析式和归纳性质提供了基础。本节课由特殊到一般研究 ，再叠加常数项研究 ，概念归纳相对容易，但含参数讨论和数形结合要求较高。学生易混淆 的符号与 的不同作用，易错判 引起的平移方向和顶点变化；在比较函数值、判断增减性和解释平移联系时，需要借助图象直观与表格对比。因此，教学难点是：含参数二次函数图象性质的抽象归纳，以及 与 平移联系的灵活应用。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【知识回顾】 二次函数 和 的图象与性质。 【师生活动】 教师引导回顾 、 的图象特征； 学生口答表格，并猜想 的图象形状与位置。 【引入新课】 已研究特殊二次函数 和 的图象，那么二次函数 的图象是什么样子？先想象，再画一画。 由生活抛物线和旧知复习切入，激发兴趣，暴露“从特殊到一般”的认知需求，明确本课学习方向。 探究点1：二次函数 的图象与性质 【问题引入】 画二次函数 的图象。 （1）完成下表： （2）描点，连线。 （3）二次函数 的图象是什么形状？ 二次函数 的图象是一条开口向上的抛物线。 （4）与二次函数 的图象有什么相同之处和不同之处？ 相同点：都是位于 轴上方开口向上的抛物线，对称轴、顶点、最值和增减性都相同。 不同点： 的图象比 的图象的开口小。 （5）开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ 开口向上，对称轴是 轴，顶点坐标是坐标原点 。 【操作思考】 （1）在图中画出二次函数 的图象，它与二次函数 、 的图象有什么相同之处和不同之处？ 相同点：都是位于 轴上方开口向上的抛物线，对称轴、顶点、最值和增减性都相同。 不同点：它们的开口大小不同，，， 开口依次变小。 （2）y=x2的开口大小与a（a＞0）的大小有什么关系？ 当 时， 的值越大，开口越小。 （3）如何画二次函数 ， 的图象？先想一想，再画一画。 解：①列表 ②描点连线 （4）观察 ， 的图象与 的图象： 相同点：都是位于 轴下方开口向下的抛物线，对称轴、顶点、最值和增减性都相同。 不同点：开口大小不同，，， 图象开口依次变小。 （5）y=ax2的开口大小与a（a＜0）的绝对值大小有什么关系？ 当 时， 的绝对值越大，开口越小。 【师生活动】 教师演示列表、描点、连线，提问“形状、开口、对称轴、顶点、最值、增减性如何”； 学生分组画图、观察、比较，归纳 对开口大小的影响。 【知识归纳】 在二次函数 （）中， 的绝对值越大，开口越小。 【例题巩固】 1、二次函数①、②、③的图象如图所示，则二次项系数从小到大的顺序是（　C　） A. ①②③　　B. ②①③　　C. ③①②　　D. ③②① 2、抛物线 ，， 共有的性质是（　C　） A．开口向下　　B．都有最低点　　C．对称轴是 轴　　D． 随 的增大而减小 3、在同一坐标系中，用描点法画出下列函数的图象： ① ；② 。 解：由题意得，列表如下： 描点连线， 与 的图象如图所示。 通过从 、、 到一般 的观察比较，突破“开口大小由 的绝对值决定”的难点，培养抽象概括与数形结合能力。 探究点2：二次函数 的图象与性质 【问题引入】 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象。你是怎样画的？ 解：先列表： 再描点，连线。 【观察思考】 （1）抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？ 二次函数 ，， 的图象都是开口向上的抛物线，并且形状相同，只是位置不同。 可以发现，把抛物线 向上平移1个单位长度，就得到抛物线 ； 把抛物线 向下平移1个单位长度，就得到抛物线 。 （2）抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ （3）抛物线 ， 的增减性又如何？ 当 时， 随 的增大而减小； 当 时， 随 的增大而增大。 对于 ，若 ，当 时， 最小值 。 【回顾反思】 （1）画抛物线 的图象有些方法？ ① 描点法，三步即列表、描点和连线。 ② 平移法，两步即第一步画 的图象，再向上（或向下）平移 个单位。 （2）抛物线 中的 决定什么？ 决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？ 决定抛物线的开口方向和大小； 决定抛物线的顶点的纵坐标； 对称轴为 轴； 顶点坐标为 。 【知识归纳】 二次函数 与 （）的图象关系： 二次函数 的图象可以由 的图象平移得到： 当 时，向上平移 个单位长度得到； 当 时，向下平移 个单位长度得到。 上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减。 二次函数 y=ax2+c的图象与性质： 【例题巩固】 1、二次函数 的图象是将（　C　） A．抛物线 向左平移2个单位得到 B．抛物线 向右平移2个单位得到 C．抛物线 向下平移2个单位得到 D．抛物线 向上平移3个单位得到 2、对于二次函数 ，下列说法中错误的是（　B　） A. 最小值是2 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当 时， 随 的增大而减小 D. 图象的对称轴是 轴 3、已知二次函数 的图象经过点 。 （1）求出这个二次函数的表达式，并画出其图象。 （2）已知 与 都是这个函数图象上的点，比较 的大小。 解：（1）把点 的坐标代入 ，得 ，解得 。 所以该二次函数的表达式为 ，其图象如图所示。 （2）因为二次函数 的图象的对称轴为 轴，当 时， 的值随 值的增大而增大，且 ，所以 。 通过具体函数 、 的列表、画图、平移与比较，让学生经历“具体图象→平移规律→一般性质”的过程，理解 决定顶点纵坐标，发展类比迁移和数形结合能力。 课堂小结 板书设计 5.2二次函数的图象（第2课时） 一、y=ax²（a≠0） 图象：抛物线 对称轴：y轴（直线x=0） 顶点： 开口：a>0向上；a<0向下；|a|越大开口越小 最值：a>0，x=0，y最小=0；a<0，x=0，y最大=0 增减：a>0，左减右增；a<0，左增右减 二、y=ax²+c（a≠0） 平移：由y=ax²上下平移|c|个单位；c>0上移，c<0下移，“上加下减” 对称轴：y轴 顶点： 最值：a>0，y最小=c；a<0，y最大=c 增减：同y=ax² 三、联系 a定开口方向与大小； c定顶点上下位置； 形状相同 四、方法 描点法：列表—描点—连线； 平移法 五、易错 开口大小看|a|； 顶点为； 平移方向与c符号一致 随堂练习 1.抛物线 的开口方向和对称轴分别是（ B ） A. 开口向上，对称轴为 轴 B. 开口向下，对称轴为 轴 C. 开口向上，对称轴为 轴 D. 开口向下，对称轴为 轴 2.下列各点在函数 的图象上的是（ C ） A. B. C. D. 3.若二次函数 的图象经过点 ，则该图象必经过点（ A ） A. B. C. D. 4.在同一坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ B ） 5.已知点 ，，都在二次函数 的图象上，则（ A ） A. B. C. D. 6.抛物线 的顶点坐标是______；当 时，函数取最______值______。 答案：，小， 7.抛物线 与 的开口大小相等，开口方向相反，则 ______。 答案： 8.如图是四个二次函数的图象，则 的大小关系为______（用“”连接）。 答案： 9.抛物线 向下平移 个单位长度所得的抛物线解析式为______。 答案： 10.在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数 ， 的图象。 （1）分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标； （2）抛物线 可由抛物线 向______平移______个单位长度得到。 解：（1）如图所示： 开口向下，对称轴为 轴，顶点坐标为 ； 开口向下，对称轴为 轴，顶点坐标为 （2）上， 11.已知抛物线 的顶点坐标是 ，且过点 。 （1）求此抛物线对应的函数解析式，并指出此抛物线的开口方向及对称轴。 （2）此抛物线对应的函数 有最大值还是最小值？其值是多少？ （3）若 ， 是抛物线上的两点，且 ，则 与 的大小关系如何？ 解：（1）由题可知：， 解得 ，。 所以此抛物线对应的函数解析式为 。 因为 ，所以抛物线开口向上，对称轴为 轴。 （2）此二次函数的解析式为 。 因为 ，抛物线开口向上，所以 有最小值，最小值为 。 （3）此二次函数的解析式为 。 因为对称轴为直线 ，且 ，所以当 时， 随 增大而减小。 因为 ， 所以 。 教学反思 本节课通过回顾y=x²、y=-x²，再描点画y=2x²和y=2x²±1，学生基本能画出y=ax²与y=ax²+c的草图，理解开口、对称轴、顶点、最值及增减性，性质应用目标通过例题和练习基本达成。概念理解借助“对比图象—归纳性质—平移验证”基本达成。难点是“|a|越大开口越小”和“c决定上下平移”，部分学生仍依赖代入计算，不能先由解析式判断顶点与平移。小组画图时，对取点的对称性和平滑连线指导不足，个别图象不准确。后续可增加“先想后画、错图诊断”环节，并安排小组用表格比较a、c变化，强化由式到图、由图到性的双向转化。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $