5.2 二次函数的图象 教案2026-2027学年北师大版九年级数学上册

教学设计 《5.2 二次函数的图象 》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数、函数的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数 的图象和性质. 学习者分析 在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质. 教学目标 1. 能够作出y=a（x－h）2和y=a（x－h）2+k的图象，理解它们与y=ax2的图象的关系，理解a，h，k对二次函数图象的影响. 2.能正确找出y=a（x－h）2+k的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 教学重点 掌握二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2(a≠0)图象之间的联系. 教学难点 理解二次函数y=a（x－h）2和y=a（x－h）2+k图象之间的关系，理解二次函数y=a（x－h）2+k中a，h，k对函数图象的影响. 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 我们已学习过两种类型的二次函数，y=ax2与y=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y轴，顶点都是原点。还知道函数y=ax2的图象经过上下移动可以得到y=ax2+c的图象是，那么如果将函数y=ax2的图象左右移动，我们会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质?本节课我们就来研究有关问题。 学生活动1： 学生在教师的引导下，能很快回忆相关问题。 活动意图说明：激发学生兴趣,引入新课主题，激发学生的兴趣，通过二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2经过上下平移得到，设问y=ax2经过左右平移会得到怎样的函数形式，进而引出本节课课题。 环节二：新知探究 【探究1】二次函数y=a（x－h）2的图象与性质 教师：在平面直角坐标系中作二次函数y=2x2，y=2（x－1）2和y=2(x＋1)2的图象。（多媒体呈现） (1)完成下表： x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y=2x2 y=2（x－1）2 y=2（x+1）2 观察上表，你能发现2(x-1)2，y=2（x+1）2与2x2的值有什么关系？ (2)分别画二次函数y=2x2和y=2(x-1)2，y=2（x+1）2的图象。 (3)二次函数y=2(x-1)2，y=2（x+1）2的图象与二次函数y=2x2的图象分别有什么关系?它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？ 学生：（1） x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y=2x2 32 18 8 2 0 2 8 18 32 y=2（x－1）2 50 32 18 8 2 0 2 8 18 y=2（x+1）2 18 8 2 0 2 8 18 32 50 x=﹣4时，y=2x2的值与x=﹣3时，y=2（x－1）2的值相等； x=﹣3时，y=2x2的值与x=﹣2时，y=2（x－1）2的值相等； x=﹣2时，y=2x2的值与x=﹣1时，y=2（x－1）2的值相等； …… x=﹣3时，y=2x2的值与x=﹣4时，y=2（x+1）2的值相等； x=﹣2时，y=2x2的值与x=﹣3时，y=2（x+1）2的值相等； x=﹣1时，y=2x2的值与x=﹣2时，y=2（x+1）2的值相等； …… （2）图象如图所示。 (3)根据列表及图象可得，二次函数y=2(x-1)2，y=2（x+1）2的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，且二次函数y=2(x-1)2的图象可由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度获得，二次函数y=2(x+1)2的图象可由二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度获得。 二次函数y=2(x-1)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示。 函数表达式 y=2(x-1)2 y=2(x+1)2 开口方向 向上 向上 对称轴 直线x=1 直线x=-1 顶点坐标 （1，0） （-1，0） 增减性 当x＜1时，y随x的增大而减小； 当x＞1时，y随x的增大而增大 当x＜-1时，y随x的增大而减小； 当x＞-1时，y随x的增大而增大 【归纳总结】 1. 二次函数y=a（x－h）2的图象与性质从特殊到一般，由学生归纳总结出y=a（x－h）2的图象性质。 函数表达式 y=a(x-h)2（a＜0） y=a(x-h)2（a＞0） 开口方向 向下 向上 对称轴 直线x=h 顶点坐标 （h，0） 增减性 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大 2. 二次函数y=a（x－h）2与y=ax2的图象之间的关系 当h＞0时，将二次函数y=ax2的图象向右平移h个单位长度，得到y=a（x－h）2的图象； 当h＜0时，将二次函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度，得到y=a（x－h）2的图象。 【探究2】二次函数y=a（x－h）2+k的图象与性质 教师：猜一猜，二次函数y=2(x+1)2－3的图象，可以由y=2x2的图象平移得到吗？请说明平移方法，并通过画图验证。在学生掌握由y=ax2到y=ax2+c以及由y=ax2到y=a（x-h）2的图象变化的情况下，猜想二次函数y=2x2的图象到二次函数y=2(x+1)2－3的图象的变化，进而通过合情推理获得y=ax2与y=a（x-h）2+k的图象之间的关系。 学生：可以。将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，就可以得到二次函数y=2(x+1)2－3的图象。 列表如下。 x ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 y=2x2 32 18 8 2 0 2 8 18 32 y=2（x+1）2－3 15 5 -1 -3 -1 5 15 29 47 画图如下。 教师追问：那么， 二次函数y=a（x－h）2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到吗？如何平移。 学生：①当h＞0，k＞0时，二次函数y=ax2的图象先向右平移h个单位长度，再向上平移k个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象； ②当h＞0，k＜0时，二次函数y=ax2的图象先向右平移h个单位长度，再向下平移|k|个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象； ①当h＜0，k＞0时，二次函数y=ax2的图象先向左平移|h|个单位长度，再向上平移k个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象； ①当h＜0，k＜0时，二次函数y=ax2的图象先向左平移|h|个单位长度，再向下平移|k|个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象。 教师：由图象变化推得表达式的变化，我们可简记为：左加右减，上加下减。由平移，我们可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象性质，请完成下表。（多媒体呈现） 学生： 抛物线 y=a（x－h）2+k（a＞0） y=a（x－h）2+k（a＜0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h，k） 对称轴 x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大 最值 当x=h时，y有最小值为k 当x=h时，y有最大值为k 学生活动2： 学生自学、互动。在具体计算时，可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，猜想、发现结论。 学生自主解答，教师适时的进行提示 小组交流，引导学生从 通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论. 活动意图说明：从旧知识出发，呼应引课问题，学生通过自己解决问题，引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系. 环节三：典例精析 例：已知二次函数y=-3(x+2)²。 (1)它的图象与二次函数y=−3x²的图象有什么关系? 它是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么? (2)当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随着x值的增大而减小? 的值随着x值的增大而减小? 解：(1)二次函数y=-3(x+2)²的图象可以看作由二次函数y=-3x²的图象向左平移2个单位长度得到，它们的形状相同，只是位置不同。 二次函数y=-3(x+2)²的图象是轴对称图形，它的开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点坐标是(-2，0)。 (2)当x<-2时，y的值随x值的增大而增大；当x>-2时，y的值随x值的增大而减小。 学生活动3： 活动意图说明：熟练掌握.巩固学的知识，学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，掌握二次函数y=a（x－h）2的图象与性质。 板书设计 二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质 1．二次函数y＝a(x－h)2的图象与性质 2．二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2的图象的关系 3．二次函数y＝a(x－h)2的图象的应用 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如果将抛物线向右平移2个单位长度后得到抛物线y=x²，那么原抛物线的表达式是( ) A.y=x²+2 B.y=x²-2 C.y=(x+2)² D.y=(x-2)² 选做题： 2.若抛物线y=(x−2)2向右平移m(m>0) 个单位长度后经过点(3,3)，则m= ______ 【综合拓展类作业】 3.已知一条抛物线的开口方向和形状与抛物线y=3x2 的都相同，顶点 与抛物线y=(x+2)2 的相同。 （1）写出这条抛物线的表达式； （2）将（1）中的抛物线向右平移4个单位长度，写出平移后的抛物线 的表达式。 课堂总结 课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 1. 二次函数y=a（x－h）2和y=a（x－h）2+k图象的性质； 二次函数y=ax2，y=a（x－h）2，y=a（x－h）2+k图象之间的关系。 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.若二次函数y=3(x−4)2 的图象如图所示，则坐标原点可能是( ) A.P点 B.Q点 C.M点 D.N 点 选做题： 2.已知二次函数y=−(x+ℎ)2，当x<−2时，y随x 的增大而增大，当x>−2时，y随x的增大而减小。当x=0时，y 的值为( ) A.2 B.−2 C.4 D.−4 3. 已知二次函数y=−(x−ℎ)2（ℎ 为常数），当自变量x满足2≤x≤5 时，与其对应的函数值y的最大值为−1，则ℎ 的值为______。 【综合拓展类作业】 4.已知二次函数y=-3(x+2)2， （1）它的图象与二次函数y=-3x2的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ （2）对于二次函数y=-3(x+2)2，当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？ 答案： 【课堂练习】 1.C 2. 4 3.（1）解：这条抛物线的表达式为y=3(x+2)2 。 （2）解：平移后的抛物线的表达式为y=3(x−2)2 。 【作业设计】 1. B 2. D 3.1或6 4.（1）解：二次函数y=-3(x+2)2的图象可以看成是由二次函数y=-3x2的图象向左平移2个单位长度得到的，它们的形状相同，开口都向下，只是位置不同.二次函数y=-3(x+2)2的图象是轴对称图形，抛物线开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点坐标是(-2,0). （2）解：当x<-2时，y的值随x值的增大而增大；当x>-2时，y的值随x值的增大而减小. 教学反思 本课是《二次函数的图象与性质》的第三课时，学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数、函数的图象和性质，学生要在这节课中，在二次函数和的图象的基础上，进一步研究和的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质．这是对前面所学知识的应用和提高，又是高中进一步学习函数的基础.同时, 二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $