5.1认识二次函数（教学设计）数学新教材北师大版九年级上册

5.1认识二次函数 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版九年级上册 教学目标 1.通过用二次函数刻画实际问题中变量与常量之间关系的过程，抽象出二次函数的概念，并能举例说明一个函数是不是二次函数。 2.理解二次函数的一般形式，能将具有二次函数关系的式子表示成一般形式。 3.能够表示简单变量之间的二次函数关系。 教学重点 二次函数的概念、一般式及判断方法。 教学难点 由实际问题抽象出二次函数关系式，并依据实际意义确定自变量取值范围。 教材分析 本节是北师大版初中数学九年级上册第五章《二次函数》第一节《认识二次函数》。核心知识点：二次函数的意义与定义；二次函数的一般式 （ 为常数，）；二次项系数、一次项系数、常数项；判断一个函数是否为二次函数；二次函数自变量的取值范围；根据果园增产、利润增长、矩形面积等实际问题列二次函数关系式。 本节是二次函数的起始课，承接函数概念和一次函数，借助喷泉、篮球等情境，以果园产量、利润增长、矩形面积、两数和积等实例为载体，引导学生分析变量关系、列函数关系式并整理。通过观察 、、 等表达式的共同特征，抽象出二次函数定义和一般式，经历“具体情境—数学表达—共性归纳—概念建构”的过程。一般式是后续学习图象、性质和应用的基础，也承载模型观念、抽象能力培养。 学情分析 学生已学习函数概念、一次函数，掌握多项式、整式运算及一元一次方程建模，能列简单一次函数关系式，具备初步抽象和类比能力。因此，从具体表达式中归纳二次函数定义、识别一般式相对容易。但由实际问题建立二次函数模型较难，如增长率问题中 的展开、矩形面积和剪角问题中边长的表示，以及自变量取值受长度为正、人数为整数等实际条件限制。学生也易忽略 、未整理表达式就判断次数、混淆系数符号和漏写自变量范围。教学难点应明确为：从实际问题中抽象二次函数关系式并确定自变量取值范围。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【创设情境，引入新课】 教师展示章节导读：节日的喷泉给人们带来喜庆，夏日的喷泉给人们带来清凉。你是否注意到喷泉水流所经过的路线？在观看篮球比赛时，你是否注意到球入的路线？它们会与某种函数有联系吗？ 本章将在一次函数的基础上继续认识二次函数，体会二次函数的意义，描绘二次函数的图象，发现二次函数的性质，利用二次函数解决一些实际问题，进一步发展抽象能力、几何直观、模型观念等，不断增强应用意识。 【复习回顾】 函数的概念：如果变量 随着 而变化，并且对于 取的每一个值， 总有唯一的一个值与它对应，那么称 是 的函数。 学过的函数：一次函数 ；正比例函数 。 【师生活动】 教师提问函数概念与一次函数表达式，学生回答，教师板书。 教师指出本节课将再学习一种新的函数。 用喷泉、篮球入篮路线等生活情境激发兴趣，明确本章学习方向；复习函数与一次函数，为二次函数概念的类比抽象作铺垫。 探究点1：二次函数的定义 【问题引入】 问题：某果园有100棵橙子树，每棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 变量：果园橙子的总产量、果园增种的橙子树的棵数、平均每棵树结的橙子数。 自变量：果园增种的橙子树的棵数； 因变量：果园橙子的总产量。 （2）假设果园增种 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ 果园共有 棵树，平均每棵树结 个橙子。 （3）如果果园橙子的总产量为 个，那么 与 之间的关系式是什么？ 能取哪些值？ 。 因为 是增种橙子树的棵数，所以 ，，所以 ，且 为整数。 继续探究： （1）某公司今年4月的利润为20万元，预计5~6月的利润将持续增长。如果设该公司今年5月、6月利润的月均增长率为 ，6月的利润为 万元，那么 与 之间的关系式是什么？ 能取哪些值？ 5月的利润为 万元，6月的利润为 万元， 所以 ，其中 。 （2）已知矩形的周长为40 cm，它的面积可能是100 cm²吗？可能是75 cm²吗？还可能是多少？如果设这个矩形的一条边长为 cm，面积为 cm²，那么 与 之间的关系式是什么？ 能取哪些值？ 矩形的一条边长为 cm，那么与其相邻的另一条边长为 cm。 当矩形为正方形时，其边长为10 cm，面积是100 cm²； 当矩形的相邻两边长分别是15 cm和5 cm时，面积是75 cm²；还有很多其他可能。 矩形的面积 与其一边长 的关系式为 ，即 ，。 （3）两数的和是20，设其中一个数是 ，这两个数的积是 ，那么 与 之间的关系式是什么？ 能取哪些值？ 设其中一个数是 ，则另一个数为 。 所以 ， 取任意实数。 观察由上述问题得到的关系式： ，，。 共同特征：这些式子都是最高次数为2的函数；表达式右边都是关于 的整式。 【新知导出】 二次函数的定义： 一般地，如果两个变量 之间的对应关系可以表示成 （ 是常数，）的形式，那么称 是 的二次函数。其中， 是自变量， 分别是二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数的一般式： 任何一个二次函数的表达式都可化成 （ 是常数，）的形式，因此，把 （ 是常数，）叫作二次函数的一般式。 注意：二次项系数、一次项系数、常数项均是在二次函数表达式是一般式的前提下确定的。 除此之外，二次函数除有一般式 外，还有其特殊形式，如 ，， 等。 二次函数的判断方法： ①整理后函数表达式的两边都是整式； ②化简整理后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不等于0。 三者缺一不可。 二次函数自变量的取值范围： 二次函数 （ 是常数，）中，自变量 的取值范围是全体实数；但在实际问题中，二次函数自变量的取值范围需按实际意义（如长度为正、人数为整数等）限定。 【师生活动】 教师出示果园、公司利润、矩形面积、两数和积等问题，引导学生找出变量与等量关系；学生分组讨论、列式验证； 教师巡视并追问“这些式子有什么共同特征？”； 学生观察、比较、归纳，类比一次函数给出二次函数定义。 【详细过程】 现实问题→列函数关系式→整理成整式→观察次数特征→抽象二次函数定义。 果园问题：。 利润问题：。 矩形面积：。 两数和积：。 共同点：右边都是整式，化简后自变量的最高次数是2，且二次项系数不为0。 【例题巩固】 1、下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　C　） A． B． C． D． 解析：A．，是一次函数； B． 中 的取值不确定，可能为0，因此不一定是二次函数； C．，是整式，，一定为二次函数； D．，含有分式，不是整式，因此不是二次函数。 2、已知函数 是关于 的二次函数，求 的值，并写出这个二次函数的表达式。 解析：由二次函数的定义，得 ，且 。 由 ，得 或 。 又因为 ，即 ，所以 。 此时二次项系数为 。 答案：，该二次函数为 。 通过实际问题列式、观察共性、抽象定义，帮助学生经历“现实问题→数学抽象→概念形成”的过程；通过辨析题与含参例题，强化二次函数三个判断条件，突破概念理解难点，培养抽象能力。 探究点2：根据实际问题列二次函数关系式 【问题引入】 例：小李家用40 m长的篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，如图所示。 （1）写出这块菜园的面积 （m²）与垂直于墙的边长 （m）之间的函数关系式； （2）直接写出 的取值范围。 解：（1）因为垂直于墙的边长为 m，所以平行于墙的边长为 m。 所以菜园的面积 ，即 与 之间的函数关系式为 。 （2）。 【新知导出】 归纳由实际问题列二次函数关系式的步骤： （1）审清题意，找出实际问题中的已知量、变量，将文字语言、图形语言转化为数学符号语言； （2）找出等量关系，找到已知量和变量间的关系，并用等式表示； （3）列函数关系式，设出表示变量的字母，把等量关系用含字母的代数式表示，并将关系式写成用自变量表示因变量的形式。 【师生活动】 教师引导学生画示意图，标出垂直于墙的边长 和平行于墙的边长 ； 学生独立列式、交流取值范围； 教师追问“为什么 不能取0或20？”； 学生结合长度为正、墙足够长等实际意义回答。 【详细过程】 实际问题→画图分析→找等量关系：面积=长×宽→设垂直于墙边长为 →平行于墙边长为 →→整理为 →由 且 得 。 【例题巩固】 1、用长为20 m的篱笆围成一个矩形，设矩形的一边长为 m，面积为 m²，则 关于 的函数表达式及自变量的取值范围是（　B　） A．（） B．（） C．（） D．（） 解析：矩形一边长为 m，则另一边长为 m，所以 。由 且 ，得 。 2、如图，有一块长20 cm、宽16 cm的矩形铁皮，在它的四个角上各剪去一个边长为 cm的小正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子。 （1）求盒子底面的面积 （cm²）与 之间的函数表达式，并化成一般形式； （2）写出自变量 的取值范围； （3）当 时，求盒子底面的面积。 解析： （1）剪去四角后，底面的长为 cm，宽为 cm， 所以 。 （2）由 ，，，解得 。 （3）当 时，（cm²）。 通过围菜园、矩形铁皮折盒子等真实情境，让学生经历“审题→找等量关系→列二次函数关系式→确定自变量范围”的完整过程，发展模型观念与应用意识。 课堂小结 板书设计 5.1 认识二次函数 一、定义 （ 为常数，） 二、一般式 ：二次项系数；：一次项系数；：常数项 特殊形式：，， 三、判断三条件 ①整理后是整式； ②化简后自变量最高次数为 2； ③二次项系数 。 四、自变量取值范围 一般：全体实数； 实际问题：按实际意义限定（长度为正、人数为整数等）。 五、列二次函数关系式步骤 审清题意 → 找等量关系 → 设变量列式 → 化一般式 → 定范围 六、典型模型 果园： 增长率： 矩形： 篱笆： 铁皮盒： 随堂练习 1.下列函数中，是二次函数的是（ B ） A. B. C. D. 2.关于 的二次函数的解析式是 ，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ B ） A. B. C. D. 3.若函数 是二次函数，那么 的值为（ D ） A. B. C. D. 4.下列函数关系中，可以用二次函数描述的是（ D ） A. 圆的周长与圆的半径之间的关系 B. 三角形的高一定时，面积与底边长的关系 C. 在一定距离内，汽车行驶速度与行驶时间的关系 D. 正方体的表面积与棱长的关系 5.两个正方形的周长之和是 ，其中一个正方形的边长为 。若以两个正方形面积之和 为函数，其中一个正方形的边长 为自变量，它们的关系式是（ C ） A. B. C. D. 6.下列函数中，一定是二次函数的是________（填序号）。 【答案】③⑤⑦ 7.二次函数 的二次项系数是____，一次项系数是____，常数项是____。 【答案】，， 8.若函数 是关于 的二次函数，则 ____。 【答案】 9.在二次函数 中，若 ，，，则该函数的表达式为____；当 时，____。 【答案】； 10.半径为 的圆，半径增加 后，新圆的面积 与 之间的函数表达式为____。 【答案】 11.某物体自由下落时，下落高度 与下落时间 近似满足 ，则当 时，物体下落的高度为____。 【答案】 12.已知函数 。 （1）当 取什么值时，它是关于 的二次函数？ （2）当 取什么值时，它是关于 的一次函数？ 解：（1）当它是二次函数时，需 ，即 ，所以 且 。 （2）当它是一次函数时，需二次项系数为 且一次项系数不为 ，即 且 。 由 得 或 ； 又 ，所以 。 此时 ，确为一次函数。 13.如图，用一段长为 的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 ，花圃面积为 。 （1）求 与 之间的函数表达式，并写出自变量 的取值范围； （2）当 时，求花圃的面积。 解：（1）因为垂直于墙的两边长都是 ，所以平行于墙的一边长为 。 所以 。 由 且 ，解得 。 即 （）。 （2）当 时， 。 教学反思 本节课以“概念—表示—应用”为主线。概念理解目标通过果园、增长率、矩形面积等情境和辨析题基本达成，多数学生能识别二次函数一般式，明确 ，并正确指出二次项系数、一次项系数和常数项。难点是根据实际问题列二次函数关系式，篱笆、铁皮盒问题中，部分学生能由几何关系求边长并列式，但在自变量取值范围上易漏“两边为正”的限制，参数题中忽略二次项系数不为 0，说明建模与条件意识仍需强化。改进方向：增加小组合作画图、列式和讨论范围的时间；用对比题强化“化简后判断”和“”；作业分层，兼顾基础巩固与生活建模，提升模型观念和应用意识。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $