4.1投影第2课时（教学设计）数学新教材北师大版九年级上册

4.1投影（第2课时） 年级 九年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版九年级上册 教学目标 1.了解平行投影与正投影的概念；(重点) 2.了解平行投影和中心投影的特征、区别与联系；(重点) 3.了解不同时刻物体在太阳光下形成的影子的特点； 4.会利用投影和相似的知识解决某些实际生活中的问题.(难点) 教学重点 平行投影、正投影的概念；平行投影与中心投影的特征、区别与联系；同一时刻同一地点物高与影长成比例。 教学难点 利用投影和相似三角形解决实际生活中的物高、影长问题，特别是影子落在墙上、平行投影与中心投影混合等情境中的作图与建模。 教材分析 本节是北师大版初中数学九年级上册第四章《投影与视图》第一节《投影》（第2课时）。核心知识点：平行投影、正投影，平行投影与中心投影的联系与区别，太阳光下影子随时间变化的规律，同一时刻物高与影长成比例，以及利用相似三角形解决实际测量问题。 本课由太阳光可看成平行光线引入，从学生已掌握的中心投影自然过渡到平行投影，并指出平行光线与投影面垂直时为正投影，体现“特殊化”的概念形成逻辑。通过改变小棒、纸片与投影面的位置，观察影子形状、大小变化，归纳平行投影的基本特征；结合不同时刻树影照片，发现影子长度、方向随时间变化，在同一时刻同一地点，物高与影长成正比。辨别平行投影与中心投影可过物体顶端及影子顶端作直线：若两直线平行则为平行投影，若相交则为中心投影。本课知识价值在于用投影解释生活现象，借助相似三角形建立物高、影长的数学模型，发展空间观念、几何直观和应用意识。 学情分析 学生已学习中心投影，知道点光源、投影面、投影中心，理解“点光源、物体上的点及其影子上的对应点在同一直线上”。同时，学生已具备相似三角形、平行线、比例线段、一元一次方程及简单多项式运算等基础，具有一定观察、作图和合情推理能力。概念归纳相对较易，学生可从太阳光实例中抽象出平行投影；区分平行投影与中心投影难度中等，部分学生对“光线平行或相交”的几何判断不够熟练。不同时刻太阳影子的长度、方向变化需要空间想象和生活经验支撑。较难的是将实际问题转化为相似三角形或比例式，尤其影子落在墙上或两种光源混合时，需正确确定对应线段并建立方程模型。因此，本课教学难点是平行投影作图与相似建模的实际应用。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【知识回顾】 1.物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。影子所在的平面称为投影面。 2.手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影。中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心。 3.同一时刻，点光源、物体上的点及其影子上的对应点在同一直线上。 【情境引入】 观察下列图片：物体在太阳光下形成的影子与在灯光下形成的影子。 思考：物体在太阳光下形成的影子与在灯光下形成的影子有什么不同呢？ 复习中心投影，激活生活经验；通过太阳光与灯光下影子的对比，引出平行投影与正投影，明确本节学习方向。 探究点1：平行投影与正投影的概念 【问题引入】 取若干长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子。 （1）固定投影面，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？ （2）固定小棒和纸片，改变投影面的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？ 结论：（1）固定投影面，改变小棒或纸片的摆放位置和方向时，它们的影子也随着改变，当纸片与投影面平行时，影子与纸片的大小相同； （2）固定小棒或纸片，改变投影面的摆放位置和方向时，它们的影子也随着改变，当纸片与投影面平行时，影子与纸片的大小相同。 【师生活动】 教师演示，学生分组操作、观察、交流。 教师提问：太阳光线有什么特征？ 学生归纳：太阳光线可以看成平行光线。 教师导出：平行光线所形成的投影称为平行投影；平行光线与投影面垂直时称为正投影。正投影是特殊的平行投影。 【例题巩固】 下列投影属于平行投影的是______。（填序号） ①阳光下房屋的影子； ②台灯下书本的影子； ③中午路边树的影子； ④路灯下行人的影子。 答案：①③。 通过操作观察，从具体影子中抽象平行投影、正投影概念，突破“正投影是特殊平行投影”的理解难点。 探究点2：太阳光下影子的变化规律与物高、影长关系 【问题引入】 图中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的。 （1）在三个不同时刻，同一棵树的影子长度不同，请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由。 （2）在同一时刻，两棵树影子的长度与它们的高度之间有什么关系？ 【师生活动】 学生观察、讨论、排序。 教师引导：太阳位置变化导致影子大小、方向变化。 结论：（1）顺序为（3）→（2）→（1）；理由：物体在太阳光下的不同时刻，不仅影子的大小在变，而且影子的方向也在改变。 （2）同一时刻，大树的高度与其影长之比等于小树高度与其影长之比。理由：根据物体、影子和光线得到的两个直角三角形相似。 【例题巩固】 1.一天下午小红先参加了校运动会女子200m比赛，过一段时间又参加了女子400m比赛，摄影师在同一位置拍摄了两张照片。关于两张照片中影子的说法正确的是（ B ） A. 先拍的照片影子较长 B. 先拍的照片影子较短 C. 两张照片影子一样长 D. 无法判断 2.某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为 。 （1）某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示。你能画出此时乙木杆的影子吗？ （2）在上图中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？ （3）在（2）的情形下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为 和 ，那么你能求出甲木杆的高度吗？ 解：（1）连接 ，过点 作 的平行线，交 所在直线于点 ， 就是乙木杆的影子。 （2）平移由乙木杆、乙木杆的影子和太阳光线所构成的图形，即 ，直到乙木杆影子的顶端 抵达墙根为止。 （3）因为 ， 所以 ，即 ，解得 。 答案：甲木杆的高度为 。 借助生活现象和相似三角形，建立平行投影中“物高与影长成正比”模型，培养数学抽象与建模能力。 探究点3：平行投影作图及与中心投影的辨别 【问题引入】 （1）两棵小树在同一时刻的影子如图所示，请在图中画出形成树影的光线。它们是太阳的光线还是灯光的光线？与同伴进行交流。 （2）图中的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻立柱的影子（用线段表示），并与同伴交流这样做的理由。 【详细过程】 （1）灯光的光线。过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两条直线是相交的，因而是灯光的光线。 （2）是在太阳光下形成的。过大树的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过小树的顶端及其影子的顶端作一条直线，两条直线是平行的，因而是太阳光下形成的影子。过立柱的顶端作一条与前面所作的两条直线中的任意一条直线平行的直线，其与地面相交，则以该交点和立柱的底端为两个端点的线段即立柱的影子。 【方法归纳】 1、辨别平行投影与中心投影的方法： 分别过每个物体的顶端及其影子的顶端作一条直线： （1）若两直线平行，则为平行投影； （2）若两直线相交，则为中心投影，其交点就是光源的位置。 2、平行投影作图： （1）连结物体顶端与影子顶端； （2）过另一物体的顶端作刚才连线的平行线，即可得出物体的影子。 3、 【例题巩固】 下列各图哪一个是太阳光下形成的影子（ B ） 通过作图与辨析，掌握平行投影与中心投影的本质区别，发展几何直观和推理能力。 探究点4：利用投影和相似解决实际问题 【问题引入】 如图，已知 和 是直立在地面上的两根立柱，，某一时刻 在阳光下的投影 。 （1）请你在图中画出此时立柱 在阳光下的投影； （2）在测量 的投影时，同时测量出 在阳光下的投影长为 ，请你计算 的长。 【师生活动】 学生独立画图 教师引导寻找相似三角形。同一时刻平行投影下，物高与影长成正比。 【详细过程】 （1）如图，线段 即为立柱 在阳光下的投影。 （2）因为 ，，， 所以 ，即 ，解得 。 答案： 的长为 。 【例题巩固】 在某一时刻，测得身高 的小明同学的影长为 ，同时测得其学校旗杆的影长为 ，那么这根旗杆的高度为______。 答案：。 通过综合例题，强化“平行投影物高与影长成正比”和相似三角形建模，提升解决实际问题的能力。 课堂小结 板书设计 4.1投影（第2课时） 一、概念 平行投影：太阳光等平行光线形成的投影。 正投影：平行光线与投影面垂直时的投影，是特殊的平行投影。 二、平行投影与中心投影 平行投影：光线平行；同一时刻影子同向，物高与影长成比例。 中心投影：光线从一点发出；影子延长线交于光源。 辨别：连物体顶端与影子顶端作直线；平行→平行投影，相交→中心投影。 三、太阳光下影子规律 一天中影长：长→短→最短→短→长。 北半球方向：正西→西北→正北→东北→正东。 同一地点同一时刻：等高物影长相等；直立物高与影长成正比。 四、作图 连物体顶端与影子顶端； 过另一物体顶端作平行线，交投影面得影子。 五、应用 相似三角形求物高、影长；墙面、里程碑等实际问题。 随堂练习 1、下列所画的物体的影子,不正确的是( B ) 2、三根等高的木杆竖直立在环形水平地面上，从上面看，可以看到如图所示的图形，则在某一时刻三根等高木杆在太阳光下的影子合理的是( C ) 3、一个正五棱柱如右图摆放，光线由上到下照射此正五棱柱时的正投影是（ B ） 4、下列关于中心投影和平行投影的说法正确的是（ C ） A. 中心投影的光线是平行的 B. 平行投影的光线是从一点发出的 C. 同一时刻，平行投影下不同物体的物高与影长成比例 D. 中心投影下，物高与影长一定成比例 5、同一时刻，身高 的小丽在阳光下的影长为 ，旗杆的影长为 ，则旗杆的高为（　B　） A. B. C. D. 6、下列投影属于平行投影的是______，属于中心投影的是______。（填序号） ①阳光下房屋的影子；②台灯下手机的影子；③中午路边树的影子；④路灯下行人的影子。 答案：①③；②④。 7、如图，木棒 在投影面 上的正投影为 ，且 ，，则投影 的长为____。 答案：。 8、一根木棒如图所示，请在图中画出它在太阳光下的影子(用线段表示)。 解：如图所示，线段 和 为木棒在太阳光下的影子。 9、如图，在A时测得旗杆的影长是 ，在B时测得的影长是 ，两次的日照光线恰好垂直，问旗杆的高度是多少米？ 解： 如图，，，。 因为 ， 所以。 所以 。 因为 ， 所以 。 所以 。 所以 ，即 ，解得 。 答案：旗杆的高度为 。 10、如图，公路旁有两个高度相等的路灯 、。小明上午上学时发现路灯 在太阳光下的影子恰好落到里程碑 处，他自己的影子恰好落在路灯 的底部 处。晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯 的灯光下自己的影子恰好落在里程碑 处。 （1）在图中画出小明的位置（用线段 表示），并画出光线，标明太阳光、灯光。 （2）若上午上学时候高 的木棒的影子为 ，小明身高为 ，他离里程碑 恰好 ，求路灯高。 解：（1）如图所示。 （2）因为上午上学时候高 的木棒的影子为 ，小明身高为 ， 所以小明的影长 为 。 因为 ，， 所以 。 所以 ，。 所以 。 所以 ，即 ，解得 。 答案：路灯高 。 教学反思 本节课通过情境观察、实验探究和例题辨析，平行投影、正投影概念及与中心投影的区别基本达成，学生能判断常见影子类型，并会用“物高与影长成正比”进行简单测量。太阳光下影子长短、方向变化规律通过图片排序较易理解。难点是利用相似知识解决实际问题，部分学生在复合图形中找不准对应线段，列比例式时对应关系混乱，尤其影子落在墙、里程碑等情境中，需要教师引导先识别平行光线和同一时刻条件。改进方向：增加小组合作画图与建模时间，先让学生标出物体、影子和光线构成的相似三角形，再写比例式；设计分层变式，强化“影子落墙”转化为“落地面”的处理，提升几何建模能力。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $