2 安徽省六校教育研究会高三年级入学素质测试-【景行之教育】2027年数学高考一轮复习先锋名校检测卷

2安微省六校教育研究会高三年级人学素质测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小6.已知函数f(x)=2sinx+cosx-√5x,若a=flg2),b= 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 f(n3),c=f((-1)),则a,b,c的大小关系为() 1.已知集合A={x1(x-1)(x-2)≤0}，B={-1,0,1,2,3}, A.a>b>c B.azc>b 则A∩B= () C.b>c>a D.c>b>a A.{-1,0,3} B.{-1,0,1} 7.当xe[0,2m]时，函数y=sin号与y=2 2sinwx- 4/(w>0) C.{1,2} D.{2,3} 2.设复数z满足(z-1)i=-1,则z= 的图象有且仅有4个交点，则ω的取值范围是( A.1+i B.1-i [ 9131 B.88 C.-1+i D.-1-i 1317\ 3.设公差d≠0的等差数列{an}中，a2,a5,a。成等比数列， C.88 则t+a,+a三 8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)+f(x)=f(12), a1+a4+a7 10 -3x+1)为奇函数，且（分），则这k》 公.) B11 10 c 4 D. 3 A.-11 31,1 4已知sin(aB)=-i'un a'tan p2,则in n= 31 2 D.0 ( 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小 A、3 1 B. 10 5 题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 c 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若随机变量X~N(5,σ2)且P(X<m)=P(X>n),则下列 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 选项正确的是 ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA= A.E(2X+1)=7 AB=2,AD=4,则该四棱锥的外接球的体积为( B.m2+n2的最小值为50 A.24m B.2√6π C.P(X≥3+σ)>P(X≤3-σ) C.20m D.8√6T D.若P(X>4)=0.68,则P(5≤X<6)=0.32 10.1694年瑞士数学家雅各布·伯努 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说 利描述了如图的曲线，我们将其称 明、证明过程或演算步骤。 为伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中，把到 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, 定点F1(-a,0),F2(a,0)的距离之积等于a2(a>0)的 c 2a-b cos C cos B' 点的轨迹称为双纽线.已知点P(x,yo)是a=1时的双 () (1)求角C. 纽线C上一点，下列说法正确的是 A.双纽线C的方程为(x2+y2)2=2(x2-y2) (2)若△ABC的面积S=2√3，AD=2DB,且1CD1= 1 2,米△AaC伯周长 C.双纽线C上满足IPF,I=IPF2I的点有2个 D.IP01的最大值为√2 11.已知函数f(x)=e,g(x)=lnx,则下列说法正确的是 () A.函数f(x)的图象与函数y=x2的图象有且仅有一个 公共点 B.函数f(x)的图象与函数g(x)的图象没有公切线 C者函数g()则()有极大值，且极大值点 x0∈(1,2) D.当m≤2时，f(x)>g(x+m)恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.平面四边形ABCD中，AB=3,BC=5,CD=6,DA=7,则 A元.BD= 13.倾斜角为锐角的直线1经过双曲线C 3m2m21(m3 x2 y2 0)的左焦点F,分别交双曲线的两条渐近线于A,B两 点.若线段AB的垂直平分线经过双曲线C的右焦点 E,则直线1的斜率为 14.我国河流旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多 家庭的最佳避暑选择.某家庭共6个人，其中4个大 人，2个小孩，计划去贵州漂流.某景点现有3只不同 的船只可供他们选择使用，每船最多可乘3人，为了安 全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共 有 种 数学P答案D4卷2 16.(15分)如图，在三棱台ABC-AB,C,中，上、下底面是 亿5分已知椭C+a>b0)的左，右顶点酚 边长分别为4和6的正三角形，AA,1平面ABC,设平 面AB,C,∩平面ABC=l,点E,F分别在直线l和直线 别为A,B,R是椭圆C上异于A,B的动点，满足k4· BB1上，且满足EF⊥L,EF⊥BB1 k如=子，当R为上顶点时，△ABR的面积为8 (1)证明：EF⊥平面BCC1B1 (1)求椭圆C的标准方程 (2)若直线EF和平面ABC所成角的余弦值为 73,求 (2)过点M(-6,-2)的直线与椭圆C交于不同的两点 D,E(D,E与A,B不重合)，直线AD,AE分别与直线 该三棱台的体积 x=-6交于P,Q两点，求IMPI·1MQ1的值. 景行 卷2答案D4Q数学 18.(17分)已知函数f(x)=-xsin x+mx2+n. 19.(17分)若数列{an}满足1a1<1(i=1,2,…,n),则称 (1)当m=1时，求证：函数f(x)有唯一极值点， 该数列是边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列 (2)当m=0,a=时，求f)在区间[0，]上的零点 {a,n},从该数列中任意去掉两项，a,(i≠j》,同时添加 个数 a:+作为该数列的末项，可以得到一个项数为n-1 l+a;aj (3)两函数图象在公共点处的公切线称为“合一切 的新数列，称此过程为对数列{a}实施一次“降维”. 线”.若曲线y=f(x)与曲线y=-cosx存在两条互相垂 规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.若数列 直的“合一切线”，求m,n的值. {an}经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得 到一个实数，则称该实数为数列{a}的一个“坍缩数”. ①)设数列1a,的递推公式为a三2a。neN) 我们知道：当α1取不同的值时，可以得到不同的数列， 若a,取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数 列，求该数列的所有可能的“坍缩数”. (2)试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列{a}, 都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个 “坍缩数”. (3)若数列{a,}共有n项，其通项公式为a,=(-1)” n+1 求证：当n为偶数时，数列{an}的“坍缩数”一定为正； 当n为奇数时，数列{an}的“坍缩数”一定为负. 之教育高考一轮复习检测卷·数学 当g=1时，△2an=0(neN*); 当g≠1时，{△2an}是首项为c1(g-1)2,公比为q的等比 数列 结论得证 (7分) (3)【解】{an}是“优分解”的，∴.设an=bntc.(neN*), 其中bn=b+(n-1)d,cn=c1g-(c1≠0,9≠0)，d为公差，9为 公比. (8分) △Sn=S+1-Sn=a+1, .△2Sn=△S1-△Sn=a2-an1=d+c19(q-1). （10分) :数列{Sn}是“优分解”的，.设Sn=Bn+C.(n∈N), 其中Bn=B1+(n-1)D,Cn=C1Q-(C,≠0，Q≠0)，D为公 差，Q为公比. (11分) 由(2)知42S.=C1Q-1(Q-1)2. AS,=S2-S1=a2=4,△S2=S3-S2=a3=6, 2安徽省六校教育研究 一、1.C【解析】.A={x|(x-1)(x-2)≤0}={x11≤x≤2}， B={-1,0,1,2,3},.AnB={1,2}.故选C 2B【解折1由(-1)i=-1得：=1-日=1+i,则=1-i故 选B. 3.A【解析】因为公差d≠0的等差数列{an}中，a2,a5,ag成 等比数列，所以a=a2ag,即(a,+4d)2=(a1+d)(a,+8d),解 所以-之会微-密品技 选A. 4.A【解析】：sin(a+B)=5'tan atan Bsin asin B 31 1 cos a cos B cos asin B+cos Bsin asin (B+a) 3 sin asin B sin asin B =2.'.sin asin B=-10 故 选A. 5.D【解析】根据几何体的结构特 B 征，将四棱锥P-ABCD补形为长方体 ABCD-PB,CD1,如图，显然四棱锥 P-ABCD的外接球即为长方体 ABCD-PB,C,D,的外接球，所以外接球球心为PC的中点.又 PC=√AB2+AD2+PA=26,故外接球半径R=√6，所以V球= 号R=8,6m放途D 6.B【解析】因为f(x)=2sinx+cosx-5x,所以f'(x)=2cosx- n-5=5cos(x+p)-5≤0，其中c0osp=等，因1 f(x)=2sinx+cosx-√5x为减函数.因为0<lg2<1,(-1)°=1， ln3>1,所以1g2<(-1)°<ln3,所以f(lg2)>f((-1)°)> fln3),即a>c>b.故选B. 7.c【解折】令x不-6m,keZ,得x=,keZ,取h 4ω 0,12,3,4.在同一平面直角坐标系中画出y=si血2xe[0, 2m]的图象和y=2如(r）(o>0)的大致草图，如图因 为两函数图象在[0,2m]内有且仅有4个交点，所以3m≤ Aw <7m,解得s0<.故选C 24w 8≤w8 D4卷 .△2S1=AS2-AS1=2. .C1(Q-1)2=2,.Q≠1， ∴.{△2Sn}是首项为2，公比为Q(Q≠1)的等比数列. (13分) .9≠0,9≠1，且(A2S2)2=(△2S1)·(△2S3), ∴.[d+c192(q-1)]2=[d+c19(q-1)]·[d+c1g3(q-1)]. 化简，得c1dg(g-1)3=0. (14分) c1≠0,9≠0,9≠1，.d=0,.△an=a+1-an=c19-(g-1), .数列{Aan}是首项为△a1=a2-a1=1,公比为q的等比数 列. (15分) △a2=a3-a2=2,∴q=2. 又△2S1=2,.d+c19(q-1)=2,.c1=1, .b1=a1-c1=3-1=2. 综上，an=b,+(n-1)d+c1g1=2+2-1. (17分) 会高三年级入学素质测试 y↑ y=sin 13 40 0π5π 9π2π 17πx /4040 40 40 y2sim@x-） 8.D【解析】由f(x+2)+f(x)=f(12)得f(x+4)+f(x+2)= f12),则f(x+4)=f(x),因此f(x)是以4为周期的周期函 数.令x=0,则f2)+f(0)=f(12)=f(0),故f(2)=0.因为 f(-3x+1)为奇函数，所以-f(-3x+1)=f(3x+1),则f(x+1)+ f代-x+1)=0,故f(x)的图象关于点(1,0)对称.由f(x+2)+ f(x)=f12)=0得f(x+2)=-fx)=f2-x),故fx)的图象关 于直线=2对称因为f分)方所以()=分 (）=仔）=2所以(m+)4m*》+(4a+ 2)·f4m+2)+(4m+3)·f4m+)+(4m+4) 4m+）=(m1)…+(n*2)·()+(4m+3) (》+(4m+4)·3=0,meN,因此2时k-)=0故 选D. 二、9.BC【解析】对于A,E(X)=5,则E(2X+1)=2E(X)+ 1=11,A错误 对于B,由P(X<m)=P(x>n)得m+”=5,则m2+n2≥ 2 （m+WP=50,当且仪当0==5时，等号成立，所以心+ n2的最小值为50，B正确. 对于C,由X~N(5,σ2)，得P(X≤3-o)=P(x≥7+σ)< P(x≥3+σ)，C正确. 对于D,因为随机变量X~N(5,σ)，所以正态曲线的对称轴 为直线x=5.因为P(X>4)=0.68,所以P(4<X≤5)=0.68- 0.5=0.18,所以P(5≤X<6)=0.18,D错误.故选BC 10.ABD【解析】因为到定点F1(-a,0),F2(a,0)的距离之 积等于a2的点的轨迹称为双纽线，所以当a=1时，双纽线 C的方程为√(x+1)+y·√(x-1)2+y=1.化简，得 (x2+y2)2=2(x2-y2),故A正确. 因为IP,1P,1=a2=1,IRR1=2a=2,S2PR,1 2·数学 IPR,I·血∠RPE=之Rl,则ol=血LRPF,所 以}≤≤分，赦B正确 因为1P℉，I=IPF2l,所以P在线段F,F2的中垂线，即直线 x=0上.令x=0,得y=-2y2,解得y=0,所以双纽线C上满 足1PF,I=IPF2I的点P只有一个，故C错误 因为0为线段F,R,的中点，所以Pd=)(PF+PF),所以 P62=4(1PFI2+21 PF,IPF1os∠F,PR,+1PF2).由 余弦定理，得1FF,12=1PF12+PF12-21PF11PF1· cos∠F,PF2,所以IPF12+IPF12=4+21PF11PF)I. cos∠F,PF2,所以1P⑦12=1+1 PEPF,1·cos∠F,PF2=1+ cos∠F,PP2≤2，所以1Pd1的最大值为2，故D正确， 选ABD. 11.ACD【解析】对于A,易知当x≤0时，函数f(x)与函数 yF的图象有-个公共点当0时，令m(:)(0, 则m(x)=e（2.由m(x)>0,得x>2;由m(x)<0,得 x3 0<2所以m()=二在区间(0,2)上单调递减，在区间 (2,+)上单调递增，所以m()≥m(2)->1,即e>2, 所以当x>0时，函数f(x)与函数y=x2的图象没有公共点， A正确。 对于B,设一条直线与曲线y=f(x)相切于点(x1,e),与曲 线yg(x)相切于点(，n),则e=1_n 一.化简 x2x 得x,e1-x1-e1-1=0,则方程xe-x-e-1=0的根的个数即 为公切线的条数.令u(x)=xe*-x-e-1,则u'(x)=xe*-1.易 知u'(x)=xe-1在(-∞，0)上恒小于0.当x∈(0，+∞)时， 令M(x)=xe*-1,则M'(x)=(x+1)e>0在区间(0，+∞)上 恒成立，所以M(x)=xe-1在区间(0，+∞)上单调递增.又 M(0)=-1<0,M(1)=e-1>0,所以存在x∈(0,1)使得 u'(x)=xoe0-1=0,即xe0=1,所以u(x)在(-0，x0）上单 调递减，在(x,+∞)上单调递增，且u(xo)=-x0-<0.又当 x→-∞时，u(x)→+0；当x→+o时，u(x)→+0，所以方程 有两个根，所以(x)与g(x)的图象有两条公切线，B错误 1 --In x 对于c,因为()-所以p()=三 一.令(x)= -nx,则kx)三-之-<0，所以(x)在(0，+∞)上单 调递减又6(1)=1>0，k4(2)=弓h2<0,所以存在0E(1, 2),使得k(x)=0,即p'(x)=0,所以p(x)在(0，xo)上单 调递增，在(xo,+∞)上单调递减，所以p(x)有极大值，且极 大值点x∈(1,2)，C正确. 对于D,令G(x)=e*-x-1,则G'(x)=e*-1.当x<0时， G'(x)<0:当x>0时，G(x)>0.所以G(x)≥G(0)=0,则 e≥x+1,当且仅当x=0时，等号成立.令h(x)=x+1-ln(x+ 2(>2则N)E122当-2<x<-1时，(3 0;当x>-1时，h'(x)>0.所以h(x)在(-2，-1)上单调递减 在(-1，+∞)上单调递增，所以h(x)≥h(-1)=0,所以x+ D5卷 参考答案及深度解析 1≥n(x+2),当且仅当x=-1时，等号成立.当m=2时，y= ln(x+2)与y=ln(x+m)的图象重合.因为y=ln(x+m)的图 象是由y=lnx的图象向左平移m个单位长度得到，所以当 m<2时，y=ln(x+m)的图象恒在y=ln(x+2)的图象下方，所 以e*≥x+1≥ln(x+2)≥ln(x+m),且等号不能同时取到，D 正确.故选ACD. 三129 【解析】如图，设AC=x,则 A元.BD=A元.(BC+Ci)=A元.Bt+ A元.C=IACi·I BC I cos∠ACB+ IAC1IC⑦·cos(T-∠ACD).由余弦定 理，得cosLACB=BC+AC2-AB2+16 2BC·AC 10x,cos∠ACD= D+AcA0_3,所以花.励=5x.16-6s 2CD·AC 12x 10x x2-13x2+16x2-1329 12x 22=2 13⑦ 【解析】双曲线C的渐近 线方程可写成号于=0如图，取 AB的中点M,连接OM.设A(x1, ),B(,为)，则M( 2， 7=00, x好 y1+y2 1,且 2 -②，得4）- 3=02. 3 y1+y2 2)(+2).整理，得.2.1 名-书`名t柄3，即k·w= 2 1 1 3*.在R△FME,中，1OM1=之FF,l=1OFl,则 ∠M0F2=2∠MF,O,故tan∠M0F2=tan2∠MF,0= 2tan∠MF,O 2 1-tan2∠MF,0' _2.将此式代人(*)，得 即kow-1-k - 子解得后行依愿意知k如>0，则ka一 √7 14.348【解析】①若6人乘坐3只船：先将4个大人分成2， 1,1三组，有C=6(种)方法，然后将3只船分配给三组，有 A=6(种)方法，再将2个小孩分配到3只船，有3×3-1= 8(种)方法，所以共有6×6×8=288（种）方法.②若6人乘坐 则共有XA60(种)方法.综上所述，共 60=348(种)方法： 四、15.【解】(1)由c 0。=a名及正弦定理，得snC= cos C 2sin A-sin B cos B, （1分) 所以sin Ceos B=2 sin Acos C--sin Beos C, (2分) sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A=2sin Acos C. (3分) 又Ae（0,π)，故sinA≠0， 所以cosC=2 (4分) 因为Ce(0,),所以G=号 (5分) 2·数学 高考一轮复习检测卷·数学 1 (2)如图，结合(1)得SAc= 1 sinLACB=2ab· 53 2-4 ab=23, 故ab=8.① (7分) 又动2成，所以成号应 所以励--成-店}-成-}（店-动）=} (8分) 又d.成=abos∠c=dsw号-子w=4,11 227 3 4 84 g02+g×4= 9 所以62+4a2=68.② (10分) 02,降g2*88 (11分) 当a=4,b=2时，由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos.∠ACB= 4+2-2x4x2s号=12， 故c=23,此时△ABC的周长为6+23； (12分) 当a=1,b=8时，由余弦定理得c2=a2+b2-2 abcos∠ACB= 12+82-2×1×8c0s3=57, 故c=√57，此时△ABC的周长为9+√57. (13分) 16.(1)【证明】由三棱台ABC-A1B,C1知，B,C,/平面ABC. 因为B,C,C平面AB,C1,且平面AB,C1∩平面ABC=L, 所以B,C,1. (3分) 因为EF⊥L,所以EF⊥B1C1 (4分) 又EF⊥BB1,B1C1∩BB1=B1,B,C1,BB1C平面BCC1B1, 所以EF⊥平面BCC,B· (5分) (2)【解】如图，取BC的中点M,连接AM. 以A为坐标原点，AM,AA1所在直线分别为y轴、z轴，平面 ABC内过点A且垂直于AM的直线为x轴，建立空间直角坐 标系. 设三棱台的高为h,则B(3, 33,0),C(-3,33,0),B1(2, 23,h), 所以C=(6,0,0),BB,=(-1, -3,h). (7分) 设平面BCC,B1的法向量为n= (x,y,2）, (6x=0, 即 则B·n=0,即-x5th0 令z=3,则x=0,y=h,所以n=(0,h,3). (8分) 易得平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1) (9分) 设直线EF与平面ABC所成的角为O, 则cm0-5所以血0= 3 (10分) 由(1)知E乎n, √3 所以sin0=lcos(m,n〉l= √3+h2×13’ 解得h=√6 (13分) D6卷 因为54-=4,6=95。 所以三棱台的体积V=号A(S46+Sm+ √Sa4Bc,SaBc)=192. (15分) 17.【解】(1)由题意，得A(-a,0),B(a,0).当R为上顶点时， R0t时台会总子① =b,b-62 (1分) 因为△ABR的面积为8， 所以2×2ab=8.② (2分) 由①②解得a=4,b=2. (3分) 所以精醒C的标准为程为后号1 (5分) (2)如图，依题意，直线DE的斜率存在，设斜率为k,则直线 DE的方程为y=k(x+6)-2. y=k(x+6)-2, 联立得方程组 2=1 (164 消去y并整理，得(4k2+1)x2+(48k2-16k)x+144k2-96k=0. 设D(x1,y1),E(x2y2), yt 则x+,=-482+16 42+1 ,12= 144k2-96k (8分) 4k2+1 直线AD的方程为y= , 令x=-6,得点P的纵坐标yp= -2y (10分) 1+41 则IMP1=-2+ 2y1 |(2k-2)(x1+6) = x1+4 x1+4 同理，得1MQ1= 1(2k-2)(x2+6) (12分) x2+4 所以IMPI·IMQ1= 1(2k-2)2(x1+6)(x2+6) (x1+4)(x2+4) =(2k-2)2 x1x2+6(x1+x2)+36 x1x2+4(x1+x2)+16 144k2-96k+6(-48k2+16k)+36(4k2+1) =(2k-2)2 144k2-96k+4(-48k2+16k)+16(42+1) =(2k-2)2 36 4(2k-2)2 =9. (15分) 18.(1)【证明】当m=1时，由f(x)=-xsinx+x2+n,得f'(x)= x(1-cos x)+x-sin x,f'(0)=0. (1分) 令p(x)=x-sinx,则p'(x)=1-cosx≥0， 所以p(x)在R上单调递增. (2分) 当x>0时，有p(x)>p(0)=0,即x-sinx>0. 又当x>0时，1-cosx≥0，x-sinx>0,所以f'(x)>0. 因为f'(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立， 所以当x<0时f'(x)<0. (4分) 所以f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 所以x=0是f代x)的唯一极值点. (5分) (2)【解】当m=0,=时)=sin+弓 3 则f'(x)=-sinx-xcosx. 当xe,引时r)≤0， 所以x)在[0，]上单调递减 (6分) 因为0)=0侣）320， 3 2·数学 所以由零点存在定理知f(✉)在[0，]上有且仅有一个 零点 (7分) 令h(x)=-sinx-xcos x,则h'(x)=-2cosx+xsin x. 当∈（行时，有(）0， 所以4A()在2，可]上单调递增， (8分) 又因为A(）=-1<0,a(m)=m>0, 所以存在无e(受，)使得a(x)=0 所以当e(受]时(=A()≤(，)0， 所以)在（行名小上单调递波。 所以当xe(受]小时)）<0， 放)在（行]上无零点 (9分) 当x∈(，π]时∫'(x)=h(x)>h(xo)=0, 所以f(x)在(xo,)上单调递增. 又x)）<0)=>0, 所以f(x)在(x,π]上有且仅有一个零点. 综上所述，f(x)在[0，π]上有且只有2个零点. (11分) (3)【解】设曲线y=f(x)与曲线y=-cosx的两条互相垂直 的“合一切线”的切点的横坐标分别为x1,x2,其斜率分别为 k1,k2,则k1k2=-1. (12分) 因为(-cosx)'=sinx,所以sinx1·sinx2=kk2=-1. 所以{sinx1,sinx2}={-l,1}. 不妨设n名=1，则=2m+受k∈乙 (13分) f'(x)=2mx-sin x-xcos x. 因为k1=f'(x1)=2mx1-sinx1-*1cosx1, 由“合一切线”的定义可知，2mx1-sinx1-x1cosx1=sinx1, 所以m号2e2 (15分) 由“合一切线”的定义可知，-xsinx,+ 1 ·x+n=-cosx1, 所以n=0. 当m一4km+不 2 eZ,n=0时，取=2m+受=-2m受 k∈Z, (16分) 则f(x1)=-cosx1=0f(x2)=-cosx2=0,f"(x1)=si1=1, f'(x2)=sinx2=-1,符合题意. 2,keZ,n=0. 所以m二4k+ (17分) 19.(1)【解】由题意，得24，-1=0，则该数列的第3项a,=2 1 (1分) 1 1 由递推公式a22neN)可得a,2,a6 经计算，无论降维过程如何进行，最终得到的“坍缩数”都是 1 6 (3分) (2)【证明】设-1<a,<1,-1<a,<1,则0<1+a,a<2,a:+a+1+ D7卷 参考答案及深度解析 a,a=(1+a)(1+a)>0, 所以a+a>-(1+aa）, (4分) 所以a+、-1 1+a:a 又1+a,a,-(a+a,)=(1-a:)(1-a)>0, 所以a:+a<1+a:4 (5分) 所以<1，即-1<2 (6分) 1+a:a 所以当数列{an}满足IaI<1时，经过一次“降维”后得到的 新数列仍然是边界为1的数列， 故这种“降维”可以持续进行，直至得到一个只有一项的数 列，从而得到“坍缩数” (7分) (3)【证明】定义运算#：=1+ x+y ,下面证明这个运算满足 交换律与结合律： 南 =y#, 即运算“#”满足交换律 (8分) x+y 又由(#)z=+y 1+xy x+y+z+xyz 1+xy 1+*y 1+xy+yz+zx ·z 1+xy #()=# x+xyz+y+z 1+21+x. 1+yz+xy+zx 1+yz 所以(x#y)#z=x#(y#z), 即运算“#”满足结合律. (9分) 所以对于给定的数列{a,},持续“降维”后得到的“坍缩数” 是唯一确定的，与实施“降维”的具体操作过程无关 (10分) 对于给定的数列a,且a,=(-1)八中1易知la,11 ①当keN时，a1tn4=-2212 1 2k2k+12k(2k+1)>0, 而1+a1a4>0,从而2+0>0， (11分) 1+a2k-1a2k 当n为偶数时，按如下方式进行“降维”： 首先去掉第1项与第2项，在数列末尾添加+，然后去 1+a1a2 掉原数列的第3项与第4项，在数列未尾添加，+4 …按 1+a3a4 照此种方式进行？次“降维”之后得到的数列各项皆为正， 因此最终得到的“坍缩数”必为正数 (13分) 2k2k+1 1 ②当keN时，a+1-2k+12h+2(2+1)(2k+2)<0, 眉1a0从 (15分) 当n为奇数时，按如下方式进行“降维”： 首先去掉第2项与第3项，在数列末尾添加22然后去 掉原数列的第4项与第5项，在数列末尾添加+， …按 1+a4a5 照此种方式进行”2次“降维”之后，得到的数列各项皆为 负数，因此最终得到的“坍缩数”必为负数 (17分) 2·数学