湖北武汉市高二数学上学期全册综合检测卷(人教A版)

高二数学上学期综合检测卷参考答案 (考查内容：平面向量，复数，空间向量与立体几何，统计，概率） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是（    ） A．该组数据的中位数为7 B．该组数据的平均数为7.5 C．该组数据的第60百分位数为7.5 D．该组数据的极差为5 【答案】B 【详解】首先对10位市民的幸福感指数按从小到大的顺序进行排序：4，5，5，6，7，7，8，8， 9， 9， 该组数据的中位数为第五个和第六个数据的平均值7，因此A说法正确； 该组数据的平均数为，因此B说法不正确； 又，因此该组数据的第60百分位数为，因此C说法正确； 又该组数据最大为9，最小为4，因此极差为，因此D说法正确； 2．如图，图（1）和图（2）均为“单峰”频率分布直方图，图（1）的中位数和平均数分别为a，b，图（2）的中位数和平均数分别为c，d，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，图（1）中，众数靠近0这一侧，因此平均数会受到较大值的影响而表现为平均数在中位数的右侧，因此，故A错误； 对于B，图（2）中，众数靠近最大的数这一侧，因此平均数会受到较小值的影响而表现为平均数在中位数的左侧，因此，故B错误； 对于C、D，因为，，由不等式的性质有，故C正确，D错误. 3．有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15例”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据判断，一定符合该标志的是（    ） A．甲地：均值为4，中位数为3 B．乙地：均值为5，方差为10 C．丙地：中位数为3，众数为2 D．丁地：均值为3，方差大于0 【答案】B 【详解】对于A，均值为4，中位数为3，不能保证10个数据中每个数据都不超过15， 如前4天每天新增疑似病例都为1，第5至第10天每天新增疑似病例数依次为2，4，4，5，5，16， 满足均值为4，中位数为3，而第10天新增疑似病例数超过15，A不是； 对于B，均值为5，方差为10时，令这10个数据依次为，则， ，则，即，因此所有数据都不超过15，B是； 对于C，中位数为3，众数为2，不能保证10个数据中每个数据都不超过15， 如前5天每天新增疑似病例都为2，第6至第10天每天新增疑似病例数依次为4，4，4，4，24， 满足中位数为3，众数为2，但第10天新增疑似病例数超过15，C不是； 对于D，均值为3，方差大于0，不能保证10个数据中每个数据都不超过15， 如前9天每天新增疑似病例都为0，第10天新增疑似病例数为30， 满足均值为3，方差大于0，但第10天新增疑似病例数超过15，D不是. 4．已知复数，满足，，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】法1：由题意， 由平行四边形恒等式，所以从而 ，B正确． 法2：在复平面内，设复数 ， 对应的点分别为 ，，以 ， 为邻边作平行四边形 ． 由 可得 ．因此四边形 为菱形． 又且 ，所以 ，该菱形为正方形． 因此B正确． 5．已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，即，所以， 由向量在向量上的投影向量为，得，所以，所以，则. 6．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，故，， 因为与为互斥事件，故， 又， 所以有， 故，故. 7．在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结论正确的是（    ） A．A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为 B．D，E两个盒子串联后GH 段畅通的概率为 C．C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率 【答案】D 【详解】对于A，A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为，A错误； 对于B，D，E两个盒子串联后GH段畅通的概率为，B错误； 对于C，由选项B知，GH 熔断的概率为， 因此C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为，C错误； 对于D，由选项AC知，整个电路畅通的概率为不通的概率为，D正确. 8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ） A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 【答案】C 【详解】对于A，，而，，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某校篮球社的20个成员进行了定点投篮测试并记录得分，已知男生组10人得分的平均数和方差分别为8和4，女生组10人得分的平均数和方差分别为x和y，这20人得分的平均数和方差分别为a和b，则（    ）. A．时， B．时， C．，时， D．，时， 【答案】ACD 【详解】对于A：当，则，A选择正确； 对于B：不确定的值不能求出具体的值，B选项错误； 对于C：当时，，所以，C选项正确； 对于D：当时，，所以，D选项正确. 10．下列说法正确的是（    ） A．若直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．若，，，则四点共面 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足，则四点共面 D．若为空间的一个基底，则不可构成空间的另一个基底 【答案】ABD 【详解】对A，由题意知，所以直线l与m垂直，故A正确； 对B，若四点共面，则共面，因为， 所以四点共面，故B正确； 对C，若四点共面，则且， 而，可知，所以不共面，故C错误； 对D，不能做为基底，则线性相关，假设存在使得， 化简解之可得，则不可作为基底，故D正确. 11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（    ） A．不存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】CD 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ， 对于A，假设存在点，使得， 由，，所以， 解得，即点Q与D重合时，，A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线NQ与SA所成的角为， 由，，所以，方程无解； 所以不存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为，B错误； 对于C，连接；设，因为， 所以当，即点Q与点D重合时，取得最大值2，又点N到平面AMQ的距离， 所以，C正确； 对于D，由上分析知：，， 若是面QMN的法向量，则， 令，则，得， 因为，设直线DC与平面QMN所成的角为，， 所以， 当点Q自D向C处运动时，的值由0到2变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数z满足，则 ． 【答案】 【详解】设，原方程化为， 即．故解得，故． 13．如图，在三棱柱中，，为的中点，E为的中点，和相交于点P，则 ． 【答案】 【详解】在三棱柱中，连接，由分别为的中点， 得，且，则， ， ，而， 所以 . 14．已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是 ． 【答案】 【详解】若两次取球后，盒中有8个球，则两次取球均为甲获胜， 第一次取球甲乙都取到黑球，其概率为， 第一次取球后盒中有4个黑球和3个白球，盒中有2个黑球和2个白球， 第二次取到同色球的概率为，此时盒中有8个球的概率为； 若第一次取球甲乙都取到白球，其概率为， 第一次取球后盒中有3个黑球和4个白球，盒中有3个黑球和1个白球， 第二次取到同色球的概率为，此时盒中有8个球的概率为； 所以盒中有8个球的概率为.故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知，是同一平面内的两个向量，其中，． (1)若，求在上的投影向量坐标；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，， 在上的投影向量为，故在上的投影向量坐标为． （2），由，得． 当时，则存在唯一的实数使得，解得． 所以当时，与共线，且方向相同，此时夹角为0，不符题意． 故与的夹角为锐角时，实数的取值范围是． 16．2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【详解】（1）由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以，解得，又，解得，所以，； （2）由题知，估计众数为=75；成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：，因此中位数落在区间内， 设中位数为m，则，解得． 由题知各组频率分别为0.16，0.32，0.4，0.08，0.04，各组区间中点值分别为55，65，75，85，95， 所以平均数的近似值为， 故估计这次竞赛成绩的众数约为，中位数约为，平均数约为； （3）由，得：． 又， 所以：， 剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，，则剩余8个分数的平均数：； 所以 即： 方差：. 故剩余8个分数的平均数为，方差为. 17．如图，在五面体中，底面为平行四边形，为等边三角形，． (1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】（1）如图：在中，，，， 由余弦定理得：. 又，所以为直角三角形，. 在中，，，，因为，所以为直角三角形，. 因为，，,平面，所以平面. （2）如图：取中点，中点.  则，平面，所以平面， 又为等边三角形，所以.故可以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 因为为中点，所以，由可得； 由可得. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 设平面与平面所成的角为，则. 18．随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， (1)已知概率，（i）求的值．（ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． (2)若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 【详解】（1）（i）由题知，解得：， （ii）由（i）知：， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则与互斥，与与分别相互独立， 所以， 因此，甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率为． （2）由题知：，， 设“甲乙两人两次一共解开密码3次的事件”，则与互斥，与与分别相互独立， ，，当且仅当时等号成立， ． 故甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值为. 19．多面体的底面为梯形，，，，，且四边形为矩形，点P为线段上一点（异于点）． (1)若点P为线段中点，求证：平面； (2)是否存在点P，使直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【详解】（1）由条件可知， 则 即为等腰直角三角形，所以， 取的中点F，连接， 因为平面，平面，所以平面， 又因为四边形为矩形，点P为线段中点，所以， 同理有平面， 而平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面；   （2）  取的中点O，连接， 根据题意知，即为等腰直角三角形， ，则， 因为底面，所以底面， 过O作，易知， 如图所示建立空间直角坐标系，易知， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 设直线与平面所成的角为，， 解之得，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高二数学第二册全册内容 高二数学上学期综合检测卷 (考查内容：平面向量，复数，空间向量与立体几何，统计，概率） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“幸福指数”是某人对自己目前生活状态满意程度的自我评价指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高.现随机抽取10位市民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，7，9，4，5，8，9，则下列说法错误的是（     ） A．该组数据的中位数为7 B．该组数据的平均数为7.5 C．该组数据的第60百分位数为7.5 D．该组数据的极差为5 2．如图，图（1）和图（2）均为“单峰”频率分布直方图，图（1）的中位数和平均数分别为a，b，图（2）的中位数和平均数分别为c，d，则（    ） A． B． C． D． 3．有专业机构认为某流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15例”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据判断，一定符合该标志的是（     ） A．甲地：均值为4，中位数为3 B．乙地：均值为5，方差为10 C．丙地：中位数为3，众数为2 D．丁地：均值为3，方差大于0 4．已知复数，满足，，则（     ） A．2 B． C． D． 5．已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 6．设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（     ） A． B． C． D． 7．在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结论正确的是（    ） A．A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为 B．D，E两个盒子串联后GH 段畅通的概率为 C．C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为 D．当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率 8．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（     ） A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．某校篮球社的20个成员进行了定点投篮测试并记录得分，已知男生组10人得分的平均数和方差分别为8和4，女生组10人得分的平均数和方差分别为x和y，这20人得分的平均数和方差分别为a和b，则（     ） A．时， B．时， C．，时， D．，时， 10．下列说法正确的是（     ） A．若直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直 B．若，，，则四点共面 C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若点P满足，则四点共面 D．若为空间的一个基底，则不可构成空间的另一个基底 11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（     ） A．不存在点，使得 B．存在点，使得异面直线与所成的角为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知复数z满足，则 ． 13．如图，在三棱柱中，， 为的中点，E为的中点，和相 交于点P，则 ． 14．已知有，两个盒子，其中盒中有3个黑球和3个白球，盒中有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从盒，乙从盒各随机抽取一个球，若两球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若两球不同色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入盒中.按上述方法重复操作两次后，盒中有8个球的概率是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知，是同一平面内的两个向量，其中，． (1)若，求在上的投影向量坐标；(2)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．（15分）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 17．（15分）如图，在五面体中，底面为平行四边形，为等边三角形，． (1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．    18．（17分）随着科技的发展，互联网也随之成熟，网络安全也涉及到一个国家经济，金融，政治等安全．为提高中学生的网络安全意识和信息技术能力，某中学组织了一次信息技术创新比赛，参赛选手两人为一组，需要在规定时间内独自对两份不同的加密文件进行解密，每份文件只有一次解密机会．已知甲每次解开密码的概率为，乙每次解开密码的概率为，每次是否解开密码也互不影响．设，，， (1)已知概率， （i）求的值．（ii）求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率． (2)若，求甲、乙两次解密过程中一共解开密码三次的概率最小值． 19．（17分）多面体的底面为梯形，，，，，且四边形为矩形，点P为线段上一点（异于点）． (1)若点P为线段中点，求证：平面； (2)是否存在点P，使直线与平面所成的角的正弦值为？若存在，求；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $