专题01 三角初步在上海一模中的常考题型（高效培优专项训练）数学新教材沪教版五四制九年级上册

专题01 三角初步在一模考试中的常考题型 题型一 三角函数的概念 题型二 特殊角的三角函数 题型三 解直角三角形 题型四 解非直角三角形 题型五 解直角三角形的应用 题型六 几何综合题 题型一 三角函数的概念 1．（2026·上海·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 2．（2026·上海·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，利用勾股定理求出的长，再根据正切，余切，正弦和余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，已知， ∴， ∴，，，， 故选：C． 3．（2026·上海·一模）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosA等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5． ∴cosA＝． 故选C． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边． 4．（2026·上海·一模）已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正切的定义，根据点在抛物线上的坐标和正切函数的定义直接计算． 【详解】解：∵点在抛物线上，且横坐标为， ， 如图，过作轴，交轴于点， ， 故选：C． 二、填空题 5．（2026·上海·一模）在平面直角坐标系中，已知点、，则正弦值是________． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点作轴于点C，利用勾股定理求解斜边，再由正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点C， ∵点、， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2026·上海·一模）在中，的余弦值是，那么的长是___________． 【答案】16 【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵的余弦值是，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：16． 7．（2026·上海·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，网格中求三角函数值，连接，交于点，易得，均为等边三角形，求出的长，再利用正切的定义，进行计算即可． 【详解】解：连接，交于点， ∵菱形， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理：为等边三角形，，， ∴，， ∴； 故答案为：． 8．（2026·上海·一模）如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是________． 【答案】 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，首先，判断“某一边”不能是斜边，因为会导致无解；然后考虑该边为直角边，利用勾股定理和条件建立方程，求解得到较短直角边与斜边的比值，即为较小锐角的正弦值． 【详解】解：设直角三角形三边分别为 、、，其中 为斜边，，为最小锐角． ①当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∴原方程无解，即； ②当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得， ∴， ∴； ③当时，则， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，与矛盾，舍去． ∴较小锐角的正弦值为 ． 故答案为：． 题型二 特殊角的三角函数 1．（2026·上海·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 2．（2026·上海·一模）______． 【答案】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 3．（2026·上海·一模）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了求特殊角的余切值，根据三角函数定义，是 的倒数，而为，然后即可得出答案． 【详解】解：， 故答案为： ． 4．（2026·上海·一模）计算：． 【答案】2 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 5．（2026·上海·一模）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式的计算．熟练掌握特殊角的三角函数值，二次根式的运算顺序和法则是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值化简，而后根据二次根式的计算法则计算即可． 【详解】解： ． 6．（2026·上海·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，分母有理化，负整数指数幂的运算．熟悉特殊角的三角函数值，分母有理化的方法，负整数指数幂的运算律是解题的关键． 代入特殊角的三角函数值：、、、， 通过分母有理化：对进行有理化，利用平方差公式消去分母中的根号，以及负整数指数幂的运算，得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（2026·上海·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数混合运算，将特殊角的三角函数值代入计算，化简即可． 【详解】解： ． 8．（2026·上海·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数的混合运算，原式分别代入特殊锐角三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 题型三 解直角三角形 1．（2026·上海·一模）在中，（是锐角），，那么的长为__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，过点C作于点D，根据正弦的定义求出的长，则可用勾股定理求出的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：4． 2．（2026·上海·一模）已知一副三角板中，含三角板的斜边（）与含三角板的长直角边（）相等．如图，将一副三角板拼在一起，点、、在一条直线上，那么的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，设，分别解，求出的长，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，， 设， 在中，， ∴； 在中，，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．（2026·上海·一模）如图，在中，，为中线，点E在边上，．如果，，那么___________． 【答案】6 【分析】本题考查了利用余切求边长和直角三角形斜边中线的性质，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知，进而得出，再由即可得出结果． 【详解】∵，为中线，， ∴， ∴， ∵，， ∴ 即． 故答案为：6． 4．（2026·上海·一模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，，点在边上，点E，F在边上，如果，那么的长为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形，过点C作于点H，解可得，解得到，解得到的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点H， 在中，， ∴； 在中，， 在中，，； 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2026·上海·一模）如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，过点作交的延长线于点，延长交于点，根据题意设，则，证明，得到，根据勾股定理，得到，根据解直角三角形得到，证明，得到，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图： 在中，， 设，则， ∵，平分， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2026·上海·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 【答案】或 【分析】根据题意可得只存在和这两种情况，当时，可证明，一定是钝角，故，导角可得，再解直角三角形即可；当时，同理可得，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：∵与相似，且， ∴只存在和这两种情况， 如图所示，当时，则， ∴， ∴， ∴此时只能是， ∴； ∵是锐角， ∴一定是钝角， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于点H，则， ∴， ∴； 如图所示，当时，则， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型四 解非直角三角形 1．（2026·上海·一模）已知中，，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，过点作于点，分别解和，求出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点作于点， 在中，，， ∴； 在中，，， ∴， ∴； 故答案为： 2．（2026·上海·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为____． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，勾股定理，合理构造辅助线得到，证明，是解题的关键． 如图所示，过点作于点，过点作延长线于点，可得，由勾股定理解得（负值舍去），再证明，得到，求出，，则，设，则，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作延长线于点， ∵是的中线，， ∴， 在中，， ∴， ∴，即， 解得，（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，则， 设，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 3．（2026·上海·一模）在中，（是锐角），，那么的长为__________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了解直角三角形和勾股定理，过点C作于点D，根据正弦的定义求出的长，则可用勾股定理求出的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：4． 4．（2026·上海·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“差直三角形”，在中，，，，如果是“差直三角形”，那么的长为__________． 【答案】或 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握新定义是解题的关键．分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是“差直三角形”，且， ∴或， ①当时，则，过点作交的延长线于点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，作， 同理，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）或； 故； 综上：或； 故答案为：或． 5．（2026·上海·一模）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形的相关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合，，求出，运用勾股定理得，，结合角的整理得，即，运用勾股定理得，解得． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵，， ∴，， 即， ∴， 则， ∵折叠， ∴， ∴， ∴设， ∴， ∵， ∴，， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 6．（2026·上海·一模）如图，在中，，将绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．如果，那么的长为_______． 【答案】或 【分析】分类讨论，构造，进而根据勾股定理得到的长度，即可求出结果． 本题考查了三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】解：由题可得： 过点作,过点作, ∵， ∴， ， , , , ∵， , , ,, , 由题可得： 过点作,过点作, ∵， ∴， ， , , , ∵， , , ,, , ． 故答案为：或． 7．（2026·上海·一模）我们把一个三角形一条边上的中线与另一条边上的高的交点称为这个三角形的中垂点．已知在中，，，为边上的高，点O在上，连接并延长交于点E，如果点O是的中垂点，那么的值为___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余弦的定义，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据中垂点的定义，利用相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：，为边上的高， 点为的中点，． 点O是的中垂点， 或点为的中点． 如图， 当点为的中点，时， ，． 在中，， 设，则， ，． ，， ， ， 即， ， ， ； 当点为的中点，时， ，为边上的高， 点为的中点． 如图，连接， 即为的中位线， ，， ， ． 综上，的值为或． 故答案为：或． 8．（2026·上海·一模）如图，已知中，，，．点M是中点，点D在边上，连接，将沿着直线翻折，点B的对应点为点E．连接，如果，那么的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查翻折的性质，锐角三角函数的定义；过A点作，过点E作，利用锐角三角函数的定义可求出，，，平行线间的距离处处相等可得，然后分类讨论，可求出或，然后根据特殊角的三角函数值和翻折的性质即可求解． 【详解】解：过A点作， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 过点E作，当点E在A点左侧，如图所示： ∵点M是中点， ∴， ∵将沿着直线翻折，点B的对应点为点E， ∴，， ∵，，，即、为平行线间的距离， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作，当点E在A点右侧，如图所示： 同理可得：， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 故答案为：或． 9．（2026·上海·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． 【答案】或 【分析】过点作于点，先解求出，由旋转得，，①当时，过点作于点，可得，由，求出，则；②当时，设，可证明，再由，可得，，继而得到，最后由列式计算求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴， ①当时，过点作于点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时； ∵，， ∴，， ∵ ∴， 设，则 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ 解得：或（舍） ③当时， ∵， ∴，此时不成立， 综上：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，旋转的性质，难度大，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质求解． 10．（2026·上海·一模）如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是___________． 【答案】或 【分析】如图所示，过点C作于点F，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，解直角三角形求出，进而求出，，，，的长度，然后根据题意分两种情况讨论：当时，连接，，在上取点G，使，证明出，得到，然后代入求解即可；当时，过点D作于点H，过点E作于点M，利用勾股定理求出，，证明出是等腰直角三角形，然后解直角三角形求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于点F， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的一组对角相等且另一组对角不相等， 如图所示，当时，连接，，在上取点G，使， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，过点D作于点H，过点E作交的延长线于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长是或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 题型五 解直角三角形的应用 1．（2026·上海·一模）一传送带和地面所成斜坡的坡比为，如果要把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（    ） A．12米 B．13米 C．24米 D．26米 【答案】D 【分析】本题主要考查坡比的概念，由坡比定义为垂直高度与水平距离之比，已知坡比和垂直高度10米，可求水平距离，再应用勾股定理求斜坡长度． 【详解】∵坡比为，即垂直高度：水平距离， ∴垂直高度米时，水平距离米， 在中，斜坡米． ∴物体所经过的路程为26米． 故选：D． 2．（2026·上海·一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从点处传送到斜坡高处，物体沿斜坡方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（   ） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，过点作垂直地面于点，设，则，再根据勾股定理即可求解，知道坡比的概念是解题的关键． 【详解】解：过点作垂直地面于点，如图： 由题意可得：， 设，则， 在中，，即， ∴， 解得：， ∴物体离地面的高度为米， 故选：B． 3．（2026·上海·一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的知识，通过比较仰角和俯角的正切值来比较角度大小，由于小丽所在楼层比小明高，因此仰角较小而俯角较大． 【详解】解：设两楼水平距离为，每层楼高为，对面楼高为． ∵小明住8楼，高度为， ∴，． ∵小丽住9楼，高度为， ∴，． ∵， ∴，即， 且，即． ∴且， 故选：B． 4．（2026·上海·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握解直角三角形的计算是关键． 根据题意，，，由，代入计算即可求解． 【详解】解：由题知：， 在中，， ∴设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 5．（2026·上海·一模）如图，从甲楼的一窗口观测点处测得乙楼的楼顶端的仰角是，那么从乙楼顶端处看处的俯角是___________°． 【答案】 【分析】本题考查了仰角俯角的定义，平行线的性质，作于点，，由平行线的性质得到，得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，， ∴， ∴， ∴从乙楼顶端处看处的俯角是， 故答案为：． 6．（2026·上海·一模）如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，过点作于点，在和中，利用三角函数解得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，过点作于点， 由题意，可知，（米）， 在中，可得， ∴（米）， 在中，可得， ∴（米）， ∴（米）， ∴此时货车A和汽车B相距米． 故答案为：． 7．（2026·上海·一模）如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰直角三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可知为等腰直角三角形，设，则，，然后根据在中，，代入得到方程，解之即可． 【详解】解：设， 由题意可知，，，米，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 解得米， ∴教学楼AB的高度为米． 8．（2026·上海·一模）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】(1)20米 (2)建筑物的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点C作于点M，根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）过点E作于点N，交于点F，分别在和中，由三角函数的定义求出，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点C作于点M，则， ∵斜坡的坡度， ∴， 设米，则米， 在中，由勾股定理得：， 又米， ∴， 解得， ∴米， 所以，平台的高度为20米； （2）解：过点E作于点N，交于点F，设米，则：米，， ∴， ∵米， ∴米， ∴， 在中，，则； 在中，，则：， ∴ 解得：， 所以，建筑物的高度为米． 9．（2026·上海·一模）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在处用测角仪测得塔顶的仰角为，再往塔的方向前进30米至处（点为塔底中心，且点在同一水平线上），测得此时塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：，结果精确到0.1米）． 【答案】约为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；连接并延长交于，证明四边形、是矩形，可得出，，在中，，根据正切的定义求出，在中，根据正切的定义得出，求出的长度，即可求解． 【详解】解：连接并延长交于， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 同理， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 答：法华塔的高度约为米． 10．（2026·上海·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 【答案】(1)7.6米 (2) 解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 如图，正方形扩大2倍后为正方形， 则新正方形边长米， 在中，， 由得，（米）， （米）， 由（1）得米，米， ， 不能继续利用该传送带运输， 答：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 【分析】本题考查用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键是找到恰当的直角三角形，灵活运用锐角三角函数解直角三角形，注意单位和精确度． （1）记与交于点，根据等角的余角相等得，在中，根据锐角三角函数求出和的长，进而计算长，在中，根据锐角三角函数求出，由计算的长； （2）正方形扩大2倍后为正方形，则新正方形边长米，在中，根据锐角三角函数计算的长，从而计算的长，进而比较和的大小，从而判断扩大后的正方形会不会被卷帘门M所影响到． 【详解】（1）解：如图，记与交于点， 四边形是边长为米的正方形， ，米， ， ， ， ， ， 在中，， 由得，（米）， 由得，（米）， 在中， ，（米）， 由得，（米）， （米）， 答：的长约为7.6米； （2）略 题型六 几何综合题 1．（2026·上海·一模）如图1，在和中，点在内，，，连接，和，与相交于点． (1)求证：； (2)已知，，如图2，当三点共线时， ①求的值： ②如果，求的正弦值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即； (2)①2；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，正弦的定义等知识，解题的关键是： （1）先证明，得出，，则，，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）①证明，得出，证明，得出，根据（1）中，，得出，得出，即可求解； ②过A作于H，在和中，根据勾股定理可得出，则可求出，在和中，根据勾股定理可得出，则可求出，， 在中，根据正切的定义求出，然后结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又，， ∴； ②过A作于H， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴，， 解得， ∴， ∵ ∴． 2．（2026·上海·一模）如图，在中，是锐角，，垂足为E，对角线垂直平分线交于点M，交的延长线于点N，交于点P．已知． (1)在中， ①写出与一定相似的三角形，并选一对说明理由； ②写出与不一定相似的三角形，如果它与相似，求出它们的相似比． (2)如果，求的正弦值． 【答案】(1)与不一定相似，相似比为或 (2) 【分析】（1）①根据平行四边形的性质和平行线定理得，利用等量代换得，，即可证明；②由题意得与不一定相似，当时，得，结合勾股定理得，求得，进而求得，由相似三角形的性质和等量代换得，求得，进而求得，再由，求得，即可求解；当时，由相似三角形的性质和等腰三角形的判定可得，进而得，再由等腰三角形的性质和勾股定理求得，由，得，进而求解即可； （2）连接，根据垂直平分线的性质得，由等边三角形的性质得，设，则，利用勾股定理求得，进而得，利用勾股定理列方程求得，进而求解即可． 【详解】（1）解：①，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴； ②与不一定相似，当时， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴与不一定相似，如果它与相似，相似比为或； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 解得， 当时，，不合题意， 当时，， ． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、垂直平分线的性质、勾股定理、锐角三角函数、平行四边形的性质、解一元二次方程、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 3．（2026·上海·一模）如图，已知，，，，是边上一点（不与点A、B重合），，且． (1)当时，的长； (2)当点在边上运动时，的值是否保持不变，如果不变，试求出这个不变的值；如果会发生变化，试说明理由； (3)当直线与直线相交时，记交点为点，如果是等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)的值保持不变，为定值 (3) 【分析】（1）解直角三角形得到，可证明，得到；再证明，得到，再解直角三角形即可得到答案； （2）连接，证明，则B、D、C、E四点共圆，求出，则； （3）当点F在点A下方时，过点D作于点H，连接，可证明，则当是等腰三角形时，只存在这种情况，证明，得到；解直角三角形得到，设，则可推出，解得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案；当点F在点C上方时，连接，可证明，则当是等腰三角形时，只存在这种情况，可证明，则（大角对大边），故此种情况不成立． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：的值保持不变，为定值，理由如下： 如图所示，连接， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴B、D、C、E四点共圆， ∴， ∴， ∴的值保持不变，为定值； （3）解：如图所示，当点F在点A下方时， 如图所示，过点D作于点H，连接， ∵， ∴， ∴当是等腰三角形时，只存在这种情况， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴； 如图所示，当点F在点C上方时，连接， ， ∴当是等腰三角形时，只存在这种情况， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（大角对大边）， ∴此种情况不成立； 综上所述，的长为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，四点共圆，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 4．（2026·上海·一模）如图，已知矩形中，点E是边上一动点，在右侧作，使得，其中点C、F分别与点E、C对应．已知，． (1)当点E与点B重合时，求四边形的面积； (2)点E由点A向点B移动的过程中（点E不与点B重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并说明编号为②的量的变化情况的理由： ①的大小；②的长度；③的值． 其中，变大的量是___________；变小的量是___________．（请在横线处填入编号） (3)当四边形的一条对角线平分另一条对角线时，求的长． 【答案】(1) (2)变大的是③，变小的是①② (3)或 【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，三角函数，三角形面积公式，三线合一，三角形重心的性质，分类讨论，数形结合是解决问题的关键； （1）根据勾股定理得，由得，求出直角边，再按三角形面积公式计算即可； （2）作于H，根据移动过程中、、的变化情况判断即可； （3）分两种情况讨论，当平分时，，过点O作，，则，，得是等腰三角形，是的垂直平分线，，和关于对称，，得，，根据求解即可；当平分时，取中点P，连接交于Q，证，根据Q是中线的交点，求出，，设，则，，，，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：当点E与点B重合时，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得，， ∴四边形的面积为：． （2）解：作于H如图所示： ∵， ∵增大， ∴减小， ∵，点C、F分别与点E、C对应， ∴，， ∴减小； ∵， ∴．即，得， ∵增大， ∴减小； ∵， ∵减小， ∴增大； ∴增大， 综上：增大的是③，减小的是①②． （3）解：1、如图所示：当平分时，记与的交点为， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， 过点O作，，则， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴和关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴； 2、如图所示：当平分时，， 取中点P，连接交于Q， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵Q是中线的交点， ∴，， 设，，， 解得，则，， ∵， ∴． 设，则，， ∴，， ∴，解得． ∵E在边上， ∴， ∴． ∴或． 5．（2026·上海·一模）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 【答案】(1) 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2) (3) 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质及余弦的定义． （1）根据已知条件及菱形的性质得出，，，证得，得出，，再证得，得出； （2）根据已知条件结合菱形的性质得出，，继而利用相似三角形的性质得出，，由得到，设，，列出关于a和b的表达式，从而得出的值； （3）连接交于点O，过点M作，根据题意设，利用相似三角形的性质得出相关图形的面积表达式，最终可列方程求得菱形的面积． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，连接交于点O， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·上海·一模）在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，，根据折叠的性质得到，，，根据勾股定理得到，证明、，得到、，根据可知，设，则，求出，进而求出，，根据矩形的面积公式计算即可； （2）根据折叠的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，则，证明，得到，求出，则，连接，设的面积是，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”得到的面积是，的面积是，根据四边形的面积是得到的面积是，列方程求出，则的面积是，作交延长线于G，根据三角形面积公式求出，根据正弦的定义得到，即； （3）根据折叠的性质得到，，，，，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，，根据等角对等边得到，根据等边对等角得到，即，则、，得到、，即，设，，则，可得，，，则，根据，得到，当点F在线段上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，根据完全平方公式得到，开平方即可；当点F在线段的延长线上时，根据得到，证明，得到，整理得到，解关于的方程得到，开平方即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴四边形的面积； （2）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 如图，连接， 设的面积是，则的面积是， ∴的面积是， ∵，， ∴的面积是， ∵四边形的面积是， ∴的面积是， 即， 解得：， ∴的面积是，的面积是， ∴的面积是， 作交延长线于G， 则， 解得：， ∵ ∴， ∵， ∴； （3）解：∵将沿直线翻折，点落在上的点处， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 即， 设，，则， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∵，， ∴， 如图，当点F在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴ ， ∴ ， 即； 如图，当点F在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 整理得， 解关于的方程得， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，求正弦值，全等三角形的判定和性质，完全平方公式变形求值，分母有理化，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 7．（2026·上海·一模）如图，在中，，点在边上且，点是边上的动点，以为直角顶点；为腰在其右侧作等腰直角三角形，射线与边交于点． (1)当时，求的面积； (2)当点落在内部（不含边界）时，求的取值范围； (3)连接，如果是直角三角形，请直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据是等腰直角三角形，得出，根据，得出，结合，得，则，证出，则，结合，即可求出，即可解答； （2）由题知：不可能在上，可能在上； 当在上且与重合时，如图所示：过点作，过点作，过点作，则，得出，，勾股定理求出，则，结合，求出，证明，求出，证明，得出，，则，此时，当在上且与重合时，如图所示：由上得，，设，则，则，根据，求出，此时，根据落在内部（不含边界），即可求解； （3）当时，如图所示：由上得，则，，证明，则，证明，则，，得出，，则，当时，如图所示：由上得，设，则，证明，得出，列方程，求出，即可得，的长，由题知：，则四点共圆，得出，求出；当时，不符合； 【详解】（1）解：如图所示： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为； （2）解：由题知：不可能在上， ∴可能在上； 当在上且与重合时， 如图所示：过点作，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 此时， 当在上且与重合时，如图所示：由上得， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时， ∵落在内部（不含边界），∴； （3）解：当时，如图所示： 由上得， ∴， ∴， 由题知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，如图所示： 由上得， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题知：， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴， 当时，不符合； 综上：或． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，解直角三角形，圆周角定理，四点共圆，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，利用分类讨论思想解答． 8．（2026·上海·一模）如图1，在中，为边上一点，始终满足． (1)求证：． (2)在中，当时． ①如图2，已知，过点作交于点，若的面积为5，求长． ②如图3，为中点，如，设长为，记与的差为，求关于的函数关系式及函数定义域． 【答案】(1) 解：过点作， 则：， 又∵， ∴， ∴平分， ∴； (2)①；②（） 【分析】（1）过点作，根据三角形的面积公式结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，根据，得到，得到平分即可； （2）①根据，设，进而得到，根据，求出，勾股定理求出，由（1）可知，得到，求出的长，再根据的面积为5，进行求解即可； ②作与点，证明，得到，进而得到，证明，求出，连接，斜边上的中线推出，证明，求出的长，勾股定理求出的长，再根据，求出函数关系式即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴； ②作于点， ∵，， ∴， 又∵， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴，即：， ∴（）． 【点睛】本题考查角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，合理添加辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9．（2026·上海·一模）如图，已知在中，点是边上的一点． (1)当时． ①如图1，是边上的高，求证：； ②如图2，，点在边上，且，顺次连接．如果，求的值． (2)如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，连接，取中点，分别延长交于点，求的值． 【答案】(1)①证明：∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② (2) 【分析】（1）①根据题意易证，，易证，推出，即可得出结论；②如图，分别过点作，由题意得都是等腰三角形，设，证明，推出，由，设，则，求出，再证明，求出，即可求解； （2）如图，过点作，设，，证明，推出，，利用三角形内角和定理结合等腰三角形的性质证明，得到，求出，即，证明，推出，设，则，再求出，即可解答． 【详解】（1）①略 ②如图，分别过点作， ∵，，， ∴，都是等腰三角形， ∴， 设， 则，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，二次根式的运算，全等三角形的判定与性质，构造三角形相似是解题的关键． 试卷第74页（共74页） 试卷第1页（共75页） 学科网（北京）股份有限公司 $专题01三角初步在一模考试中的常考题型 参考答案 题型一三角函数的概念 1.C. 2.C. 3.C. 4.C 5.3 6.16. 5 7.2 8.5 题型二特殊角的三角函数 1.C. 6 2.2 3.3 tan260°-cot45° 4.解：2sin260°-cos60° (32-1 试卷第1页（共32页） 3-1 31 2× 42 2 =31 22 =2. 4sin60° 5.解：2(1-cot30)+3am30°-tan45 4x3 -0w 2 3 =2-25+25 V5-1 255+1 =2-23+ (3-5+ =2-25+6+23 =2-25+3+5) =2-25+3+5 =5-V3 6.解：sin'30°- cot450-1 2-tan60° cot30°， 12+5-5 44-3 =42-5-5, 试卷第2页（共32页） =-7-25 4 做答案为：72月 7.解：sin60°.tan260° 2 cot30°+2sin45° 肉 2 V3+2x2 2 =35 2 2V5+√2 3 2 -2(3-2) -35-25+22 2 2 +2V2 22-3 2. 2 8.解：tan60°+ +cot230°-2sin45°.cos45° 3+1 =V3-1+3-1 =V3+1 题型三解直角三角形 1.4 23-6 2. 4 3.6 试卷第3页（共32页） 5-1,-1+3 2 5. 25 6.2或3 题型四解非直角三角形 √13 1. 2.8 3.4 60125 4.7或5 5.35 725 6.4或4 7 7.2或8 8.22.5°或67.5° 16 9.8或v10-2 145 10.3或10w5 题型五解直角三角形的应用 1.D. 2.B. 3.B 4.2. 5.37° 试卷第4页（共32页） 100W3+100) 7.教学楼AB的高度为10.7米 &.(I)解：过点C作CM⊥AB于点M,则CD=CM, E D MNB ,斜坡AC的坡度i=l3, CM 1 .AM3' 设CM=x米，则AM=3x米， 在RtAACM中，由勾股定理得：AM2+CM2=AC2, AC=20V10 又 米， :.(3x+x=(20io, 解得x=20, ∴CM=20米， 所以，平台CD的高度为20米： (2)解：过点B作EN⊥AB于点N,交CD于点F,设EF=h米，则：FN=CM=20米，MN=CF, .EN =EF+FN=20+h. CM=20米， BM=60米， ∴.AN=AM+MN=60+CF, EBECE甲，ECT=09则cF=所 h tan60°√5： 在RtAAEN中，∠EAN=30°，则：EN=AN·tan30°， h+20= h)1 60+5万 试卷第5页（共32页） h=30W3-30 解得： 所以，建筑物EF的高度为305-30)米 9.解：连接CD并延长交AN于E, C 根据题意，得AC=BD=1.5,AC⊥AB,BD⊥AC,AB=30,∠MCD=37,∠MDE=60°， ,AC∥BD, .四边形ABDC是平行四边形， 又BD⊥AB, ,平行四边形ABDC是矩形， ∴CD=AB=30,CD∥DE, 同理BD∥EN, ∴，四边形BDEN是平行四边形， 又MN⊥AW, ∴，平行四边形BDEN是矩形， .EN=BD=1.5,∠NED=90°， 在Rt△MDE中， an∠MDE=ME DE ME .DE =tan60°=V5 ∴.ME=V3DE, 在RtMCE中，an∠MCE=ME CE :tan37°e3=V3DE 430+DE, 解得DE= 30√3 4-5, 试卷第6页（共32页） .ME=3DE=90 ≈39.647 4-5 .MN=ME+E=39.647+1.5=41.147≈41.1， 答：法华塔的高度约为41.1米 10.(1)7.6米 (2)解：正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 如图，正方形DEFG扩大2倍后为正方形DE'FG', 则新正方形边长DE'=1.8×2=3.6米， G E' B 在RtaD'E'N中，∠E'D'N=26.5°， 由cos∠E'DN=D' DN得，D'W=DE' 3.6=4.0(米)， c0s26.5°0.90 DH=DN+NH=4.0+3.0=7.0(米)， 由(1)得NH=3.0米，M=6.8米， .MH<D'H, .不能继续利用该传送带运输， 答：正方形DEFG的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输， 题型六几何综合题 1.(I)证明：BA=BC,DA=DE ABCB :AD DE 又∠ADE=∠ABC, .△ABCAADE, AC AB CB .∠BAC=∠DAE,AE AD DE, 试卷第7页（共32页） AEAC ∴，∠EAC=∠DAB,ADAB, ∴，△EACOADAB,即△DBA∽△ECA: (2)解：①，△EAC△DAB, ∠ACE=∠ABD 又∠AOC=∠DOB, ,.∴△AOCDOB. CO BO .A0D0, 又∠BOC=∠DOA, .△BOC∽△DOA, OB BC .ODDA· AC AB AEAD:AB=CB' AC CB .AE AD, OBBCAC ·OD DA AE, 又AE=2,AC=4, 882 ②过A作AH⊥CD于H, B E C 在RtACH中，MI=AC2-CH2=4-B+EH)} 在Rt△AEH中，AH=AE2-EH=22-EH, :4-(3+EH}=2-EH 试卷第8页（共32页） 解得EH= 2, 在RtADH中， r=0-0m=A0-(40- 在RAAB中，=4E-B-2-目 0-(0---.m- 解得AD=4, 15 sin∠ADH=H= 2=5 AD 48' .∠ADH=∠ABC ·sin∠ABC=sin∠ADH= 8· 2.(I)解：①△AEC∽aMAW,理由如下： :四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ,AE⊥BC, ,AE⊥AD, 又：MN⊥AC, ∴.∠N+∠NMA=90°，∠N+∠CAE=90°， ∴.∠NMA=∠CAE, ,∠AEC=∠MAW=90°， ∴.△AECOAMAN, △APNAMAN,理由如下： ,∠N+∠CAE=90°，∠CAE+∠ACE=90°， .∠N=∠ACE. .∠NPA=∠CEA=90°， ∴.△APN∽aAEC: ②△ABE与△MAN不一定相似，当△ABE∽aNMA时， 试卷第9页（共32页） ,△ABEACAE, AEBEAB ∴CE AE AC, AE2=CE·BE=BE·(8-BE) 又：AE2=AB2-BE2, AB2-BE2=BE(8-BE) :AD=8,CD=5 52-BE2=BE·(8-BE) :BE=25 8 AE=,5 25)2 5v39 8 8, ,△ABEACAE, .∠B=LCAE, ,∠B+∠BAE=90°， ∴.∠BAE+∠CAE=90°，即∠BAC=90°， :4C=V82-52=V39 AP=V39 2， :△ABEANPA, 25 8 5 .BE_AB,即√39NA, AP NA 2 NA=439 5， ,△ABESANMA, 试卷第10页（共32页） 5v39 AE =8=25 :NA 43932 5 当△BAE∽NMA时， ∴.△BAEACAESANAP, ∴.∠B=∠N=∠ACE, .AB=AC=5 :BE-IBC=4. 2 1=V53-4=3 ,MN垂直平分AC, 2 2 .'△BAEANAP, 5=3 、4B=4E,即M NA AP 2 :M-25 6 △BAE∽NMA, BE=4=24 .M2525, 6 ∴.△ABE与△MAW不一定相似，如果它与△AMN相似，相似比为25：32或24：25： (2)解：连接CW, :AE⊥BC,AE=EN, ..AC=CN, NM垂直平分AC, .AN=CN, .AC=CN=AN, .△ANC是等边三角形， AE⊥BC, 试卷第11页（共32页） ,∠ACE=30° 设AE=x,则AC=2x, .CE=Bx BE=8-3x 在RIAABE中，+8-V3x=5. 4V3±3 解得=2， 2AE=x=4W3+3BE=8-3x=8-V3×Y3+3=2-3V3 -<0 2时， 2 2,不合题意， 4V3-3 当E=45-3时，6=8-5x=8-5x45-3-2+35>0,如∠B=4想-245-3 2 2 2 AB 5 10 A M B E 3.(1)解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4, tan 4=BC=4,LA+ABC=909,∠DC4+∠DCB=909 AC 3 AB=AC2+BC2=5 AC∥DE, .∠DCA=∠CDE,∠BDE=∠A, ∴.tan∠BDE=tanA=4 38 :∠CDE=∠A, ,∠DCA=∠A, .∠DCB=∠DBC, ,AD=CD=BD=5AB=之 2 试卷第12页（共32页） ,BE⊥AB, .∠DBE=90°， :tan∠BDE= BE4 BD3· :BE=4BD=10 3 3 C (2)解： DE的值保持不变，为定值5，理由如下： 如图所示，连接CE :在△ABC中，∠ACB=90°， ∴.∠A+∠ABC=90°， ,BE⊥AB, ∴.∠DBE=90° ∴.∠DBC+∠EBC=90°， .∠EBC=∠A, 又，∠A=∠CDE, ∴.∠CDE=∠EBC, ∴B、D、C、E四点共圆， ∴.∠DCE=180°-∠DBE=90°， CD :.DE =cos∠CDE=cosA=AC=3 AB 5 CD 3 DE的值保持不变，为定值5： D (3)解：如图所示，当点F在点A下方时， 如图所示，过点D作DH⊥AC于点H,连接CE, 试卷第13页（共32页） E .∠CDE=∠A<90°， .∠CDF=180°-∠CDE>90°， :当△CDF是等腰三角形时，只存在DC=DF这种情况， .∠DCF=∠DFC: .DH⊥AC, cH-F-cF: :∠CDB=∠CDE+∠BDE=∠CAB+∠ACD, .∠BDE=∠ACD 又，∠BDE=∠ADF, .∠ADF=∠AFD, ∴.AD=AF: AH3cos∠DAH=A3 在RtADH中，tan∠DAH=DH-4,。 AD 5, AH=3x,DH =4x,AD=AF=5x, ..CH=FH=AF+AH=8x. ..AC=AH+CH=11x=3. 3 .x= 119 CD-D+CH-(4x)+(8x)-4/5x=1 11, :DF=CD=125 11, CD 3 由(2)得DE5: 试卷第14页（共32页） DE-5CD-205 3 1, EF=DE+DF=3 11； 如图所示，当点F在点C上方时，连接CE, E D ∠FCD=∠BCF+∠BCD=180°-∠ACB+∠BCD=90°+∠BCD>90° :,当△CDF是等腰三角形时，只存在CF=CD这种情况， .∠CDE=∠A,∠ECD=90° .tan∠CDE= CE 4 tan 4=- CD 3 ..CE CD, ,∠CED<90° .∠CEF=180°-∠CED>90°. :.CF>CE>CD(大角对大边)， 此种情况不成立： 32√5 综上所述，EF的长为11， 4.(1)解：当点B与点B重合时，如图所示： D B(E) 试卷第15页（共32页） ,△DCFn△DEC, CD CF DF DE CE CD' ·CD=AB=25.BC=CE=2 :.BD=DE=VBC2+CD2=22+23=16=4,, 23 CF DF 4223, 解得 CF=3 DF=3 ∴.四边形DECF的面积为： CE.CD+CF.DF-x2x2+xx3- 2 2 (2)解：作EH⊥CD于H如图所示： D H F sin∠EDH= EH 2 DEDE· ,DE增大， sin∠EDH=2 E减小， :·△DCF∽△DEC,点C、F分别与点E、C对应， ∴.∠EDF=2∠EDH,∠F=∠DCE, ∴.∠EDF减小： .△DCF∽△DEC, CD DF 23 DF .DECD.即DE23,得DF2 DE, DE增大， DF减小： 试卷第16页（共32页） :tan∠ECH= EH 2 CHCH :CH减小， 2 tan∠ECH= CH增大： ∴.tan∠DFC增大， 综上：增大的是③，减小的是①② (3)解：1、如图所示：当CD平分EF时，记CD与EF的交点为O,EO=OF Gh C △DCF∽△DEC, .∠CDE=∠CDF, :CD是∠EOF的角平分线， .EO=OF S.OED=S.OFD 过点O作OG⊥DE,OH⊥DF,则OG=OH, .DE =DF, ∴.△DEF是等腰三角形， ∴.CD是EF的垂直平分线， ..CE=CF, ∴.aOCE和aOCF关于CD对称， ∴，∠CED=∠ECD=∠CFD=∠FCD, .DE=DF=CD. .E0=OF=2, ED=DC=2√5 .4E=VED2-E0=25-22=22 试卷第17页（共32页） 2、如图所示：当EF平分CD时， D0=C0=v3 取DF中点P,连接CP交EF于Q, △DCF∽△DEC, ED CD ·∠EDC=∠CDF,DCDF, ED CD ∴DODP, ∴，△EDO∽△CDP, .∠DEO=∠DCP .·∠EOD=∠CO0 ∴AEOD∽△COQ, ..ACOOACDP CP DC :.co OC' ,Q是△CDF中线的交点， ..CO:PO=2:1,CO:CP=2:3 3k_2V3 设CQ=2k,CP=3k,√32k, 解得k=1,则CQ=2,CP=3, △EOD∽△CO9, EO ED coco 设4E=x,则DM=x,OM=V5-x 试卷第18页（共32页） E0=N5-x+2,ED=F+4, 3-+2 3 +4，解得 2 =4v3±4v2 E在AB边上， .0<x<25 ,AE=4V3-42 4B=22或4V5-4W2 或 5.I)证明：：四边形ABCD为菱形， ∴，AB=AD,∠ABE=∠ADF, AE⊥BC,AF⊥CD, .∠AEB=∠AFD=90°， 在△ABE和△ADF中， ∠AEB=∠AFD=90° ∠ABE=∠ADF AB=AD △ABE≌△ADF(AAS) ∴.BE=DF, ·∠MBE=,∠ABE、∠NDF=,∠ADR 21 ∴.∠MBE=∠NDF, 在△BME和△DNF中， ∠MBE=∠NDF BE=DF ∠AEB=∠AFD=90°' △BME≌A△DNF(ASA) ∴.BM=DW 试卷第19页（共32页） (2)解：如图， A E .EN∥AB,∠BMA=∠NME. .△BAMr△NEM, EN MN ·.ABBM, 又，EN∥CD,∠NBE=∠DBC, ∴.△BNEABDC, EN BN CD BD' .AB=CD. MN BN .BMBD· 设MN=a,BM=b. aa+b .ba+2b’ ∴.a2+2ab=ab+b2, .a2+ab-b2=0, a=-b生B+46b±56 解得： 2 2, a>0. 2 .COS LABC-BE=BE_BN_MN_a 5-1 AB BC BD BM b2· (3)解：如图，连接AC交MN于点O, 试卷第20页（共32页） H A B O D 、.网边形CEW0= 1 S五边形CFNME= 2, 设SAAM0=x, ∴，S&ABC0=S△ABM+S△AM0=1+x, SABOC =SAABO=1+x, :Say=Sac-S边形E0=+x- 1 二=x+ 2 2 :∠BME=∠AMO,∠BEM=∠AOM=90°， ∴.△BME∽△AMO, 1 BE)2 x+ 2 SAMO AO) .:∠EAC=∠OMA,∠AEC=∠AOM ,△AEC∽△AOM, AE 2 x+ 2, S.AOM ∴.BE=AE, .∠BAE=∠ABE=45°. 过点M作MH⊥AB, ∴.AH=HM, ∴.AM=V2HM, ,'∠ABM=∠EBM, 试卷第21页（共32页） ∴.HM=EM, SABEM EM 12 ,1V2 ∴.SABEM=x+)= 22 .SAuo =x=12-1 2, :S菱on=4(w+S4o)=4x1+ 2-1=2+22 2 6.(1)解：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABP=∠C=90°，AD‖BC,AB=CD ,将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处， .∠AEP=90°，BP=EP=4,EA=AB=CD 即∠FEP=90°. ,PF=5, EF=V52-4-3 ...AD II BC. ∴.△ADE∽△FPE, 、AD DE AE FP PE FE AD DE AE 即5=43· .'∠FEP=∠C=90°，∠EPF=∠CPD, ∴.△EPFOACPD CP PD CD ·EP PF EF, CP PD CD 即4=5=3， .EA=CD AECD .3=3 试卷第22页（共32页） AD DE CP PD 即5445· AD DE CP PD 设5=445 =k .AD=PD=5k,DE=CP=4k. .PD=DE+PE=4k+4=5k, .k=4, .AD=PD=5k=20,DE=CP=4k=16, DE AE 43” 16_AE .43· .AE=12, 即AB=12, ∴.四边形ABCD的面积=AB×AD=12×20=240: (2)解：：将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处，BP=1 ∴.∠APB=∠APE,BP=EP=1, :BP=1,CP=2, .BC=3 .ABCD, .AD‖BC,AD=BC=3, .∠APB=∠DAP,∠ADP=∠DPC, 即∠APE=∠DAP, ∴.PD=AD=3, ,DE=2, AD‖BC ∴.△ADE∽AFPE, AD DE FPPE 32 即那=i, 试卷第23页（共32页） 解得P3 .FC= 2 如图，连接CE, D 111111 设△PEF的面积是3S,则△CEF的面积是S, ,∴.△CEP的面积是4S ,EP=1,DE=2, ∴.△CED的面积是8S, 3 :四边形CDEF的面积是2， 3 六△CED的面积是2-S, 即8S3 解得：S=」 6 △CEP的面积是4S= ，△CED的面积是85= 六aC0P能面积是号+号-2。 作DG⊥BC交BC延长线于G, 则S三)PCxDG=x2xDG=2 2 解得：DG=2, .PD=3 .sin∠DPC=DG2 DP 3 :∠ADP=∠DPC, 试卷第24页（共32页） .sin∠ADp=2 : (3)解：，将△APB沿直线AP翻折，点B落在PD上的点E处， .∠APB=∠APE,BP=EP,∠BAP=∠EAP,△ABP≌△AEP,AB=AP=AE, .oABCD. .ADII BC,AD=BC, ∴.∠APB=∠DAP,∠ADP=∠DPC, 即∠APE=∠DAP, .PD=AD, AB=AP, .∠APB=∠ABP, 即∠APB=∠ABP=∠APE=∠DAP, ∴.△ABPADAP, AB BP AP ADAP DP ,△ABP≌△AEP, ∴.△AEP∽ADAP AE EP AP ·ADAP=DP AB BP AP AE EP 即AD AP DP AD AP, AB 设ADx,AD=a:则PD=AD=a AB AP AD DP' ..4p a, 即AP=ax, AB BP EP ADAP AP' .BP=EP=AB ·AP=aar=a2x. AD ED=PD-PE=a-ax2=a(1-x2) 试卷第25页（共32页） ,ED>0,a>0, ∴.1-x2>0, 即x2<1, .AD=BC=a,BP=a'x, CP=BC-BP=a-ax2=a(1-x2) 如图，当点F在线段PC上时， E :c-号a-e) AD‖BC, .△ADE△FPE, AD DE FP PE' a a1-x2) 0- 3 1-x2 即21-x2)x2, :3x2=2-x, 整理得2x4-7x2+2=0, x2=7±v33 解关于x2的方程 4, 试卷第26页（共32页） x2<1, :22厨 4 _14-2V33 8 11+3-2√33 8 （而+(3-233 P （而-5 8 (-3 .x=8 √i-5 2W2 √22-V6 4, AB22-√6 即AD 4; 如图，当点F在线段PC的延长线上时， D E CF-TPF PF=2PC=2a(1-x2) :AD‖BC 试卷第27页（共32页） ,△ADESAFPE, AD DE .FPPE’ a1-x2) :.2a(1-x2 ax2, 1 (（1-x2） 即21-x2x2， =2-x 整理得2x4-5x2+2=0, 解关于的方程得-2 x2<1, AB√2 即AD2 7.(1)解：如图所示： A ,△DEF是等腰直角三角形， .∠DFE=∠DEF=45°，DE=DF,∠EDF=90° EF∥BC, ∴∠BDE=∠DEF=45°， .∠C=45° .∠C=∠BDE=45° 试卷第28页（共32页） .DE∥AC, .,△BDEABCA, BE ED ·BAAC AC-42,BC-6,4E=2BE 1 ED .34N2 ED=4 3， DBr的面积为D=×216 1 2x9=9: (2)解：由题知：P不可能在AB上， “P可能在AC,BC上： 当P在AC上且与F重合时， 如图所示：过点A作AH⊥BC,过点E作EN⊥BC,过点F作FM⊥BC, .∠C=45°」 ∴.∠C=∠CAH=45°， .AH-CH= >AC=Y2×4√2=4 2 ∴.BH=BC-CH=6-4=2, :B=V22+4=2W5 B NHD M .tan B=AH EN BH BN =2. .AE=2BE. 试卷第29页（共32页） BE=25 3, EN∥AH, ∴.△BENBAH, AH AB BH EN BE BN =3 w-m子w 3 3 :∠END=∠FMD=90°，∠EDN=∠DFM=90°-∠FDM,DE=DF, △END≌ADMF(AAS) .DM EN=4 3 ND=FM=CM 0=w-6号2-2 此时BD=8 当在C上且与C重合时，如图所示：由上得4B=25 ÷BN=,EN=DM= 3 设ND=n,则FM=n, Mc=6-24 33 n=4-n, EN FM NC MC' 试卷第30页（共32页） 4 3 n 6-24n, 3 4 .ns 5, 此时BD=22 15· 2≤BD< 8 :F落在。4BC内部（不含边界），1 3: (3)解：当∠DCF=90°时，如图所示： 由上得BN= 3.EN-DC-4 .ND=CF=4, :D=am+Dm-等而， 由题知：∠DEF=∠EFD=∠ACB=∠FCA=45°， ∠PSF=∠DSC, ..APSFADSC. PS SF .DS CS' .∠PSD=∠CSF, ∴.PSDAFSC, ∴.∠PDF=∠FCP=45°. ∴.∠EDP=∠DEP=45°， .EP=DP,∠EPD=90° ,Dp-2DE-2x40.4 2 23 , 当∠DFC=90°时，如图所示： 试卷第31页（共32页） BN DM >C 由上得BN三专，EN=D(≈4 3, 设ND=m,则FM=m,MC=4-m, :∠DFC=∠FMD=∠FMC=90°，∠CFM=∠FDM=90°-∠DFM, ∴.ACMF△FMD. FM CM DM FM' ∴.FM2=DM.CM, m等4-网 .m=-2±23 3, .WD=-2+23 3， .CD-6-BN-DN-6-2/1 3, 由题知：∠PFD=135,∠PCD=45°， .P、F、D、C四点共圆， :∠PFC=180°-∠EFD-∠DFC=45°， .∠PFC=∠PDC=45° .w-Go 3, 当∠FDC=90°时，不符合： 试卷第32页（共32页） DP=45 V2-V26 综上： 3或 . 8.(I)解：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC, E 1 、m=21BDE AB·DEAD 则： LBC-DF BC.DF CD, AB AD BC CD' .DE DF, ∴.BD平分∠ABC, ,∠ABD=∠CBD； (2)解：①：∠C=90°， ..sin4=BC3 AB5 设8C=3张，AB=5光，则4C=V-Bc-4 AB AD AD 5 'Bc=CD,即CD3, .CD=3 3 AC=k. 8 2 BD=BC2+CD=3 -k 2 由(I)知：∠ABD=∠CBD, ∴.tan∠ABD=tan∠CBD, ,ED⊥BD,∠C=90°，tan∠ABD=tan∠CBD, 试卷第33页（共32页） DE CD 1 ·BDBC2 DE=1BD-35 21 4 -E0-3535k=5 224 ..k=4 3(负值舍去)： 4C=4k=4x4-16 33: ②作DF⊥AB于点F, A E ,∠ABD=∠CBD,∠ACB=90°， .DF=CD. 又，BD=BD. :,RIABCD≌RIABFD(直角三角形全等的判定定理)， ∴BC=BF, ∴AB-BC=AB-BF=AF=y, ,∠ABC=2∠DAE, .∠CBD=∠ABD=∠DAE, 又：∠ADE=∠ADB ∴.△ADEn△BDA, AD DE :BD AD' .AD2=DE·BD, ,E为BD中点，BE=x, .DE =x,BD=2x, .AD2=x2x=2x2, 试卷第34页（共32页） AD=2x 连接CE, :∠ACB=90°，E为BD中点， .CE-3BD-BE-DE-x ∴.∠BCE=∠CBD=∠DAE. ∴.∠DAE+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°， ∴∠AEC=90°=∠ACB. .△AECr△BCD. EC AC ·CDBD' ∴.AC·CD=ECBD (AD+CD)-CD-EC.BDx+CD)-CD-2 CD=1o- 解 D=-/10-/2 2或 2 (舍去)， BC=BD2-CD-5+ix AB AD BC-CD' y+5+1x 2x AF+BF AF+BC AD BC BC CD ,即： W5+1xi0-2x, 2 ÷J=W5-ircx>0). 9.(1)①证明：：BD是边AC上的高， ∴.∠ADC=∠BDC=90°， .∠ABC=90° ∴.∠A+∠C=∠CBD+∠C=90°， .∠A=∠CBD ..AADCABDC. 试卷第35页（共32页） AD BD .BDCD· ∴，BD2=ADCD: ②如图，分别过点C,D作CG⊥DF,DH⊥CF, A D B F H AD=AE,CF=CD,EF=DF, ∴.∠AED=∠ADE,∠CDF=∠CFD,∠FED=∠FDE,△AED,aEFD,aCDF都是等腰三角形， &DG=FG,∠DCG=∠FCG=)∠4CB. 2 设∠AED=∠ADE=a,∠CDF=∠CFD=B,∠FED=∠FDE=y, 则∠ACB=180°-2p,∠FEB=180°-a-y,a+B+y=180°， ∠FEB=B=∠CFD. 在△BEF与△HFD中， [∠B=∠DHF=90° ∠BEF=∠DFH EF=DE △BEF≌△HFD(A,A,S) 、BE=FH,BF=DH, tanZEFB= 1 BE 1 .BF-2 设BE=x,BF=2x,则BE=FH=x,BF=DH=2x, EF-DF=FH+DI-5x :aCDF是等腰三角形，CG⊥DF, 试卷第36页（共32页） FG-DG-1DF-5 x 2 2 :∠BEF=∠CFG=B,∠B=∠CGF=90°， ,△BEF∽aGFC, BEE旺，即5CF, -x FG CF 2 ..CF=3x 5 2 3 ..CH=CF-FH= 2 3 .'.cotC= CH 2 (2)解：如图，过点A作AM⊥OB, 0 M B H G 设∠ABD=∠ACB=a,∠ADB=B, :∠BAC=∠BAC,∠ABD=∠ACB, .△ABDP△ACB, AB AD .∠ADB=∠ABC=B,ACAB· 、∠CBD=∠ABC-∠ABD=B-&, BC=BG, ∴.∠G=∠BCG ∠G+∠BCG=∠CBD. ∴∠G=∠BCG=，∠CBD=B-a 1 2 2 试卷第37页（共32页） ∴∠ACH=∠ACB+∠BCG=a+B-&-B+a 2 2， :BC=BG,点H是CG的中点， ∴.BH⊥CG,即∠BHC=90°， 20M=0-∠cG=90.B22,20-0-∠4CH=0.A50 2 m=1wr-c-0m=sw-a-w.82）-w8告 .∠0=∠AB0 ..OA=AB, AB AD AC AB' OAAD :.AC-OA' :点D是AC的中点， .4D= 2C, 1 ACOA :0P=号4ce 2 :0A -AC 2 ,即AC=V20A, ,∠0MA=∠OHC=90°，L0=∠0， ..AOAMAOCH. OA OM .0C0H, OM OA OAOA 1 OOC0AC0 Sw=（2-1=3-22 S.con 试卷第38页（共32页） 设5m=a则8m3-2万-6+2， .OA=AB,AM⊥OB, .0B=2OM, .S.oum=2a o1=94c4D-c 21 21 0A=V2AD,即D= 2 .0D=0A+AD-2+50M 2 242- 5.m .S.com +50=2+52+2x6-25)=2-2 (3+2W2)a3+2V2 试卷第39页（共32页） 专题01 三角初步在一模考试中的常考题型 题型一 三角函数的概念 题型二 特殊角的三角函数 题型三 解直角三角形 题型四 解非直角三角形 题型五 解直角三角形的应用 题型六 几何综合题 题型一 三角函数的概念 1．（2026·上海·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·一模）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosA等于（　　） A． B． C． D． 4．（2026·上海·一模）已知点为抛物线上一点，如果点的横坐标为，记与轴的夹角为，那么为（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 5．（2026·上海·一模）在平面直角坐标系中，已知点、，则正弦值是________． 6．（2026·上海·一模）在中，的余弦值是，那么的长是___________． 7．（2026·上海·一模）如图，由6个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为1，，点、、都在格点上，那么的值是____________． 8．（2026·上海·一模）如果一个直角三角形的某一边长恰好是另两边长之和的一半，那么该三角形较小锐角的正弦值是________． 题型二 特殊角的三角函数 1．（2026·上海·一模）如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·上海·一模）______． 3．（2026·上海·一模）计算：______． 4．（2026·上海·一模）计算：． 5．（2026·上海·一模）计算： 6．（2026·上海·一模）计算：． 7．（2026·上海·一模）计算：． 8．（2026·上海·一模）计算：． 题型三 解直角三角形 1．（2026·上海·一模）在中，（是锐角），，那么的长为__________． 2．（2026·上海·一模）已知一副三角板中，含三角板的斜边（）与含三角板的长直角边（）相等．如图，将一副三角板拼在一起，点、、在一条直线上，那么的值是__________． 3．（2026·上海·一模）如图，在中，，为中线，点E在边上，．如果，，那么___________． 4．（2026·上海·一模）将一副直角三角板如图放置，已知，，，，点在边上，点E，F在边上，如果，那么的长为__________． 5．（2026·上海·一模）如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为___________． 6．（2026·上海·一模）已知中，，点、分别在边、上，如果与相似，且是等腰三角形，那么的值是___________． 题型四 解非直角三角形 1．（2026·上海·一模）已知中，，，，那么的长为______． 2．（2026·上海·一模）如图，在中，是的中线，，，，那么的长为____． 3．（2026·上海·一模）在中，（是锐角），，那么的长为__________． 4．（2026·上海·一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“差直三角形”，在中，，，，如果是“差直三角形”，那么的长为__________． 5．（2026·上海·一模）如图，在中，．点在边上，连接，将沿翻折得到，点对应点，连接，如果，那么的长是___________． 6．（2026·上海·一模）如图，在中，，将绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．如果，那么的长为_______． 7．（2026·上海·一模）我们把一个三角形一条边上的中线与另一条边上的高的交点称为这个三角形的中垂点．已知在中，，，为边上的高，点O在上，连接并延长交于点E，如果点O是的中垂点，那么的值为___________． 8．（2026·上海·一模）如图，已知中，，，．点M是中点，点D在边上，连接，将沿着直线翻折，点B的对应点为点E．连接，如果，那么的度数为________． 9．（2026·上海·一模）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点分别与点对应，边分别与原三角形底边交于点．当是等腰三角形时，的长为_________． 10．（2026·上海·一模）如图，在中，，，，是的中点．是线段延长线上一点，连接，如果四边形的一组对角相等且另一组对角不相等，那么的长是___________． 题型五 解直角三角形的应用 1．（2026·上海·一模）一传送带和地面所成斜坡的坡比为，如果要把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（    ） A．12米 B．13米 C．24米 D．26米 2．（2026·上海·一模）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从点处传送到斜坡高处，物体沿斜坡方向向上所经过的路程为26米，那么此时物体离地面的高度为（   ） A．5米 B．10米 C．12米 D．13米 3．（2026·上海·一模）小明和小丽家在同一幢楼，小明住8楼，小丽住9楼．小明在家里看对面一幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为；而小丽在家里看对面这幢楼的顶部处的仰角为，看底部处的俯角为，那么下列结论中，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．（2026·上海·一模）某公园有一秋千，如图所示，将秋千从与竖直方向夹角为的位置处释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为的地方，在某次秋千释放的过程中，已知，且两侧位置的高度差为米，根据信息可求出秋千的长度为_______米． 5．（2026·上海·一模）如图，从甲楼的一窗口观测点处测得乙楼的楼顶端的仰角是，那么从乙楼顶端处看处的俯角是___________°． 6．（2026·上海·一模）如图，监测点在距离道路的100米处，道路上的货车在监测点的北偏西的方向．道路上的汽车B在监测点的东北方向，此时货车A和汽车B相距___________米（结果保留根号）． 7．（2026·上海·一模）如图，为了测量学校教学楼的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为，再沿方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 8．（2026·上海·一模）如图，已知水平地面上方有一水平的平台，该平台上有一个竖直的建筑物，满足．从到处的斜坡的坡度，且米．已知在处测得建筑物顶端的仰角为，在处测得的仰角为．假设在同一竖直平面内． (1)求平台的高度． (2)求建筑物的高度．（结果保留根号） 9．（2026·上海·一模）上海市嘉定区法华塔被列为上海市文物保护单位，是“教化嘉定”的重要象征．小海想利用所学知识测量法华塔的高度，由于法华塔被防护栏保护起来，小海只能在防护栏外进行测量．如图，小海在处用测角仪测得塔顶的仰角为，再往塔的方向前进30米至处（点为塔底中心，且点在同一水平线上），测得此时塔顶的仰角为，已知测角仪的高度为1.5米．请估算法华塔的高度． （参考数据：，结果精确到0.1米）． 10．（2026·上海·一模）如图，某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为米的正方形．点为仓库卷帘门打开的最高位置，点、、在同一直线上，点到地面的距离为5米． (1)求的长（精确到米）； (2)已知到地面的距离为米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）．（参考数据：） 题型六 几何综合题 1．（2026·上海·一模）如图1，在和中，点在内，，，连接，和，与相交于点． (1)求证：； (2)已知，，如图2，当三点共线时， ①求的值： ②如果，求的正弦值． 2．（2026·上海·一模）如图，在中，是锐角，，垂足为E，对角线垂直平分线交于点M，交的延长线于点N，交于点P．已知． (1)在中， ①写出与一定相似的三角形，并选一对说明理由； ②写出与不一定相似的三角形，如果它与相似，求出它们的相似比． (2)如果，求的正弦值． 3．（2026·上海·一模）如图，已知，，，，是边上一点（不与点A、B重合），，且． (1)当时，的长； (2)当点在边上运动时，的值是否保持不变，如果不变，试求出这个不变的值；如果会发生变化，试说明理由； (3)当直线与直线相交时，记交点为点，如果是等腰三角形，求的长． 4．（2026·上海·一模）如图，已知矩形中，点E是边上一动点，在右侧作，使得，其中点C、F分别与点E、C对应．已知，． (1)当点E与点B重合时，求四边形的面积； (2)点E由点A向点B移动的过程中（点E不与点B重合），研究以下3个量的变化情况，完成填空并说明编号为②的量的变化情况的理由： ①的大小；②的长度；③的值． 其中，变大的量是___________；变小的量是___________．（请在横线处填入编号） (3)当四边形的一条对角线平分另一条对角线时，求的长． 5．（2026·上海·一模）如图，过菱形顶点A分别作边、的垂线，垂足为E、F，交对角线于点M、N． (1)求证：； (2)连接，如果，求的值； (3)如果与五边形的面积均为1，求菱形的面积． 6．（2026·上海·一模）在中，是边上一点，将沿直线翻折，点落在上的点处，的延长线交射线于点． (1)如图1，当四边形是矩形时，如果，，求四边形的面积； (2)如图2， 如果， ，四边形的面积是，求的正弦值； (3)如果且 ，求的值． 7．（2026·上海·一模）如图，在中，，点在边上且，点是边上的动点，以为直角顶点；为腰在其右侧作等腰直角三角形，射线与边交于点． (1)当时，求的面积； (2)当点落在内部（不含边界）时，求的取值范围； (3)连接，如果是直角三角形，请直接写出的长． 8．（2026·上海·一模）如图1，在中，为边上一点，始终满足． (1)求证：． (2)在中，当时． ①如图2，已知，过点作交于点，若的面积为5，求长． ②如图3，为中点，如，设长为，记与的差为，求关于的函数关系式及函数定义域． 9．（2026·上海·一模）如图，已知在中，点是边上的一点． (1)当时． ①如图1，是边上的高，求证：； ②如图2，，点在边上，且，顺次连接．如果，求的值． (2)如图3，如果点是边的中点，，点在线段延长线上，且，连接，取中点，分别延长交于点，求的值． 试卷第2页（共11页） 试卷第1页（共11页） 学科网（北京）股份有限公司 $