第三章 排列组合与二项式定理（单元分层自测·基础通关卷）数学人教B版高二选择性必修第二册

2026-2027学年高二年级数学单元自测 第三章 排列组合与二项式定理·基础通关 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D C C D C C 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 BC AC AB 三、 3、 填空题（共3小题，共15分） 12．/ 13．0.6/ 14．40 4、 解答题（共5小题，共77分） 15．（13分） 【详解】（1）由题意得，故．（5分） （2）由（1）知，， 故的展开式通项公式为，（9分） 令，解得，（11分） 所以展开式中的常数项为．（13分） 16．（15分） 【详解】（1）每个同学都有种选择， 则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为；（7分） （2）甲不能报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择， 所以不同的报名方法种数为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）从名学生中选4人参加一项活动，共有种选法.（5分） （2）从名学生中选4人参加一项活动，恰好有两名女生的选法种数为.（10分） （3）设为：“抽取4人中至少有1名女生” ，则.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）先从除工序外的5道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法， 再将剩余的5道工序全排列，有种不同的排法，（5分） 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序；（8分） （2）先排其余的4道工序，有种不同的排法，出现5个空位， 再将这2道工序插空，有种不同的排法，（12分） 所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题意得， 令，则有，（3分） 令，则有，（6分） 两式相减得， 即.（9分） （2）由题意得， 中含的项为，其系数为，（11分） 中含的项为，其系数为，（13分） 中含的项为，其系数为，（15分） 故中含项的系数为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第三章 排列组合与二项式定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（23-24高二下·山东烟台·开学考试）甲、乙两个班级分别有29名学生，30名学生，从两个班中选一名学生，则不同的选法有（    ） A．59种 B．29种 C．30种 D．种 2．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东江门·期中）学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．4种 D．种 4．（25-26高二下·江苏南通·期中）某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人担任成都外国语学校运动会学生代表发言，则选出的2人中恰有一个男生一个女生的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（2027·湖南衡阳·一模）某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 8．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）若的展开式中常数项为15，则（    ） A．2 B．1 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知为正整数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·全国·课后作业）给出下列问题，其中是组合问题的有（   ） A．把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法 B．从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数 C．从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法 D．5个人相互写一封信，共写了多少封信 11．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知二项式，则下列结论正确的有（     ） A．展开式中项系数为36 B．展开式中二项式系数的和为512 C．展开式中二项式系数最大项为第四项和第五项 D．展开式中所有二项式系数的第一四分位数为36 三、填空题 12．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出2个球，则两个球中没有红球的概率是______． 13．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）在5个人中选3个人去演讲，则甲被选中的概率为_____． 14．（2027·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为________． 四、解答题 15．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知的展开式中各项二项式系数之和为64． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 16．（24-25高二下·上海静安·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ 17．（25-26高二下·上海黄浦·期末）现有9名学生，其中有5名男生4名女生，若要从中选4人参加一项活动，求 (1)一共有几种选法： (2)抽取4人中恰好有两名女生的选法有几种： (3)抽取4人中至少有1名女生的概率． 18．（25-26高二下·安徽滁州·期中）某种产品的加工需要经过6道不同的工序（任意两道工序之间不能同时进行）.（以下问题结果用数字作答） (1)若工序不能放在最后，则不同的加工顺序有多少种？ (2)若工序不能相邻，则不同的加工顺序有多少种？ 19．（2027高三·全国·专题练习）已知． (1)若，求的值； (2)若，求中含项的系数 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学单元自测 第三章 排列组合与二项式定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（23-24高二下·山东烟台·开学考试）甲、乙两个班级分别有29名学生，30名学生，从两个班中选一名学生，则不同的选法有（    ） A．59种 B．29种 C．30种 D．种 【答案】A 【详解】分两类：第一类从甲班选有29种方法，第二类从乙班选有30种方法. 由分类加法计数原理得共有种不同方法. 2．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据二项式定理，其展开式通项公式为， 要求含项的系数，则令，解得， 所以系数为. 3．（25-26高二下·广东江门·期中）学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．4种 D．种 【答案】D 【详解】学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种， 则选法的可能方式共有种. 4．（25-26高二下·江苏南通·期中）某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由于任何两队间进行次主场比赛与次客场比赛， 所以一场比赛相当于从个不同元素中任取个元素的一个排列． 因此总共进行的比赛场次是． 5．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，. 6．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人担任成都外国语学校运动会学生代表发言，则选出的2人中恰有一个男生一个女生的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】恰有一个男生一个女生的概率为. 7．（2027·湖南衡阳·一模）某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 【答案】C 【详解】先从5人中选1人担任组长，再从其余4人中选2人参赛，共有种选派方法． 8．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）若的展开式中常数项为15，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】的展开式的通项公式为， 令，得，则，解得 二、多选题 9．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知为正整数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为，所以A错误； 因为，所以B正确； 因为，所以C正确； 因为，而 即，所以D错误. 10．（25-26高二下·全国·课后作业）给出下列问题，其中是组合问题的有（   ） A．把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法 B．从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数 C．从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法 D．5个人相互写一封信，共写了多少封信 【答案】AC 【详解】A中，因为4张票是相同的（都是当日动物园的门票），不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，与顺序无关，所以A是组合问题． B中，因为选出的2个数有角色差异（作分子与作分母），与顺序有关，所以B是排列问题． C中，因为选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序，所以C是组合问题． D中，因为发信人和收信人是有区别的，与顺序有关，所以D是排列问题． 11．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知二项式，则下列结论正确的有（     ） A．展开式中项系数为36 B．展开式中二项式系数的和为512 C．展开式中二项式系数最大项为第四项和第五项 D．展开式中所有二项式系数的第一四分位数为36 【答案】AB 【详解】二项式展开式通项为， 则展开式中项系数为，故A正确； 展开式中二项式系数的和为，故B正确； 当或时，二项式系数最大， 故展开式中二项式系数最大项为第五项和第六项，故C错误； 将展开式的所有二项式系数从小到大排序为，共10个数据， 因为，故第一四分位数为第个数，即，故D错误. 三、填空题 12．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出2个球，则两个球中没有红球的概率是______． 【答案】 / 【详解】从个不同的球中一次性摸出个，不考虑取球顺序， 等可能基本事件的总数为 . 设事件为“摸出的两个球中没有红球”，则事件等价于从黄、蓝、绿个非红球中摸出个， 所以事件包含的基本事件数为 . 根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率为. 13．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）在5个人中选3个人去演讲，则甲被选中的概率为_____． 【答案】0.6/ 【详解】由题意得，甲被选中的概率为 14．（2027·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为________． 【答案】40 【详解】在中，由二项式的展开式的通项公式可得， 所以展开式含的系数为， 乘以之后，得的系数为． 四、解答题 15．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知的展开式中各项二项式系数之和为64． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 【答案】(1)6 (2)15 【详解】（1）由题意得，故． （2）由（1）知，， 故的展开式通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为． 16．（24-25高二下·上海静安·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ 【答案】(1)81 (2)18 【分析】（1）根据分步计数原理求解； （2）甲有2种选择，乙有种选择，丙、丁各有种选择，根据分步计数原理求解. 【详解】（1）每个同学都有种选择， 则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为； （2）甲不能报项目，乙必须报项目，则丙、丁各有种选择， 所以不同的报名方法种数为. 17．（25-26高二下·上海黄浦·期末）现有9名学生，其中有5名男生4名女生，若要从中选4人参加一项活动，求 (1)一共有几种选法： (2)抽取4人中恰好有两名女生的选法有几种： (3)抽取4人中至少有1名女生的概率． 【答案】(1) 126 (2) 60 (3) 【详解】（1）从名学生中选4人参加一项活动，共有种选法. （2）从名学生中选4人参加一项活动，恰好有两名女生的选法种数为. （3）设为：“抽取4人中至少有1名女生” ，则. 18．（25-26高二下·安徽滁州·期中）某种产品的加工需要经过6道不同的工序（任意两道工序之间不能同时进行）.（以下问题结果用数字作答） (1)若工序不能放在最后，则不同的加工顺序有多少种？ (2)若工序不能相邻，则不同的加工顺序有多少种？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先从除工序外的5道工序中任选1道工序放在最后，再将剩余的5道工序全排列即可； （2）先排其余的4道工序，出现5个空位，再将这2道工序插空即可. 【详解】（1）先从除工序外的5道工序中任选1道工序放在最后，有种不同的排法， 再将剩余的5道工序全排列，有种不同的排法， 故由分步乘法原理可得，共有种加工顺序； （2）先排其余的4道工序，有种不同的排法，出现5个空位， 再将这2道工序插空，有种不同的排法， 所以由分步乘法原理可得，共有种加工顺序. 19．（2027高三·全国·专题练习）已知． (1)若，求的值； (2)若，求中含项的系数． 【答案】(1) (2)99 【分析】（1）利用“赋值法”分别令与，将两式相减消去偶数项，即可求得所有奇数项系数之和. （2）根据二项式定理分别计算出各个多项式中的系数，再按原式相加即可. 【详解】（1）由题意得， 令，则有， 令，则有， 两式相减得， 即. （2）由题意得， 中含的项为，其系数为， 中含的项为，其系数为， 中含的项为，其系数为， 故中含项的系数为 学科网（北京）股份有限公司7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第三章 排列组合与二项式定理·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（23-24高二下·山东烟台·开学考试）甲、乙两个班级分别有29名学生，30名学生，从两个班中选一名学生，则不同的选法有（    ） A．59种 B．29种 C．30种 D．种 2．（26-27高三上·北京东城·阶段检测）展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东江门·期中）学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（    ） A．种 B．种 C．4种 D．种 4．（25-26高二下·江苏南通·期中）某足球联赛共有13支球队参加，每队都要与其余各队在主、客场分别比赛1次，则共要进行比赛的场次数量为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·安徽滁州·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）现从2个男生2个女生共4人中任意选出2人担任成都外国语学校运动会学生代表发言，则选出的2人中恰有一个男生一个女生的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（2027·湖南衡阳·一模）某学习小组有5名学生，现从中选3人参加竞赛，并指定其中1人担任组长，则不同的选派方法共有（    ） A．10种 B．20种 C．30种 D．60种 8．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）若的展开式中常数项为15，则（    ） A．2 B．1 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知为正整数，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·全国·课后作业）给出下列问题，其中是组合问题的有（   ） A．把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法 B．从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数 C．从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法 D．5个人相互写一封信，共写了多少封信 11．（26-27高三上·山西长治·开学考试）已知二项式，则下列结论正确的有（     ） A．展开式中项系数为36 B．展开式中二项式系数的和为512 C．展开式中二项式系数最大项为第四项和第五项 D．展开式中所有二项式系数的第一四分位数为36 三、填空题 12．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出2个球，则两个球中没有红球的概率是______． 13．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）在5个人中选3个人去演讲，则甲被选中的概率为_____． 14．（2027·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为________． 四、解答题 15．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知的展开式中各项二项式系数之和为64． (1)求的值； (2)求展开式中的常数项． 16．（24-25高二下·上海静安·期中）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)甲不能报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法？ 17．（25-26高二下·上海黄浦·期末）现有9名学生，其中有5名男生4名女生，若要从中选4人参加一项活动，求 (1)一共有几种选法： (2)抽取4人中恰好有两名女生的选法有几种： (3)抽取4人中至少有1名女生的概率． 18．（25-26高二下·安徽滁州·期中）某种产品的加工需要经过6道不同的工序（任意两道工序之间不能同时进行）.（以下问题结果用数字作答） (1)若工序不能放在最后，则不同的加工顺序有多少种？ (2)若工序不能相邻，则不同的加工顺序有多少种？ 19．（2027高三·全国·专题练习）已知． (1)若，求的值； (2)若，求中含项的系数 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $