四 完美的图形——圆 第10周（拔尖学案）-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年六年级上册数学（青岛版·新教材）

第10周 综合拓展题用“整体法”求面积 。典例精析 。典例精析 例1如图，正方形的面积是64平 例2右图中，涂色部分的面积 方厘米，求圆的面积。 是25平方厘米，求圆环的面积。 [解析]观察题图可知，圆的直径 [解析]观察题图可知，涂色部分 等于正方形的对角线，用r表示圆的半径， 的面积等于大等腰直角三角形与小等腰直角 则正方形对角线的长是2r厘米。根据“正 三角形的面积的差，且大、小两个等腰直角三 方形的面积=对角线长度的平方÷2”可得， 角形的直角边的长分别等于大、小圆的半径， (2r)2÷2=64,即r2=32。再将r2=32直 所以可以用”表示小圆的半径，R表示大圆 接代入圆面积的计算公式进行求解即可。 的半径。根据涂色部分的面积为25平方厘 [答案]用r表示圆的半径。 米，可得R2÷2-r2÷2=25,即R2-r2=50。 (2r)2÷2=64r2=32 再根据圆环面积的求解方法，整体代入进行 3.14×32=100.48(平方厘米) 计算即可。 答：圆的面积是100.48平方厘米。 [答案]用x表示小圆的半径，R表示大圆 点评：求圆的面积一般都要知道其半径、直径或 的半径。(R2-r2)÷2=25R2-r2=50 周长，但有时只要知道2是多少，能更加快速地 3.14×50=157(平方厘米) 求出圆或其他与圆有关的图形的面积。这种方 答：圆环的面积是157平方厘米。 法称为“整体法”。 点评：解决与圆的面积有关的问题时，如果圆的 举一反 半径、直径或周长未知，那么要考虑运用“整体 1.下图中圆的面积是3140平方分米，求正 法”进行转化，将r2、R2一r2等数值看成一个整 体，直接代入算式中进行计算。 方形的面积。 举一反三 3.图中涂色部分的面积是16平方厘米，求 半圆环的面积。 2.已知正方形的面积是10平方厘米，求圆 环的面积。 19 思维创新题 圆滚动的问题 。典例精析 举一反三 如图所示为边长为100厘米的正方形， 1.如图，在一个边长为20厘米的正方形内 它的内侧有一个半径为20厘米的圆沿着边 侧有一个半径为3厘米的圆沿着正方形 长滚动一周，这个圆的圆心经过的总路程是 的四条边滚动一周回到原处，那么圆滚动 多少厘米？圆滚动不到的部分的面积是多 不到的部分的面积是多少平方厘米？圆 少平方厘米？ 心经过的总路程是多少厘米？ [解析]画出这个圆的滚动过程（如图）。这 个圆的圆心所经过的路程，就是边长为 100一20×2=60（厘米）的正方形ABCO的 周长；圆滚动不到的面积等于里面的边长为 2.如图，在一个长方形的外侧有一个直径为 100一20×2×2=20（厘米）的正方形的面积加 2厘米的圆沿着长方形的四条边滚动一 上大正方形四个角上的滚动不到部分的面积。 周回到原处，该圆滚动时扫过的面积是多 少平方厘米？ ① ② ③ [答案]100一20×2=60（厘米） 6厘米 60×4=240(厘米)》 圆滚动不到的里面正方形的边长为100 20×2×2=20(厘米) 3.如图，在一个三条边分别为6厘米、8厘 所以滚动不到的部分的面积为20×20+ 20× 米、10厘米的直角三角形外侧有一个半 径为1厘米的圆沿着三角形的三条边滚 20- 4×3.14×202×4=744(平方厘米) 动一周，该圆滚动时扫过的面积是多少平 答：这个圆的圆心经过的总路程是240厘米， 方厘米？圆心经过的总路程是多少厘米？ 圆滚动不到的部分的面积是744平方厘米。 点评：解决这种圆在图形内部滚动的问题时，先 试着将圆在图形内部各个角落的情况画出来，再 将圆整个滚动经过的地方补画出来，根据画出来 的图求解。求圆滚动不到的部分的面积的关键 在于弄清它由几部分组成，求圆心经过的总路程 的关键在于弄清圆心所走过的路线的形状。 203.6+3=9(cm) 60°×2 3.14×(92-62)× 360°=47.1(cm2) 答：扇环的面积是47.1cm2。 第10周 综合拓展题用“整体法”求面积 1.用r表示圆的半径。3.14×r2=3140 r2=10004r2÷2=2r2=2×1000=2000(平方分米) 答：正方形的面积为2000平方分米。 2.用r表示小圆的半径，R表示大圆的半径。 2r×2r=10r2=2.5R×R÷2×4=10R=5 3.14×(5-2.5)=7.85(平方厘米)》 答：圆环的面积是7.85平方厘米。 解析要求圆环的面积，需要分别求出大、小圆的面 积。用r表示小圆的半径，则正方形的边长是2r厘 米。根据题意可得，2r×2r=10,则r2=2.5。用R 表示大圆的半径，根据正方形的面积是10平方厘米， 可得R×R÷2×4=2R2=10,则R2=5,再将r2和 R的数值整体代入即可求出圆环的面积。 3.用R表示大半圆所在圆的半径，用r表示小半圆 所在圆的半径，则R2-r2=16。 3.14×16÷2=25.12(平方厘米) 答：半圆环的面积是25.12平方厘米。 解析用R表示大半圆所在圆的半径，用”表示小半 圆所在圆的半径，则半圆环的面积=[π(R2一r)÷ 2]平方厘米，而涂色部分的面积=(R2一r2)平方厘 米。已知涂色部分的面积，则利用整体代入法即可求 出半圆环的面积。 思维创新题圆滚动的问题 1.20-3×2×2=8(厘米) 圆滚动不到的部分的面积：8×8+(3×3一3.14× 32÷4)×4=71.74(平方厘米) 圆心经过的总路程：(20一3×2)×4=56（厘米） 答：圆滚动不到的部分的面积是71.74平方厘米，圆 心经过的总路程是56厘米。 2.1×2=2(厘米)6×2×2=24（平方厘米） 3×2×2=12(平方厘米)3.14×2=12.56（平方厘米） 24+12+12.56=48.56(平方厘米) 答：该圆滚动时扫过的面积是48.56平方厘米。 解析如图，这个圆沿着长方形的四条边滚动一周回 到原处，扫过的面积=2个长为6厘米、宽为2厘米 的长方形的面积十2个长为3厘米、宽为2厘米的长 方形的面积十1个半径为2厘米的圆的面积。 2厘米 剑 2 6厘米 3.10×2+8×2+6×2+3.14×1-51.14(平方厘米) 6+8+10+2×3.14×1=30.28(厘米) 答：该圆滚动时扫过的面积是51.14平方厘米，圆心 经过的总路程是30.28厘米。 五 中国的世界遗产一 解决问题 第11周 教材思考题较复杂的倒推问题 1.用x来表示车上原来有的肥料质量。 [(2x-35)×2-35]×2-35=0x=245 8 答：车上原来有吧料干克。 解析第一次行驶到苗圃和山坡后，车上肥料的千克 数为2x一35，第二次行驶到苗圃和山坡后，车上肥料 的千克数为(2.x一35)×2一35，第三次行驶到苗圃和 山坡后，车上肥料的千克数为[(2x-35)×2一35]× 2一35，此时车上肥料为0千克。 2.用x来表示原来瓶里的纯果汁。 [(2x-95)X2-95]×2-95=50x=715 8 715 答：原来瓶里有8毫升纯果汁。 思维创新题转化单位“1”的分数问题 11 1.78÷(1-1+21+31+4 1 =360(个) 答：四人一共做了360个风筝。 111 2.120×(1-1+21+31+4 1=26(克) 答：胭脂用了26克。 3.(60+60×）=1-3子)=168朵) 答：花园里这三种花一共有168朵。 解析牡丹与桂花朵数的比是3：4，桂花有60朵，所 以桂花与牡丹的朵数和是60十60× 3 =105。已知 圆季的朵数是其他两种花朵数和的三，则月季占三种 花格朵数的平5·所以维开与桂龙的养数和占三带花