福建省安溪第一中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情调研数学试卷

2026秋安溪一中初三年第一次学情调研数学试卷 一、单选题（共40分，每题4分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． 　B． 　C． 　D． 2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． 　B． 　C． 　D． 3．下列各式中，计算正确的是（　　） A． 　B． 　C． 　D． 4．下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． 　B． 　C． 　D． 5．下列一元二次方程两实数根的和为2的是（　　） A． 　B． 　C． 　D． 6．用配方法解方程，下列配方正确的是（　　） A． 　B． 　C． 　D． 7．已知、是方程的两根，则的值为（　　） A．2027 　B．2026 　C．2025 　D．2024 8．关于的方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． 　B． 　C．且 　D． 9．当时，化简的结果为（　　） A．3 　B． 　C． 　D．−5 10．二次根式化成最简结果为（　　） A． 　B． 　C． 　D． 二、填空题（共24分，每题4分） 11．代数式有意义时，实数的取值范围是________ 12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 13．若关于的二次方程的常数项等于0，则的值为________． 14．若是关于的一元二次方程的一个根，则________． 15．若关于的一元二次方程的其中一根为，则关于的方程必有一根为________． 16．已知方程：的一个根大于3，另一个根小于3，则的取值范围________． 三、解答题 17．计算（8分）(1)；(2) 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（16分）解下列一元二次方程 (1) (2) (3)（要求用配方法） (4) 20．（6分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰见如，，一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： (1)请直接写出化简结果________； (2)化简： 21．（8分）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求的取值范围． 22．（9分）．定义：如果是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是（填序号）．（把正确序号写在答题卡上） ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 23．（10分）阅读材料，根据上述材料解决以下问题： 材料1：我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：若一元二次方程的两个根为，则． 材料2：已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根． (1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则，； (2)应用探究：已知实数满足：且，求的值； (3)思维拓展：已知实数满足：，求的值． 24．（9分）在平面直角坐标系中，过原点及点作矩形，的平分线交于点．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿射线方向移动；同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向移动．设移动时间为秒． (1)填空：，（用含的代数式表示） (2)设的面积为，的面积为，当为何值时，的值为． (3)求当为何值时，为直角三角形． 25．（12分）阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想：转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是，，； (2)拓展：①已知方程，若设，可将原方程化为关于的方程： （直接写答案） ②解方程：． (3)应用：如图，已知矩形草坪的长，宽，小华把一根长为的绳子的一端固定在点，沿草坪边沿走到点处，把长绳段拉直并固定在点，然后沿草坪边沿走到点处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点．求的长． 答案第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案与解析 一、单选题（共 40 分，每题 4 分） 1．答案：D 解析：A 中 ，不含根号；B 中 被开方数含分母；C 中 被开方数是小数（即分数）；D 中 被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数，是最简二次根式。 2．答案：C 解析：化为最简二次根式后被开方数相同的为同类二次根式。，，，。只有 化简后被开方数为 ，与 是同类二次根式。 3．答案：D 解析：A 中 与 不是同类二次根式，不能合并；B 中 ；C 中 （算术平方根为非负）；D 中 ，正确。 4．答案：C 解析：A 含两个未知数 ，是二元方程；B 分母含未知数，是分式方程；C 符合一元二次方程的定义；D 未说明 ，当 时不是二次方程。 5．答案：B 解析：由韦达定理，两根之和为 。A 为 ；B 为 ，且 ，有两个实根；C 虽和为 ，但 ，无实根；D 为 。故选 B。 6．答案：A 解析：，移项得 ，两边加 得 ，即 。 7．答案：B 解析：因为 是方程 的根，所以 ，即 。由韦达定理 ，即 。于是 8．答案：A 解析：当 时，方程为 ，有实数根 ；当 时，方程为一元二次方程，需 ，即 ，解得 。综上 。 9．答案：A 解析：因为 ，所以 ，。 10．答案：B 解析：由 有意义知 ，故 。于是 二、填空题（共 24 分，每题 4 分） 11．答案： 解析：二次根式有意义需被开方数非负，即 ，解得 。 12．答案： 且 解析：方程有两个不相等的实数根，首先它必须是一元二次方程，即 ；其次 ，即 ，解得 。综上 且 。 13．答案： 解析：常数项 ，得 ；又因它是关于 的二次方程，二次项系数 ，即 。故 。 14．答案： 解析：把 代入方程得 ，；又一元二次方程要求 ，即 。故 。 15．答案： 解析：将第二个方程变形为 。令 ，则 。由已知该方程有一根 ，故 ，得 。 16．答案： 解析：设方程的两个根为 、（不妨设 ），则 与 异号，所以 ，展开得 。由根与系数的关系，，代入得 ，解得 。（此时判别式 ，方程确有两个不相等的实数根。） 三、解答题 17．（8 分）计算 解： （1） （2） 18．（8 分）先化简，再求值 解： 当 时， 19．（16 分）解下列一元二次方程 解： （1），移项得 ，开方得 ，所以 ，。 （2），提公因式得 ，所以 ，。 （3）（配方法）：移项得 ，两边加 得 ，即 ，开方得 ，所以 ，。 （4）：两边除以 得 ，配方得 ，开方得 ，所以 ，。 20．（6 分）分母有理化 解： （1） （2）利用 ，原式 21．（8 分） （1）证明： 因为 ，即 ，所以方程总有两个实数根。 （2）解：因式分解得 所以两根为 ，。因为 ，要使方程有一个根小于 ，只需 ，解得 。 22．（9 分）邻根方程 解： （1）① 的两根为 ，；② 有两个相等实根 ，差为 ；③ 的两根为 ，。故属于”邻根方程”的是 ③。 （2）方程 的两根为 和 ，由邻根方程定义 ，解得 或 。 （3）证明：因为 是邻根方程，所以 ，即 由韦达定理 ，，故 即 。于是 故 ，得证。 23．（10 分）韦达定理应用 解： （1）对于 ，由韦达定理 （2）因为 ，且 分别满足 ，，所以 是方程 的两个不相等实数根。于是 故 （3）由 可得 。又 ，且 （否则所求式恒为 ，与题意不符），所以 与 是方程 的两个不相等实数根。于是 故 24．（9 分）矩形中的动点问题 解：由题意，，，，所以 。，其平分线 为直线 。点 在射线 上，且 ，故 的坐标为 ；点 沿 轴正方向运动，，故 。 （1），。 （2） 中，以 为底，高为 点的纵坐标 ，故 中， 在 轴上，，高为 点纵坐标 ，故 由 ，分两种情况： 当 时，，即 ，解得 或 ，均不合 ； 当 时，，即 ，解得 。取正根 。 综上，当 时，。 （3），，。 若直角在 ：，得 ，舍去； 若直角在 ：，得 （ 舍去）； 若直角在 ：，即 ，解得 。 综上，当 或 或 时， 为直角三角形。 25．（12 分）阅读材料·转化思想 解： （1），所以 ，，。 （2）① 因为 ，所以 。原方程化为 ，即 。 ② 解方程 。 设 （），则 。原方程化为 即 。因为 ，所以 。于是 检验：当 时，左边 ，成立。故 。 （3）设 ，则 。在矩形 中，。 由题意 ，即 设 ，，则 。又 而 ，所以 。与 联立解得 于是 所以 。 答： 的长为 。 学科网（北京）股份有限公司 $