黑龙江省黑河市北安市九年级数学上学期课时作业（人教版九年级上册26.4实际问题与二次函数）

2026年人教版九年级数学26.4实际问题与二次函数分层作业设计 1、 作品基础信息 项目 填写内容 作品名称 26.4实际问题与二次函数分层专项训练作业 学段学科 初中数学 适用年级 九年级 教材版本 2026年人教版 对应内容 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 作业类型 课后分层巩固作业 完成时长 总时长40分钟 设计者 贾春奎 2、 设计背景与意图 1. 课标与教材分析 课标要求：本作业对应初中数学核心素养中的数学建模、运算能力、几何直观、推理能力，要求学生能够结合实际情境建立二次函数模型，利用二次函数的图象与性质求解最值问题、实际取值问题，达成“能运用函数知识解决简单实际问题，感悟函数与现实生活的联系”的学业质量标准。 教材地位：《实际问题与二次函数》是人教版九年级上册二次函数章节的核心应用内容，是学生在掌握二次函数解析式、图象、性质后的综合应用板块。本节课承接一次函数、反比例函数的实际应用，是初中函数知识体系的升华，也是中考函数应用题、几何综合题的重要考点，承载着培养学生数学建模思想、数形结合思想的核心任务。 教学重难点：重点是根据实际问题建立二次函数解析式，利用二次函数性质求解最值、实际问题；难点是结合实际情境确定自变量取值范围，在受限区间内求解函数最值，以及几何场景、生活场景的二次函数建模应用。 2. 学情分析 维度 具体描述 已有基础 九年级学生已熟练掌握二次函数的三种解析式、图象开口、对称轴、顶点等基本性质，能够求解二次函数的最值、零点，具备一次函数解决实际问题的基础，拥有一定的数形结合解题经验，熟悉销售、运动、几何图形等常见应用题场景。 现有困惑 学生容易忽略实际问题中自变量的取值限制，直接套用顶点最值导致解题错误；对几何抛物线、动态生活场景的建模能力薄弱，无法快速提取题目关键信息建立函数模型；复杂含参数的二次函数实际问题，难以结合题意分析参数意义。 差异分析 基础薄弱学生仅能解决简单代入计算、无区间限制的基础题型；中等学生可完成常规销售、运动类二次函数应用题，但复杂几何建模、区间最值问题容易出错；优等生需要拓展综合性、探究性题型，提升建模创新思维和综合解题能力。 3. 设计意图 本作业依据学生学情差异，采用基础、拓展、探究三层分层设计，贴合课堂教学重难点，覆盖选择、填空、解答全题型。通过实心球投掷、汽车刹车、商品销售、燃气灶用气、风筝设计等真实生活与实践场景，引导学生将实际问题转化为二次函数数学模型，巩固二次函数图象与性质的应用方法，突破“忽略自变量取值范围”的常见易错点。同时分层题型适配不同层次学生的学习需求，基础题夯实核心知识，拓展题提升应用能力，探究题培养几何建模与综合推理思维，层层递进落实数学核心素养，实现因材施教、分层提质的作业目标。 3、 作业目标 目标维度 编号 具体目标 对应核心素养 评价证据 知识理解 A 理解二次函数的最值、零点的几何意义，掌握实际问题中自变量的取值规则，能辨别二次函数在受限区间内的最值变化规律 数学抽象、直观想象 基础题正确率、取值范围判断准确性 能力运用 B 能针对运动、销售、几何图形、生活器具等场景，独立建立二次函数解析式，运用配方法、公式法求解函数最值、实际未知量 数学建模、运算能力 解题过程完整性、函数模型建立合理性、计算准确率 思维发展 C 能结合数形结合思想分析复杂抛物线几何场景，通过参数分析、动态平移、图形推理解决综合性探究问题，具备一题多思、举一反三的思维能力 逻辑推理、创新思维 综合题解题思路、推理过程、创新解法 情感态度 D 感受二次函数在生活、实践、手工设计中的广泛应用，体会数学的实用性，培养主动探究、严谨解题的学习习惯 数学应用意识、科学态度 作业完成态度、探究题主动思考痕迹 4、 作业内容与目标对应表 题号 题型 题目概要 对应作业目标编号 设计意图 参考答案/评价要点 1 基础选择题 根据实心球飞行高度与水平距离的二次函数，求解投掷成绩 A、B 结合体育运动场景，考查二次函数零点的实际意义，夯实基础建模与运算能力 答案：A；要点：令h=0，求解正根即为投掷距离，舍去负根 2 拓展选择题 根据汽车刹车距离与时间的函数，求解刹车停止时间 A、B 结合交通生活场景，考查二次函数顶点最值的实际应用，提升基础应用能力 答案：C；要点：配方求对称轴，对应时间即为刹车停止时间 3 探究选择题 限定商品售价区间，求解二次函数的最大利润 A、C 突破易错点，考查受限自变量区间内的函数最值求解，培养区间分析思维 答案：B；要点：根据对称轴判断区间单调性，代入区间端点求最值 4 基础填空题 根据矩形饲养室墙体总长，求解最大占地面积 A、B 结合几何建筑场景，考查二次函数面积最值问题，巩固几何建模方法 答案：48；要点：建立面积函数，配方求顶点最值 5 拓展填空题 根据抛物线型帐篷的尺寸参数，求解两点间垂直距离 B、C 结合抛物线几何图形，考查建系建模、函数代入计算，培养数形结合思维 6 探究填空题 瓷碗倾斜动态场景下，求解抛物线截面液体最大深度 C、D 结合动态几何场景，考查抛物线解析式、直线平移、判别式应用，提升综合探究能力 7 基础解答题 商品销售问题，分层考查销量计算、利润求解、最值及参数分析 A、B、C 分层设问，覆盖基础计算、方程求解、最值应用、参数探究，适配各层次学生，落实核心考点 8 拓展解答题 燃气灶燃气用量与旋钮角度的函数建模及最值应用、实际节约问题计算 B、C、D 通过生活节能场景，考查函数类型判断、解析式求解、最值应用，培养数学应用意识 9 探究解答题 风筝制作实践场景，融合几何计算、抛物线建模、图形面积最值探究 C、D 结合手工实践活动，融合几何与二次函数综合知识，培养创新建模与综合推理能力 5、 作业评价 维度 A（优秀） B（良好） C（待改进） 权重 得分 知识理解 基础题型全部答对，精准掌握二次函数实际应用规则，无取值范围、概念理解错误 基础题型少量细节错误，核心概念理解准确，仅个别取值判断失误 基础题型错误较多，对二次函数实际意义、取值规则理解模糊 20% 能力运用 所有题型建模方法恰当，解题过程完整规范，计算零失误，步骤逻辑清晰 建模方法基本正确，解题过程基本完整，存在少量计算失误 无法正确建立函数模型，解题过程缺失，计算错误较多 30% 思维发展 复杂探究题思路清晰，数形结合、推理论证充分，解法严谨且有创新性 探究题思路基本通顺，能够完成核心推理，欠缺解题深度和细节 探究题思路混乱，无法完成逻辑推理，缺乏解题方法 30% 情感态度 按时保质完成全部作业，主动思考探究题型，解题书写工整，乐于钻研难题 认真完成所有作业，书写规范，能够主动思考基础、拓展题型 作业完成拖沓，书写潦草，被动完成任务，不愿思考探究题型 20% 6、 试题详情 基础题：1．如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度h（m）与水平距离x（m）之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（　　） A．8m B．9m C．10m D．3m 拓展题：2．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝15t﹣6t2．则汽车刹车后到停下来所花的时间是（　　） A．s B．1s C．s D．2s 探究题：3．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558，由于某种原因，价格需满足15≤x≤18，那么一周可获得的最大利润是（　　） A．1508元 B．1550元 C．1554元 D．1558元 二．填空题（共3小题） 基础题：4．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为21m，则能建成的饲养室总占地面积最大为_______ m2． 拓展题：5．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A，B，C，D四点，且线段AB，CD都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m，AB＝2m，CD＝4m，则点B到CD的距离为________ m． 探究题：6．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝9cm．如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液体最大深度为 __________________ ． 三．解答题（共3小题） 基础题：7．根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元，经市场调研，售价为60元时，可销售800件，售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（x≥60，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当x＝65元时，该种商品的销售量为________ 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为_______ ．（利润＝销售利润+补贴） 拓展题：8．许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表： 旋钮角度（度） 20 50 70 80 90 所用燃气量（升） 73 67 83 97 115 （1）请你从所学习过的函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； （2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？ （3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量． 探究题：9．实践与操作：如何制作简易风筝 【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节． 【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定． 【制作步骤】 步骤一骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段AC，BD作为骨架，且AC＞BD，AC与BD的和为80cm，四边形ABCD的面积为600cm2． （1）直接写出骨架的长度：AC＝_______ cm，BD＝_______ cm； 步骤二蒙面制作：若（1）中骨架满足AO：OC＝1：2，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离．现把BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为4cm，2cm，2cm的三点E，F，G绘制抛物线． （2）求过E，F，G三点的二次函数解析式； 步骤三蒙面取材：已知BD以下部分的蒙面设计为等腰△FHG，点H在OC延长线上且FH∥BC，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括BD以上抛物线部分及BD以下三角形FHG部分），如图3．小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，PM∥AB，PN∥AD． （3）小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN面积至少为多少平方厘米？ 7、 答案与解析 一．选择题（共3小题） 1．【解答】解：令h＝0，则， 解得x＝8或x＝﹣2（舍）， ∴小强本次投掷实心球的成绩为8m， 故选：A． 2．【解答】解：∵， ∴当时，s取得最大值， 即汽车刹车后到停下来所花的时间是秒， 故选：C． 3．【解答】解：发现一周的利润y（单位：元）与每件销售价x（单位：元）之间的关系满足y＝﹣2（x﹣20）2+1558， ∵y＝﹣2（x﹣20）2+1558，且﹣2＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝20， ∴当x＜20时，y随x的增大而增大， ∵15≤x≤18＜20， ∴当x＝18时，y取得最大值， 将x＝18代入解析式得y＝﹣2×（18﹣20）2+1558＝1550， 即一周可获得的最大利润是1550元． 故选：B． 二．填空题（共3小题） 4．【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为21+3﹣3x＝24﹣3x． 则总面积S＝x（24﹣3x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，故饲养室的最大面积为48平方米． 故答案为：48． 5．【解答】解：如图建立坐标系： ∵AB＝2m，CD＝4m，抛物线最高点P到AB的距离为0.6m， ∴B（1，0），P（0，0.6）， 设y＝ax2+0.6，将B（1，0）代入得0＝a+0.6， 解得a＝﹣0.6，即y＝﹣0.6x2+0.6， 当时，y＝﹣0.6×22+0.6＝﹣1.8， 即点B到CD的距离为1.8m， 故答案为：1.8． 6．【解答】解：如图，以E为原点，过点E且与MN平行的直线为x轴，直线GE为y轴，建立平面直角坐标系， ， 点E和原点重合， 则抛物线的表达式为y＝ax2， ∵碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝9cm， ∴C（6，9）， 将C（6，9）代入抛物线解析式得a×62＝9， 解得：a， ∴抛物线的解析式为yx2， ∵把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止， ∴旋转前CH与水平方向夹角为45°， 由点C、H的坐标得，直线CH的解析式为y＝x+3， 当x＝0时，y＝3，即点S（0，3）， 把直线CH向下平移m个单位得：y＝x+3﹣m， 当直线和抛物线只有一个交点时，深度最大， 则x+3﹣mx2， 则Δ＝1﹣（﹣3+m）＝0，则m＝4， 则平移后的直线表达式为：y＝x﹣1， 如图，设平移后的直线和y轴的交点为K，过S作SJ垂直于平移后的直线于J， 同理可得，点K（0，﹣1），∠SKJ＝45°， 则SK＝3﹣（﹣1）＝4，SJ＝42（cm）， 故碗中液体最大深度为2， 故答案为：2cm． 三．解答题（共3小题） 7．【解答】解：任务1．当x＝65时，该种商品的销售量为：800﹣20×（65﹣60）＝800﹣100＝700（件）， 故答案为：700； 任务2．设这种商品每件售价是x元， （x﹣50）[800﹣20×（x﹣60）]＝12000， （x﹣50）（800﹣20x+1200）＝12000， （x﹣50）（2000﹣20x）＝12000， 2000x﹣20x2﹣100000+1000x＝12000， 20x2﹣3000x+112000＝0， x2﹣150x+5600＝0， （x﹣70）（x﹣80）＝0， 解得：x1＝70，x2＝80， 答：这种商品每件售价是70元或80元； 任务3．设这种商品的利润为w元，这种商品每件售价是m元， w＝（m﹣50）[800﹣20×（m﹣60）]＝﹣20m2+3000m﹣100000， ∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线m＝75， ∴当m＝75时，利润最大，为（75﹣50）[2000﹣20×75]＝25×500＝12500（元）． 答：售价为75元时，销售这种商品的利润最大，最大利润是12500元； 任务4．w＝（m﹣50+n）[800﹣20×（m﹣60）]＝（m﹣50+n）（2000﹣20m）， ∴抛物线的开口向下，对称轴为：直线m75， ∵当售价为70时，利润最大， ∴5， ∴n＝10， 故答案为：10． 8．【解答】解：（1）若设y＝kx+b（k≠0）， 由， 解得， 所以yx+77，把x＝70代入得y＝63≠83，所以不符合； 若设y（k≠0），由73，解得k＝1460， 所以y，把x＝50代入得y＝29.2≠67，所以不符合； 若设y＝ax2+bx+c， 则由， 解得， 所以yx2x+97（18≤x≤90）， 把x＝80代入得y＝97，把x＝90代入得y＝115，符合题意． 所以二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律； （2）由（1）得：yx2x+97（x﹣40）2+65， 所以当x＝40时，y取得最小值65． 即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升； （3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115﹣65＝50（升） 设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得： a＝10， 解得a＝23． 即该家庭以前每月平均用气量为23立方米． 9．【解答】解：（1）设AC＝xcm，则BD的长为（80﹣x）cm， 由题意得， 解得x1＝20，x2＝60， ∵AC＞BD， ∴AC＝60cm，BD＝20cm， 故答案为：60，20； （2）∵AO：OC＝1：2，AC＝60cm， ∴AO＝20cm，OC＝40cm， ∴A（0，20），B（﹣10，0），D（10，0）． ∵过距离点A，点B，点D三点分别为4cm，2cm，2cm的E，F，G三点绘制抛物线， ∴E（0，24），F（﹣12，0），G（12，0）， 设所求抛物线表达式为y＝ax2+24， 把F（﹣12，0）代入y＝ax2+24，得0＝144a+24， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （3）∵FH∥BC， ∴，即， ∴OH＝48cm， 设直线AB的解析式为y＝mx+n，代入A（0，20），B（﹣10，0）， ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝2x+20， ∵PM∥AB， ∴可知直线PM的解析式为y＝2x+b， ∴P（0，b）， 令， 则x2+12x+6b﹣144＝0， 令Δ＝122﹣4×1×（6b﹣144）＝0， 解得b＝30， ∴P（0，30）， ∴OP＝30cm，直线PM的解析式为y＝2x+30， ∴PH＝OP+OH＝78（cm）， 令2x+30＝0，解得x＝﹣15， ∴M（﹣15，0）， 即MN＝30cm， 即筝形纸片PMHN面积至少为． 答：小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN面积至少为＝1170平方厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $