3.1.2 第1课时 排列与排列数(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学生用书（人教B版）

3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 【学习目标】 1.通过实例,理解排列的概念; 2.能利用计数原理推导排列数公式; 3.能用排列数公式进行简单的计算和证明. ◆ 知识点一　排列及其特征 排列:一般地,从n个不同对象中,任取m(m≤n)个对象,按照　　　　　　排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特别地,　　　　时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列.  注意点:进行排列的对象间具有互异性、有序性. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)a,b,c与b,a,c是同一个排列. (　 ) (2)从4个不同对象中任意取出3个对象,只要所取得的对象相同,得到的就是相同的排列. (　 ) (3)在一个排列中,若交换两个对象的位置,则该排列不发生变化. (　 ) ◆ 知识点二　排列数与排列数公式 排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号　　　　表示  排列数的表示 (n∈N*,m∈N,m≤n) 排列数 公式 乘积式 =　　　　　　　  阶乘式 = 阶乘 =　　　　　　　= 规定 0!=　　　　,= 性质 +m= 【诊断分析】 1.“排列”和“排列数”有什么联系? 2.排列数的两个公式“=n(n-1)…(n-m+1)”与“=”,什么时候用“连乘积形式”,什么时候用“阶乘形式”? ◆ 探究点一　排列的概念 例1 从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素, ①相加可得多少个不同的和? ②相除可得多少个不同的商? ③作为椭圆+=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程? ④作为双曲线-=1(a>0,b>0)中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程? 上面四个问题属于排列问题的是 (　 ) A.①②③④ B.②④ C.②③ D.①④ 变式 判断下列问题是不是排列问题,并说明理由. (1)从甲、乙、丙、丁四名学生中选出两名参加活动,其中一名学生参加活动A,另一名学生参加活动B; (2)从甲、乙、丙、丁四名学生中选出两名参加一项活动; (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和; (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商; (5)高二(1)班有四个空位,安排从外校转来的三名学生坐这四个空位中的三个. [素养小结] 判定一个具体问题为排列问题,一般从两个方面着手: (1)研究的对象一定是不同元素,若完全相同则一定不是排列问题; (2)一定要有序,即顺序不同排列的结果不同,排列的过程有两个,首先是“取”,然后是“排”,不要将“取”的过程误认为是排列. ◆ 探究点二　解决简单的排列问题 例2 (1)从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 (　 ) A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲 B.甲乙,丙乙,丙甲 C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙 D.甲乙,甲丙,乙丙 (2)从a,b,c,d,e五个元素中每次取出三个元素,可组成　　　　个以b为首的不同排列,它们分别为　.  例3 (1)[2025·福州高二期末] 福厦高铁全线共设8座车站:福州南、福清西、莆田、泉港、泉州东、泉州南、厦门北、漳州,则铁路部门应为福厦高铁线上的这8个站间准备不同的火车票的种数为 (　 ) A.28 B.56 C.64 D.112 (2)6名同学站成一列,共有　　　　种列队方式.(用数字作答)  变式 (1)从1,2,3,4四个数字中任选两个数进行加、减、乘、除运算,分别计算它们的结果,则可以看作排列问题的运算有 (　 ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 (2)[2026·长沙高二期末] 在体操的某次队形变化时,A,B,C,D,E,F六位同学要排成一个“三角形”队形,其中第一排站一位同学,第二排站两位同学,第三排站三位同学,则这六位同学的站法有 (　 ) A.1080种 B.720种 C.360种 D.60种 [素养小结] 在排列个数不多的情况下,树形图是一种比较有效的表示方式.在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素作为分类标准进行分类,在每一类中余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素,再按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能不重不漏,最后按树形图写出所有排列. 在排列个数较多的情况下,则采用排列数进行计算. ◆ 探究点三　排列数公式及性质的应用 例4 (1)[2026·南京高二期中] 18×19×20×21×…×30可以表示为 (　 ) A. B. C. D. (2)已知3=4,则x=　　　　.  例5 计算:+4+4+4+…+4=　　　　.  变式 (1)(多选题)下列等式中正确的是 (　 ) A.=(n-2) B.= C.n= D.= (2)不等式>6的解集为　　　　　　.  (3)-6-6=　　　　.(用数字作答)  [素养小结] (1)排列数公式的乘积的形式适用于个体计算和当m较小时的含排列数的方程和不等式问题. (2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题,具体应用时注意阶乘的性质,提取公因式,可以简化计算. (3)排列数中若有参数,要注意参数的取值范围. 拓展 从排列的角度理解排列数公式: (1) =n;(2)+m=. 1.= (　 ) A.9×3 B.93 C.9×8×7 D.9×8×3 2.[2026·四川达州高二期末] 从6名学生中选出2名分别担任组长和副组长,则不同的选择方法种数可表示为 (　 ) A.2×6 B.26 C. D.62 3.[2026·辽宁营口高中高二月考] (x-2)(x-3)(x-4)…(x-15)(x∈N*,x>15)可表示为 (　 ) A. B. C. D. 4.北京、广州、南京、天津4个城市相互通航,有　　　　种机票.(用数字作答)  5.计算:-71-7=　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 【课前预习】 知识点一 一定的顺序　m=n 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)× 知识点二 　n(n-1)…(n-m+1)　n×(n-1)×…×2×1 n!　1　1　 诊断分析 1.解:排列数是指按一定方法完成排列的方法数. 2.解:在直接进行具体计算时,选用“连乘积形式”较好;当对含有字母的排列数的式子进行变形、解方程或证明时,采用“阶乘形式”较好. 【课中探究】 探究点一 例1　B　[解析] ∵加法满足交换律,∴①不是排列问题;∵除法不满足交换律,∴由题易知②是排列问题;若方程+=1(a>0,b>0)表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,故③不是排列问题;在双曲线-=1(a>0,b>0)中不管a>b还是a<b,方程均表示焦点在x轴上的双曲线,且当a>b时与a<b时表示不同的双曲线,故④是排列问题.故选B. 变式　解:(1)是排列问题.因为选出的两名学生参加的是不同的活动,即相当于把选出的学生按顺序安排到两项不同的活动中,故是排列问题. (2)不是排列问题.因为选出的两名学生参加的是同一项活动,没有顺序之分,故不是排列问题. (3)不是排列问题.因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求,故不是排列问题. (4)是排列问题.因为选出的两个三位数之商会随着分子、分母的顺序不同而发生变化,且这些三位数是互质的,不存在选出的数不同而商的结果相同的可能,故是排列问题. (5)是排列问题.可看作从四个空位中选出三个空位,分别安排给三名学生,有顺序之分,故是排列问题. 探究点二 例2　(1)C　(2)12　bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed　[解析] (1)若选甲、乙两人,则站法为甲乙,乙甲;若选甲、丙两人,则站法为甲丙,丙甲;若选乙、丙两人,则站法为乙丙,丙乙.所以所有站法为“甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙”.故选C. (2)画出树形图如图所示. 由树形图知可组成12个以b为首的不同排列,它们分别为bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed. 例3　(1)B　(2)720　[解析] (1)火车票要分出发站与到达站,是有顺序的,故不同的火车票的种数为=8×7=56.故选B. (2)6名同学站成一列,是有顺序的,故共有=720(种)列队方式. 变式　(1)B　(2)B　[解析] (1)因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数进行加法和乘法运算时,运算结果与两数字位置无关,所以加法和乘法不是排列问题;而进行减法、除法运算时,运算结果与两数字的位置有关,所以减法和除法是排列问题.故选B. (2)本题相当于将六位同学排列到六个不同的位置,则这六位同学的站法有=720(种).故选B. 探究点三 例4　(1)B　(2)6　[解析] (1)根据排列数公式的定义得18×19×20×21×…×30=.故选B. (2)由题意得3×=4×,即3=4×,解得x=13或x=6.因为所以x≤8且x∈N*,所以x=6. 例5　　[解析] 由+m=,得+4+4+4+…+4=+4+4+…+4=…=. 变式　(1)ACD　(2){2,3,4,5,6,7}　(3)720　[解析] (1)对于A,=(n-2)(n-1)n=(n-2),故A正确;对于B,=,=,故B错误;对于C,n=n·(n-1)!=n!=,故C正确;对于D,=·==,故D正确.故选ACD. (2)原不等式可化为>,即x2-21x+104>0,即(x-8)(x-13)>0,解得x<8或x>13.又2≤x≤9,x∈N*,所以2≤x<8,x∈N*,所以原不等式的解集为{2,3,4,5,6,7}. (3)由+m=,得-6-6=-6==720. 拓展　解:(1)在n个对象中取出m个对象的所有排列的个数为.若在n个对象中取出m个对象分步进行的话,可先取出一个对象排在第一个位置,有n种方法,再在剩余的(n-1)个对象中取出(m-1)个对象排列在剩余位置,此种排列方法数为n,即与n都是解决在n个对象中取出m个对象进行排列的方法数,故二者相等. (2)在(n+1)个对象中取出m个对象的所有排列的个数为.若将在(n+1)个对象中取出m个对象分类进行的话,可按是否选取最后一个对象分成两类,第一类:不选取最后一个对象,即在前n个对象中选取m个进行排列,有种方法;第二类:选取最后一个对象,则只需要在前n个对象中选取(m-1)个进行排列,再将最后一个对象插入(m-1)个对象产生的间隔中,共有m种排列方法,即与+m都是解决在(n+1)个对象中取出m个对象进行排列的方法数,故二者相等. 【课堂评价】 1.C　[解析] =9×8×7.故选C. 2.C　[解析] 根据题意可知,选出的2人担任不同职务,因此相当于从6人中选出2人并按照顺序排列,则不同的选择方法种数为.故选C. 3.B　[解析] (x-2)(x-3)(x-4)…(x-15)====.故选B. 4.12　[解析] 列出每一个起点和终点的情况,如图所示. 故符合题意的机票种类有北京→广州,北京→南京,北京→天津,广州→南京,广州→天津,广州→北京,南京→天津,南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广州,天津→南京,共12种. 5.0　[解析] 因为7=,所以71+7=72=9×8×=,所以-71-7=0. 学科网（北京）股份有限公司 $