3.1.2 排列与排列数（讲义）数学人教B版高二选择性必修第二册

第三章 排列、组合与二项式定理 3.1.2　排列与排列数 课标要点 1.通过实例，理解排列的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式． 学习重难点 重点： 理解排列的概念及排列数公式． 难点： 利用排列数公式解决一些简单的实际问题． 知识点 排列的定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 随学随练 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）从甲、乙、丙、丁 4 人中任选 2 人分别担任班长和副班长，则不同的选法数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东佛山·期中）某班要从甲、乙、丙、丁4名同学中选出2名同学，分别担任班长和副班长，则不同的选法有（    ） A．6种 B．12种 C．14种 D．16种 知识点排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． 特别提醒 　“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从n个不同对象中任取m个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，它是一个数． 随学随练 1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）用1，3，5，7组成没有重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）用这5个数字可以组成没有重复数字的四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 知识点排列数公式 (1)乘积形式：A＝＝n(n－1)…(n－m＋1)(n和m都是正整数，且m≤n)． (2)阶乘形式：A＝(n和m都是正整数，且m≤n)． (3)A＝n！． (4)规定：0！＝1，A＝1． 随学随练 1．（26-27高三上·重庆·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排， 若甲和乙相邻， 且甲和丙不相邻， 则不同的排列方式共有（    ）． A．24 种 B．30 种 C．36 种 D．42 种 2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“凸数”，现从 1，2， 3，4，5，这五个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“凸数”有（   ） A．120 个 B．80 个 C．40 个 D．20 个 题型元素（位置）有限制的排列问题 ▌例1 （26-27高三上·山西长治·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲站在两端，丙和丁相邻的排法有（     ） A．12种 B．24种 C．40种 D．48种 ▌对点练1-1．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”.用0，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（     ）． A．18 B．16 C．14 D．12 题型相邻问题的排列问题  ▌例1（26-27高三上·四川南充·阶段检测）2026年8月22日~26日，第二届世界人形机器人运动会在国家速滑馆“冰丝带”举行，某机器人运动队有4名操作员和4名人形机器人（每名操作员固定控制1名人形机器人），赛后此机器人运动队排成一排拍照留念，则每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有（   ） A．24种 B．120种 C．384种 D．786种 ▌对点练1-1（26-27高三上·广西贺州·开学考试）甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（    ） A．10 B．16 C．32 D．64 题型 不相邻问题的排列问题  ▌例15（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 ▌对点练1-1（26-27高三上·重庆·开学考试）变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺. 已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为（    ） A．24 B．120 C．144 D．168 基础通关 1．（26-27高二上·陕西宝鸡·开学考试）为了更好地打造“千年商港，幸福温州”的城市新定位，温州市博物馆陶瓷馆巡礼中展示了温州出土的瓯窑青釉褐彩瓜形盖罐（南朝）、青釉点彩盘口鸡首壶（东晋）和瓯窑虎形灯座（东晋）三件文物，若将三件文物排成一排进行巡展，则瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间的概率是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）有六人排成一排，甲､乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（    ） A．120种 B．180种 C．240种 D．360种 3．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）内蒙古足球超级联赛由内蒙古12个盟市各组建一支球队参加，第一阶段常规赛中，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场常规赛（   ） A．11场 B．22场 C．66场 D．132场 4．（25-26高二下·北京·期末）电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人，分别担任带货主播和运营助理，则不同的选法有（     ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 5．（25-26高二下·广东深圳·期中）满足等式的的值为（     ） A． B． C．或 D． 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）甲乙丙三人观看表演，现有个座位排成一排，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子，且2号球不放入2号盒子的方法共有（    ） A．14种 B．12种 C．9种 D．6种 9．（25-26高二下·重庆北碚·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排拍照，要求甲在左端或右端，且乙丙要相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．32种 10．（26-27高三上·四川·阶段检测）用2，0，2，6，8可以组成互不相同的五位数的个数为（   ） A．48 B．60 C．96 D．120 素养提升 11．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）将英文单词“mommy”的字母组合，能得到不同字母排法的种数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 12．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）为迎接五一劳动节的到来，学校安排6名劳动志愿者随机地排队开展宣传活动，其中有3名是环卫志愿者，则三名环卫志愿者互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）将0，2，2，6随机排成一行，则排成“2026”的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三个数字构成三位数，后三个数字构成三位数，则的概率为（      ） A． B． C． D． 15．（26-27高三上·云南·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲不站在两端，丙和丁也不相邻的排法有（    ） A．12种 B．24种 C．40种 D．48种 16．（26-27高三上·贵州·阶段检测）某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（    ） A．6种 B．8种 C．12种 D．24种 迁移创新 17．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，且丙和丁不相邻，则不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 18．（25-26高二下·湖北十堰·期末）某班级一天上午有5节课，下午有2节课，现在要安排语文，数学，英语，物理，化学，政治，体育7门课各一节的课程表，要求数学，物理都在上午且不相邻，体育课在下午，则不同的排课方法数有（     ） A．576种 B．288种 C．192种 D．144种 19．（25-26高二下·安徽合肥·期末）甲乙丙丁等8人，每4人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站队方法是（   ） A．72 B．216 C．864 D．1152 20．（25-26高二下·内蒙古包头·期末）某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加不同棒次安排方案总数为（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 21．（25-26高二下·北京丰台·期末）某中学举办主题为“十八而志承大任，芳华待灼赴海赢”的高三成人礼活动，现有语言类节目个、歌唱类节目个、舞蹈类节目个，共个节目登台演出．若要求同一类型的节目不能连续表演，则不同的节目表演顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·河南商丘·期末）某高中安排甲、乙、丙、丁四位老师参加高考号、号、号三天的巡考工作，每天需安排位老师，分别负责上午和下午．若每位老师至少安排天巡考，且老师甲不能安排在号，老师乙、丙不能安排在同一天，则不同的安排方法总数为（     ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 排列、组合与二项式定理 3.1.2　排列与排列数 课标要点 1.通过实例，理解排列的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式． 学习重难点 重点： 理解排列的概念及排列数公式． 难点： 利用排列数公式解决一些简单的实际问题． 知识点 排列的定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． 随学随练 1．（25-26高二下·陕西西安·期末）从甲、乙、丙、丁 4 人中任选 2 人分别担任班长和副班长，则不同的选法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从甲、乙、丙、丁 4 人中任选 2 人分别担任班长和副班长的不同选法有种. 2．（25-26高二下·广东佛山·期中）某班要从甲、乙、丙、丁4名同学中选出2名同学，分别担任班长和副班长，则不同的选法有（    ） A．6种 B．12种 C．14种 D．16种 【答案】B 【详解】依题意，从4名同学中选出2名同学，分别担任正、副班长，不同的方法数有. 知识点排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． 特别提醒 　“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从n个不同对象中任取m个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，它是一个数． 随学随练 1．（25-26高二下·陕西榆林·期中）用1，3，5，7组成没有重复数字的三位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用1，3，5，7组成没有重复数字的三位数的个数是. 2．（25-26高二下·内蒙古巴彦淖尔·期末）用这5个数字可以组成没有重复数字的四位数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】用这5个数字可以组成没有重复数字的四位数的个数为. 知识点排列数公式 (1)乘积形式：A＝＝n(n－1)…(n－m＋1)(n和m都是正整数，且m≤n)． (2)阶乘形式：A＝(n和m都是正整数，且m≤n)． (3)A＝n！． (4)规定：0！＝1，A＝1． 随学随练 1．（26-27高三上·重庆·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊 5 人站成一排， 若甲和乙相邻， 且甲和丙不相邻， 则不同的排列方式共有（    ）． A．24 种 B．30 种 C．36 种 D．42 种 【答案】C 【分析】使用捆绑法，插空法求解． 【详解】甲丙两人插剩余三人空，考虑甲乙相邻，则排法数为，则满足要求的方法数为36种． 也可以仅考虑甲乙相邻排法数为，甲与乙相邻且甲与丙相邻排法数为， 则满足要求的方法数为． 2．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“凸数”，现从 1，2， 3，4，5，这五个数字中任取 3 个数，组成无重复数字的三位数，其中“凸数”有（   ） A．120 个 B．80 个 C．40 个 D．20 个 【答案】D 【分析】根据十位数字的取值进行分类，然后排列计算即可. 【详解】根据题意，十位上的数最大，只能为 3、4、5. 当十位数字为3 时，百位、个位的数字为 1、2 ，有 种选法， 当十位数字为4 时，百位、个位的数字为 1、2、3，有 种选法， 当十位数字为5 时，百位、个位的数字为 1、2、3、4 ， 有 种选法， 则“凸数”的个数为 . 题型元素（位置）有限制的排列问题 ▌例1 （26-27高三上·山西长治·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲站在两端，丙和丁相邻的排法有（     ） A．12种 B．24种 C．40种 D．48种 【答案】B 【分析】先确定甲的站位，再用捆绑法处理丙丁相邻的情况，结合分步乘法计数原理计算总排法数. 【详解】第一步，确定甲的站位：甲站在两端，共2种选择（左端或右端）， 第二步，处理丙丁相邻的情况：将丙、丁视为一个整体，整体内部有种排列顺序， 第三步，排列剩余对象：此时待排列的对象为丙丁整体、乙、戊共3个元素，个元素全排列，共种排法. 根据分步乘法计数原理，总排法数为种. ▌对点练1-1．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”.用0，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（     ）． A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】依次分情况分析即可. 【详解】若十位数字是3，则凸数只有一个230； 若十位数字是4，则凸数个数为个； 若十位数字为5，则凸数个数为个； 所以凸数总个数为. 题型相邻问题的排列问题  ▌例1（26-27高三上·四川南充·阶段检测）2026年8月22日~26日，第二届世界人形机器人运动会在国家速滑馆“冰丝带”举行，某机器人运动队有4名操作员和4名人形机器人（每名操作员固定控制1名人形机器人），赛后此机器人运动队排成一排拍照留念，则每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有（   ） A．24种 B．120种 C．384种 D．786种 【答案】C 【详解】先将每名操作员与其控制的人形机器人捆绑，然后进行全排列， 所以每名操作员都与其控制的人形机器人站在一起的排法共有种． ▌对点练1-1（26-27高三上·广西贺州·开学考试）甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（    ） A．10 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【分析】先把甲乙捆绑，丙丁捆绑，再把站队分成三步完成，第一步：第一排甲乙必须站在一起；第二步：丙丁必须站在一起；第三步：剩下2人全排列.三步方法数相乘即可. 【详解】第一排甲乙站一起有两种可能，同理第二排丙丁站一起也有两种可能， 甲乙和丙丁内部顺序分别为：，，其他人直接全排列， 所以有种． 题型 不相邻问题的排列问题  ▌例15（2026·云南昆明·模拟预测）甲、乙等5人排成一列，要求甲在乙的前面，且甲、乙不相邻，则不同的排法有（   ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】B 【详解】若乙排在第一位，则可知不符合题意； 若乙排在第二位，则甲在乙前，甲乙必相邻，因此不符合题意； 若乙排在第三位，则甲在乙前，甲乙不相邻，甲应在第一位，此时有种排列方法； 若乙排在第四位，同理，甲应在第一位或第二位，此时有种排列方法； 乙排在第五位，同理，甲应在第一位、第二位或第三位，此时有种排列方法； 故共有种排列方法. ▌对点练1-1（26-27高三上·重庆·开学考试）变脸、吐火、滚灯、藏刀是川剧四大绝活，也是川剧区别于其他剧种最具标志性的非遗技艺. 已知某川剧剧场每日依次上演四大绝活，现要安排两天四大绝活的演出顺序，若要求第一天变脸和吐火的演出顺序相邻，第二天变脸和吐火的演出顺序不相邻，则不同的方案数为（    ） A．24 B．120 C．144 D．168 【答案】C 【详解】先安排第一天的演出： 变脸和吐火的演出顺序相邻，共有种情况， 捆绑后与滚灯、藏刀全排列，共有种情况， 所以第一天有种不同的演出顺序； 再安排第二天的演出： 变脸和吐火的演出顺序不相邻， 先对滚灯、藏刀排列，共有种情况， 形成的三个空隙中选两个排变脸和吐火，共有种情况， 所以第二天有种不同的演出顺序； 由分步乘法计数原理，不同的方案数为. 基础通关 1．（26-27高二上·陕西宝鸡·开学考试）为了更好地打造“千年商港，幸福温州”的城市新定位，温州市博物馆陶瓷馆巡礼中展示了温州出土的瓯窑青釉褐彩瓜形盖罐（南朝）、青釉点彩盘口鸡首壶（东晋）和瓯窑虎形灯座（东晋）三件文物，若将三件文物排成一排进行巡展，则瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】三件不同的文物排成一排，共有种；瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间位置，剩余2件文物排在首尾的有种；则瓯窑虎形灯座（东晋）排在中间的概率为. 2．（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）有六人排成一排，甲､乙两人必须相邻，则满足要求的排法有（    ） A．120种 B．180种 C．240种 D．360种 【答案】C 【详解】将甲、乙两人捆绑为一个整体，两人内部的排列种数为， 将甲乙整体看成一个元素与剩余的4人共5个不同元素进行全排列，排列种数为， 总排法种数为种. 3．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）内蒙古足球超级联赛由内蒙古12个盟市各组建一支球队参加，第一阶段常规赛中，每队都要与其他各队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场常规赛（   ） A．11场 B．22场 C．66场 D．132场 【答案】D 【详解】12支队伍，每两队赛两场，可看作12支队伍选出2个考虑顺序，共有种选法，所以共有132场比赛. 4．（25-26高二下·北京·期末）电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人，分别担任带货主播和运营助理，则不同的选法有（     ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】B 【详解】因为电商工作室要从甲、乙、丙3人中选择2人，分别担任带货主播和运营助理， 所以不同的选法有种. 5．（25-26高二下·广东深圳·期中）满足等式的的值为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】由可得， 整理可得，即， 由题意可知且，故. 6．（26-27高三上·湖北·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用捆绑法求解即可. 【详解】五名同学全排列的基本事件总数为. 利用捆绑法，将甲、乙视作一个整体，内部排列有种方式， 该整体与其余三人共4个元素全排列有种方式， 故甲与乙相邻的事件数为. 所求概率为. 7．（25-26高二下·湖北襄阳·期末）甲乙丙三人观看表演，现有个座位排成一排，则恰有两个空位相邻的不同坐法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在个座位中，个空位恰好相邻的组合为，，，，共种 剩余个座位安排人进行全排列，共有种， 安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为种． 8．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子，且2号球不放入2号盒子的方法共有（    ） A．14种 B．12种 C．9种 D．6种 【答案】A 【详解】四个小球分别放入四个盒子中共有种； 1号球放入1号盒子的有种；2号球放入2号盒子的有种； 1号球放入1号盒子，且2号球放入2号盒子的方法共有种； 则所求共有种． 9．（25-26高二下·重庆北碚·期末）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排拍照，要求甲在左端或右端，且乙丙要相邻，则不同的排列方式共有（    ） A．12种 B．16种 C．24种 D．32种 【答案】C 【详解】第一步：甲在左端或右端，共2种选择， 第二步：将乙丙视为1个整体，此时连同剩下的丁、戊，一共相当于3个元素排列， 剩余3个位置可以自由排列这3个元素，排列数为； 同时乙丙两人内部可以互换顺序，有种排列方式， 故总排列方式数为：. 10．（26-27高三上·四川·阶段检测）用2，0，2，6，8可以组成互不相同的五位数的个数为（   ） A．48 B．60 C．96 D．120 【答案】A 【详解】根据题意，五个数字组成五位数，且各不相同，其中首位数字不可取0， 因此首位数字为2时，剩余四个数字为0、2、6、8，共有种排列方法， 当首位数字为6时，剩余四个数字为0、2、2、8，共有种排列方法， 当首位数字为8时，剩余四个数字为0、2、2、6，共有种排列方法， 故一共有48种排列方法. 素养提升 11．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）将英文单词“mommy”的字母组合，能得到不同字母排法的种数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】A 【详解】英文单词“mommy”共有5个字母，其中相同字母有3个“m”, 所以将字母组合，可得到不同字母排法的种数为：. 12．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）为迎接五一劳动节的到来，学校安排6名劳动志愿者随机地排队开展宣传活动，其中有3名是环卫志愿者，则三名环卫志愿者互不相邻的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题属于古典概型问题，先计算6人全排列的总情况数，再用插空法计算3名环卫志愿者互不相邻的情况数，二者比值即为所求概率. 【详解】6名志愿者随机排队，总排列数为, 先排列剩余3名非环卫志愿者，排列数为，排完后形成4个空位（包含队列两端）,从4个空位中选3个插入3名环卫志愿者，排列数为, 因此符合条件的排列总数为, 则三名环卫志愿者互不相邻的概率为. 13．（26-27高三上·贵州贵阳·阶段检测）将0，2，2，6随机排成一行，则排成“2026”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算含两个相同数字2的4个元素的全排列数作为总样本数，再统计符合“2026”排列的样本数，代入古典概型公式求解． 【详解】将0,2,2,6随机排列，由于存在2个完全相同的数字2，因此不同的排列总数为， 其中满足排成“2026”的排列仅1种， 所以根据古典概型概率公式，所求概率． 14．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前三个数字构成三位数，后三个数字构成三位数，则的概率为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率和为1求解. 【详解】先求100的概率，则百位必相邻，且百位较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制， 第1步：从6个数中取2个数，两个数相邻情况共有5种，分别作为百位，共种情况， 第2步：从剩下4个数中取2个数作为十位，较大数作为百位较小数的十位，共种情况， 第3步：剩下2个数分别作为个位，共种情况， 所以的概率为， 故的概率是. 15．（26-27高三上·云南·阶段检测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，则甲不站在两端，丙和丁也不相邻的排法有（    ） A．12种 B．24种 C．40种 D．48种 【答案】D 【分析】先计算甲不站在两端的排法总数，再减去其中丙、丁相邻的排法数． 【详解】先只考虑“甲不站在两端”这一条件． 甲只能站在中间个位置中的一个位置，有种选择； 其余乙、丙、丁、戊人任意排列，有种排法． 因此，甲不站在两端的排法共有种． 下面计算其中丙、丁相邻的排法数． 先计算丙、丁相邻的所有排法：把丙、丁看成一个整体，这个整体内部有“丙丁”“丁丙”种顺序； 再将这个整体与甲、乙、戊共个对象排列，所以共有种排法． 在这种排法中，还要去掉甲站在两端的情形． 若甲站在两端，先确定甲站左端还是右端，有种选择； 再把丙、丁看成一个整体，内部有种顺序； 该整体与乙、戊共个对象排列，有种排法． 因此，甲站在两端且丙、丁相邻的排法共有种． 所以，甲不站在两端且丙、丁相邻的排法共有种． 因此，甲不站在两端且丙、丁不相邻的排法共有种． 16．（26-27高三上·贵州·阶段检测）某班上午有5节课，现需安排数学课2节，语文课、英语课、物理课各1节，要求两节数学课相邻，语文课和英语课不相邻，则不同的排课方法共有（    ） A．6种 B．8种 C．12种 D．24种 【答案】C 【详解】数学课相邻，采用捆绑法将其看为一个整体，将数学课整体与物理课全排列，共有种， 且排列后形成3个空隙，语文课与英语课要求不相邻，从三个空隙中选两个排入，共有种， 根据分步乘法计数原理，不同排列方法共有种． 迁移创新 17．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，且丙和丁不相邻，则不同排列方式共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．72种 【答案】C 【分析】使用插空法计所有丙和丁不相邻的排法数，丙丁不相邻且甲站在两端的排法数，使用间接法求解. 【详解】甲无限制，且丙和丁不相邻时，共有：种排法， 丙丁不相邻，甲站在两端时，共有：种排法， 则甲不站在两端，且丙和丁不相邻，共有种排法. 18．（25-26高二下·湖北十堰·期末）某班级一天上午有5节课，下午有2节课，现在要安排语文，数学，英语，物理，化学，政治，体育7门课各一节的课程表，要求数学，物理都在上午且不相邻，体育课在下午，则不同的排课方法数有（     ） A．576种 B．288种 C．192种 D．144种 【答案】A 【详解】因为数学，物理都在上午且不相邻，体育课在下午，先安排上午剩余3节课， 有种排法，然后将数学及物理插空，有种排法，剩下2门安排在下午， 有种排法， 故不同的排课方法数有种. 19．（25-26高二下·安徽合肥·期末）甲乙丙丁等8人，每4人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站队方法是（   ） A．72 B．216 C．864 D．1152 【答案】C 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】第一排甲乙站一起有三种可能，同理第二排丙丁站一起也有三种可能，甲乙和丙丁内部顺序分别为：， 其他人直接全排列，所以有种. 20．（25-26高二下·内蒙古包头·期末）某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加不同棒次安排方案总数为（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】D 【分析】按甲跑第1棒和第2棒分两类讨论，先确定乙的可选位置，再对剩余棒次从其余4名学生中选2人排列，求和得总方案数. 【详解】当甲跑第1棒时：乙可选择第2棒或第4棒，共种安排； 剩余2个棒次需从除甲、乙外的4名学生中选2人排列，排列数为， 此类方案总数为； 当甲跑第2棒时：乙只能选择第4棒，共1种安排； 剩余2个棒次需从除甲、乙外的4名学生中选2人排列，排列数为， 此类方案总数为； 总方案数为 21．（25-26高二下·北京丰台·期末）某中学举办主题为“十八而志承大任，芳华待灼赴海赢”的高三成人礼活动，现有语言类节目个、歌唱类节目个、舞蹈类节目个，共个节目登台演出．若要求同一类型的节目不能连续表演，则不同的节目表演顺序的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记事件个语言类的节目连续表演，事件个歌唱类节目连续表演，结合韦恩图法可知不同的节目表演顺序的种数为，求解即可. 【详解】记事件个语言类的节目连续表演，事件个歌唱类节目连续表演，如下图所示： 则种，， 故不同的节目表演顺序的种数为种. 22．（25-26高二下·河南商丘·期末）某高中安排甲、乙、丙、丁四位老师参加高考号、号、号三天的巡考工作，每天需安排位老师，分别负责上午和下午．若每位老师至少安排天巡考，且老师甲不能安排在号，老师乙、丙不能安排在同一天，则不同的安排方法总数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对甲安排的时间段进行分类讨论：（1）安排个时间段；（2）甲安排个时间段.然后确定其它时间段的安排，结合分步乘法和分类加法计数原理可得结果. 【详解】分以下几种情况讨论： （1）甲安排个时间段，则甲安排在号或号的个时间段，则甲有种选择， 例如甲安排在号上午，若号下午安排乙，则另外两天的安排组合是乙丁、丙丁或丙丁、丙丁， 此时，不同的安排方法种数为种； 若号下午安排丙，同理可知，不同的排法种数也为种； 若号下午安排丁，则另外两天的安排组合是乙丁、丙丁，此时不同的排法种数为种. 所以若甲安排个时间段，则不同的排法种数为种； （2）甲安排个时间段，则甲安排在号、号各一个时间段，此时有种选择， 若号、号各剩余的一个时间段都安排乙，则号的个时间段分别安排丙、丁，此时有种选择； 若号、号各剩余的一个时间段都安排丙，同理可知号的个时间段有种选择； 若号、号各剩余的一个时间段安排乙丙，则号的个时间段可安排乙丁或丙丁， 此时不同的安排方法种数为种； 若号、号各剩余的一个时间段安排乙丁，则号的个时间段安排丙丁， 此时不同的安排方法种数为种； 若号、号各剩余的一个时间段安排丙丁，同理可知不同的安排方法种数为种. 所以若甲安排个时间段，此时不同的安排方法种数为. 综上所述，不同的安排方法总数为种. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $