精品解析：河南南阳市第二完全学校初中部2026-2027学年上学期 九年级 数学第一次督学试卷

2026年秋期九年级数学第一次督学考试 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，同类二次根式的判断，分母有理化，分别化简和计算出四个选项中式子的值，若被开方数是3则可以与合并，据此可得答案． 【详解】解；A、能与合并，不符合题意； B、能与合并，不符合题意； C、不能与合并，符合题意； D、能与合并，不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，未明确二次项系数，当时方程不是一元二次方程，不符合题意； B选项，方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C选项，方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合题意； D选项，方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程，符合题意. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用二次根式的性质和二次根式的加减乘除运算法则解答即可． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，运算错误，不符合题意； 选项B：，运算错误，不符合题意； 选项C：，运算正确，符合题意； 选项D：，运算错误，不符合题意． 4. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 10或14 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案． 【详解】x2﹣8x+12＝0 解得， ①当等腰三角形的三边为时，此时能组成三角形，三角形的周长是 ①当等腰三角形的三边为时，，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去； 故选C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 5. 如图，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用平行线分线段成比例定理，可得到比例式，再对各选项逐一判断． 【详解】解：∵， ∴ ， 故A选项不符合题意； ∵， ∴ ， 故B选项不符合题意； ∵， ∴ ， ∴， 故C选项符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．熟知该定理是解题的关键． 6. 我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设BC=a，根据黄金矩形的概念求出AB，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：设BC=a， ∵矩形ABCD为黄金矩形， ∴AB=a， ∴BE=a-a=a， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键． 7. 已知四条线段2，3，4，x成比例，则x的值不可能是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】将2，3，4，x列比例等式求解即可． 【详解】解：当2，3，4，x成比例时，有以下情况： ①，可知；②，可知；③，可知； ∴x的值可能是6，，，不可能为8， 故选：C． 【点睛】本题考查比例，关键是列出比例式进行求解． 8. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ） A. B. C. D. n-2m-5 【答案】B 【解析】 【分析】利用完全平方公式和二次根式性质将原式化为，结合数轴判断、、m的正负，去绝对值合并同类项即可． 【详解】解：， 由数轴得， ，，， 原式． 9. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图（1），大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则图（2）是下列哪个方程的几何解法？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形面积为，边长为7， ∴图2是，即的几何解法， 故选：A 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 10. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察数阵排列，得出第行第个数（从左往右算）为；结合第行第个数与第（是整数，且）行从左向右数第个数相差个位置，据此进行列式计算即可．本题考查了算术平方根．根据数据排列规律，计算前行数据的个数是解决本题的关键． 【详解】解：由图中规律知， 第一行第二个数（从左往右算）为； 第二行第三个数（从左往右算）为； 第三行第四个数（从左往右算）为； 第四行第五个数（从左往右算）为； 以此类推， …… 第行第个数（从左往右算）为； 则 ∴第是整数，且行从左向右数第个数是． 故选：C． 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 若在实数范围内有意义，则x满足的条件为______． 【答案】且 【解析】 【分析】二次根式有意义即被开方数为非负数，分式有意义即分母不为0，由此解答即可． 本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握这两个知识点是解题的关键． 【详解】解：若在实数范围内有意义， 则， 解得且， 故答案为：且 12. 已知，则＝_____． 【答案】． 【解析】 【分析】直接利用已知用同一未知数表示出x，y，z的值，进而化简得出答案． 【详解】解：∵， ∴设x＝4a，则y＝3a，z＝2a， 则＝＝． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答此题的关键． 13. 已知实数满足，那么的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】令，原式变形为解方程可求得的值，再根据，即可求得的值． 【详解】令，原式变形为， ∴， 解得或， ∵， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 14. 甲、乙两个同学分别解一个一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程的两根为和，乙把常数项看错了，而解得两根为和，则原方程是 ______． 【答案】x2-4x-15=0 【解析】 【分析】根据题意结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：设原方程是x2+bx+c=0， ∵已知中甲因把一次项系数看错了，故常数项正确； ∴c=-3×5=-15， ∵乙把常数项看错了，故一次项正确； ∴-b=2++2-=4， ∴b=-4， ∴原方程是x2-4x-15=0， 故答案为：x2-4x-15=0． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程() 的两根时，，． 15. 如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当______时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】2或4． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，正确进行讨论是关键．首先利用表示出和的长，然后根据即可列方程求得的值． 【详解】解：由题意知，点只能在点的左侧， ①当点在点的左侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． ②当点在点的右侧时，由， 整理得， 解这个方程，得（舍去），． 所以，当时，四边形是平行四边形． 所以当或时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：2或4． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别化简每一项，再合并计算； （2）利用完全平方公式展开，化简除法后合并计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 用适当的方法解下列方程 （1）． （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：，  ， ， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，. 18. 已知是一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在实数，的值为 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）直接利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：． 【小问2详解】 是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 存在实数，的值为． 19. 如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC． （1）求证：AF：FD=AD：DB； （2）若AB=15，AD：BD=2：1，求DF的长． 【答案】 （1）证明：∵EF∥CD， ∴， ∵DE∥BC， ∴ ∴． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理证得，，由此即可证得结论； （2）由AB=15，AD：BD=2：1，即可得AD=10，再由AF：FD=AD：DB得到AF：FD=2：1，所以AF=2DF，又因AF+DF=10，即可得2DF+DF=10，所以DF=． 试题解析： 【详解】（1）略 （2）∵AD：BD=2：1， ∴BD=AD， ∴AD+AD=15， ∴AD=10， ∵AF：FD=AD：DB， ∴AF：FD=2：1， ∴AF=2DF， ∵AF+DF=10， ∴2DF+DF=10， ∴DF=． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据成比例线段互换格式是解决此题的关键． 20. 阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法 2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： （1）请完成材料中的求解过程． （2）利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 【答案】（1）， （2）无实数根 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，直接开平方法解一元二次方程，平方差公式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）利用平方差公式得出，再求出即可求解； （2）利用根与系数的关系得出，，可知与的平均数为，设，，则，则，可知原方程无实数根． 【小问1详解】 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：设方程的两根为，， 这里，，， ∴，， 由，可知与的平均数为， 设，， 则， ∴， ∴， ∴实数不存在， ∴原方程无实数根． 21. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】（1） （2）当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【解析】 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 22. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断方程是不是“差1方程”，并说明理由； （2）已知关于的方程（m是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 【答案】（1） 该方程是“差1方程”，理由如下： 设方程的两根为，， 根据根与系数的关系，得 ，， ， ， 即两根相差1，满足“差1方程”的定义 （2） 的值为或 （3） 的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用根与系数的关系计算两根差的平方，验证两根差的绝对值是否为1； （2）通过因式分解求出方程的两根，结合“差1方程”的定义列方程求解； （3）先由“差1方程”的条件推导与的关系式，代入的表达式后用配方法求最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将方程左边因式分解，得 ， 解得，， 原方程是“差1方程”， ，即， 或， 解得或；  【小问3详解】 解：设方程的两根为，，根据根与系数的关系，得 ，， 原方程是“差1方程”， ， ， ， 代入得， 整理得，即， 将代入，得 ， ，且， 当时，取得最大值，最大值为． 23. 综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． （1）任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； （2）任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； （3）任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）能， 【解析】 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）设，用x分别表示的长，根据收纳盒的底面积可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）设，则，，根据长、宽、高的要求分情况进行讨论，取符合题意的答案即可． 【小问1详解】 解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形， ． 根据折叠后正好重合可知． 【小问2详解】 解：设，则，， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） ． 【小问3详解】 解：能． 设，则，，由题意得 ①，解得， ②，解得，； ③，解得，不符合舍去； ④，解得，不符合舍去； ⑤，解得，不符合舍去； ⑥，解得，不符合舍去； 综上得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋期九年级数学第一次督学考试 一、选择题：（每小题3分，共30分） 1. 下列根式中，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣8x+12＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 10或14 5. 如图，，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我们把宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD（）的边BC上取一点E，使得，连接AE，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知四条线段2，3，4，x成比例，则x的值不可能是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 8. 已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ） A. B. C. D. n-2m-5 9. 我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法.以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图（1），大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则图（2）是下列哪个方程的几何解法？（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 若在实数范围内有意义，则x满足的条件为______． 12. 已知，则＝_____． 13. 已知实数满足，那么的值为_________． 14. 甲、乙两个同学分别解一个一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程的两根为和，乙把常数项看错了，而解得两根为和，则原方程是 ______． 15. 如图，在矩形中，，，，、分别从，，，出发沿，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若，则，，．当______时，以P，Q、M，N为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 17. 用适当的方法解下列方程 （1）． （2）． 18. 已知是一元二次方程的两个不相等的实数根 （1）求的取值范围； （2）是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 19. 如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC． （1）求证：AF：FD=AD：DB； （2）若AB=15，AD：BD=2：1，求DF的长． 20. 阅读与思考 下面是小宁同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 晴 一元二次方程的新解法——罗氏解法 2019年，美籍华裔数学家罗博深发现了一种一元二次方程的新解法，被称为“3000年来解一元二次方程的大变革”，这种新解法是以根与系数的关系为基础，利用两根平均数的方法进行解答．一元二次方程的根（，）与系数的关系为，． 以解方程为例． 解：设方程的两根为，． 这里，，． ∴，． 由，可知与的平均数为． 设，，则． …… 罗氏解法为我们提供了更加简洁的方法． 任务： （1）请完成材料中的求解过程． （2）利用罗氏解法，求一元二次方程的根的情况． 21. 年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． （1）求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． （2）从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 22. 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． （1）判断方程是不是“差1方程”，并说明理由； （2）已知关于的方程（m是常数）是“差1方程”，求的值； （3）若关于的方程（是常数，）是“差1方程”，设，求的最大值． 23. 综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． （1）任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； （2）任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； （3）任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $