15.3.2 等边三角形（专题训练）-2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题 15.3.2 等边三角形（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型·1·等边三角形的性质】 1 【题型·2.等边三角形的判定】 3 【题型·3·等边三角形的判定和性质】 4 【题型·4·大(小)边对大(小)角定理】 6 【题型·5·最短路径问题】 10 【题型·1·等边三角形的性质】 1．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 【题型·2.等边三角形的判定】 7．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 8．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 9．如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 10．如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 11．如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【题型·3·等边三角形的判定和性质】 12．已知，如图，延长的各边，使得，顺次连接D，E，F，得到为等边三角形．求证： (1)； (2)为等边三角形． 13．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 14．如图，在中，，点D是边的中点，且，点E是外一点，连接，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求证：． 15．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 16．是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，为的角平分线，点在的延长线上，，连接、，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求长． 【题型·4·大(小)边对大(小)角定理】 17．如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 18．阅读并完成相应的任务 证明“大角对大边”．已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，．（理由1 ） 在中，，（理由2 ） ．即． (1)任务1：填空：理由1： ； 理由2： ； (2)任务2：应用：在中，，，求证：． 19．某数学兴趣小组围绕三角形“大边对大角”的逆命题，开展了如下探究活动： 教材回顾 如图1，在中，，可将沿折叠，使点落在边上的点处，由折叠的性质可得． 又． 结论：如果三角形有两条边不相等，那么这两条边所对的角不相等，且大边所对的角更大，即“大边对大角”． 提出猜想 该兴趣小组针对“大边对大角”的逆命题展开思考： 提出猜想：在一个三角形中，较大的内角所对的边更长，即“大角对大边”．将其转化成数学问题证明： 已知：在中，． 求证：． 思考探究 某同学设计了轴对称证明思路：如图2，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接 … 问题解决 任务1 结合图2的轴对称证明思路，请你完成“大角对大边”的后续证明过程． 任务2 你可以应用“大角对大边”这一结论完成以下任务： 如图3，在中，平分，点是边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点．证明：． 20．综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取．，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是_____； A．锐角三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形    D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为_____； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”认作定理． 写出这个定理的逆定理：___________________________________． 21．实验与探究： 教材回顾： 如图，在中，，可将折叠，使得边落在上，点落在上的点，折痕交于点，则． ① 这说明，在一个三角形中，如果两边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大． 请你认真阅读以上材料后，完成下列的任务． 任务一 上述材料中①为什么成立？说明理由． 任务二 如图，在中，，那么他们所对的边大小关系是什么？并给出证明． 任务三 小条同学在完成任务二的发现后，产生一个疑问，在同一个三角形中，有任务二中的边角关系，在两个三角形中有类似的结论吗？聪明的你帮助小条同学解答一下吧．在和中，，，，请你画出符合要求的，探究与的大小关系． 【题型·5·最短路径问题】 22．如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 23．如图，中，，，，．点，分别为，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．20 D．11 25．如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 26．如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（    ） A．136° B．96° C．90° D．84° 27．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 15.3.2 等边三角形（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 【题型·1·等边三角形的性质】 1 【题型·2.等边三角形的判定】 5 【题型·3·等边三角形的判定和性质】 8 【题型·4·大(小)边对大(小)角定理】 16 【题型·5·最短路径问题】 26 【题型·1·等边三角形的性质】 1．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，根据等边三角形的性质可知，根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ． 故选：C． 2．如图，为等边三角形，，点E为延长线上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，的边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若为等边三角形，且周长为，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的三边相等和线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 先根据等边三角形的周长求出边长，再利用线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而求出的长度． 【详解】解：∵为等边三角形，且周长为， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，解题的关键是通过折叠的性质得出对应的线段等量关系． 根据折叠的性质，得，，即可求得阴影部分的周长之和． 【详解】解：由折叠的性质，得，， ∵为等边三角形， 得， 三个阴影部分的周长的和为： ， 故选D． 5．如图，在等边中，点D，E分别在上，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 根据题意，可证，得到，再根据三角形外角性质计算即可． 【详解】等边中，， 又， ， ． ． 故选：B． 6．如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵于点E，于点F． ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 【题型·2.等边三角形的判定】 7．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明 是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： ，即 是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若 平分 ，只能得到 ，无法推出 的内角为 或三边相等，故 D 符合题意． 8．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，，即， ∴是等边三角形． 9．如图，已知在中，，，是中线，求证：是等边三角形． 【答案】证明：∵是中线， ∴，即， ∵， ∴， 如图，在的延长线上截取，连接， ∴，， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】根据已知条件得到，在的延长线上截取，连接，得到，得到，由等腰三角形的判定得到，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】略 10．如图，在中，，点、在边上（点在点的左侧），． (1)证明：≌； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) 证明：∵在中，， ∴． 在和中，， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵是的外角，， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定． （1）利用“等角对等边”得到，结合已知条件用证明全等； （2）由全等得，再证，从而判定为等边三角形． 【详解】（1）略 （2）略 11．如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) 证明：， ， ， ． 是等边三角形． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． ， ． ． ； （2）略 【题型·3·等边三角形的判定和性质】 12．已知，如图，延长的各边，使得，顺次连接D，E，F，得到为等边三角形．求证： (1)； (2)为等边三角形． 【答案】(1) 证明：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，得到，线段的和差关系推出，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，平角的定义，三角形的外角以及三角形的内角和定理推出，，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 13．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点，连接交于点，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：以点为圆心，长为半径画弧，交于点， ． ， 是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据作图得到，结合已知，利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形来证明． （2）结合作图可知垂直平分，结合等边三角形性质求出，算出，再由计算结果． 【详解】（1）略 （2）解：是等边三角形，， ． 由作图可得，， ∴垂直平分． ． ， ． ． 14．如图，在中，，点D是边的中点，且，点E是外一点，连接，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形； (2)证明：∵是等边三角形， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴，即 【分析】（1）由得，根据题意得，结合可得结论； （2）证明，根据证明 【详解】（1）略 （2）略 15．在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交边，于点E，F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：， ， ， ． ， 是等边三角形； (2)证明：是等边三角形， ． ， ，即． 在与中， ， ， ． 【分析】(1) 首先由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出是等边三角形； (2) 由是等边三角形可得，，进而得出，然后由证明，最后可得． 【详解】（1）略 （2）略 16．是等边三角形，点、分别在边、上，、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，为的角平分线，点在的延长线上，，连接、，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求长． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． (2)证明：如图，过点作，交的延长线于，作于， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴． (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，，利用得出，即可证得结论； （2）过点作，交的延长线于，作于，根据角平分线的性质定理证得，利用角的和差关系得出，利用证明，得出，，，进而证得，得出，，从而得出是等边三角形，证得； （3）在上截取，过点作于，于，得出是等边三角形，进一步得出，，证得，得出，从而得到，由可得，根据等高三角形面积比等于底的比得出，进而可求出长． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，在上截取，过点作于，于， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【点睛】本题是全等三角形的综合、等边三角形的判定与性质及角平分线的性质，正确添加辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【题型·4·大(小)边对大(小)角定理】 17．如图，已知：在中，，是边上的中线．求证：． 【答案】证明：把绕点顺时针旋转到的位置，如图， ∴，而， ∴， ∴， 所以． 【分析】把绕点顺时针旋转到的位置，则，进而得到，，然后可得． 【详解】略 18．阅读并完成相应的任务 证明“大角对大边”．已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，．（理由1 ） 在中，，（理由2 ） ．即． (1)任务1：填空：理由1： ； 理由2： ； (2)任务2：应用：在中，，，求证：． 【答案】(1)等角对等边；三角形两边之和大于第三边 (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由“大角对大边”可得． 【详解】（1）证明：以为顶点作， ， ．（理由1等角对等边） 在中，，（理由2三角形两边之和大于第三边） ． 即． （2）略 19．某数学兴趣小组围绕三角形“大边对大角”的逆命题，开展了如下探究活动： 教材回顾 如图1，在中，，可将沿折叠，使点落在边上的点处，由折叠的性质可得． 又． 结论：如果三角形有两条边不相等，那么这两条边所对的角不相等，且大边所对的角更大，即“大边对大角”． 提出猜想 该兴趣小组针对“大边对大角”的逆命题展开思考： 提出猜想：在一个三角形中，较大的内角所对的边更长，即“大角对大边”．将其转化成数学问题证明： 已知：在中，． 求证：． 思考探究 某同学设计了轴对称证明思路：如图2，作的垂直平分线，交于点，交于点，连接 … 问题解决 任务1 结合图2的轴对称证明思路，请你完成“大角对大边”的后续证明过程． 任务2 你可以应用“大角对大边”这一结论完成以下任务： 如图3，在中，平分，点是边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点．证明：． 【答案】 任务1：证明：∵垂直平分， ∴， ∵在中，， ∴，即； 任务2：证明：如图所示，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即． 【分析】任务1：根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形三边的关系可得，据此可证明结论； 任务2：在上截取，连接，可证明得到，，则可证明，证明，即，则可证明，即． 【详解】任务1：略 任务2：略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系等，熟知相关知识，作出合适的辅助线是解题的关键． 20．综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？ 猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：． 经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决．由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于，在上截取．，连接． 分析：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接． 分析：作于，在上截取，连接． 图形 请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是_____； A．锐角三角形    B．钝角三角形    C．直角三角形    D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为_____； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”认作定理． 写出这个定理的逆定理：___________________________________． 【答案】（1）选择李欣的思路 证明：作的平分线，交于，在上截取，连接． 平分， ， 在和中， ， ， ， 是△的外角， ， ； 选择张晶的思路： 证明：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接， 平分， ， ，， ， ， 是△的外角， ， ； 选择王皓的思路： 证明：作于，在上截取，连接， ，， ， ， 是△的外角， ， ； （2）A （3） （4）在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大 【分析】（1）选择李欣的思路：作的平分线，交于，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出 ，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择张晶的思路：作的平分线，交于，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出 ，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择王皓的思路：作于，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据题意得到这个三角形所有的角都是锐角，进而可得结论； （3）根据大边对大角求解即可； （4）将一个命题的题设和结论互换即得到原命题的逆命题，据此解答即可. 【详解】解：（1）略 （2）在一个三角形中，大边对大角， 如果最大边所对的角是锐角，那么其他边所对的角都比这个最大边所对的角小， 三个角都是锐角， 故此三角形就是锐角三角形． 故选：A； （3）在△中，， ； 故答案为：； （4）这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大． 故答案为：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边大． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，逆定理，三角形外角的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 21．实验与探究： 教材回顾： 如图，在中，，可将折叠，使得边落在上，点落在上的点，折痕交于点，则． ① 这说明，在一个三角形中，如果两边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大． 请你认真阅读以上材料后，完成下列的任务． 任务一 上述材料中①为什么成立？说明理由． 任务二 如图，在中，，那么他们所对的边大小关系是什么？并给出证明． 任务三 小条同学在完成任务二的发现后，产生一个疑问，在同一个三角形中，有任务二中的边角关系，在两个三角形中有类似的结论吗？聪明的你帮助小条同学解答一下吧．在和中，，，，请你画出符合要求的，探究与的大小关系． 【答案】任务一：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 任务二：， 如图2，在中，如果，可以作， 交于， 则． ∵， ∴． 这说明，在一个三角形中，如果两角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较长． 任务三： 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形的边与角的关系，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定； 任务一：根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解； 任务二：根据材料①得出结论，在一个三角形中，如果两角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较长； 任务三：分情况讨论，结合任务二的结论，即可求解． 【详解】任务一：∵（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）． ∴． ∴． 任务二：略 任务三：由于，分两种情况讨论， ①如图所示，在和中，，， 当落在上时， ∵， ∴， ②如图所示，当不在上时， 中，最大，根据大角所对的边较长可得， ③当在的外部时，作，， 又∵， ∴， ∴， 同上可得，即， 综上所述，． 【题型·5·最短路径问题】 22．如图所示，农田间有两条平行灌溉渠、，渠宽固定，现需修建垂直渠岸的输水渡槽．水泵站在北渠外侧，蓄水池在南渠外侧，要使得总长度最短，下列作图正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意渠宽固定，即的长度是定值，要使得总长度最短，则的长度最短即可． 【详解】解：将点P向下平移的长度得到，连接，， 则，． ． 即当三点共线时总长度最短． 23．如图，中，，，，．点，分别为，上的两个动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最短路径问题，垂线段最短，与三角形的高相关的计算． 延长至点，使得，连接，由线段垂直平分线的性质，可得，作于点，由垂线段最短，可得，连接，由的面积，可得，即可得的最小值． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， 作于点，则， ∴当点P，Q，M三点共线时，且时，即点H和点P重合时，取得最小值，即的长度， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 24．如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．13 C．20 D．11 【答案】B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，三角形面积公式，能够推出三角形周长的最小值是解题的关键． 连接，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题． 【详解】解：连接， 直线垂直平分线段， ， 点为边的中点，， ， 周长 ， 周长的最小值为， ，点为边的中点， ， ，， ， 解得， 周长的最小值为， 故选：B． 25．如图，四边形中，，，M，N分别是，上的点，当的周长最小时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点C关于的对称点E，关于的对称点F，则，，可得，即可得当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长，根据四边形中，，得，根据三角形内角和定理得，根据等边对等角得，，即可得，根据三角形内角和定理即可得． 【详解】解：如图所示，作点C关于的对称点E，关于的对称点F， 则，， ∴， ∴当E、M、N、F在同一条直线上时，的最小值等于线段的长， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，三角形内角和定理，等边对等角，解题的关键是理解题意，利用对称性构造最短路径． 26．如图．在五边形ABCDE中，∠AMN＋∠ANM＝，∠B＝∠E＝， 在BC、DE上分别找一点M、N，使得的周长最小时，则∠BAE的度数为（    ） A．136° B．96° C．90° D．84° 【答案】A 【分析】取点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N，根据轴对称的性质可得AM=PM，AN=QN，然后求出△AMN周长=PQ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ的长度即为的周长最小值，根据三角形的内角和等于求出∠P+∠Q，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AMN=2∠P，∠ANM=2∠Q，然后求解即可． 【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点P，关于DE的对称点Q，连接PQ与BC相交于点M，与DE相交于点N， 则AM=PM，AN=QN， ∴∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN， ∴周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ， 由轴对称确定最短路线，PQ的长度即为的周长最小值，∵∠AMN＋∠ANM＝， ∴ ∵∠P=∠PAM，∠Q=∠QAN， ∴∠P+∠Q=， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，确定出点M、N的位置是解题的关键，属于中考常考题型． 27．如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7． 【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE'， ∴PE=PE'， ∴EP+FP=PE'+PF≥E'F， 当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时， 此时EP+FP的值最小， ∵△ABC是正三角形， ∴∠B=60°， ∵E'F⊥AB， ∴∠FE'B=30°， ∴BE'=2BF， ∵BF=5，BE=4， ∴E'B=10， ∵CE=CE'， ∴10=2CE+BE=2CE+4， ∴CE=3， ∴BC=7， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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