辽宁沈阳铁路实验中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

2026-2027学年度上学期高一年级第一次月考 数学 满分：150 时间：150分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上． 1．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．使得“”成立的一个充分而不必要条件是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．对于集合，，定义且，，设，，则（ ） A． B． C．或 D．或 5．下列说法正确的是（ ） A．函数的定义域是 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 6．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 7．设集合中的最大值与最小值分别为，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知a为实数，若集合，，且，则a的值可以是（ ） A．6 B．2 C．−2 D．0 10．已知，，则（ ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的是（ ） A．若，则的最大值是 B．的最小值为2 C．若实数x，y满足，则的取值范围是 D．若，，，则的最小值是2 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知，，则的取值范围是_________． 13．，，，则a，b，c的大小关系是_________． 14．若，，且满足，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 设全集，集合，． （1）若时，求，； （2）若条件，条件，且为的充分不必要条件，求实数的取值范围； （3）若．求实数的取值范围． 16．（15分） 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围． （3）设命题为真时的取值集合为，命题为真时的取值集合为．若“”是“”的充分不必要条件，其中集合，求实数的取值范围． 17．（15分） 解关于的不等式或求值． （1）； （2）已知，解不等式； （3），求． 18．（17分） （1）已知，证明：； （2）已知，均不为0，且，试比较与的大小； （3）已知，，，证明：若，，，则，，中至少有一个不小于0． 19．（17分） 已知函数，． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集； （3）若且方程有两个正实数根，，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年度上学期高一年级第一次月考 数学参考答案 题号 1 2 6 P 10 答案 B D D D D D D ABD AC 题号 11 答案 ACD 12.(8) 13.a<b<c 14.6+4V2 15.1)4UB=x0<x<7乃，(G4U(GB)={xr≤1或x22} (3)a∈(-∞，-4] 【详解】(1)若a=2,则B=1<x<7乃，所以4AUB={0<x<7} (GAU(GB)={x≤1或x之2 a-1<2a+3 a-1≤0 (2)由题可知，A是B的真子集，所以 2a+3≥2，且a-1≤0和2a+3之2不能同时取等号， 解得：2 ≤a<1 [ (3)因为A=x0<x<2},所以A={≤0或x之2}， 若B=0,则a-1≥2a+3,解得：a≤-4； a-1≥0 若B≠0，则a>4,此时有2a+3≤2，无解， 综上所述，若(GA)nB= ,则实数a的取值范围是（-0，-4] 16.1)3] (2)（-∞，1U(2,3] (3)(3,+o) 【详解】(1)命题P为真的条件：对任意r∈[0,1,2x-3≥m2-4m恒成立， 函数y=2x-3在[0,1]上单调递增，最小值为m=2×0-3=-3 因此只需-3≥m-4m,整理得m2-4m+3≤0，因式分解为(m-(m-3)≤0， 解得l≤m≤3 因此，当P为真命题时，实数m的取值范围为L,3] （2)命题9为真的条件：存在x∈1,1，使得2-2x+m-1≤0成立. 函数y=X-2x+m-1开口向上，对称轴为x=1, 在-l,刂上单调递减，最小值为ym=-2×1+m-1=m-2, 因此只需m-2≤0，解得m≤2」 命题P、9一真一假，分两类讨论： 1≤m≤3 ①P真9假： m>2, 即m∈(2,3] m<1或m>3 ②P假9真： m≤2 即m∈(-o,l) 综上所述：m∈(-∞，1)U(2,3] 3)由1)2)得4=[L],B=(0,2],故4UB=(-0,3], “x∈AUB”是“x∈C”的充分不必要条件，等价于AUB三C,其中C=(-0,0）, 因此需满足a>3,即实数a的取值范围为(3，+∞） 17.1){x2≤x≤-1或≤x≤2 (2)当Q=0时，原不等式的解集为{r> a+1或x> 当a<0时，原不等式的解集为 1 (3)3 【详解】(1)原不等式化为x-3+2≤0，即--2)0，可得1≤s2,解行 -2≤x≤-1或l≤x≤2， 所以原不等式解集为2≤x≤-1或≤x≤2」 -a+(a+>0 (2)原不等式化为x-1 1 ->0 ①当a=0时，原不等式为x-1,解得x>1; ②当a≠0时，原不等式化为x-1 ,即（ a+）x-)<0a+>11<x<a X 当a>0时，原不等式等价于 a ,显然a,解得 a; a+l=1+1<1 当a<0时，原不等式等价于 ,而aa,解得a或x>1. 所以当a=0时，原不等式的解集为{中> 当a>0时，原不等式的解集为( X x<a+l或x>】 当a<0时，原不等式的解集为 a 5 2 3x-y-z=0 (3)由2x+y-2=0,解得y=2 y=x x2+y2 x2+ 4 1 (x+y)z 153 所以 x+22 18.(1)因为a2+b≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立： b2+c2≥2bc,当且仅当b=C时，等号成立： a2+c2≥2ac,当且仅当a=C时，等号成立： 可得2(a+6+c)>2(ab+bc+ac),当且仅当a=b=c=1时，等号成立： 又因为(a+b+c)}'=a2+b+c2+2(ab+bc+ac)】 wa2+b+c2=(a+b+c)-2(ab+be+ae)=9-2(ab+bc+ac) 可得2[9-2(ab+bc+ac]≥2(ab+bc+ac)】 所以ab+bc+ac≤3，当且仅当a=b=c=l时，等号成立： a2 b2 >a-b a2 <a-b (2)若ab>0,则ba ；若ab<0,则ba (3)假设x,y,2中均小于0， 因为r+y+z=(Q2-2c+6)+(6-6a+6)+(c2-4b+2) =(a-3)2+(b-2)2+(c-1)2≥0 当且仅当a=3,b=2,C=1时，等号成立， 这与x+y+2<0相矛盾，假设不成立， 所以x,少，2中至少有一个不小于0. 【详解】(1)略 (2)因为 石】a-任-j小6小e0.a- ab 且a>b,则a-b>0,a2+b>0,可得（a-ba+b)>0。 g）-a-b)>04 若ab>0,则b a >a-b ,即ba a2 b2 a2 b2 若ab<0,则ba -(a-b)<0 <a-b ,即ba (3)略 19.(1){a-4<a≤0} (2)当a<0时，不等式的解集为a门：当a=0时，不等式的解集为-o,,当0<a<2时，不等 式的解集为 。2=2:个欢的类为R,当a2,木欢的解4列 (3)6 【详解】(1)由题意ar-（a+2)x+2<3-2x对任意xeR恒成立，整理得ax2-a-1<0恒成立： ①当a=0时，不等式为-l<0,恒成立，符合条件： a<0 ②当a≠0时，需满足△=a+4a<0,解得a-4<a<0;. 综上，实数a的取值范围a-4<a≤0} (2)不等式r-(a+2)x+220因式分解得(ax-2x-)≥0，分类讨论： 2<1 [2 ①当a<0时， a,解集为a ②当a=0时，不等式化为-2x+2之0， 解得x≤1，解集为（-0，， 2>1 ③当0<a<2时，a,解集为 a[层. ④当Q=2时，不等式化为2(x-1)≥0，解集为R: 2<1 ⑤当a>2时，a,解集为 U+) a 院上可得，当a<0时，不等式的解集为a, 当a=0时，不等式的解集为(-0，刂： 当0<a<2时，不等式的解集为 当a=2时，不等式的解集为R: -2U[L+) 当a>2时，不等式的解集为 a (3)当a=2时，原方程整理为 x2-(m+3)x+m-1=0 设两根为七，x2,由韦达定理得 +5=m+3 ,=m 2, 2, 因方程有两个正实根，△=(m+3-8m-)=m-2m+17=m-'+16>0恒成立， m+3,0 2 x1+x2>0 m-1 二>0 故只需满足 ( >0,即2 ,解得m>1 玉+五-+发-伍+)-2x=G+-2 所求代数式变形为 x x2 X X2 m+3)2 2 m-1 2 (m+3)2 2 2(m-1) 代入韦达定理结果得2 亿+4-2=+80+16-2=5+8+2 令t=m-1(t>0),则m=t+1,代入得2t 2t Γ2t, t,8、。t8 -≥2. -三4 18 由基本不等式得21Y2t,当且仅当21即t=4(t=-4舍去)时等号成立， 2+ 此时m=5满足m>1,故X的最小值为4+2=6。