专题4.1 投影（高效培优讲义）数学新教材北师大版九年级上册

专题4.1 投影 教学目标 1、认识投影现象，理解投影、投影线、投影面的概念；能区分中心投影、平行投影，知道正投影是特殊的平行投影。 2、掌握中心投影特点：光源、物体顶端、影子顶端三点共线；能根据物体与影子确定点光源位置，会画灯光下物体的影子。 3、掌握平行投影（太阳光）特点；会利用相似三角形解决阳光下测高问题。 4、了解正投影规律：线段、平面图形相对于投影面平行、倾斜、垂直三种情况下，正投影的形状与大小变化。 5、通过动手操作、观察影子变化，经历从实物抽象投影模型的过程，发展空间想象能力；通过对比中心投影和平行投影，学会分类归纳，辨析两类投影的异同。 6、感受投影在生活、皮影、测绘中的应用，体会数学与现实生活的联系；在作图、推理过程中培养严谨画图、规范推理的习惯，提升几何学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）中心投影：根据物体和影子找光源，画出物体的影子。 （2）平行投影性质：同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形进行测高计算。 （3）正投影的基本规律（线段、平面图形）。 2.难点 （1）区分中心投影和平行投影，辨析影子形成的光源类型（灯光 / 太阳光）。 （2）中心投影作图：逆向找光源，理解等高物体离光源远近不同，影子长度不同，没有固定比例（和太阳光平行投影最大区别）。 （3）复杂投影实际问题：比如墙面影子、分段影子（地面 + 墙面），构造相似三角形求解。 （4）空间想象：判断线段、平面图形在不同摆放角度下正投影的形状大小。 知识点1 投影、中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影（projection）现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影（central projection）．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征： （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长。 （2）等长物体平行于地面放置：离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短。 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系．秦腔演员在灯光下表演的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【详解】解：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，灯光属于点光源，秦腔演员在灯光下的影子是由该点光源发出的光线形成的投影，因此是中心投影．故答案为：中心． 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【答案】D 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长．故选：D． 3．（2026·四川成都·一模）如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大 【答案】C 【详解】解：当点光源在物体上方，向下照射物体时，点光源离物体越近，影子越大，点光源离物体越远，影子越小．即当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是变大．故选：C． 4．（2026·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：如图，过点P作于点E交于点M， 根据题意得：，∴， ∵，，，∴，，，∴， ∴，即，解得：． 5．（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴， ∵米，米，米则米，∴，∴米， ∵，∴，∴， ∵米，米，则米，∴，∴米，故选：B 知识点2 平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线（parallel projection）所形成的投影称为平行投影。 常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影（orthographic projection）。 正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）。 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 【即学即练】 1．（2026·陕西宝鸡·一模）阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【详解】解：阳光发出的光线可以看成是平行光线，像这样的平行光线所形成的投影叫做平行投影，阳光照射下体育馆的影子属于平行投影．故答案为：平行． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【详解】解：∵太阳光线是平行光线，矩形的对边平行， ∴矩形对边在平行投影下得到的投影仍然平行， ∴平行四边形，矩形、正方形都是特殊的平行四边形，倾斜放置或合适角度都可以得到， 当矩形纸片与光线平行放置时还可投影得到线段， 等腰梯形只有一组对边平行，不符合平行投影的性质，因此不可能是等腰梯形． 3．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（    ）． A． B． C．D． 【答案】C 【详解】解：∵太阳光是平行光， ∴相等长度的木棍的投影应该在同一侧，且影子的长度相等，只有选项C符合． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，即， ， ， ， ，．． ，． ． 故选∶D． 5．（2026·江苏南京·一模）如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 【答案】D 【详解】解：如图，当光线沿射线方向射入时，光线与前表面的对角线平行， ∵正方体棱长为，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，同理可得，，∴四边形是边长为的正方形， 如图，当光线沿射线方向射入时，，∵为中点，∴， ∵，，，∴，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，∴四边形是长为，宽为的长方形； 综上所述：箱子在地面上形成的投影是边长为的正方形和长为，宽为的长方形． 6．（2026·辽宁抚顺·一模）某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点，根据题意得：米，米，米，米，∵同一时刻物高与影长成比例，∴，∴，∴， 又，∵，∴，∴， ∴，∴，解得（米）． 题型01 投影类型辨析判断 【典例1】（25-26九年级上·河南郑州·期中）下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【答案】C 【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影， ∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影．故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）下面属于平行投影的是（   ） A．阳光下的树影 B．皮影戏 C．路灯下的人影 D．台灯下的笔影 【答案】A 【详解】解： 、阳光下的树影属于平行投影，符合题意； 、皮影戏属于中心投影，不符合题意；、路灯下的人影属于中心投影，不符合题意； 、台灯下的笔影属于中心投影，不符合题意；故选：． 【变式2】（25-26九年级上·福建宁德·期末）“满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景．其中，亲人身影映于墙上的现象属于___________．（填“中心投影”或“平行投影”） 【答案】中心投影 【详解】解：灯光是点光源，光线从光源点向四周发散，物体在墙上的影子是由这些发散的光线形成的， 因此属于中心投影，故答案为：中心投影． 【变式3】（25-26九年级下·广东·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 【答案】B 【详解】解：A、如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体不一定是球，比如圆柱体的正投影可能是圆，原说法错误，不符合题意； B、不同物体的正投影可以相同，比如圆柱体和球（底面圆的半径和球的半径相同）的正投影都可以是圆，原说法正确，符合题意； C、圆锥的正投影可能是等腰三角形，也可能是圆，原说法错误，不符合题意； D、圆纸片的正投影可能是圆，也可能是椭圆，原说法错误，不符合题意；故选B． 题型02 光源变化下影子大小变化判断 【典例1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 【答案】B 【详解】解：太阳从东边升起最后从西边落下，树的影子应该在西面开始，随着时间的变化影子逐渐向北偏西，北偏东，正东方向的顺序移动，∴按时间先后顺序排列序号应为④②①③．故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：根据灯光与物体，影子的对应点连接在同一直线上判断：A、选项中的影子不符合题意； B、选项中的影子不符合题意；C、选项中的影子不符合题意；D、选项中的影子符合题意．故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（    ） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：如图所示：由图得，它的影子越长，那么离路灯越远， ∵他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是逐渐远离路灯故选：A 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（即丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽离路灯的距离谁近一点（    ） A．妈妈 B．丽丽 C．一样 D．无法判断 【答案】A 【详解】解：∵离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长，且丽丽的影子比妈妈的影子长，丽丽身高小于妈妈，∴妈妈和丽丽离路灯的距离妈妈近一点．故选：A． 【变式4】（25-26九年级上·陕西西安·期末）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的方向应该一致，故本选项错误； B．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子的长度应该相等，故本选项错误； C．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理，故本选项正确； D．在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子应该互相平行，故本选项错误．故选：C． 题型03 判断物体投影的形状 【典例1】（2026·贵州贵阳·一模）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【答案】A 【详解】解：∵小球是球体，手电筒垂直照射， ∴光线方向与竖直墙面垂直， ∴小球在墙面上的影子即为球体的正投影， ∵球体在垂直于光线的平面上的影子是圆， ∴影子的形状是圆． 【变式1】（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D 【变式2】（2025·广西柳州·二模）房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．三角形 D．平行四边形 【答案】D 【详解】解：在阳光的照射下矩形边框在房间地面上形成了投影的形状可能是平行四边形．故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·山东·专项训练）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯按如图所示的方式照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是________．(文字回答即可) 【答案】 椭圆 圆 三角形 【详解】在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长，所以照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是椭圆，圆，三角形．故答案为椭圆，圆，三角形． 题型04 利用影长求物体高度（中心投影） 【典例1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度；(2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米；(3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米(2)米(3)1米 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米），， ，即，解得：（米），答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ，，，即，解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形，设米， 则米，米，米，米，米， ，，，即，解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，设直射筒灯所在的位置为点，三角板的中心为点，投影的中心为点，则，设直射筒灯距离城墙大约，则，，设，，连接、，根据题意知：，， ∴，；，，∴，， ∴，，∴，∴，解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意，∴直射筒灯距离城墙大约．故选：A． 【变式2】（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【答案】C 【详解】解：由题意得，，∴，∴，∴． 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，小张、婷婷之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小张、婷婷的身高分别为，，则路灯的高为______． 【答案】 【详解】解：如图，由题知，在中，， 在中，，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴路灯的高为．故答案为：． 【变式4】（25-26九年级上·广东茂名·期中）【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】(1)如图，光源O、线段即为所求； （2）解：B；根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B符合题意； （3）解：如图所示，设， 由题意得，， ，， ，， ，解得，∴． ∵，解得，∴灯杆高度为． 题型05 利用影长求物体高度（平行投影） 【典例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，同学们想要测量综合楼的高度，在某一时刻，综合楼影子的顶端落在斜坡上的点E处，与此同时，站在点D处的李华的影子顶端在点G处．经测量，李华的身高，，，，已知为水平地面，点B，C，P在同一条直线上，均与地面垂直，．试求综合楼的高度（结果精确到．参考数据：） 【答案】 【详解】解：作， ∵，∴四边形为矩形，∴， 在中，，，∴， ∴，， ∵综合楼影子的顶端落在斜坡上的点E处，李华的身高，， ∴，即，∴， ∴； 答：综合楼的高度约为. 【变式1】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1米的竹竿的影长为2米，某一高楼的影长为40米，那么这幢高楼的高度是（    ） A．40米 B．30米 C．20米 D．10米 【答案】C 【详解】解：设这幢高楼的高度为米， ∵同一时刻物体的高度与它在阳光下的影长成正比，∴，解得，故选：C． 【变式2】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【答案】 【详解】解：过点作于点． 则四边形为矩形．． 根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长成正比． ．即．解得．． 【变式3】（2026·河南信阳·二模）某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题．(1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由．(2)求大厦的高度．(3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【答案】(1)见解析(2)(3)测量长度时存在读数误差 【详解】（1）解：由题意得：、，， 同一时刻太阳光线平行，，，， ，即，； （2）解：根据光的反射定律，，由题意得：、， ，，， 由（1）知，，， ，解得：，即大厦高度为； （3）解：该小组测量产生误差的原因可能是：测量长度时存在读数误差或地面不绝对水平、镜子位置定位有偏差等． 【变式4】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，操场上竖立着两根木杆、，木杆后面有一堵墙，在阳光下的影子如图所示． (1)画出此时在太阳光下的影子（用线段表示影子） (2)如果高度为1.2米，影长为1.6米，距离墙面1米，在墙面的影长为1米，求的高度． 【答案】(1)如图所示： （2）解：过点F作于点G，则，， 由题意可知：，，∴， ∴，∴，∴，∴（米） 答：的高度为1.75米． 题型06 根据投影求解面积值 【典例1】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，．由题意得：， ．．．故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意，得， ，，由题意，得，，， 由中心投影的性质，可知，相似比为， ∴，故A选项错误；，故B选项正确； ，，故C、D选项错误，故选：B． 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·期末）圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影如图所示．桌面的直径米，桌面距离地面1米．假设灯泡距离地面3米，那么地面上阴影部分的面积为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【详解】解：如图，根据题意，，，米，米，米， 米，，，，，解得米， 那么地面上阴影部分的面积为（平方米）．故选：B． 【变式3】（25-26九年级·重庆·专题练习）如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【答案】 【详解】解：由题意可知，． ，，．故答案为：． 【变式4】（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息：①求与四边形的面积比．②求灯泡P距离地面的高度． 【答案】(1)解：如图所示，点即是灯泡的位置； (2)①；②米 （2）解：①∵，，∴， ∵米，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形，∴，，∴， ∵（米），∴相似比为， ∴，∴； ②如图，过作，则即是灯泡距离地面的高度， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，解得：（米）， 答：灯泡距离地面的高度是米． 题型07 确定中心投影光源点 【典例1】（2026·湖北襄阳·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【答案】(1)见解析(2)路灯灯泡离小颖头顶（）的距离 【详解】（1）解：如图，与的延长线相交于G，即为所求． （2）解：根据题意得：，，，，， ∴，∴，即∴， ∴路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【变式1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子，表示一个圆形的凳子． (1)请你在图中标出路灯的位置，并画出的影子（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，路灯与地面的距离为，求影子的长． 【答案】(1)如图，点即为所求，即为所求； （2）解：如图，过作交直线于点，交直线于点，则，， ∴，∵，∴，， ∴，∴，∴，∴影子的长为． 【变式2】（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，一天晚上，小明和小亮拿两根等长的标杆，垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子，恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡的位置；(2)小明和小亮测得如下数据：，，，两根标杆之间的距离为6，则灯泡距离地面的高度为_____． 【答案】(1)点P即为所求． （2）解：过点作于点，设交于点，两根标杆之间的距离为6， ，由题意得，，，， ∴四边形为矩形，∴四边形为矩形， ∴，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴，即灯泡距离地面的高度为，故答案为：6． 【变式3】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）；(2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； （2）解：由题意可得，，∴，∴，， 设小亮的影子长为，即，则， ∴，解得，经检验，是该方程的解． 答：小亮影子的长度为． 题型08 绘制物体投影示意图 【典例1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示，为了测量灯杆的高度，小亮在灯杆旁立了一根长为米的标杆，在某一时刻，标杆在阳光下的影子长为米． (1)尺规作图：在射线上作出灯杆的影子线段（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若测得此时灯杆影长为9米，求出灯杆的高度． 【答案】(1)如图，线段即为所求． （2）解：依题意，，即．，灯杆的高度为米． 【变式1】（25-26九年级上·四川达州·期末）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影；(3)求立柱的长． 【答案】(1)平行投影(2)如图，即为在阳光下的投影： (3) 【详解】（1）解：太阳光下形成的投影属于平行投影； （2）解：连接，过D作交延长线于F （3）解：∵，∴， 又，∴，∴， ∵，∴解得： 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段． (1)尺规作图：作出同一时刻标杆在地面的影子；(2)已知标杆的高度为．实验小组测得电线杆、标杆的影长分别为和．电线杆的高度为多少？ 【答案】(1)解：如图，线段即为所求； （2）解：根据题意得，，，，，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴． 答：电线杆的高度为． 【变式3】（25-26九年级上·山西运城·期末）为了准备中考体育1000米跑步考试，小亮坚持每晚跑步．如图是某天晚上小亮在公园跑道跑步的示意图，图中线段表示跑道上的小亮，线段表示跑道边的路灯，点表示照明灯的位置． (1)小亮由处跑至处的过程中，他在地面上影子长度的变化情况为_____； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子． 【答案】(1)变短 (2)解：连接并延长，交地面于点，线段即为小亮站在处的影子 题型09 投影与相似综合计算 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 ， ，，． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，求纪念碑的高度． 【答案】纪念碑的高度为． 【详解】解：∵阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，∴，即； 如图，令与的交点为H，则四边形和是矩形，∴ ∵， ，，．∴ ，设，则， ，， ∵，，，即，解得：． 答：纪念碑的高度为． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【答案】 【详解】解：∵，∴， 又∵，∴， ∴，即，解得， ∴，∴，解得． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）综合与实践活动课上，探究小组根据所学知识测量学校操场旗杆的高度，测量记录如下： 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图（1），在太阳光下，旗杆的顶端的影子落在点处，同一时刻，小明直立于点处，小明的身高与其影长恰好相等，点在同一水平线上． 如图（2），小明直立于点处，在小明与旗杆之间的地面上直立一根标杆，点在同一水平线上．小明调整自己所处的位置，使眼睛点、标杆的顶端、旗杆的顶端恰好在同一条直线上． 测量数据 ． ，． 根据以上信息，解决下列问题：(1)请在图（1）中画出小明的影长，并根据方案一求出旗杆的高度； (2)根据方案二中的数据，求出旗杆的高度． 【答案】(1)小明的影长如图所示，旗杆的高度为 (2)旗杆的高度为 【详解】（1）太阳光线是平行线，，． ∵，，， ，，∴． 所以，旗杆的高度为． （2）解：过点作于点，交于点． 四边形，四边形，四边形均为矩形． ， ∴，，， ，， ，，，， ．．所以，旗杆的高度为． 【变式3】（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决：(1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 【答案】(1)如图所示： 盲区长度为； (2)如图所示；； (3)①减小；②增大 【详解】（1）解：图略 ∵，，∴， ∴，即，解得，∴盲区长度为； （2）解：图略 作于，交于，∵，∴， ∴，即，解得， ∴（平方米）； （3）解：①∵，即，∴， 当增大时，减小，则前视野盲区的面积会减小； ②∵，增加整车宽度即增大，则也增大，其余条件不变，∴视野盲区面积会增大． 【变式4】 1．下列关于投影的描述，不正确的是（     ） A．在阳光下，同一时刻不同物体的高度与影长的比值是一个定值 B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形 C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关 D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图 【答案】C 【详解】解：A.阳光下的投影为平行投影，同一时刻不同物体的高度与影长的比值为定值，说法正确，不符合题意； B.矩形纸板在平行投影下，对边的投影仍可以互相平行，投影可以是平行四边形，说法正确，不符合题意； C.物体在光线下的投影大小不仅和物体本身大小有关，还与光线方向、物体和投影面的位置关系有关，说法错误，符合题意； D.主视图是平行光线垂直投影面时的平行投影，物体在平行投影下可以得到自己的主视图，说法正确，不符合题意. 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】北半球一天中，从正午到傍晚，太阳高度逐渐减小，同一物体的影子长度随时间推移逐渐变长， 本题为下午三次测量，因此按时间顺序影子长度应逐渐增大， 故符合要求的排列为，，． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（     ） A．线段 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【详解】解：阳光照射形成的投影是平行投影，∵矩形的对边互相平行， 又∵在平行投影中，互相平行的直线的投影仍然互相平行或重合， ∴矩形投影得到的图形一定有两组对边平行（或一组对边重合为线段）， 当卡纸平面与光线平行时，投影为线段，故A可能； 当卡纸与地面平行时，投影为矩形，故B可能； 当卡纸倾斜放置时，可得到邻边相等的平行四边形即菱形，故C可能； 梯形只有一组对边平行，不符合投影性质，因此不可能是梯形． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）长3米的旗杆直立在水平面上，它的阳光下的影子长为米．此时，某棵水杉的影子长为21米，该水杉的高为（   ）米 A．35 B． C．36 D． 【答案】A 【详解】解：设该水杉的高为米，∵同一时刻物体高度与影子长度的比值相等， ∴，解得：，即该水杉的高为35米，故选：A． 5．（2026·陕西咸阳·一模）如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 【答案】 【详解】解：，，点、、、在同一直线上，， ，，，即，．故答案为：． 6．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 【答案】10 【详解】解：∵，∴，∵，，∴， ∴，∴，∴． 7．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）城固架花是中国民间刺绣工艺的一种，被誉为“立体的水墨画，民俗的活教材”．架花在台灯下的影子为______投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【详解】解：在投影的分类中，由点光源发出的光线所形成的投影称为中心投影，台灯属于点光源，其光线是从同一点发出的，因此架花在台灯下的影子为中心投影．故答案为：中心． 8．（25-26九年级上·山西朔州·期末）如图，夜晚三个身高相同的小朋友站在路灯下，___________的影子最长．（填“甲”，“乙”或“丙”） 【答案】丙 【详解】解：由图可知，三个身高相同的小朋友站在路灯下，丙离路灯最远，则丙的影子最长． 故答案为：丙． 9．（25-26九年级上·河南信阳·期末）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼6，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为2，已知此时测得高1.5的标杆在水平地面上的影子长1，那么这棵大树高___________． 【答案】11 【详解】解：如图，过点D作于E， 由题易知，，四边形为矩形， ，，设这棵大树高，则， 此时测得高1.5的标杆在水平地面上的影子长1，，解得；故答案为：11． 10.（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【详解】解：根据题意，作，树高为，且，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∴，即，代入数据可得，（负值舍去）．故答案为：． 11．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． 【答案】鸿门寺塔的高为27米 【详解】解：∵，∴ 又，∴∴，∴， ∵米，米，∴，整理得①； 由平面镜反射原理得：， 又，∴，∴，∴， ∵米，米，又，（米）， ∴，∴，整理得：② 联立①②得，解得，∴（米）， 答：鸿门寺塔的高为27米． 1．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为，，，则三根木棒中最长的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】D 【详解】解：∵ 平行投影中，物高与影长成正比的前提是物体在同一时刻垂直于地面放置，本题未说明三根木棒均垂直立于地面，无法得到木棒长度和影长的确定对应关系；∴ 无法确定三根木棒中哪根最长． 2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（    ） A．一直变短 B．短一长一短 C．一直变长 D．长一短一长 【答案】D 【分析】本题考查了投影，根据题意可得投在木板上的影子长度的变化情况是从长变短再变长． 【详解】解：根据题意可得，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是长一短一长， 故选：D． 3.（25-26九年级上·四川巴中·期末）在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子，其位置如图所示．按照时间先后顺序排列，正确的是（   ） A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．②①③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行投影的特点和规律：在不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变．注意图上方向与实际方向的联系． 不同时刻物体在太阳光下的影子的大小、方向改变的规律：就北半球而言，从早晨到傍晚物体的影子的指向是：西-西北-北-东北-东，影长由长变短，再变长． 【详解】解：根据平行投影的特点和规律可知，④，③是上午，①，②是下午， 根据影子的长度可知先后为④③①②， 故选：C． 4．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 5．（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出y随x的变化规律是解决问题的关键．根据中心投影的性质得出小颖在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象． 【详解】解：∵小路的正中间有一路灯，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系为：y随x的增大而减小， ∴用图象刻画出来应为B． 故选：B． 6．（2026·江西萍乡·二模）如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【答案】 【分析】连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，待定系数法求出直线的解析式为，求出，即可求解． 【详解】解：连接并延长交轴于，连接并延长交轴于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 同理可求， ， 木杆在x轴上的投影长为． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 【答案】(1)①如图，投影，即为所求；②3，； (2)①如图，灯泡P即为所求； ② 【分析】（1）①根据作一个角等于已知角以及作垂线的步骤作图即可； ②根据平行投影的性质以及直角三角形的性质，勾股定理求解即可； （2）①连接，并延长交点即为点；②过点分别作，，垂足为点，通过以及求解即可． 【详解】（1）解：①作图见答案； ②由平行投影可得，，， ∵地面， ∴ ∴， ∵ ∴，解得（舍负） （2）解：①略 ②过点分别作，，垂足为点， 由题意得，， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即路灯灯泡距离地面的高度为． 8．（2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 【答案】 【分析】利用，结合垂直条件，证明和均为等腰直角三角形，得到；利用视线条件，证明，通过相似比求出的长度；由求出，进而得到的高度． 【详解】解：∵、、均与地面垂直， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴，即 ∴． ∴． ∴革命亭的高度为． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； (2)如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，投影，矩形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由投影可得，进而证明，根据对应边成比例即可求解； （2）由题意得，进而证明，根据对应边成比例即可求解； （3）直线与，，分别交于点R，T，W，可得矩形，，，，由此求出相关线段长度，证明，，根据对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：为的影子，为的影子， ， ， 又， ， ， ， 即旗杆的高度为， 故答案为：； （2）解：如图2， 由题意知，， ， ，即， ， 即旗杆的高度为； （3）解：如图，直线与，，分别交于点R，T，W， 由题意得，四边形，，，均为矩形， ，，，，， ， 设，， ，， ， ，即， 解得， 同理可证， ，即， ， 解得， ， 即阿炳像的高度为． 10.（25-26九年级上·福建三明·期末）阅读材料，解决问题． 通常，路灯、手电筒……的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动． 如图，在同一平面内，线段，表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段和，线段表示平行于地面并可移动的水平竹竿． (1)在所给的图形中，确定光源的位置，用点表示；画出水平竹竿在地面的影子，用线段表示． (2)在光源的照射范围内，移动竹竿，其影长的变化情况是：向左平移时的影长___________，向下平移时的影长___________．（填“变小”“变大”或“不变”） (3)已知竹竿的长度为2米，光源到地面的距离为5米．设与地面的距离为米，影长为米，求关于的函数关系式． 【答案】(1)如图，点为光源的位置，为的影子； （2）解：在光源的照射范围内，移动竹竿， 向左平移时，光源和竹竿高度都没有发生变化，所以其影长不变； 向下平移时，光源高度没变，竹竿高度变低，竹竿到光源的距离变大，离光源越远，影长越短，所以其影长变小；故答案为：不变，变小； （3）解：过作直线，交直线于点， 依题意，． ∵，且，， ，，． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】（2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】（3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 【答案】（1）图2；图1 （2）如图所示，即为所作；（3）米 【详解】解：（1）如图所示，反映平行投影的情形图是图2；反映中心投影的情形图是图1； 故答案为：图2；图1； (2)略 （3）如图，记图1的投影中心为O，过点O作交的延长线于点N， ，，，，， ，，，， ，，，， ，即，，即， 则，解得， ，，，，， ，，，， ，即，解得，则竹竿的影长为米． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 投影 教学目标 1、认识投影现象，理解投影、投影线、投影面的概念；能区分中心投影、平行投影，知道正投影是特殊的平行投影。 2、掌握中心投影特点：光源、物体顶端、影子顶端三点共线；能根据物体与影子确定点光源位置，会画灯光下物体的影子。 3、掌握平行投影（太阳光）特点；会利用相似三角形解决阳光下测高问题。 4、了解正投影规律：线段、平面图形相对于投影面平行、倾斜、垂直三种情况下，正投影的形状与大小变化。 5、通过动手操作、观察影子变化，经历从实物抽象投影模型的过程，发展空间想象能力；通过对比中心投影和平行投影，学会分类归纳，辨析两类投影的异同。 6、感受投影在生活、皮影、测绘中的应用，体会数学与现实生活的联系；在作图、推理过程中培养严谨画图、规范推理的习惯，提升几何学习兴趣。 教学重难点 1.重点 （1）中心投影：根据物体和影子找光源，画出物体的影子。 （2）平行投影性质：同一时刻物高与影长成正比例，利用相似三角形进行测高计算。 （3）正投影的基本规律（线段、平面图形）。 2.难点 （1）区分中心投影和平行投影，辨析影子形成的光源类型（灯光 / 太阳光）。 （2）中心投影作图：逆向找光源，理解等高物体离光源远近不同，影子长度不同，没有固定比例（和太阳光平行投影最大区别）。 （3）复杂投影实际问题：比如墙面影子、分段影子（地面 + 墙面），构造相似三角形求解。 （4）空间想象：判断线段、平面图形在不同摆放角度下正投影的形状大小。 知识点1 投影、中心投影 1. 投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影（projection）现象．影子所在的平面称为投影面． 2.中心投影：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为中心投影（central projection）．中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心． 3.中心投影的特征： （1）等高物体垂直于地面放置：离点光源越近，影子越短；离点光源越远，影子越长。 （2）等长物体平行于地面放置：离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短。 （3）点光源、物体边缘的点以及其在物体的影子上的对应点在同一条直线上。 【即学即练】 1．（25-26九年级上·陕西西安·期末）秦腔是四大声腔中最古老、最丰富的声腔体系．秦腔演员在灯光下表演的影子是_____投影．（填“平行”或“中心”） 2．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 3．（2026·四川成都·一模）如图所示，在一间黑屋子里用一盏白炽灯照射正下方的球，当球竖直向上逐步靠近白炽灯时，球在地面上的影子的大小的变化是（   ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变小，再变大 4．（2026·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于处，木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的影长为（     ） A．3 B．6 C．8 D．9 5．（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 知识点2 平行投影 1. 平行投影：太阳光线可以看成平行光线，平行光线（parallel projection）所形成的投影称为平行投影。 常见的平行光源：太阳光、X光． 2. 正投影：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影（orthographic projection）。 正投影是特殊的平行投影（例：夏至日北回归线上中午12点时的投影）。 线段、平面图形相对于投影面的位置不同时的正投影： 图形 物体平行于投影面 物体倾斜于投影面 物体垂直于投影面 线段 一条与它本身等长的线段 与它本身不等长的线段 一个点 平面图形 形状大小不变（全等）的平面图形 与它本身不全等的平面图形 一条线段 3. 平行投影的特点 （1）在同一时刻，不同物体的物高和影长的比相等； （2）平行投影物体上的点与影子上的对应点的连线平行或在同一条直线上． 【即学即练】 1．（2026·陕西宝鸡·一模）阳光照射下体育馆的影子属于___________投影．（填“平行”或“中心”） 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）小张拿着一块矩形纸片在阳光下做投影实验，这块矩形纸片在地面上形成的投影不可能是（     ） A．矩形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 3．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）小华拿着两根长度相等的圆柱形木棍在阳光下做投影实验，这两根木棍在地面形成的投影可能是（    ）． A． B． C．D． 4．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏南京·一模）如图，棱长为的正方体箱子平放在空旷的地面上，是棱的中点．当平行光线分别沿射线，方向射入时，箱子在地面上形成的投影是（    ） A．边长分别为，的正方形 B．边长分别为，的正方形 C．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 D．边长为的正方形和长为，宽为的长方形 6．（2026·辽宁抚顺·一模）某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 题型01 投影类型辨析判断 【典例1】（25-26九年级上·河南郑州·期中）下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）下面属于平行投影的是（   ） A．阳光下的树影 B．皮影戏 C．路灯下的人影 D．台灯下的笔影 【变式2】（25-26九年级上·福建宁德·期末）“满堂守岁欢声聚，一室围炉影共亲”呈现了除夕夜一家人在灯光下围炉煮茶、喜乐融融的温馨场景．其中，亲人身影映于墙上的现象属于___________．（填“中心投影”或“平行投影”） 【变式3】（25-26九年级下·广东·期末）下列关于正投影的说法正确的是（  ） A．如果一个物体的正投影是圆，那么这个物体是球 B．不同物体的正投影可以相同 C．圆锥的正投影是等腰三角形 D．圆纸片的正投影是圆 题型02 光源变化下影子大小变化判断 【典例1】（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为（    ） A．①③②④ B．④②①③ C．④②③① D．②④①③ 【变式1】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，在同一盏路灯下，小明、小亮和他们影子的位置关系最合理的是（   ） A．B．C． D． 【变式2】（25-26九年级上·贵州贵阳·期末）小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（    ） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）幼儿园的丽丽小朋友和妈妈晚上散步（即丽丽身高小于妈妈），在同一路灯下，丽丽的影子比妈妈的影子长，这时妈妈和丽丽离路灯的距离谁近一点（    ） A．妈妈 B．丽丽 C．一样 D．无法判断 【变式4】（25-26九年级上·陕西西安·期末）三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（   ） A． B． C． D． 题型03 判断物体投影的形状 【典例1】（2026·贵州贵阳·一模）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【变式1】（2021·江苏南京·中考真题）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广西柳州·二模）房间窗户的边框形状是矩形，在阳光的照射下边框在房间地面上形成了投影，则投影的形状可能是（    ） A．圆 B．椭圆 C．三角形 D．平行四边形 【变式3】（25-26九年级上·山东·专项训练）如图，在一间黑屋子里用一盏白炽灯按如图所示的方式照球、圆柱和圆锥，它们在地面上的阴影形状分别是________．(文字回答即可) 题型04 利用影长求物体高度（中心投影） 【典例1】（25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度；(2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米；(3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【变式1】（25-26九年级上·山西晋中·期末）在灯光秀观演活动中，有一直射灯垂直射向古城墙，小花想估计直射灯与城墙的距离，如图，用一块三角板与墙面平行放置，灯光照射下在城墙形成投影，小花妈妈帮助量得三角板的一边长为80cm，且投影三角板的对应边长为100cm，三角板中心点与其投影的中心点距离大约是，由此估计直射筒灯距离城墙大约（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江·一模）如图，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知图片长为，若点光源O到胶片的距离长为，点光源O与屏幕的距离的长为，则影像长为（    ） A．36 B．12 C．9 D．6 【变式3】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，小张、婷婷之间的距离为，他们在同一盏路灯下的影长分别为，，已知小张、婷婷的身高分别为，，则路灯的高为______． 【变式4】（25-26九年级上·广东茂名·期中）【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 题型05 利用影长求物体高度（平行投影） 【典例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，同学们想要测量综合楼的高度，在某一时刻，综合楼影子的顶端落在斜坡上的点E处，与此同时，站在点D处的李华的影子顶端在点G处．经测量，李华的身高，，，，已知为水平地面，点B，C，P在同一条直线上，均与地面垂直，．试求综合楼的高度（结果精确到．参考数据：） 【变式1】（25-26九年级上·重庆黔江·期末）在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1米的竹竿的影长为2米，某一高楼的影长为40米，那么这幢高楼的高度是（    ） A．40米 B．30米 C．20米 D．10米 【变式2】（25-26九年级下·吉林长春·期中）如图，阳光下一根长的木棒在地面上的影子长为，此时旗杆的影子有一部分落在距离旗杆的墙上，旗杆的影子落在墙上的高度为，则旗杆的高度为___________． 【变式3】（2026·河南信阳·二模）某地创新大厦是当地重要的科技创新基地．数学实践小组计划利用所学知识测量该大厦的高度． 活动主题 测量大厦的高度 示意图 测量步骤1 在太阳光下，在大厦顶端的影子处竖直放置标杆，测量标杆和其影长． 测量步骤2 同一时刻，大厦的顶端的影子落在点处，在离不远的处放置了一个小镜子，竖直站在点处观察者的眼睛恰好从小镜子中看到大厦的顶端的像．点B，M，F，H在一条直线上． 测量数据 ，，，， 根据以上信息，解决下列问题．(1)由标杆的影子和标杆的长度，可得，请说明理由．(2)求大厦的高度．(3)查阅资料得知，该大厦的高度为，请判断该小组测量产生误差的原因（写出一条即可） 【变式4】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，操场上竖立着两根木杆、，木杆后面有一堵墙，在阳光下的影子如图所示． (1)画出此时在太阳光下的影子（用线段表示影子） (2)如果高度为1.2米，影长为1.6米，距离墙面1米，在墙面的影长为1米，求的高度． 题型06 根据投影求解面积值 【典例1】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，将一块面积为的三角形硬纸板平行于投影面放置，在光源的照射下形成的投影是．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在灯光的正下方，它在地面上形成的影子是，平行于地面，且到的距离和与地面的距离相等，已知在中，，下面关于的说法，其中正确的是（   ） A．的面积为 B．的周长为 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东德州·期末）圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影如图所示．桌面的直径米，桌面距离地面1米．假设灯泡距离地面3米，那么地面上阴影部分的面积为（    ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式3】（25-26九年级·重庆·专题练习）如图，长方体的一个底面在投影面P上，M，N分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设矩形、矩形和矩形的面积分别是，则的大小关系是_______________（用“>”“<”或“=”连接）．    【变式4】（2025·江西九江·模拟预测）如图，一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆，垂直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡P的位置； (2)哥哥和弟弟测得如下数据：米，米，米，两根标杆的距离为米．请你根据以上信息：①求与四边形的面积比．②求灯泡P距离地面的高度． 题型07 确定中心投影光源点 【典例1】（2026·湖北襄阳·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律． 如图，在同一时刻，身高为的小明（）的影子的长是，而身高为的小颖（）刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． (1)请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置．（保留痕迹即可） (2)求路灯灯泡离小颖头顶（）的距离． 【变式1】（25-26九年级上·河北邯郸·期末）如图，是公园的一圆形桌面的主视图，表示该桌面在路灯下的影子，表示一个圆形的凳子． (1)请你在图中标出路灯的位置，并画出的影子（要求保留画图痕迹，光线用虚线表示）； (2)若桌面直径和桌面与地面的距离均为，路灯与地面的距离为，求影子的长． 【变式2】（25-26九年级上·山东威海·期末）如图，一天晚上，小明和小亮拿两根等长的标杆，垂直立在一盏路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子，恰好在一条直线上． (1)请在图中画出路灯灯泡的位置；(2)小明和小亮测得如下数据：，，，两根标杆之间的距离为6，则灯泡距离地面的高度为_____． 【变式3】（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）；(2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 题型08 绘制物体投影示意图 【典例1】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图所示，为了测量灯杆的高度，小亮在灯杆旁立了一根长为米的标杆，在某一时刻，标杆在阳光下的影子长为米． (1)尺规作图：在射线上作出灯杆的影子线段（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若测得此时灯杆影长为9米，求出灯杆的高度． 【变式1】（25-26九年级上·四川达州·期末）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： (1)太阳光下形成的投影属于 ；（填“平行投影”或“中心投影”）； (2)在图中画出在阳光下的投影；(3)求立柱的长． 【变式2】（25-26九年级上·广东佛山·期末）如图，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段． (1)尺规作图：作出同一时刻标杆在地面的影子；(2)已知标杆的高度为．实验小组测得电线杆、标杆的影长分别为和．电线杆的高度为多少？ 【变式3】（25-26九年级上·山西运城·期末）为了准备中考体育1000米跑步考试，小亮坚持每晚跑步．如图是某天晚上小亮在公园跑道跑步的示意图，图中线段表示跑道上的小亮，线段表示跑道边的路灯，点表示照明灯的位置． (1)小亮由处跑至处的过程中，他在地面上影子长度的变化情况为_____； (2)请你在图中画出小亮站在处的影子． 题型09 投影与相似综合计算 【典例1】（2026·陕西西安·模拟预测）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻（），竖直放置的标杆顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 ， ，，． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，求纪念碑的高度． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，马路上有两根垂直于地面的路灯和，其中，，身高为的小凯在两根路灯之间的地面上走动，当小凯走到点处时，在路灯、的光线照射下他的影子顶端恰好分别落在地面上的点和点，（其中，，，，五点在同一直线上），则的长为________m． 【变式2】（25-26九年级上·河南郑州·期中）综合与实践活动课上，探究小组根据所学知识测量学校操场旗杆的高度，测量记录如下： 方案一 方案二 测量示意图 测量说明 如图（1），在太阳光下，旗杆的顶端的影子落在点处，同一时刻，小明直立于点处，小明的身高与其影长恰好相等，点在同一水平线上． 如图（2），小明直立于点处，在小明与旗杆之间的地面上直立一根标杆，点在同一水平线上．小明调整自己所处的位置，使眼睛点、标杆的顶端、旗杆的顶端恰好在同一条直线上． 测量数据 ． ，． 根据以上信息，解决下列问题：(1)请在图（1）中画出小明的影长，并根据方案一求出旗杆的高度； (2)根据方案二中的数据，求出旗杆的高度． 【变式3】（2026·江苏盐城·模拟预测）为进一步确保汽车安全性能，技术人员对汽车前视野盲区做了研究，研究时简化模型：如图2，线段为驾驶员，与地面垂直，车头近似看成矩形，驾驶员视线被车头遮挡形成视野盲区，发现视野盲区在地面上不是一条线段，而是一个区域（梯形）． 测量数据：驾驶员眼睛距地面的高度为，车头的高度为，宽度为，车头到点的水平距离为． 问题解决：(1)根据以上信息，参考立体图形，在图3上用无刻度直尺补全汽车主视图的视野盲区平面图形，并求出盲区长度（视野盲区的前沿到车头的水平距离为盲区长度）； (2)在问题1的基础上，在图4上补全汽车俯视图的视野盲区平面图形，并求出视野盲区的面积； (3)①若调高主驾驶座椅，使得驾驶员眼睛距地面的高度增大，其余条件不变，则前视野盲区的面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”）； ②若设计时增加整车宽度（包括车头），其余条件不变，则视野盲区面积会____________（填“减小”、“不变”或“增大”） 1．下列关于投影的描述，不正确的是（     ） A．在阳光下，同一时刻不同物体的高度与影长的比值是一个定值 B．一个矩形的纸板在阳光下的投影可以是平行四边形 C．物体在光线下的投影大小只和物体本身的大小有关 D．物体在平行投影下可以得到自己的主视图 2．（25-26八年级下·山东济南·期末）槐荫区某校兴趣小组在下午分三次测量了学校旗杆的影子长度，按时间顺序排列正确的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）在阳光的照射下，矩形卡纸在平整的地面上的投影不可能是（     ） A．线段 B．矩形 C．菱形 D．梯形 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）长3米的旗杆直立在水平面上，它的阳光下的影子长为米．此时，某棵水杉的影子长为21米，该水杉的高为（   ）米 A．35 B． C．36 D． 5．（2026·陕西咸阳·一模）如图，乐乐将高为米的标杆竖立在地面上，某一时刻高为米的小树在太阳光下的投影为，此时标杆在太阳光下的投影为，米．已知，，点、、、在同一直线上，则投影的长为______米． 6．（25-26九年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 7．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）城固架花是中国民间刺绣工艺的一种，被誉为“立体的水墨画，民俗的活教材”．架花在台灯下的影子为______投影．（填“中心”或“平行”） 8．（25-26九年级上·山西朔州·期末）如图，夜晚三个身高相同的小朋友站在路灯下，___________的影子最长．（填“甲”，“乙”或“丙”） 9．（25-26九年级上·河南信阳·期末）在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼6，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为2，已知此时测得高1.5的标杆在水平地面上的影子长1，那么这棵大树高___________． 10.（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 11．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）鸿门寺塔（又称响铃塔），是元代著名密檐式砖石佛塔，位于陕西省榆林市横山区，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学知识测量“鸿门寺塔”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究需要两次测量：首先，在阳光下，小风在鸿门寺塔影子的末端点处竖立一根长为1.8米的标杆，此时，小花测得标杆的影长米；然后，小风从点沿方向走了11米，到达点处，在处恰好通过在点处放置的平面镜看到塔的顶部点，此时，小风的眼睛到地面的距离米，米．如图，已知，请你根据题中提供的相关信息，求出鸿门寺塔的高． 1．（25-26九年级下·广东深圳·开学考试）甲、乙、丙三根木棒立于地面上，某一时刻，它们在阳光下的影长分别为，，，则三根木棒中最长的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图，数学实验小组在水平放置的木板中央竖直钉一枚钉子．从早晨到傍晚，钉子在阳光照射下，投在木板上的影子长度的变化情况是（    ） A．一直变短 B．短一长一短 C．一直变长 D．长一短一长 3.（25-26九年级上·四川巴中·期末）在一天中的四个不同时刻，小红观察了一个物体在阳光照射下投射在地面上的影子，其位置如图所示．按照时间先后顺序排列，正确的是（   ） A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．②①③④ 4．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·江苏南京·期中）如图所示，小颖由点处径直走到路灯正下方点处，她在灯光照射下的影长与行走路程之间的变化关系用图象表示大致是（　　） A． B． C． D． 6．（2026·江西萍乡·二模）如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：投影中的数学． (1)如图①，当太阳光线与水平地面成时，将木杆水平放置、木杆竖直放置． ①画出木杆，在太阳的照射下，在水平地面形成的投影，（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，则影长 m， m； (2)如图②，水平放置的木杆在路灯灯泡的照射下，在水平地面形成投影． ①画出路灯灯泡的位置（不写作法，保留作图痕迹） ②已知木杆，其距离地面的高度为，影长，求路灯灯泡距离地面的高度． 8．（2026·陕西榆林·一模）革命亭为西安革命公园标志性建筑，是纪念在“二虎守长安”西安围城期间所死难的军民．某校数学学习小组为测量革命亭的高度，开展了如下综合与实践活动，如图，在D处竖立一根标杆，某一时刻在阳光下，革命亭顶端A的影子和标杆顶端C的影子重合于点E处，；小组成员铭铭站在G处时，他的视线从F点通过标杆顶端C点正好落在革命亭底端B点处，，铭铭眼睛到地面的距离．已知、、均与地面垂直，点B、D、E、G在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内．请你求出革命亭的高度． 9．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）为测量水平操场上旗杆的高度，九年级各学习小组运用了多种测量方法． (1)如图1，小明在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为______m； (2)如图2，小红站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小红的眼睛距地面高度，小红到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； (3)小俊所在的学习小组，打算采用图3的方法测量惠山古镇映月里广场阿炳雕像的高度．他们带有总长的皮尺与长度为的标杆，但他们到实地发现雕像前面有一喷泉池，他们所带的皮尺测不出喷泉池的宽度．他们设计以下测量方案：如下图，标杆竖直放在处，眼睛与地面距离恰好为的同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得；标杆竖直放在处，该同学在处时，视线与标杆顶部以及阿炳像的顶端在同一直线上，此时测得．已知点、、、、在一条直线上，，请你根据学习小组测量出的数据，计算阿炳像的高度． 10.（25-26九年级上·福建三明·期末）阅读材料，解决问题． 通常，路灯、手电筒……的光线可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所形成的影子称为中心投影．某学习小组利用竹竿开展“投影”为主题的综合实践活动． 如图，在同一平面内，线段，表示两根垂直于水平地面的竹竿，它们在点光源下的影子分别为线段和，线段表示平行于地面并可移动的水平竹竿． (1)在所给的图形中，确定光源的位置，用点表示；画出水平竹竿在地面的影子，用线段表示． (2)在光源的照射范围内，移动竹竿，其影长的变化情况是：向左平移时的影长___________，向下平移时的影长___________．（填“变小”“变大”或“不变”） (3)已知竹竿的长度为2米，光源到地面的距离为5米．设与地面的距离为米，影长为米，求关于的函数关系式． 11．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）学习投影后，学习小组利用周末到公园看到水平地面垂直立着三根竹竿、、，垂足分别为B、D、F，两根竹竿之间的距离均为6米（米），收集到与投影有关的生活情境：小明和小红分别在不同时间收集到竹竿、的影子分别为、，如图1和图2的示意图．请解决下列问题： （1）反映平行投影的情形图是_____，反映中心投影的情形图是_____；（填“图1”或“图2”） 【画图操作】（2）结合图1中的影子、画出表示竹竿的影子； 【解决问题】（3）在图1中，学习小组经测量：竹竿米，竹竿米，竹竿米，竹竿、的影长米，求竹竿的影长． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $