第四章 投影与视图（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材北师大版九年级上册

第四章 投影与视图（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2026·山东淄博·中考真题）某几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（     ） A．长方体 B．圆柱 C．球 D．圆锥 【答案】D 【详解】解：主视图为三角形，则该几何体为锥体；俯视图为圆，则底面为圆，故该几何体为圆锥． 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 【答案】C 【详解】解：一定不会改变的形状和大小的是当平行投影面时的正投影，故选：C 3．（2026·广东肇庆·三模）《九章算术·商功》中的“斜解立方，得两堑堵”，指的是将一个立方体沿着斜对角切开，得到两个相同的三棱柱，即“堑堵”．如图放置的“堑堵”的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图放置的“堑堵”的左视图是． 4．（2026·吉林四平·模拟预测）如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：主视图是从几何体正前方观察得到的视图，根据俯视图的规则：俯视图的横向列数对应主视图的横向列数，每一列的小正方形最大数字就是主视图对应列的小正方体层数： 俯视图从左到右共3列： 最左列的小正方体最大数量是1，因此主视图最左列有1层小正方形； 中间列的小正方体最大数量是3，因此主视图中间列有3层小正方形； 最右列的小正方体最大数量是2，因此主视图最右列有2层小正方形； 符合这个特征的只有选项D． 5．（2026·浙江杭州·模拟预测）小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解∶∵太阳光线是平行光线，∴矩形木框在地面上的影子属于平行投影． ∵矩形的两组对边分别平行，∴根据平行投影的性质，其在地面上的影子（当不重合为一条线段时）两组对边也应分别平行，即影子应为平行四边形（包含矩形）． 当矩形木框所在平面与光线平行时，影子为一条线段． ∴A是梯形，只有一组对边平行，不可能是矩形的影子； B是线段，可能是矩形平面与光线平行时的影子； C是矩形，可能是矩形平面与地面平行时的影子； D是平行四边形，可能是矩形平面倾斜时的影子． 综上所述，矩形木框在地面上的影子不可能是A． 6．（2026·河北邯郸·二模）小明在地上摆放了几摞圆凳．其主视图和左视图如图1和2所示，则圆凳的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由主视图可知圆凳有两列，且两列能看到的圆凳数量均为4个， 由左视图可知圆凳有两排，且前一排能看到的圆凳数量为4个，后一排能看到的圆凳数量为2个， 可知第一排有两列，均为4个圆凳，共个圆凳， 第二排最少有1列，为2个圆凳，此时共个圆凳， 第二排最多有2列，均为2个圆凳，此时共个圆凳，圆凳个数不可能是． 7．（25-26九年级上·贵州黔西南·阶段检测）用棱长为的小立方块搭一个几何体，使得其两个方向的视图如图所示．当这个几何体中小立方块个数最多时，该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 、【详解】解：最多时，小立方块的个数如俯视图所示． 则几何体左右各9个小正方形的面，上下各6个小正方形的面，前后各个小正方形的面， ∴表面积．故选：D． 8.（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 【答案】D 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长．故选：D． 9．（25-26·绵阳市·九年级期中）一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（    ）平方米． A．19 B．21 C．33 D．36 【答案】C 【详解】解：从下面数第一层露出的侧面有：（个）， 第二层露出的侧面有：（个）， 第三层露出的侧面有：（个）， 第一层的上面露出的面有：（个）， 第二层的上面露出的面有：（个）， 第三层的上面露出的面有：1个， （个），∴该几何体露出了33个小正方形， ∵每个小正方形的面积为1平方米， ∴被涂上颜色的总面积为：，故选C． 10.（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴， ∵米，米，米则米， ∴，∴米，∵，∴，∴， ∵米，米，则米，∴，∴米，故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级·成都·专题练习）如图，的边AB处在水平位置，投影线垂直向下，交AB于点D，那么线段BC的正投影是_______ ，线段AC的正投影是_______，线段CD的正投影是_______． 【答案】 线段BD 线段AD 点D 【详解】解：线段的正投影：在上，其投影是自身，的正投影是，所以线段的正投影是线段； 线段的正投影：在上，其投影是自身，的正投影是，所以线段的正投影是线段； 线段的正投影：和的正投影都是，所以线段的正投影是点． 故答案为：线段、线段、点 ． 12．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）下列各种现象： ①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子； ②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子； ③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子； ④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子．其中属于平行投影的是__________（填序号）． 【答案】② 【详解】解：①灯是点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； ②太阳光近似平行光线，形成平行投影，符合题意； ③萤火虫为点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意； ④灯光为点光源，光线发散，形成中心投影，不符合题意；故答案为：②． 13．（25-26·江西·九年级期中）阳光下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小勇和小宁站在同一列，小勇的影子正好落到后面一个同学身上，而小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，据此判断他们的队列方向是______（填“背向太阳”或“面向太阳”），小宁比小勇_______（填“高”、“矮”、或“一样高”）． 【答案】面向太阳 矮 【详解】∵小勇的影子正好落到后面一个同学身上，∴他们的队列方向是面向太阳， ∵小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，∴小勇的影子比小宁的影子长， ∴小宁比小勇矮．故答案为：面向太阳，矮 14．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______． 【答案】8 【详解】解：根据题意得：，∴，∴，∴， ∵，，，∴，∴．∴小树高度．故答案为：8． 15．（25-26九年级上·广西·校考期中）把个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按图中的方式拼成一个立体图形，这个立体图形的表面积是________ 平方厘米． 【答案】 【详解】解：每个小正方体一个面的面积是（平方厘米）， 三视图如图： ∴表面积是：（平方厘米）．故答案为：． 16．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 【答案】1 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为，宽为，∴， ∵，∴，解得，（舍去），即x的值为1． 17．（25-26九年级上·山东济宁·期末）某立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形的侧面展开图的面积是__________（结果保留π） 【答案】 【详解】解：由三视图可知圆锥的底面半径为5，高为12，所以母线长为， 所以侧面积为，故答案为：． 18.（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 【答案】 【详解】解：根据题意，作， 树高为，且，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， 即，代入数据可得，（负值舍去）．故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（26-27九年级上·湖北·课后作业）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 【答案】解：如图所示，即为所求： 20.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【答案】 如图，点即为所求，线段即为所求． 21．（26-27九年级上·广东·期末）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1)6 (2) (3)3 【详解】（1）解：底层能看到5个小立方块，上层仅在底层左数第2个方块上方搭有1个，总数为． 该几何体有6个小立方块搭成． （2） 略 （3） 解：要保持俯视图不变，说明底层小立方块的摆放位置不能新增，只能在已有底层方块的上方加方块； 要保持左视图不变，说明几何体前后两行的最大层数限制为：靠前行最大层数为1，靠后行最大层数为2． 原本仅靠后行左数第2个位置有2层方块，靠后行剩下的3个位置都可以各加1个方块，靠前行不能加方块，因此最多添加3个． 22．（2026·福建厦门·校考一模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 【答案】（1）； （2）如图所示：根据对称性，摄像头安装在线段上时，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2， 若摄像头不安装在线段PQ上，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2． 【详解】解：（1）设小正方形的边长为1， ∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3， ∴站在监控盲区的概率=3÷20=； （2）略 23.（26-27九年级上·广东·课后作业）如图是几何体得到的三视图． (1)说出这个几何体的名称；(2)画出它的一种表面展开图；(3)求这个几何体的表面积和体积． 【答案】(1)三棱柱 (2)如图即为所求； （3）解：这个几何体的表面积为， 这个几何体的体积为． 24．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在学习了投影一章的知识后，老师布置了一项利用相关知识测量校园内假山高度的作业，于是小明设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏照明灯，小明在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量照明灯下标杆投影的长度，以及标杆底端到假山正下方点的距离，便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于，的代数式表示假山的高度为______． (2)在实际操作中，小明测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点处根本无法直接到达，小明稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到点处，测得此时标杆在照明灯下的影长变为，请画出这一刻标杆在点的影子并根据这些数据帮助小明求出假山的高度． 【答案】(1)(2)3m 【详解】（1）解：,,，, ,,则，，故答案为：． （2）即为所求． ，，，，，， ，，又，， 设，则，解得， 由（1）得，，假山的高度为．故答案为：． 25．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践：某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【测量工具】标杆、平面镜、测倾仪、皮尺 【活动过程】(1)活动1：测量校内旗杆的高度 如图①，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为． 请你在图①画出此时在阳光下的投影，根据题中信息，求得立柱的长为__________m． (2)活动2：测量悬停在空中的无人机离地面的高度 课题 测量悬停在空中的无人机离地面的高度 测量工具 平面镜、测倾仪和皮尺 测量示意图及说明 说明：如图② （1）所有点都在同一平面内； （2）F、P、D在同一条直线上，于点F；于点D； （3）平面镜放置于P处，且大小忽略； （4）测倾仪放置于D处，且高度米； （5）无人机看作点A． 相关数据 信息一，小亮站在F处，恰好可以通过平面镜看到无人机A．小亮眼睛到地面的铅直高度米，到平面镜的距离米； 信息二：小莹在点D处利用测倾仪测得，且米． 请你根据以上测量信息，求悬停在空中的无人机离地面的高度． 【答案】(1)9(2)16米 【详解】（1）解：阳光下的投影是平行投影， 根据平行投影的性质，可知，即，∴； （2）解：如图，过点A作，过点C作， ∴，∴四边形是矩形， ∴，，由光的反射定律可知，， 又，∴， ∴，设，则，∴， ∵，即，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，解得，∴， 故悬停在空中的无人机离地面的高度为16米． 26．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） (1)求点C到水平地面的距离；(2)求小明测得的水塔的高度（结果精确到1米） 【答案】(1)10米(2)47米 【详解】（1）解：如图，过C作交延长线于H， 在中，，，（米）； 答：点C到水平地面的距离为10米； （2）解：如图，过H作交于E， ，，，四边形为平行四边形，米， 在中，（米），（米）， 身高1.6米的小明在水平地面上的影长为2.4米， ，即，解得，（米）． 答：小明测得的水塔高度约为47米． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 投影与视图（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（2026·山东淄博·中考真题）某几何体的主视图和俯视图如图所示，则这个几何体可能是（     ） A．长方体 B．圆柱 C．球 D．圆锥 2．（23-24九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（   ） A．中心投影 B．平行投影 C．当平行于投影面时的正投影 D．当平行于投影面时的中心投影 3．（2026·广东肇庆·三模）《九章算术·商功》中的“斜解立方，得两堑堵”，指的是将一个立方体沿着斜对角切开，得到两个相同的三棱柱，即“堑堵”．如图放置的“堑堵”的左视图是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·吉林四平·模拟预测）如图是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·浙江杭州·模拟预测）小华手拿一个矩形木框，在阳光的照射下，矩形木框在地面上的影子不可能是（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北邯郸·二模）小明在地上摆放了几摞圆凳．其主视图和左视图如图1和2所示，则圆凳的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·贵州黔西南·阶段检测）用棱长为的小立方块搭一个几何体，使得其两个方向的视图如图所示．当这个几何体中小立方块个数最多时，该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 8.（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（    ） A．一直变长 B．一直变短 C．先变长，后变短 D．先变短，后变长 9．（25-26·绵阳市·九年级期中）一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如图所示的形式，然后他把露出的表面都涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为（    ）平方米． A．19 B．21 C．33 D．36 10.（25-26九年级上·江西上饶·期末）一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26九年级·成都·专题练习）如图，的边AB处在水平位置，投影线垂直向下，交AB于点D，那么线段BC的正投影是_______ ，线段AC的正投影是_______，线段CD的正投影是_______． 12．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）下列各种现象：①孙敬“悬梁”在灯下读书的影子；②朱买臣“负薪”在日光下读书的影子；③车胤“囊萤”借萤火之光读书的影子；④匡衡“凿壁偷光”借灯光读书的影子．其中属于平行投影的是__________（填序号）． 13．（25-26·江西·九年级期中）阳光下，同学们整齐地站在操场上做课间操，小勇和小宁站在同一列，小勇的影子正好落到后面一个同学身上，而小宁的影子却没有落到后面一个同学身上，据此判断他们的队列方向是______（填“背向太阳”或“面向太阳”），小宁比小勇_______（填“高”、“矮”、或“一样高”）． 14．（25-26九年级上·北京昌平·期末）如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______． 15．（25-26九年级上·广西·校考期中）把个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按图中的方式拼成一个立体图形，这个立体图形的表面积是________ 平方厘米． 16．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 17．（25-26九年级上·山东济宁·期末）某立体图形的三视图如图所示，则这个立体图形的侧面展开图的面积是__________（结果保留π） 18.（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，小明在时测得某树的影长为6米，时又测得该树的影长为2米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为___________米． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分，答案写在答题卡上） 19．（26-27九年级上·湖北·课后作业）画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． 20.（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）三根竖立的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为，已知，点、、、、、在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．确定光源的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 21．（26-27九年级上·广东·期末）如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 22．（2026·福建厦门·校考一模）如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 23.（26-27九年级上·广东·课后作业）如图是几何体得到的三视图． (1)说出这个几何体的名称；(2)画出它的一种表面展开图；(3)求这个几何体的表面积和体积． 24．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）在学习了投影一章的知识后，老师布置了一项利用相关知识测量校园内假山高度的作业，于是小明设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏照明灯，小明在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量照明灯下标杆投影的长度，以及标杆底端到假山正下方点的距离，便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于，的代数式表示假山的高度为______． (2)在实际操作中，小明测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点处根本无法直接到达，小明稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到点处，测得此时标杆在照明灯下的影长变为，请画出这一刻标杆在点的影子并根据这些数据帮助小明求出假山的高度． 25．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）综合与实践：某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【测量工具】标杆、平面镜、测倾仪、皮尺 【活动过程】(1)活动1：测量校内旗杆的高度 如图①，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为． 请你在图①画出此时在阳光下的投影，根据题中信息，求得立柱的长为__________m． (2)活动2：测量悬停在空中的无人机离地面的高度 课题 测量悬停在空中的无人机离地面的高度 测量工具 平面镜、测倾仪和皮尺 测量示意图及说明 说明：如图② （1）所有点都在同一平面内； （2）F、P、D在同一条直线上，于点F；于点D； （3）平面镜放置于P处，且大小忽略； （4）测倾仪放置于D处，且高度米； （5）无人机看作点A． 相关数据 信息一，小亮站在F处，恰好可以通过平面镜看到无人机A．小亮眼睛到地面的铅直高度米，到平面镜的距离米； 信息二：小莹在点D处利用测倾仪测得，且米． 请你根据以上测量信息，求悬停在空中的无人机离地面的高度． 26．（25-26九年级上·辽宁阜新·期末）阜新西山水塔公园的核心景观是始建于1937年的西山水塔，该塔是阜新市历史上的第一座水塔．在一个阳光灿烂的午后，小明来水塔公园游玩，萌生了测量该塔高度的想法．他观察到水塔垂直于水平地面，阳光下水塔的影子正好延伸至地面及一个小山坡上（如图所示）．他测得地面上的影长是米，坡面上的影长是20米，已知该山坡与水平地面形成的锐角为．与此同时，身高米的小明在水平地面上的影长是米（参考数据） (1)求点C到水平地面的距离；(2)求小明测得的水塔的高度（结果精确到1米） 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $