专题05 抛物线（期中复习讲义）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题05 抛物线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线定义 掌握抛物线的定义 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据抛物线定义求方程 掌握抛物线的定义求标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 抛物线焦半径公式 能根据抛物线定义转化成抛物线焦半径公式 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 直线与抛物线位置关系 掌握代数法判断直线与抛物线的位置关系，韦达定理应用 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点02 抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 知识点03 抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点04 直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 知识点05 直线和抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 知识点06 抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 题型一 抛物线定义理解 解｜题｜技｜巧 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【典例1】与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【变式1】已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【变式2】设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 题型二 求抛物线方程 解｜题｜技｜巧 根据抛物线定义 【典例1】已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 题型三 和、差距离最值 解｜题｜技｜巧 根据抛物线定义转化 【典例1】已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 【变式1】已知抛物线的焦点为，点的坐标是，P为上一点，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．5 【变式2】已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为 ． 题型四 直线与抛物的位置关系 解｜题｜技｜巧 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【典例1】“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 题型五 焦点弦 解｜题｜技｜巧 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 【典例1】已知抛物线过点，其焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，. (1)求抛物线的标准方程，并写出其准线方程； (2)求直线的方程. 【变式1】已知抛物线C：过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度． 【变式2】已知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线焦点的倾斜角为直线l与抛物线交于A、B两点，求线段AB 的长度. 题型六弦长 解｜题｜技｜巧 （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 【典例1】已知抛物线，点，直线，记A关于l的对称点为B，且B在抛物线W上. (1)求直线l与直线AB的交点坐标； (2)求抛物线W的标准方程； (3)求直线AB被抛物线W截得的弦长. 【变式1】（1）求圆和圆的公切线 （2）若与抛物线相交，求弦长 【变式2】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合. (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，求. 题型七 中点弦 解｜题｜技｜巧 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点, 则 若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 【典例1】已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【变式1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【变式2】已知抛物线C：的焦点为F，第四象限的一点，且． (1)求C的方程和m的值； (2)若直线l交C于A，B两点，且线段中点的坐标为，求直线l的方程 题型八 直线与抛物线相交中定点问题 解｜题｜技｜巧 1、定点问题的求解思路： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2、过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为得 故动直线过定点；若动直线斜率不为0，可设方程为. （2）动曲线过定点问题 解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 【典例1】已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 【变式1】已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【变式2】已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型九 直线与抛物线相交中定值问题 解｜题｜技｜巧 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用， 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【典例1】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【变式1】已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式2】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 题型十直线与椭圆相交中定直线问题 解｜题｜技｜巧 1、 在圆锥曲线中，定直线问题指的是：在曲线或相关点、线满足某些动态条件（如点在曲线上运动、直线绕定点转动等）时，始终存在一条固定不变的直线，使得动态元素（如交点、轨迹、垂足等）始终在这条直线上，这条直线就被称为“定直线”. 2、圆锥曲线中的定直线问题的常见类型及解题策略： ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标 ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参 ④设点，对方程变形解得定直线 【典例1】抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【变式1】已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 【变式2】若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. (1)若，求直线的斜率； (2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 期中基础通关练（测试时间：50分钟） 1．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 2．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 3．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 4．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 6．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 8．（多选）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 9．若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为 . 10．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为 . 11．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． (1)若，，求的值； (2)设点为抛物线准线与轴交点，求． 12．设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 2．已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 3．（多选）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（    ） A．以为直径的圆与直线相切 B．是钝角 C．的最小值是4 D．若，则直线的斜率为 4．（多选）记抛物线的焦点为，直线与相交于两点，直线与相交于两点，则（　　） A．当，且点在上时， B．当，且点在上时， C．当，且点共线时，直线的斜率为 D．当，且点到四点的距离相等时， 5．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 . 6．已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则 7．在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线：的距离相等，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线过点与曲线交于点，，点满足，当直线斜率最大时，求点的坐标. 8．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）如图，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合．若抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（    ） A． B．若点，则 C．若从射入的光线沿直线射出后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为14 D．设直线AO与的准线的交点为，则点在直线上 4．（多选）已知点是抛物线上的一点，过C的焦点F的两条互相垂直的直线，分别与C交于点A，B和点D，E，其中点A，D均在x轴的上方，过点P分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．为定值 D．四边形的周长的最大值为 5．已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，且，又于点，若动点的坐标满足方程，则 . 6．在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 7．已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线，点为曲线的四点. (1)若梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点. （i）求直线的斜率； （ii）证明：直线与交于定点. (2)已知点.过点作直线交曲线于两点，为线段的中点，点为曲线上的一点且始终满足，过点作直线，该直线与曲线的另一个交点为，为线段的中点，为曲线的焦点，记的面积为的面积为，求的最小值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 抛物线定义 掌握抛物线的定义 基础考点，常出现在选择题，填空题 根据抛物线定义求方程 掌握抛物线的定义求标准方程 基础考点，常出现在选择题，填空题 抛物线焦半径公式 能根据抛物线定义转化成抛物线焦半径公式 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 直线与抛物线位置关系 掌握代数法判断直线与抛物线的位置关系，韦达定理应用 重难必考点，常出现选择题，填空题，解答题 知识点01抛物线的定义 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 知识点02 抛物线的标准方程 设，抛物线的标准方程、类型及其几何性质： 方程 （） （） （） （） 图形 焦点 准线 知识点03 抛物线的简单几何性质 标准方程 （） （） （） （） 图形 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 轴 轴 焦点坐标 准线方程 顶点坐标 离心率 通径长 知识点04 直线与抛物线的位置关系 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 知识点05 直线和抛物线 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 知识点06 抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 题型一 抛物线定义理解 解｜题｜技｜巧 1、抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 2、抛物线的数学表达式：(为点到准线的距离). 【典例1】与直线相切，且与圆外切的圆的圆心轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆 【答案】C 【分析】由动圆与定圆相外切可得两圆圆心距与半径的关系，然后利用圆与直线相切的可得圆心到直线的距离与半径的关系，借助等量关系可得动点满足的条件，即可得动点的轨迹. 【详解】记与圆外切的圆为圆， 设圆的圆心为，半径为，圆的圆心为， 因为圆与圆外切，所以， 设圆圆心到直线的距离为，则， 所以，即动点到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线. 故选：C 【变式1】已知动点满足，则动点的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】先对原方程合理变形，再结合抛物线的定义求解轨迹类型即可. 【详解】因为， 所以， 由两点间距离公式得方程左侧为点到点的距离， 由点到直线的距离公式得方程右侧为到直线的距离， 可得到点的距离和到直线的距离相等， 而且点不在直线上，结合抛物线定义得到点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选：D 【变式2】设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为，则抛物线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，用表示出点的纵坐标，再利用抛物线定义列式求解. 【详解】设，由点M到y轴的距离为，得，而， 则，解得，由抛物线定义得，因此， 所以抛物线方程是. 故选：B 题型二 求抛物线方程 解｜题｜技｜巧 根据抛物线定义 【典例1】已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可利用求轨迹方程的坐标法来求解，也可以用抛物线的几何定义来得到方程. 【详解】    方法一：轨迹方程法 设点，则点．连接PF，由题意知， 即，整理得，则曲线的方程为． 方法二：几何定义法 由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离， 则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线， 则曲线的方程为． 故选：B． 【变式1】已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 【变式2】点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意点到直线的距离和到点的距离相等，可得点的轨迹为抛物线，即可得解. 【详解】根据题意，设点，且点在的下方， 故点到直线的距离和到点的距离相等， 所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以的轨迹方程为， 故选：D. 题型三 和、差距离最值 解｜题｜技｜巧 根据抛物线定义转化 【典例1】已知抛物线的焦点为，点，P是抛物线C上的一个动点，则的最小值为（    ） A．8 B．12 C．10 D．16 【答案】B 【分析】首先求出抛物线的准线方程，过点作垂直于准线，交准线于点，根据抛物线的定义得到，从而求出的最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 过点作垂直于准线，交准线于点，则， 所以，当且仅当、、三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 【变式1】已知抛物线的焦点为，点的坐标是，P为上一点，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】D 【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点，过点A作于点H，结合抛物线的定义可得答案. 【详解】由拋物线知，则，准线l方程为， 如图所示，点A在抛物线内，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为点， 过点A作于点H，由抛物线的定义得, 所以,当且仅当点P是线段与抛物线的交点（即A， P，H三点共线）时取等号． 所以的最小值为， 故选：D. 【变式2】已知为抛物线上的动点，为的焦点，若点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，结合图形可知，当、、三点共线时，即当时，取最小值，即可得解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为， 过点作，垂足为点，如下图所示： 由抛物线的定义可得，则， 结合图形可知，当三点共线时，即当时，取最小值， 且最小值为，因此，的最小值为. 故答案为：. 题型四 直线与抛物的位置关系 解｜题｜技｜巧 设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程 (1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当时,直线与抛物线相切,有一个切点; 当时,直线与抛物线相离,没有公共点. (2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 【典例1】“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】联立直线与抛物线的方程，可得，分和，讨论方程只有一个解可得或，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】若直线与抛物线只有一个公共点， 则方程只有一个解， 即方程只有一个解， 当时，恒有一个解； 当时，，得，此时方程只有一个解． 即直线与抛物线只有一个公共点，可得或， 故“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A． 【变式1】已知抛物线，直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则直线的条数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断过点可作与抛物线相切的直线条数，以及与对称轴平行的直线，即可求解. 【详解】因为点在抛物线外，显然过可作两条直线与相切， 过可作一条与的对称轴（即轴）平行的直线，它与也只有一个公共点. 所以满足条件的直线有3条， 故选：C. 【变式2】已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】考虑直线斜率存在：，和不存在三种情况，讨论即可得解. 【详解】因为点不在抛物线上，易知当直线斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线斜率时，易知满足条件； 当直线斜率存在且时，设直线方程为， 由，整理得到， 由，解得. 综上所述：满足条件的直线有条. 故选：D 题型五 焦点弦 解｜题｜技｜巧 1、抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为. 2、抛物线的焦点弦 过抛物线（）的焦点的一条直线与它交于两点，，则 ①，；②；③. 【典例1】已知抛物线过点，其焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，. (1)求抛物线的标准方程，并写出其准线方程； (2)求直线的方程. 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为 (2) 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程解得，即可写出抛物线标准方程和准线方程； （2）联立直线和抛物线方程利用韦达定理和抛物线焦点弦公式解得，求出直线方程. 【详解】（1）由题意将点代入抛物线方程可知，解得. 所以抛物线的标准方程为，焦点， 因此准线方程为. （2）由（1）得直线的方程为. 设，如图所示：    联立直线和抛物线方程，消去得. 易得，且. 由抛物线焦点弦公式可知. 所以，解得或（舍去）. 故直线的方程为. 【变式1】已知抛物线C：过点． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度． 【答案】(1)，准线方程为 (2) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线方程和准线方程； （2）在第一问基础上求出直线，与抛物线联立后，得到两根之和，由焦点弦长公式求出答案. 【详解】（1）∵过点， ∴，解得， ∴抛物线C：，准线方程为； （2）由（1）知，抛物线焦点为， 设直线AB：，，， 由，得：，则， 则． 【变式2】已知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上. (1)求抛物线的标准方程； (2)过抛物线焦点的倾斜角为直线l与抛物线交于A、B两点，求线段AB 的长度. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）设抛物线的标准方程为：，再代入求解即可. （2）根据焦点弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上， 所以抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为：， 代入点的坐标得：，解得 则抛物线的标准方程为：. （2）焦点，则直线的方程是，设，， 由得，， 所以，则，故. 题型六弦长 解｜题｜技｜巧 （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 【典例1】已知抛物线，点，直线，记A关于l的对称点为B，且B在抛物线W上. (1)求直线l与直线AB的交点坐标； (2)求抛物线W的标准方程； (3)求直线AB被抛物线W截得的弦长. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题设知直线，求得直线的方程，再将其与直线l的方程联立，即可求得交点坐标； （2）先按求对称点的方法求出点坐标，再用待定系数法即可抛物线W的标准方程； （3）将直线AB的方程与抛物线的方程联立求出另一个交点坐标，再用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）因为A关于l的对称点为B，所以直线AB与l垂直. 因为l的斜率为所以直线AB的斜率为 故直线AB的方程为 联立，解得 故两直线的交点坐标为 （2）易知点是线段AB的中点， 设所以，解得 将B的坐标代入抛物线W的方程，得，解得 故抛物线W的标准方程为 （3）由（1）得， 由（2）得， 联立，得 设直线AB与抛物线W的另一个交点为， 因为，所以，解得， 故 所以 故直线AB被抛物线W截得的弦长为 【变式1】（1）求圆和圆的公切线 （2）若与抛物线相交，求弦长 【答案】（1）或；（2）1或 【分析】（1）根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解； （2）将切线方程与抛物线方程联立，利用弦长公式求解. 【详解】解：（1）当斜率存在时，设公切线为， 因为与两圆相切， 所以，解得. 切线 当斜率不存在时，也符合题意， 综上：公切线为：或； （2）当切线和时经检验无交点， 当切线为时，求得弦长为1， 当切线为时，代入， 得：， 由韦达定理得， 所以由弦长公式得：， ， 综上：弦长为1或 【变式2】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合. (1)求的方程； (2)若直线与相交于两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，即可确定抛物线焦点，求得p，即可求得答案； （2）联立抛物线和直线方程，可得根与系数的关系式，利用弦长公式，即可求得答案. 【详解】（1）双曲线即，焦点坐标为， 又抛物线的焦点， ，即. 抛物线的方程为； （2）将抛物线方程与直线方程联立得，消去，得， ，设， 则， 故 题型七 中点弦 解｜题｜技｜巧 若 为抛物线 弦 不平行 轴 的中点, 则 若 为抛物线 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则 【典例1】已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 【变式1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且点为线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程； （2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程. 【详解】（1）点在抛物线上， 由抛物线定义可得，解得， 故抛物线的标准方程为． （2）设，如下图所示：    则，两式相减可得， 即， 又线段的中点为，可得； 则，故直线的斜率为4， 所以直线的方程为， 即直线的方程为． 【变式2】已知抛物线C：的焦点为F，第四象限的一点，且． (1)求C的方程和m的值； (2)若直线l交C于A，B两点，且线段中点的坐标为，求直线l的方程 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求出的值，再将点的坐标代入即可求出的值； （2）利用点差法求出直线的斜率，代入点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为，则， 因为点在第四象限，所以，解得； 所以C的方程为，. （2）设，，则， 两式相减可得，， 所以，又因为线段中点的坐标为， 则有， 则由点斜式可得，直线l的方程为，即． 题型八 直线与抛物线相交中定点问题 解｜题｜技｜巧 1、定点问题的求解思路： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 2、过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线过定点问题 解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将用表示为得 故动直线过定点；若动直线斜率不为0，可设方程为. （2）动曲线过定点问题 解法：引入参变量建立曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点 【典例1】已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. (1)求的准线方程； (2)若直线的方程为，求； (3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合抛物线焦点坐标列方程求解，即可得准线方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式即可计算弦长. （3）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到根与系数的关系，再利用导数得出切线的方程， 联立切线的方程得到交点的坐标，最后结合点纵坐标条件推导直线过定点，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下：    由题意知.因为点到直线的距离为，所以， 解得或，又因为，所以， 所以抛物线的准线方程为. （2）根据题意作图如下：    将代入，得， 则， 所以. （3）证明：根据题意作图如下：    由已知，直线与抛物线有两个交点，则其斜率一定存在. 设. 由，得， 所以. 由，得，则， 所以过点的切线方程为，即， 同理过点的切线方程为， 由，得，即， 又点的纵坐标为，所以，又， 所以， 解得，所以直线过定点. 【变式1】已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可. 【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    【变式2】已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则， ∴点F的坐标为，∴， ∴．抛物线C的方程为． （2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点， 设直线AB的方程为（），，， 由，得， ∴，，， ∵，∴， ∴ ， ∴或（舍去）， 当时，点M的坐标为，满足，， ∴存在定点． 题型九 直线与抛物线相交中定值问题 解｜题｜技｜巧 在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用， 【一般策略】 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 ②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值 【典例1】已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求抛物线的方程； (2)①求直线的斜率的取值范围； ②若为原点，将上述两点坐标改为，且满足，其他条件不变，试探究是否为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②为定值，理由见解析 【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程计算可得； （2）①设出直线方程，联立抛物线方程消元，利用判别式，结合题意求解即可；②设出直线的方程，联立抛物线方程消元，利用坐标表示出直线，方程，进而可得、的坐标，表示出，利用韦达定理进行化简即可得解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，从而，故抛物线的方程为． （2）①由题意知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为， 由得， 依题意，解得且． 又直线与轴相交，故直线不过点，从而， 所以直线斜率的取值范围为． ②为定值2．理由如下： 设，直线． 联立直线与抛物线的方程，可得， 根据韦达定理有．则, 故， 直线的方程为， 令，则，同理可得． 由得,得 同理， 则, 所以为定值，定值为2． 【变式1】已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 【变式2】已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. (1)求C的方程； (2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； (3)若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)0或 (3)证明见解析， 【分析】（1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果； （3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. （2）设直线l的斜率为k，则. 联立， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. （3）由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值. 题型十直线与椭圆相交中定直线问题 解｜题｜技｜巧 1、 在圆锥曲线中，定直线问题指的是：在曲线或相关点、线满足某些动态条件（如点在曲线上运动、直线绕定点转动等）时，始终存在一条固定不变的直线，使得动态元素（如交点、轨迹、垂足等）始终在这条直线上，这条直线就被称为“定直线”. 2、圆锥曲线中的定直线问题的常见类型及解题策略： ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标 ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参 ④设点，对方程变形解得定直线 【典例1】抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，在处的切线与在处的切线交于点. (1)求抛物线的方程； (2)证明：点在定直线上 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程. （2）利用导数的几何意义求出抛物线在点处的切线方程，进而得直线方程即可推理得证. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，则，解得， 所以抛物线的方程为. （2）设，直线的方程为，由，求导得， 抛物线在处的切线方程为，即， 依题意，直线过，则， 同理在处的切线过，则， 显然点在上，即直线与是同一直线， 因此，则，所以点在定直线上. 【变式1】已知圆，一动圆与直线相切且与圆外切． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)若经过定点的直线与曲线交于，两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程． 【答案】(1) (2)存在，或． 【分析】（1）利用直接法，设出点坐标根据相切关系找到等量关系即可求动圆圆心P的轨迹T的方程； （2）由题意设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用，从而由向量的数量积的坐标运算于韦达定理可得，即可求出直线方程． 【详解】（1）设，由题可知动圆圆心不能在轴左侧，故， 因为动圆与直线相切且与圆外切， 所以， 所以， 化简得， 所以动圆圆心的轨迹的方程为； （2）设，， 由题意，设直线的方程为， 联立 消去得， 所以，①， 所以，②， 假设存在使得， 则由题意可得③， 因为在抛物线上，所以，即④， 又，，， 所以， 将①②③④代入此式并化简，可得， 所以，即， 所以存在直线，使得，且直线的方程为或． 【变式2】若抛物线的方程为，焦点为，设是抛物线上两个不同的动点. (1)若，求直线的斜率； (2)设中点为，若直线斜率为，证明在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据焦半径公式得到，求出，从而求出斜率； （2）法一：，联立抛物线方程，设，得到两根之和，两根之积，得到，求出答案； 法二：设，得到，从而确定，得到，得到答案. 【详解】（1）， ，将代入得，， 所以； （2）法一：设， ，即， 代入，得， 由韦达定理，有， 故，在定直线上. 法二：设， 由题意，， 故， 故，在定直线上. 期中基础通关练（测试时间：50分钟） 1．抛物线绕其顶点顺时针旋转之后，得到的图形正好对应抛物线，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】找到旋转前后的对应关系，写出新的抛物线方程，对应即可. 【详解】抛物线即开口向上，将其绕顶点逆时针旋转，得到的抛物线开口向左，其方程为，即为原抛物线，所以，则． 故选：B 2．设抛物线的焦点为，点在上，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由周长为，若垂直于抛物线准线于，结合抛物线定义得，进而确定周长最小值. 【详解】由周长为，若垂直于抛物线准线于，    所以，而， 所以，要使周长最小， 即最小，仅当三点共线时，取最小值为7， 所以最小周长为12. 故选：C 3．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质及焦点坐标公式计算求解. 【详解】因为抛物线，所以焦点到准线的距离，且焦点在轴的正半轴上，所以焦点坐标为. 故选：A. 4．已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，点为抛物线上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线方程求出焦点和点的坐标，再利用抛物线的定义和已知条件求出点的坐标，最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】对于抛物线，其焦点的坐标为，准线方程为， 准线与轴的交点的坐标为，则， 设点的坐标为，由抛物线的定义可知， 已知，则，解得. 因为点为抛物线上一点，将代入抛物线方程可得，解得. 在中，，点到轴的距离即为中边上的高，即高， 因此的面积. 故选：C. 5．已知抛物线的焦点为，点A在抛物线上，O是坐标原点，若的面积为，则长度为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】根据焦点可得抛物线方程，进而由面积公式可得点的坐标，即可根据焦半径公式求解. 【详解】由，得，即，故抛物线的方程为. 设，则的面积为，得， 将代入，得， 由焦半径公式. 故选：D. 6．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立曲线方程后借助焦点弦公式计算即可得. 【详解】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线l的斜率为.    故选：B. 7．（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B． C．的面积为 D． 【答案】BC 【分析】先根据条件求出，根据双曲线方程可得渐近线的方程，求出的坐标可判断其余选项. 【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即. 又，所以，所以双曲线的方程为. 对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误； 对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，， 解得或（舍去负值），所以，代入可得，. 设，又，所以，故B项正确； 对于C项，易知，故C项正确； 对于D项，因为， 所以，由余弦定理可得，，故D项错误. 故选：BC 8．（多选）已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．面积的最小值为2. C． D．可能为直角. 【答案】BC 【分析】对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；对于B，设直线方程与抛物线联立，求得弦长，表示出三角形面积，利用二次函数的性质计算即可判断；对于C，利用抛物线焦半径公式代入计算易得；对于D，通过计算即可判断. 【详解】    对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误； 对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设， 与联立消元得：， 显然，设，则， 则， 点到直线的距离为， 则的面积为， 则当时，即时，取得最小值2，故B正确； 对于C，设直线的倾斜角为，则， 则，故C正确； 对于D，由B选项可得， 则， 故与所夹的角为钝角，故D错误. 故选：BC. 9．若抛物线经过点，则该抛物线的焦点坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，将点的坐标代入抛物线的方程，求得，结合抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】因为抛物线经过点，可得，解得，即 又因为抛物线的焦点在轴上，所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 10．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为 . 【答案】2 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】设点，.易得抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线定义得， 所以，故， 即线段中点的纵坐标为2. 故答案为：2. 11．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． (1)若，，求的值； (2)设点为抛物线准线与轴交点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意设点，直线，联立解出，再利用抛物线的定义，即可求解. （2）根据题意设点，直线，表示出后，利用韦达定理进行化简，即可求解. 【详解】（1）因为点在第一象限，，则， 焦点，准线，， 所以设点，直线， 联立，得，解得，， 由，得. （2）因为点在第一象限，则，焦点，点， 设点，直线， 联立，得， 所以，， 则 ， 综上，的值为0. 12．设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点. (1)求的准线方程； (2)设为准线上一点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线方程即可得准线方程， （2）根据两点斜率公式，求解直线方程，联立与抛物线方程，即可根据韦达定理以及焦点弦公式求解. 【详解】（1）因为抛物线的方程为，所以抛物线的准线方程为 （2）因为在的准线上，所以，即， 易得的坐标为，此时， 因为，所以，解得， 所以的方程为，设，， 联立消去并整理得，由韦达定理得， 所以 期中重难突破练（测试时间：40分钟） 1．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得. 【详解】过点作抛物线的准线于点， 由抛物线定义可得， 则， 当且仅当、、三点共线，抛物线的准线， 即时，有最小值. 故选：B. 2．已知抛物线，为的准线与的对称轴的交点，为抛物线上的点，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由抛物线方程的性质可知，焦点，准线：，为的准线与的对称轴的交点可得，已知为抛物线上的点，代入方程得到，再根据两点间距离公式构建关于的方程求解. 【详解】 由抛物线的性质可知， 焦点，准线：. 又因为为的准线与的对称轴的交点， 所以. 因为位于上，则， 所以，故 根据两点间距离公式： ， 故选：B. 3．（多选）设抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，在直线上的射影分别为，则（    ） A．以为直径的圆与直线相切 B．是钝角 C．的最小值是4 D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】选项A根据抛物线的定义结合圆的定义即可；选项B根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质即可；选项C设，由焦点弦公式可得；选项D过作，根据即可求出倾斜角. 【详解】如图，假设点位于第一象限，根据抛物线的定义可， 设中点为，点在抛物线的准线上的射影为， 所以， 则以为直径的圆与准线相切，故A正确；      因为， 所以， 又因为， 所以，所以，故B错误； 设，由焦点弦公式可得，等号成立时，所以C正确； 因为， 所以， 过作， 所以， 所以或，故直线的斜率为，故D正确. 故选：ACD 4．（多选）记抛物线的焦点为，直线与相交于两点，直线与相交于两点，则（　　） A．当，且点在上时， B．当，且点在上时， C．当，且点共线时，直线的斜率为 D．当，且点到四点的距离相等时， 【答案】AD 【分析】对于A，联立直线方程与抛物线方程，可求得，，由已知求解可判断；对于B，由已知可得，计算可判断；对于C，结合A可知，结合已知可得，求解可判断C；对于D，由已知可求得，进而，计算可得，进而可判断D. 【详解】对于，由，可得均为正数， 联立，可得， 于是，同理，由，可得， 由点在上可知，故，故正确； 对于，由，可得，由点在上可知，故， 点的横坐标为，由抛物线的定义可知，故B错误； 对于C，此时，当点在第一象限时，则， 由点共线可知点在第四象限，故， 代入，可得， 由直线与的斜率相等，即，解得， 故，于是， 由对称性可知也可以为，故C错误； 对于，由对称性可知四边形是对称轴为轴的等腰梯形，故， 不妨设，则，代入，可得， 由，可得， 整理得，而， 故，于是，故正确． 故选：AD. 5．已知抛物线的焦点为，直线与交于两点，其中在第一象限，若，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，利用抛物线定义结合直角三角形求解作答. 【详解】过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，过作于，显然四边形是矩形， 由抛物线定义知，，因为， 则， 所以， 设直线的倾斜角为，则， 所以， 则直线的斜率为. 故答案为：. 6．已知O 为坐标原点，F是抛物线C：的焦点，是C上位于y 轴异侧的两点，且的面积为，则 【答案】 【分析】利用焦半径公式求出A点坐标，再利用的面积结合抛物线方程求出B点坐标，利用两点间距离公式，即可求得答案. 【详解】由题意知抛物线C：的焦点为，准线方程为， 设，则由可得，得， 则，则，不妨取，则， 设，则满足， 由于的面积为即， 即，即，则 又，则，解得或（舍去）， 故，则， 故， 故答案为： 7．在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线：的距离相等，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线过点与曲线交于点，，点满足，当直线斜率最大时，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程； （2）先通过向量关系得到点M与Q的坐标联系，再结合抛物线方程，利用基本不等式求直线OQ斜率最大值，最后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出点N坐标. 【详解】（1）设动点 ，则点 到点 的距离为 ， 直线 的距离为 ； 因为动点 到点 的距离与到直线 的距离相等， 所以 ，所以 的方程 . （2）设 ，由 ，即 得 ； 因为点 在轨迹 上，所以 ，而 ， 因为要求 斜率的最大值，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 所以 ，直线 ， 由 与 联立，得 ，即 ， 所以 ，即 ，所以 ， 所以 . 8．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点． (1)求抛物线的方程； (2)当点为弦的中点时，求直线的方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由抛物线的焦点求得，即得抛物线的方程； （2）设的方程为，与抛物线C联立方程组，利用根与系数的关系结合中点，求得，即可求解直线的方程． （3）由抛物线定义可知根据题意得到，结合根与系数的关系代入即可求解. 【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即. ∴抛物线的方程为. （2）设，显然直线斜率存在. 设的方程为， 联立方程，消去，整理得， 因为点是的中点，由，解得. 所以直线AB的方程为．即． （3）由抛物线定义可知 所以, 由（2）知, ∴， 所以 所以当时，取得最小值为． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的焦点坐标求出，设出，坐标，联立直线和抛物线，利用设而不求思想结合基本不等式进行转化求解即可． 【详解】 如图，设抛物线的焦点坐标为， 焦点为， ，得，即抛物线方程为， 当轴时，易得，，则， 则； 当不垂直轴时，设斜率为，，， 则直线的方程为， ，代入 可得，即， 则，， 过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则，， ， 则， 于是，， 当且仅当，即时取等号. 综上：因,故 的最小值为. 故选：C. 2．抛物线的焦点为，为坐标原点，，点为抛物线上任意一点，的平分线与轴的交点为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对点的位置进行分类讨论，当点与坐标原点重合时，可求得；当点不与原点重合时，不妨设点在第一象限，过点作垂直准线于点，利用角平分线的性质可得出，可得出，结合题意可求出的取值范围，综合可得出实数的取值范围. 【详解】由题意得，焦点，准线方程为，为准线与轴的交点. 当点与坐标原点重合时，的平分线与轴交点为，即. 当点不与原点重合时，由抛物线的对称性，不妨设点在第一象限， 过点作垂直准线于点， 如图，由抛物线的定义可得， 记的平分线与轴交于点，则，. 根据角平分线定理可得，即. 因为， 所以，解得. 综上. 故选：B. 3．（多选）如图，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合．若抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（    ） A． B．若点，则 C．若从射入的光线沿直线射出后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为14 D．设直线AO与的准线的交点为，则点在直线上 【答案】AD 【分析】A选项，直线AB经过焦点，且斜率不为0，设直线，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，A正确；B选项，若点，求出，由焦点弦公式得到B错误；C选项，易知，相加可得C错误；D选项，直线，联立，解得，所以，所以点在直线上. 【详解】A选项，由抛物线方程为，知焦点，准线方程为． 如图，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点，且斜率不为0， 设直线，联立整理得， 可得，所以，A正确； B选项，若点，则，由知，，因此， 所以由焦点弦公式可得，B错误； C选项，易知， 所以该光线经过的路程为，C错误； D选项，直线，联立，解得， 由得，所以，所以点在直线上，D正确．    故选：AD 4．（多选）已知点是抛物线上的一点，过C的焦点F的两条互相垂直的直线，分别与C交于点A，B和点D，E，其中点A，D均在x轴的上方，过点P分别作，的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则直线的倾斜角为 C．为定值 D．四边形的周长的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于A将点代入抛物线方程解得即可判断，对于B设直线的方程为，结合抛物线方程和即可求出线的倾斜角，进而判断B，对于C利用韦达定理和弦长公式即可求，进而判断，对于D由，利用均值不等式即可求解，进而判断. 【详解】由题意有，所以，所以， 所以，故A正确； 对于B：设直线的方程为，所以， 设，则，由得， 所以，即，设直线的倾斜角，则,故B错误； 对于C：由，由直线与直线垂直， 则可设直线的方程为，则有， 所以，故C正确； 对于D：由，所以， 即，当且仅当时，等号成立， 又得， 所以四边形的周长的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 5．已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，且，又于点，若动点的坐标满足方程，则 . 【答案】2 【分析】由题知，且点在直线上，故设，.由可得，从而.根据点的坐标满足方程可得.代入化简整理得，解得，故直线.联立方程组，消去并整理得，设，，结合韦达定理和即可求解. 【详解】 ∵直线与抛物线交于，两点，∴. 由题知点在直线上，∴设，∴. ∵，，∴，即，∴. ∵点的坐标满足方程，∴，即. 代入得，化简整理得. ∵，∴，∴直线. 联立方程组，消去并整理得，. 设，，则. ∵，∴，解得. 故答案为：2. 6．在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1． (1)求曲线的方程； (2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值； (3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．探究：点的纵坐标之积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是，定值2304． 【分析】（1）方法一：由题意上任意一点到直线的距离等于点到点的距离，然后由抛物线定义求解方程即可；      方法二：由题意，设点的坐标为，利用距离关系列式化简即可求解轨迹方程. （2）四边形的面积，根据点与圆的位置关系求得的最小值，即可得解. （3）设点的坐标为，则切线方程为，利用相切关系得关于的二次方程，设过点所作的两条切线的斜率分别为，根据韦达定理得，设点的纵坐标分别为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理得，同理可得，从而代入化简得. 【详解】（1）方法一：由题意，到直线的距离比点到点的距离小1， 上任意一点到直线的距离等于点到点的距离， 因此，曲线的是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为． 方法二：由题意，设点的坐标为， 由题意得，易知点位于直线的右侧， ，化简得，曲线的方程为． （2）由题意得，的圆心为，半径， 又四边形的面积， 当的值最小时，四边形的面积最小，又的最小值为， 四边形面积的最小值为． （3）当点在直线上运动时，设点的坐标为．又， 过点且与圆相切的直线的斜率存在且不为0， 每条切线都与有两个交点，则切线方程为， 即，所以，整理得①. 设过点所作的两条切线的斜率分别为， 则是方程①的两个实数根， ． 联立得，③. 设点的纵坐标分别为，则是方程③的两个实数根， ． 同理可得，⑤. 联立①③⑤三式，得 ， 当在直线上运动时，点的纵坐标之积为定值2304． 7．已知平面内一动圆过点，且该圆被轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线，点为曲线的四点. (1)若梯形的四个顶点均在曲线上，，对角线与交于点. （i）求直线的斜率； （ii）证明：直线与交于定点. (2)已知点.过点作直线交曲线于两点，为线段的中点，点为曲线上的一点且始终满足，过点作直线，该直线与曲线的另一个交点为，为线段的中点，为曲线的焦点，记的面积为的面积为，求的最小值. 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2)2 【分析】（1）依题意，求出曲线E的方程为，表示直线方程，利用，求出斜率，进而证明恒过定点； （2）当不经过点Q时，等价于，即，求出，当经过点Q时，也满足，设，联立与方程，求出，表示，，即可得到答案. 【详解】（1） （i）由题意，动圆过定点，设圆心，弦的中点为，连接， 则由圆的性质得， ∴，整理得. 当时，也满足上式， ∴曲线E的方程为. 由题意可知：直线的斜率不为0，设， 联立方程，消去x可得，则，可得， 可知直线，联立方程，消去x可得， 由题意可知：，即，且，可得， 同理可得：，则， 因为，则，即，整理可得， 由题意可知：点不在直线上，则，即， 可得，即，所以直线的斜率； （ii）由（i）可知：，则的中点，又因为，即，则的中点， 即直线，由梯形的性质可知：直线与的交点即为直线与的交点， 因为直线的斜率，则直线， 令可得， 即直线与直线的交点为，所以直线与交于定点. （2） 当不经过点Q时，等价于，即. 因为分别交曲线于A，B两点，所以.不平行于x轴，设， .，，，联立与曲线方程，得， 且， 由韦达定理，得，， 又，同理， 所以，所以， 代入整理得， 要使该式恒成立，则，解得， 又经检验，当经过点Q时，仍然成立，所以存在定点使得； 因为分别交曲线于，两点，所以不平行于x轴，且， 又因为，设，， 联立与曲线方程，得，且，所以； 因为N为中点，所以，且， 所以，所以， 当时取到等号，所以的最小值为2. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $