第5单元 创意手工坊——三角形-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年五年级上册数学（青岛版·新教材）

五 创意手工坊一 三角形 第1课时 三角形的三边关系 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.在能围成三角形的各组小棒下面画“√”。 5.新趋势思维过程朵朵找到了一根小棒，它既可 (单位：厘米》 以和长4cm、6cm的两根小棒围成三角形， 2 2 也可以和长5cm、11cm的两根小棒围成三 角形，这根小棒的长度可能是多少厘米？（小 棒长为整厘米数) 2.新情境市政建设如图，为了缩短①L 路口行人过街时间并确保过 街安全，交警部门在一些路口 设置了对角斑马线。 (1)从A处到B处怎样过马路最近？在图中 用线画出来。 6.新趋势操作探究华华和东东在研究如何把一根 (2)为什么这条路是最近的？用线段的知识 长12cm的纸条剪成三根短纸条并围成三角 来解释： 形。（每根纸条的长度都是整厘米数》 用三角形三边关系的知识来解释： (1)华华准备第一刀剪在纸条的6cm处，这 种剪法可行吗？请说明理由。 3.填一填。 (1)新情境生活应用有一个等腰三角形风筝， 其中两条边分别长18分米和20分米。这个 等腰三角形风筝的周长是( )分米。 (2)园艺师用长48米的隔离带正好围了等 (2)东东准备第一刀剪在纸条的5cm处，第 腰三角形花圃一圈。已知花圃的一条边长8 二刀应该剪在哪里？在下图中画出来。（图 米，另外两条边分别长( )米和( )米。 中1格代表1cm) 4.下面左框中的3条线段能围成三角形吗？若 能，请在方格图中已有c边的基础上用无刻 7.用14根同样长的小棒拼摆一个三角形，可以 度直尺和圆规作图，保留作图痕迹，并标注三 怎样拼摆？记录下你的摆法。 角形的第三个顶点“C” 46 五创意手工坊 一三角形 第2课时」 三角形的内角和 基础进阶 夯实基石，稳步进阶 能力攀升 活学活用，提升能力 1.计算每个三角形中未知角的度数。 4.如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠5的度数。 32° 0 29 50 509 5 5.新趋势题组训练下面是四名同学研究四边形的 内角和的思考过程。 2.选一选。 12明 (1)新情境生活应用王老师不小心把一块三角 形玻璃打碎成三小块（如图），现在他要到玻 个周角=360 180°×2=360 A同学 B同学 璃店去配一块完全一样的三角形玻璃，那么 只需要带着( )号玻璃去。 ① C同学 D同学 ③ (1)请把C同学的思考过程用算式表示出 ③ 来：( )。 A.① B.② C.③ D.①② (2)D同学列出的算式为180°×3，你认为对 (2)新情境生活应用下面说法错误的是( o 吗？请说明理由。 A.等边三角形的三个内角都是60° B.一个三角形越大，它的内角和就越大 C.锐角三角形中，任意两个锐角的和一定大 于90° D.三角形ABC中，∠A=∠B+∠C,那么 它一定是直角三角形 (3)一张直角三角形纸片，用剪刀剪去直角 3.填一填。 后得到一个四边形（图中空白部分），∠1与 (1)顶角为36的等腰三角形叫作黄 ∠2的度数和是多少？ 金三角形（如图），它不仅存在于自然 36 界中，也因其对称美与和谐美被广泛 运用于建筑及艺术等领域，黄金三角形的一 个底角是()°。 (2)等腰三角形的一个顶角是一个底角的 4倍，这个等腰三角形的顶角是()°。 47 拔尖特训数学（青岛版）五年级上 第3课时 我学会了吗 能力攀升 活学活用，提升能力 思维拓展 激活思维，培植素养 1.填一填。 4.从下面5根小棒中任选3根，能围出哪些不 (1)如左下图，在池塘的一侧选取一点P,那 同的三角形？照样子，写一写。 么AB之间的距离可能是( )m。(填整 3cm ▣3cm 5cm 米数) 7cm 8cm (3cm、3cm、5cm :m 120 池塘 (2)如右上图所示为粤港澳大湾区的地标建 5.如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转得 筑—聚星桥，整体呈Y形对称结构。工程 到三角形A'B'C。已知∠1=51°，则∠4是多 师在设计桥塔时，采用了稳固的等腰三角形 少度？ 结构。经测量，桥塔侧面的顶角为120°，那么 它的底角是()°。 (3)按照图中的方法将三角形进行折叠，那 么∠2的度数为( )°。 65 65 6.新趋势探究规律三名同学一起探索六边形的内 2.选一选。 角和，他们的想法如图所示。 (1)一个三角形，其中两条边分别是3cm、 8cm,第三条边的长度是整厘米数。围成这 个三角形，最少需要( )cm长的绳子。 A.14 B.17 (1)你最喜欢( )的想法，他的想法用算 C.18 D.19 式如何表示？ (2)一个三角形三个角的度数都不相等，其 中最小的角是45°，它一定是( )三角形。 A.锐角 B.直角 C.钝角 D.等边 3.如图，已知线段a,利用尺规求作一个底和高 (2)奇奇在探究六边形的内角和时，列式为 均为a的等腰三角形。 180°×6一360°，请你把他的想法在下面的六 边形里画出来。 48 五创意手工坊 一三角形 提分真题特训 1.填一填。 3.(滨州无棣)小军想用小棒围三角形，他已经 (1)(滨州沾化区)一个三角形的草坪，三条 有两根5cm长的小棒了，需要再从下面三种 边的长度都是整米数，其中两条边分别长 长度的小棒中选一根 4米和9米，请推算一下，第三条边最短是 ① ○5cm ( )米，最长是( )米。 ② 7cm ③ (2)(滨州无棣)有4根小棒，它们的长度分 12cm (1)如果小军选①，那么他围成的是一个 别是4cm、8cm、8cm和12cm,从中任意取 ( )三角形（按边分），内角和是( )°。 3根，首尾相接摆出一个三角形，这个三角形 的周长最大是()cm,此时这个三角形按 (2)如果小军选②，那么他围成的是一个 边分是()三角形；若等腰三角形的一个 ()三角形。（按边分） 底角是40°，则它的顶角是()°。 (3)如果小军选③，那么他( )(填“能”或 (3)(潍坊奎文区)东东在劳动课上制作了一 “不能”)围成三角形，理由是( 个等腰三角形的风筝，风筝顶角的度数是一 个底角度数的3倍，风筝的顶角是( )°， 4.(潍坊诸城)小明在研究窗户时 底角是()。 发现，有些窗户的形状是多边 (4)(滨州无棣)如图，一副三角板叠放在一 形。他想到：三角形的内角和 起，则∠1的度数为( )°。 是180°，四边形的内角和是360°，那么其他多 边形的内角和是多少呢？他决定用“分割法”来 60 研究。他记录了不同多边形的分割情况： ,○ 2.选一选。 (1)(滨州无棣)有一张等腰三角形纸片，它 (1)仿照例子在上图中画出六边形、七边形 的顶角是110°，一个底角是( )。 的分割方法（保留作图痕迹），并将表格内数 A.1109 B.35 据补充完整。 C.70° D.459 多边形的边数 4 5 6 (2)(潍坊潍城区)将一条长16cm的铁棒截 分割成的三角形个数 成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，已 内角和度数 360°540° 经在6cm处截断（如图“剪刀”处），第二次可 (2)按照这样的分法，你能尝试用字母表示 以在( )点处截断。 出n边形的内角和吗？ 单位：厘米 甲 012345678910111213141516 A.甲或乙 B.乙或丙 C.乙或丁 D.丙或丁 49 拔尖特训数学（青岛版）五年级上 单元整合提升·易错与拓展 疑难排查。易错点精练 4.如图，∠1=30°，∠2=20°，∠5=90°，求∠3 和∠4的度数。 类型一已知三角形的两边求第三边问题 根据“三角形任意两边之和大于第三边”“任意两边长 度之差小于第三边”可以解决三角形与边有关的 问题。 435合 B D 1.奇奇、东东和乐乐三名同学家的位置围成了 一个三角形。奇奇家和东东家相距700米， 视野开拓拓展点提升 东东家和乐乐家相距1100米。奇奇家和乐 拓展一根据三角形的三边关系解决“已知周 乐家最远相距多少米？最近呢？（取整米数） 长求三边长”的问题 5.用20分米长的绳子正好围成一个等腰三角 形，边长都是整分米数，有多少种不同的围 法？请列举出来。 思路提示：先确定最长边，最长边必须小于周长 的一半，再一一列举，列举时要注意不重复、不 2.三边长均为整厘米数，且最长边为7厘米的 遗漏。 三角形一共有多少个？ 拓展二根据三角形的内角和解决求多个角 的度数和问题 类型二根据三角形的内角和推算角的度数 6.新趋势作探究求∠A十∠B十∠C十∠D十 根据三角形的内角和、平角等知识，在未知角与已知 ∠E十∠F的度数。 角之间通过推理建立联系，进而计算出未知角的 度数。 3.乐乐用一副三角板玩拼角游戏，他拼出了如 B 图所示的图形，求∠1和∠2的度数。 思路提示：可以在图形中添加辅助线，将求六个 角的和转化为求四边形的内角和问题」 508.(1)2解析第一张纸片盖住的桌面面积是 3×2=6(平方厘米)，第二张纸片盖住的是2× (3一2)=2（平方厘米），第三张纸片盖住的也是 2×(3一2)=2（平方厘米），以后每张纸片多盖住的 面积都是2平方厘米。 (2)810204解析按照第(1)题中的规律推 算，100张纸片盖住的桌面面积是第一张纸片盖住 的桌面面积加上(100一1)个2平方厘米，即6+ 2×(100-1)=204(平方厘米)。 (3)(4+2n)平方厘米 五 创意手工坊一 三角形 第1课时三角形的三边关系 1.()()() 2.(1)@WL ® (2)两点之间线段最短 三角形任意两边之和大 于第三边 3.(1)56或58(2)2020 4 Ac B (画法不唯一) 5.4+6=10(cm)6-4=2(cm) 符合第一个条件的小棒：2cm<小棒的长度< 10cm5+11=16(cm)11-5=6(cm)符合 第二个条件的小棒：6cm<小棒的长度<l6cm 符合两个条件的小棒：6cm<小棒的长度<10cm 答：这根小棒的长度可能是7cm、8cm或9cm。 解析由于三角形中任意两边之和大于第三边、任 意两边之差小于第三边，于是可得两个条件中另一 根小棒长度的范围；由此便能确定第三根小棒可能 的长度，注意不要遗漏情况。 6.(1)不可行理由：第二刀无论在左边或右边 剪，都无法满足三角形任意两边之和大于第三边。 (2)答案不唯一，如 7.可以拼摆的三角形有四种，分别是①2根、 6根、6根；②3根、5根、6根；③4根、4根、6根； ④4根、5根、5根 第2课时三角形的内角和 1.第一幅图：180°-50°-50°=80 第二幅图：180°一90°-60°=30° 第三幅图：180°-32°-29°=119° 2.(1)C解析③号玻璃含有原三角形玻璃的两 角、一条边和不完整的两边，只需要延长不完整的 两边即可得到原来的形状。 (2)B 3.(1)72(2)120 4.(180°-70)÷2=55°180°-55°=125 答：∠5的度数是125°。 解析根据三角形的内角和是180°，可得∠1十 ∠2+∠3十∠4=180°-70°=110°，又因为∠1= ∠2，∠3=∠4，所以∠2十∠4=110°÷2=55°，据 此可求出∠5的度数。 5.(1)180°×4-360°=360° (2)不对理由：D同学少减了一个平角的度数， 四边形的内角和应是180°×3一180°=360°。 (3)180°-90°=90°360°-90°=270° 答：∠1与∠2的度数和是270°。 第3课时我学会了吗 1.(1)答案不唯一，如5(2)30(3)50 2.(1)B(2)A 3. 4.(3cm、5cm、7cm)、(3cm、7cm、8cm)、(5cm、 7cm、8cm)解析要找出能围成三角形的组合， 需先有序列举出所有任选3根小棒的搭配，再根据 “三角形任意两边之和大于第三边”的规则逐一验 证，筛选出符合条件的组合：①先固定最短边为 3cm,依次搭配其他小棒：搭配3cm、5cm:验证三 边关系，符合要求；搭配3cm、7cm:两边和小于第 三边，不符合；搭配3cm、8cm:两边和小于第三 边，不符合；搭配5cm、7cm:验证三边关系，符合 要求；搭配5cm、8cm:两边和等于第三边，不符 合；搭配7cm、8cm:验证三边关系，符合要求： ②再固定最短边为5cm,搭配剩下的7cm、8cm:验证 三边关系，符合要求。符合条件的一共有4种情况。 5.∠2=∠1=51°∠3=180°-90°-51°=39 ∠4=∠3=39°答：∠4是39°。 6.(1)答案不唯一，如甲180°×4=720 解析甲的想法：把六边形分成了4个三角形，4个 三角形的内角总和就是六边形的内角和。乙的想 法：把六边形分成了2个四边形，一个四边形的内 角和是360°，2个四边形的内角总和就是六边形的 内角和。丙的想法：把六边形分成了2个三角形和 一个长方形，2个三角形的内角总和加上长方形的 内角和就是六边形的内角和。 (2) 解析把六边形分成6个三角形，每个三角形的内 角和是180°，求出6个三角形的内角总和，此时多 算了一个周角，所以用6个三角形的内角总和减去 360°就是六边形的内角和。 提分真题特训 1.(1)612(2)28等腰100(3)108 36(4)15 2.(1)B(2)D 3.(1)等边180(2)等腰(3)不能两根小 棒的长度和小于第三根小棒的长度，围不成三角形 4.(1)分法不唯一，如 多边形的边数 4 5 6 分割成的三角形个数 v 3 4 5 内角和度数 360° 540° 720 900° (2)(n一2)×180°(n为大于或等于3的整数) 单元整合提升·易错与拓展 1.700十1100-1=1799（米） 1100-700+1=401(米) 答：奇奇家和乐乐家最远相距1799米，最近相距 401米。 2.16个解析已知三角形最长边为7厘米，且三 边长均为整厘米数，根据三角形三边关系，另外两 条边需满足两个条件：①每条边的长度不超过 7厘米；②较短的两条边长度之和大于7厘米。接 下来按照“最短边从小到大，中间边大于或等于最 短边且小于或等于最长边”的顺序有序列举，确保 不重复、不遗漏。 3.∠2=180°-45°-(90°-30°)=75 ∠1=180°-75°=1059 答：∠1的度数是105°，∠2的度数是75°。 4.∠3=180°-30°-90°=60° ∠4=180°-60°-20°=100 答：∠3的度数是60°，∠4的度数是100°。 5.有4种不同的围法分别是9分米、9分米、 2分米；8分米、8分米、4分米；7分米、7分米、6分 米；6分米、6分米、8分米解析三角形的周长是 20分米，所以最长的边一定小于(20÷2)分米，最 长边从9分米开始列举，注意围成的是等腰三角 形。如下表： 第一条边的长度/分米 9 8 7 第二条边的长度/分米 9 8 7 6 第三条边的长度/分米 2 6 8 由表可知，共有4种不同的围法。 6.如图，连接AD,因为∠AMD十∠DMF=180°， ∠EMF+∠DMF=180°，所以∠AMD=∠EMF。 因为∠MAD+∠MDA十∠AMD=180°，∠E+ ∠F+∠EMF=180°，且∠AMD=∠EMF,所以 ∠MAD+∠MDA=∠E+∠F。所以∠BAF十 ∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F=∠BAF+ ∠B+∠C+∠CDE+∠MAD+∠MDA= ∠BAD+∠B+∠C+∠CDA=360 答：∠A十∠B+∠C+∠D+∠E十∠F的度数 为360°. 解析解决有关图形的问题时，添加辅助线是一种 常见的解题技巧，可以帮助我们更好地解决问题。 本题中，添加辅助线AD,构造四边形ABCD,将求 原图中六个角的和转化为求四边形的内角和问题。 六 今天我当家一 小数乘法 第1课时小数乘整数 1.2523.2417.02135.2竖式略 2.X4.18 X 42 ×20 ×0.15 83.6Q 210 42 6.38 2 3.(1)12.5×8=100(元)答：应付100元。 (2)14.8×18=266.4(元)300-266.4= 33.6(元)答：应找回33.6元。 (3)答案不唯一，如买6串冰糖葫芦需要多少钱？ 4.8×6=28.8(元) 答：买6串冰糖葫芦需要28.8元。 4.D 5. 10 4或 1 0 4 X 1,8 + 6.8 83 2 832 1 x 62 8 72 7072 0.15 或 0.1 5 6 1 × 6 3 15 45 90 90 91 5 945 或 0.15 × 6 5 75 9 9,7 5 解析第一道竖式：先计算104×8=832，所以 82中的方框填3，即832.104与18中的 相乘，积的末位数字是4，可以推算出 里 可以是1或6；然后把1或6填入试算，求得 答案。第二道竖式：根据积的末位是5，可以得出 第一个乘数末位的5与第二个乘数个位上的数字 相乘的积的个位上是5，因此第二个乘数个位上只 能是1、3、5、7、9；由把第一个乘数看成两位数与第 二个乘数个位上的数字相乘后还是两位数，可知第 二个乘数个位上只能是1、3、5。所以本题有三种 情况，分别是0.15×61、0.15×63、0.15×65，最后