精品解析：四川自贡市荣县旭东中学2026-2027学年八年级上学期第一次学情自测数学练习题

荣县启明集团第一学月巩固练习八年级数学练习题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 3，5，9 C. 2，3，5 D. 5，5，11 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查构成三角形的三边数量关系，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边”进行判断． 【详解】解：对于A选项：∵， ∴能构成三角形； 对于B选项：∵， ∴不能构成三角形； 对于C选项：∵，等于第三边， ∴不能构成三角形； 对于D选项：∵， ∴不能构成三角形； 故选：A． 2. 如图，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是（　　） A. AB∥CD B. AD∥BC C. ∠A=∠C D. ∠ABC=∠CDA 【答案】B 【解析】 【分析】根据判定方法，结合已知条件，寻找添加条件，从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，对选项一个个进行验证． 【详解】解：题中已有条件AD=BC，隐含公共边相等，那么就缺少这两边所夹的角相等， 即∠ADC=∠BDC，选项中没有此条件， 要想得到这个条件，需添加AD∥BC． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定；判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 3. 如图，在中，点D在的延长线上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．利用三角形外角的性质，直接计算即可． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 4. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图方法可得，据此利用可证明． 【详解】解：由作图方法可得， ∴． 5. 如图，，若的周长为，则的长为（ ） A. 7 B. 9 C. 5 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据周长和已知边长求出的长，再根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】解：∵的周长为21，， ∴， ∵， ∴， 答选A． 6. 如图，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由全等三角形的性质可得，，，，，再结合线段的和差、平行线的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，，，，，故①正确； ∴，，故③正确； ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，即，故②正确； 综上所述，正确的有①②③④． 7. 如图，在与中，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：如图 ， ， ， 设与交于点， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 8. 如图，在四边形中，，，，E为的中点，动点P以的速度由点B向终点C运动，动点Q以的速度由点C向终点D运动．若动点P，Q同时运动，当动点P到达点C时，动点Q也随之停止，设运动时间为，当与全等时，则t的值是（ ） A. 1或 B. 或 C. 或1 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，，则，再分两种情况：当时，当时，分别结合全等三角形的性质，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵E为的中点， ∴， 由题可得，，则， ∵，与全等， ∴当时，此时，， ∴， 解得； 当时，此时，， ∴， 解得； 综上所述，当与全等时，则t的值是1或． 二、填空题(本题有6个小题， 每小题3分，共计18分) 9. 一个三角形的三个内角比是，则这个三角形是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【解析】 【分析】本题主要考查了按比例分配，求出三角形的最大角的度数是解题的关键． 先求出最大角的度数，然后判断三角形的形状即可． 【详解】解：∵ ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 10. 如图，，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴． 11. 如图，，若利用证明，需添加的条件是_______________．（写出一种即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题主要考查的是直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据两个直角三角形全等的判定方法HL，即“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， ，， 当或时，． 故答案为：（或）． 12. 如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等底同高的两个三角形面积相等，得到，，，，推出计算即可． 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 13. 在中，，边上的高，且，则的面积为______． 【答案】8或16##16或8 【解析】 【分析】根据题意得出的长度，再利用三角形面积公式求出的面积即可． 【详解】解：根据题意，分以下两种情况： ①如图： ，，， ， ， ②如图： ，，， ， ， 故答案为：8或16． 【点睛】本题主要考查三角形面积的计算，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 14. 对于匀质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可以通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形等），分别求出各简单图形的重心和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心． 以下是具体公式和步骤： 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线的交点， 坐标为 顶点坐标为 ，， 素材2 步骤： （1）根据具体情况建立适当的平面直角坐标系； （2）将原图形分割成简单规则图形； （3）计算分割的每个简单规则图形的面积（，2，3，…）； （4）确定分割的每个简单规则图形的重心坐标； （5）计算组合图形的重心坐标， 其中，． 则上图的重心坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】分成三个部分，分别计算各个部分的重心坐标和面积，再结合题干所给公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 在中，重心的横坐标为，纵坐标为， 即重心的坐标为，面积， 在长方形中，重心的坐标为，面积， 在中，重心的横坐标为，纵坐标为，即重心的坐标为，面积， ∴，， ∴上图的重心坐标为． 三、解答题(本题有5个小题，每小题5分，共计25分) 15. 如图，与相交于点O，点O是线段的中点，． 求证：． 【答案】证明：∵点O是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】由题意可得，再利用即可证明． 【详解】略． 16. 如图，E，F是线段上两点，，，．求证． 【答案】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】先证明，再利用即可证明． 【详解】略 17. 如图，在和中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】先证明，再利用即可得出． 【详解】略． 18. 如图，于点D，于点E，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 证，得，进而即可求解 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∵在与中 ∵， ∴， ∴ ∴， 19. 如图，已知线段，，求作，使，．（要求保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】如图所示，即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题要作满足，的等腰三角形，先作出长度为的底边，再分别以、为圆心，为半径画弧，得到两弧交点，连接各顶点即可得到符合要求的三角形，利用基本尺规作图方法即可完成． 【详解】略 四、解答题(本题有3个小题，每小题6分，共18分) 20. 如图，在△ABC中． （1）画出BC边上的高AD和中线AE； （2）若∠B＝30°，∠BAC＝20°，求∠CAD的度数． 【答案】（1）见解析；（2）40° 【解析】 【分析】（1）按要求画出高AD和中线AE即可； （2）根据直角三角形的两锐角互余可求得∠BAD，再由∠CAD=∠BAD﹣∠BAC即可求解． 【详解】（1）如图，线段AD、AE就是求作的BC边上的高线、中线； （2）∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB=90°， ∵∠B=30°， ∴∠BAD=90°﹣30°=60°， ∵∠BAC=20°， ∴∠CAD=∠BAD﹣∠BAC=60°﹣20°=40°． 【点睛】本题考查画三角形的高线和中线、直角三角形的两锐角互余，掌握基本作图的能力，运用直角三角形的性质求角度数是解答的关键． 21. 已知，b，c是的三边长，，． （1）求c的取值范围； （2）当c为奇数时，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等腰三角形，理由如下： 由（1）知： 又∵为奇数， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系计算即可得出结果； （2）先求出，从而可得，最后结合等腰三角形的定义判断即可得出结果． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系知：， 即． 【小问2详解】 解：是等腰三角形， 理由略． 22. 如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． （1）求证∶； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， 又∵， ∴（）， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由中线得到，结合垂直条件得到直角，再利用对顶角相等，通过AAS证明，根据全等三角形对应边相等证得． （2）由（1）得到，结合已知，利用证明，得到，进行线段等量代换，求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴，， 由（）知：， ∴， 又∵， ∴（）， ∴， ∴， 即． 五、解答题（23题7分，24题8分，共15分） 23. 阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为________； （2）如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）． ①若，判定是否是“梦想三角形”，为什么？ ②当为“梦想三角形”时，则的度数是_________． 【答案】（1）或 （2） ①是“梦想三角形”，理由如下： ， ， ∵，， 又∵， ， ， “梦想三角形”． ②或或 【解析】 【分析】（1）分两种情形：当是三角形的一个内角的3倍，当另外两个内角是3倍关系，分别求解即可． （2）①根据“梦想三角形”的定义可以判断：是“梦想三角形”； ②分六种情况进行讨论当是的三倍时，当是的三倍时，当是三倍时，当是三倍时，当是的三倍时，当是是的三倍时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：当是三角形的一个内角的3倍，则这个内角为， 第三个内角为：， 故此时最小的内角是， 当另外两个内角是3倍关系时，则有另外两个内角中较小的内角为： ， 故此时最小的内角是； 故答案为：或． 【小问2详解】 解：①略 ②， ， ∵， ∴； 当是的三倍时，则， ∴； 当是的三倍时，则， ∴此时点C与点O重合，不符合题意； 当是三倍时，则， ∴； 当是三倍时，则， ∵点C在线段上，且点C不与O、B重合， ∴，即， ∵， ∴此时不符合题意； ∴不可能是的三倍； 当是的三倍时，则， ∴； 当是是的三倍时，则， ∵点C在线段上，且点C不与O、B重合， ∴，即， ∵， ∴此时不符合题意； 故答案为：或或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，垂线定义理解，“梦想三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 24. 在平面直角坐标系中，若，满足． （1）直接写出：___________，__________； （2）如图1，，，以A点为顶点、为腰，在第三象限作等腰．求点C的坐标； （3）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点在y轴负半轴上向下运动时，若以P为直角顶点，为腰作等腰，当点D在第四象限时，过D作轴于E点，求的数量关系 【答案】（1）2，4 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质作答即可； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （3）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， 解得：，； 【小问2详解】 解：由（1）知，，即，， 如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荣县启明集团第一学月巩固练习八年级数学练习题 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 3，5，9 C. 2，3，5 D. 5，5，11 2. 如图，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是（　　） A. AB∥CD B. AD∥BC C. ∠A=∠C D. ∠ABC=∠CDA 3. 如图，在中，点D在的延长线上，，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则判断的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若的周长为，则的长为（ ） A. 7 B. 9 C. 5 D. 14 6. 如图，，以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（ ）个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，在与中，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，，E为的中点，动点P以的速度由点B向终点C运动，动点Q以的速度由点C向终点D运动．若动点P，Q同时运动，当动点P到达点C时，动点Q也随之停止，设运动时间为，当与全等时，则t的值是（ ） A. 1或 B. 或 C. 或1 D. 无法确定 二、填空题(本题有6个小题， 每小题3分，共计18分) 9. 一个三角形的三个内角比是，则这个三角形是______三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 10. 如图，，，则____________． 11. 如图，，若利用证明，需添加的条件是_______________．（写出一种即可） 12. 如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 13. 在中，，边上的高，且，则的面积为______． 14. 对于匀质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可以通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形等），分别求出各简单图形的重心和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心． 以下是具体公式和步骤： 素材1 在使用分割法前，需先掌握以下基本图形的重心位置 图形 重心 说明 长方形 几何中心 对角线的交点 三角形 三条中线的交点， 坐标为 顶点坐标为 ，， 素材2 步骤： （1）根据具体情况建立适当的平面直角坐标系； （2）将原图形分割成简单规则图形； （3）计算分割的每个简单规则图形的面积（，2，3，…）； （4）确定分割的每个简单规则图形的重心坐标； （5）计算组合图形的重心坐标， 其中，． 则上图的重心坐标为______________． 三、解答题(本题有5个小题，每小题5分，共计25分) 15. 如图，与相交于点O，点O是线段的中点，． 求证：． 16. 如图，E，F是线段上两点，，，．求证． 17. 如图，在和中，，，．求证：． 18. 如图，于点D，于点E，，若，求的度数． 19. 如图，已知线段，，求作，使，．（要求保留作图痕迹，不写作法．） 四、解答题(本题有3个小题，每小题6分，共18分) 20. 如图，在△ABC中． （1）画出BC边上的高AD和中线AE； （2）若∠B＝30°，∠BAC＝20°，求∠CAD的度数． 21. 已知，b，c是的三边长，，． （1）求c的取值范围； （2）当c为奇数时，判断的形状，并说明理由． 22. 如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． （1）求证∶； （2）若，，求的长． 五、解答题（23题7分，24题8分，共15分） 23. 阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． （1）如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为________； （2）如图，已知，在射线上取一点A，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O、B重合）． ①若，判定是否是“梦想三角形”，为什么？ ②当为“梦想三角形”时，则的度数是_________． 24. 在平面直角坐标系中，若，满足． （1）直接写出：___________，__________； （2）如图1，，，以A点为顶点、为腰，在第三象限作等腰．求点C的坐标； （3）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点在y轴负半轴上向下运动时，若以P为直角顶点，为腰作等腰，当点D在第四象限时，过D作轴于E点，求的数量关系 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $