精品解析：河南平顶山市第九中学2026-2027 学年上学期八年级数学期中试卷

八年级数学期中测试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列几组数中，勾股数有（ ） 4，5，6； 8，12，15； 9，15，17； 10，24，26． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 2. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A. 3 B. C. 5 D. 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 4. 下列说法正确的有（ ） ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 5. 如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为h，则最少露出（ ）厘米． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 若的整数部分为a，小数部分为b，的整数部分为c，小数部分为d，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（ ） A. 8 B. 3 C. 4 D. 6 8. 的三边长a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 10. 为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带．已知大厅圆柱的高为，地面周长为．如果希望彩带绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米？（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小： （1）________； （2）________． 12. 在中，，，则的长为__________． 13. 如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 14. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 15. 若，则化简______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2），求x的值 （3） （4） 17. 如图，已知实数在数轴上的对应点，请化简：． 18. 如图所示，已知，． （1）说出数轴上点A所表示的数为________； （2）点A所表示的数的倒数是：________； （3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 19. 如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． （1）求的长； （2）求的周长． 20. 如图，四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 21. 去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 22. 【阅读理解】若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 【方法应用】 （1）若，，求的值． （2）若，则________． 【拓展提升】 （3）在中，，，的面积为，求的长． （4）如图，在四边形中，对角线于点O，且，，则四边形的面积为_________． 23. 综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中测试题 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列几组数中，勾股数有（ ） 4，5，6； 8，12，15； 9，15，17； 10，24，26． A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，求出两个较小正整数的平方和与最大整数的平方进行比较． 根据勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数进行判断即可． 【详解】解：∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，不是勾股数； ∵，∴，，是勾股数； 综上所述：勾股数有1组． 故选：A． 2. 如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为1，则“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为（　　） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直接根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，“車”、“帥”两棋子所在格点之间的距离为， 故选：D． 3. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，夹逼法求出无理数的范围，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在3和4之间； 故选C． 4. 下列说法正确的有（ ） ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握相关概念是解此题的关键． 【详解】解：①，即5是25的算术平方根，故①正确； ②，即是64的立方根，故②错误； ③，即的平方根是，故③正确； ④0的平方根和算术平方根都是它本身，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：B． 5. 如图，将一根长的玻璃棒，放在底面直径，高为的圆柱形水杯中，设玻璃棒露在杯子外面的长度为h，则最少露出（ ）厘米． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】当玻璃棒在杯内的长度最长时，露在杯外的长度最短，此时玻璃棒、杯高与底面直径构成直角三角形，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：当玻璃棒斜靠在杯子边缘时，杯子里的玻璃棒长度取得最大值， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 6. 若的整数部分为a，小数部分为b，的整数部分为c，小数部分为d，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，通过估算在哪两个整数之间，从而确定，，通过估算在哪两个整数之间，从而确定，，然后把a、b、c、d代入求得数值． 【详解】解：∵的整数部分为a，小数部分为b，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵的整数部分为c，小数部分为d， ∴，， ∴． 故选：A． 7. 已知一个正数的两个平方根分别是和，则的算术平方根是（ ） A. 8 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题利用正数的平方根的性质解题，即正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到答案． 【详解】∵ 正数的两个平方根互为相反数. ∴ 解得 则9的算术平方根是3． 8. 的三边长a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 9. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面展开−最短路径问题、两点之间，线段最短、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连接，如图1；把上面展开到正面上，连接，如图2；把侧面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，再进行大小比较即可． 【详解】解：把上面展开到左侧面上，连接，如图1， ； 把上面展开到正面上，连接，如图2， ； 把侧面展开到正面上，连接，如图3， ． ∵． 所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为． 故选：D． 10. 为了营造节日气氛，学校准备在大厅圆柱上缠绕彩带．已知大厅圆柱的高为，地面周长为．如果希望彩带绕圆柱4圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带多少米？（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 将圆柱侧面展开成矩形，彩带绕4圈相当于在展开图中水平移动4倍底面周长，垂直移动圆柱高，利用勾股定理求斜边长度即可． 【详解】解：∵圆柱高为，底面周长为，绕4圈， ∴展开图中水平方向长度，垂直方向高度， ∴彩带长度， ∴至少需要彩带米． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 比较大小： （1）________； （2）________． 【答案】 ①. ＜ ②. ＞ 【解析】 12. 在中，，，则的长为__________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：当为斜边时，和为直角边， ∵ 在中，，， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，和为直角边， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，的长为或． 13. 如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 14. 《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设木柱长x尺，根据题意，可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意确定直角三角形各边的长度，再利用勾股定理列方程即可． 【详解】解：设木柱长为尺，由题意可知绳索长度为尺， 根据题意可得：． 15. 若，则化简______． 【答案】或 【解析】 【分析】由得到的两个可能取值，利用二次根式的性质将原式转化为绝对值的差，分情况去掉绝对值符号计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 或 ． 根据二次根式的性质，可得 ． 分两种情况计算： 当时 ∵ ∴ ， ∴ 原式． 当时 ∵ ∴ ， ∴ 原式． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2），求x的值 （3） （4） 【答案】（1） （2）或 （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 或； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 如图，已知实数在数轴上的对应点，请化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的特点、绝对值和实数的运算与二次根式化简，根据数轴上点的位置判断出二次根式被开放数的正负与绝对值内的正负是解答本题的关键． 【详解】解：由题图可知， 所以原式 ． 18. 如图所示，已知，． （1）说出数轴上点A所表示的数为________； （2）点A所表示的数的倒数是：________； （3）在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】（1） （2） （3）如图：点F即为所求 【解析】 【分析】（1）由数轴可得：，再根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧为负数即可解答； （2）根据倒数的定义得到点A表示的数的倒数，再分母有理化即可； （3）过表示数4的点D作数轴的垂线，取，以O为圆心，为半径画弧与数轴相交于点F，则点F就是表示的点． 【小问1详解】 解：由数轴可得：， ∵ ∴． ∴， ∴点A表示的数是． 【小问2详解】 解：∵的倒数是， ∴点A所表示的数的倒数是． 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，，，，为上一点．将沿折叠，点的对应点落在边上． （1）求的长； （2）求的周长． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称性质，直角三角形的性质，勾股定理定理，利用勾股定理求出线段是解题的关键． （1）先根据勾股定理求出线段，根据轴对称的性质，最后求得的长； （2）由翻折知，在中，利用勾股定理求出，在中，求出，即可求得的周长． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 由折叠得： ， 的长为4； 【小问2详解】 由翻折得， ， 在中，， 设，则， ， 解得， ， 在中，， 的周长． 20. 如图，四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）由题意得，，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，且，根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：由题意知，， ∴四边形的面积为5． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．熟练掌握三角形内角和定理，等边对等角，勾股定理，勾股定理逆定理是解题的关键． 21. 去年第13号台风“贝碧嘉”在我国沿海地区登陆，影响范围大，破坏力极强．如图，台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，与A，B的距离分别为，，且．根据实测数据，台风中心半径范围内的地区会受到台风影响． （1）海港C受台风影响吗？为什么？ （2）若台风中心的移动速度不变，该海港受台风影响持续，求台风中心的移动速度． 【答案】（1）海港C受台风影响 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用．熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键； （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （2），利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风中心的移动速度． 【小问1详解】 解：海港C受台风影响． 过C作于点D， ，，， ， 是直角三角形，； ∴ ∴， ∴． ∵， ∴海港C受台风影响． 【小问2详解】 设台风从E点开始影响C港，到F点后停止影响C港． 由题意，得． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 答：台风中心的移动速度为． 22. 【阅读理解】若，，求的值． 解：因为，所以，即：，又因为，所以 【方法应用】 （1）若，，求的值． （2）若，则________． 【拓展提升】 （3）在中，，，的面积为，求的长． （4）如图，在四边形中，对角线于点O，且，，则四边形的面积为_________． 【答案】（1）10；（2）34；（3）；（4）24 【解析】 【分析】题目主要考查利用完全平方公式变形求值，勾股定理解三角形，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据题意，利用完全平方公式变形求解即可； （2）根据题意得出，再由完全平方公式变形求解即可； （3）根据题意得出，然后利用完全平方公式及勾股定理求解即可； （4）根据题意得出，结合图形求面积即可． 【详解】解：（1）∵， ∴即， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：34； （3）∵，的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）∵，， ∴，即， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：24． 23. 综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：如图1是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个三级台阶两个相对的端点，若点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，连接，经过计算得到长度即为最短路程，则　 　 ． 【变式探究】 （2）如图3，一个圆柱形玻璃杯，若该玻璃杯的底面周长是48厘米，高是7厘米，一只蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到与点相对的点处，则该蚂蚁爬行的最短路程是多少厘米？ 【拓展应用】 （3）如图4，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）该蚂蚁爬行的最短路程25厘米；（3）蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为． 【解析】 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，轴对称的性质，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将杯平面展开，作点纵向的对称点，点与对称点的连线，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程，再根据勾股定理计算长度即可． 【详解】解：（1）三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为， 由勾股定理得：， 解得：． 答：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是． 故答案为：25； （2）将圆柱体侧面展开，如图： 由题意得：，， ， 该蚂蚁爬行的最短路程25厘米； （3）如图，将杯平面展开，作点纵向的对称点， 连接，即为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程， ，，，， 根据勾股定理有： ， 蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $