2026-2027学年高三上学期数学函数综合自测卷

2026年高中高三数学函数自测题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A．-1 B．2 C．1 D．5 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知指数函数，其反函数为，下列关于两个函数说法正确的是（   ） A．常数的取值范围为且，函数的定义域为实数集 B．当时，与的图像只有一个交点 C．若两函数图象存在交点，则该交点不一定位于直线上 D．设与两函数图象交点为，，则，等号成立 4．已知 是方程的根， 是方程的根，则的值为（  ） A．2016 B．2017 C．2018 D．1009 二、多选题 5．已知函数，若，则实数的值可能是（    ） A． B． C． D． 6．二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y m 2 2 n 且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（    ） A． B． C．关于x的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 D．和在该二次函数的图象上，则当实数时， 三、填空题 7．已知，，则________． 8．函数是指数函数，则a的取值范围是______ 9．若函数，，，则________，的值为________． 10．函数､分别是定义在上的偶函数､奇函数，且，若关于的方程在区间，内有解，则实数的最小值为___________. 四、解答题 11．某服装厂拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用x（0≤x≤10）万元满足 .已知2022年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的促销价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）. (1)将2022年该产品的利润y元表示为年促销费用x万元的函数； (2)该服装厂2022年的促销费用投入多少万元时，利润最大? 12．已知函数. (1)当，且时，求的取值范围； (2)是否存在正实数a，，使得函数在上的取值范围是.若存在，则求出a，b的值；若不存在，请说明理由. 13．已知函数，． （1）解方程： （2）令，，求证：； （3）若是上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《高中高三数学函数自测题》参考答案 1．A 【难度】0.94 【知识点】函数 【分析】求分段函数的函数值，将自变量代入相应的函数解析式可得结果. 【详解】∵在这个范围之内， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查分段函数求函数值的问题，考查运算求解能力，是简单题. 2．C 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】化简集合A和集合B,再利用交补运算求解. 【详解】因为， ， 所以，所以， 故选:C． 3．C 【难度】0.65 【知识点】根据函数是指数函数求参数、求反函数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对于选项A，求出，从而得到结论；对于选项B，判断出函数的图象在直线上方，再根据反函数图象性质，从而得到结论；对于选项C，举例即可说明；对于选项D，与的交点为，，与的交点为，，则，，由是的反函数，得到在上，从而得到，则，利用基本不等式求解即可得到结论. 【详解】对于选项A，是指数函数，其反函数为，定义域为，故选项A错误； 对于选项B，当时，，则，当时， 易知，所以，所以函数的图象在直线上方， 而的图象与的图象关于直线对称，所以的图象在直线下方， 当时，与的图象没有交点，故选项B错误； 对于选项C，若两函数图象存在交点，则这两个交点不一定在直线上， 比如：函数，，两函数图象有一个交点， 其不在直线上，故选项C正确； 对于选项D，与的交点为，， 与的交点为，， 则，， 是的反函数，在上， ，，，， ，， ，当且仅当，即时，此时， 但是，故等号不成立，，故选项D错误. 故选：C. 4．C 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据和互为反函数，图像关于对称，判断和的位置关系及交点，由题设及对称性求值. 【详解】由题意，是和的图像的交点， 是和的图像的交点， 又和的图像关于直线对称，且和垂直且交于， 所以和关于对称，故. 故选：C. 5．AC 【难度】0.85 【知识点】简单的指数方程、简单的对数方程 【分析】分段讨论，当，；当时，即可求解. 【详解】当时，，解得：， 当时，解得：， 综上所述：实数的值可能是或， 故选：AC. 6．BCD 【难度】0.65 【知识点】函数 【分析】代入点可得，再根据题意可得，，进而二次函数的性质逐项分析判断. 【详解】将代入得，解得， 所以二次函数，当时，对应的函数值， 所以，解得，所以， 所以，，所以，故A错误； 当时，，当时，， 所以，因为，所以，故B正确； 因为二次函数过，所以其对称轴为， 又当时，对应的函数值， 根据二次函数的对称性知，当时，对应的函数值， 而当时，，所以二次函数与轴负半轴的交点横坐标在和0之间， 所以关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间，故C正确； 因为和在该二次函数的图象上， 所以， 若，则， 因为，所以，解得，故D正确． 故选：BCD 7． 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据是的取值范围，，然后求交集即可． 【详解】因为，， 所以， 故答案为：． 8． 【难度】0.85 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【解析】根据指数函数的定义要满足条件得到关于的取值范围. 【详解】解：函数是指数函数，且，，由解得或，.所以a的取值范围为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查指数函数定义的应用，属于基础题. 9． 5或50 【难度】0.65 【知识点】求函数值、对数的运算性质的应用、由函数对称性求函数值或参数 【分析】根据函数解析式可得，结合已知可得，再根据解得或2，列对数方程求参即可. 【详解】因为，所以，所以，所以． 由，解得或2，所以或，所以或，所以的值为5或50． 故答案为：；5或50. 10． 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、简单的指数方程 【分析】由函数的奇偶性，构造方程可解得，，原方程有解可转化为在，有解，换元，，求函数的最小值即可. 【详解】解：， ， 又函数､分别是定义在上的偶函数､奇函数， ， ，， 在区间，内有解， 在区间，内有解， 令，， 则在，内有解， 又，当且仅当时取等号， 的最小值为. 故答案为：. 11．(1)； (2)投入万元时，利润最大. 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、函数 【分析】（1）根据题意，结合已知条件，列出函数关系即可； （2）对函数解析式进行配凑，运用基本不等式，即可求得利润的最大值. 【详解】（1）由题意知：每件产品的销售价格为， ，即； （2）由， 当且仅当，即时取等号. 故该服装厂年的促销费用投入万元时，利润最大. 12．(1) (2)存在，， 【难度】0.65 【知识点】常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域、分段函数的性质及应用、根据函数的最值求参数 【分析】（1）根据条件得到的关系，代入消去得到关于的函数，求其最值即可； （2）假设存在满足条件的实数a，b，且，分a，，a，，，讨论，列方程组求解. 【详解】（1）因为， 所以在上为减函数，在上为增函数， 由且，可得且， 故. 令，则，函数在上单调递增，所以， 即的取值范围是. （2）存在满足条件的实数a，b，理由如下： 假设存在满足条件的实数a，b，且. ①当a，时，在上单调递减， 则由，即， 解得ab=1，因为a，，故此时不存在符合条件的实数a，b. ②当a，时，在上单调递增. 则由，即， 所以a，b是方程得或， 所以，此时存在符合条件的实数，. ③当，时，由于，而，故此时不存在符合条件的实数a，b. 综上所述，存在符合条件的实数，. 13．（1）； （2）证明:， ∴ ． ,, ∴ ∴， ∴； （3）． 【难度】0.4 【知识点】由奇偶性求函数解析式、简单的对数方程、根据函数的单调性解不等式、由函数对称性求函数值或参数 【分析】（1）根据条件建立方程关系，解指数方程即可． （2）易得，，然后将所求证的等式两边分别倒序相加求和，即可证明； （3）根据函数的奇偶性求出函数的不等式，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式恒成立进行转化求解即可． 【详解】（1）根据题意，原方程可转化为，即，则，解得。经验证，是原方程的解； （２）略； （3）因为是上的奇函数，所以， 故，，则，且在上单调递增. 由，得， 又是上的奇函数，所以， 又在上单调递增，所以， 故对任意的都成立，即对任意的都成立， 因为当且仅当时取等号， 所以, 故实数的取值范围是. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $