1.4.1.2 空间中直线、平面的平行（第二课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1.2 空间中直线、平面的平行 （第二课时） 复习回顾 知识点一 两直线平行的判定方法 设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2⇔_______________⇔∃λ∈R,使得____________. 知识点二 直线和平面平行的判定方法 设u是直线l的方向向量,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔_____________⇔_______________. 知识点三 平面和平面平行的判定方法 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α∥β⇔____________⇔∃λ∈R,使得_________________. u1∥u2 u1=λu2 u⊥n u·n=0 n1∥n2 n1=λn2 复习回顾 (1)u,u1,u2,n,n1,n2都是非零向量. (2)用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合;证明线面平行时,必须说明直线不在平面内;证明面面平行时,必须说明两个平面不重合. 问题引领，深入思考 判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.(　　) 2.若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面平行.(　　) 3.若两条不同直线l1,l2的方向向量分别为a=(3,1,-2),b=(-6,-2,4),则l1∥l2.(　　) 4.若两个平面平行,则这两个平面的法向量一定平行.(　　) 5.若=λ+μ,λ,μ∈R,则直线AB∥平面CDE. (　　) × √ √ √ × 题型一——直线和直线平行 例1 如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC, ∠BCA=,AC=AD=4,E为CD的中点,M在AB上,且=2.求证:EM∥AD. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 5 题型一——直线和直线平行 【证明】以A为原点,AD,AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),D(4,0,0),C(0,4,0), B(-,3,0),E(2,2,0), 由=2,得(xM,yM,zM)= 2(--xM,3-yM,-zM), 解得即M, 所以=,=(4,0,0),所以∥,又E∉AD, 所以EM∥AD. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 6 总结 利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可. 巩固练习 如图所示,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点. 求证:四边形AEC1F是平行四边形. 巩固练习 证明:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E,C1(0,1,1),F, ∴=,=,=,=, ∴=,=, ∴∥,∥,又F∉AE,F∉EC1, ∴AE∥FC1,EC1∥AF, ∴四边形AEC1F是平行四边形. 题型二——直线和平面平行 例2 如图是一个直三棱柱(以A1B1C1为底面)被一平面所截得到的几何体,截面为ABC.已知A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3.设点O是AB的中点,求证:OC∥平面A1B1C1. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 题型二——直线和平面平行 【证明】∵∠A1B1C1=90°, ∴以B1为原点,B1C1,B1A1,B1B所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图, 则A(0,1,4),B(0,0,2), C(1,0,3), A1(0,1,0),C1(1,0,0), ∵O是AB的中点, ∴O,=, 由图可知,n=(0,0,1)是平面A1B1C1的一个法向量, 由·n=0,且OC不在平面A1B1C1内,∴OC∥平面A1B1C1. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 总结 利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示. (3)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行的判定定理得证. 巩固练习 在四棱锥P⁃ABCD中,四边形ABCD是正方形,侧棱PD垂直于底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点.求证:PA∥平面EDB. 证明:如图所示,以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设PD=DC=a. 依题意得D(0,0,0),A(a,0,0),P(0,0,a), E,B(a,a,0). 设平面EDB的法向量为n=(x,y,z), 巩固练习 又=,=,则有即 即令z=1,则y=-1,x=1,所以n=(1,-1,1),又=(a,0,-a), 所以n·=(1,-1,1)·(a,0,-a)=a-a=0.所以n⊥. 又PA⊄平面EDB,所以PA∥平面EDB. 题型三——平面和平面平行 例3 已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是BB1,DD1的中点,求证:平面ADE∥平面B1C1F. 【证明】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B1(2,2,2),所以=(0,2,1),=(2,0,0),=(0,2,1),=(2,0,0), 设n1=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则n1⊥,n1⊥, 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 题型三——平面和平面平行 即得 令z1=2,则y1=-1, 所以可取n1=(0,-1,2). 设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的法向量,则n2⊥,n2⊥, 即得 令z2=2,得y2=-1, 所以可取n2=(0,-1,2). 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 题型三——平面和平面平行 因为n1=n2,所以n1∥n2,又平面ADE∩平面B1C1F=⌀, 所以平面ADE∥平面B1C1F. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 17 总结 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行,然后用向量共线进行证明. 巩固练习 如图,在直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD, AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中点.求证:平面AA1D1D∥平面FCC1. 巩固练习 证明:因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF, 所以△BCF为正三角形. 因为底面ABCD为等腰梯形, 所以∠BAD=∠ABC=60°. 如图,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD. 以D为原点,DM,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 巩固练习 则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0), C1(0,2,2), 所以=(0,0,2),=(,-1,0),=(,-1,0),=(0,0,2),所以∥,∥,则DD1∥CC1,DA∥CF, 又DD1∩DA=D,CC1∩CF=C,DD1,DA⊂平面AA1D1D,CC1, CF⊂平面FCC1,平面AA1D1D∩平面FCC1=⌀,所以平面AA1D1D∥平面FCC1. 当堂检测 1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,若l1∥l2,则 (　　) A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y= 解析:由题意得,==,∴x=6,y=.故选D. D 当堂检测 2.已知平面α的一个法向量为m=(-4,2,t),平面β的一个法向量为n=(6,s,1),若α∥β,则st= (　　) A.2　　 B.1 C.-1　　 D.-2 解析:由题意可知m∥n,所以==,解得s=-3,t=-,所以st=2.故选A. A 当堂检测 3.(多选)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,l⊄α,则能使l∥α的是 (　 　) A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:若l∥α,则a·n=0.对于A,a·n=0;对于B,a·n=1+5=6;对于C,a·n=-1;对于D,a·n=-3+3=0.故选AD. AD 当堂检测 4.若直线l的一个方向向量为m=(-2,k,1),平面α的一个法向量为n=(2,3,-2),且l∥α,则k=___. 解析:由题意可得m⊥n,所以m·n=-2×2+3k+1×(-2)=3k-6=0⇒k=2. 2 用数学的眼光看世界 $