1.4.1.2 空间中直线、平面的平行-【新课程学案】2026-2027学年高中选择性必修第一册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中直线、平面平行的向量表示及证明，通过课前预知落实基础概念与训练，课堂分线线、线面、面面平行题型展开，结合例题、方法总结及针对训练，构建从基础到应用的梯度学习支架。 其亮点在于以向量语言抽象空间关系，通过坐标法、基向量法等逻辑推理培养数学思维，如例1用两种方法证明线线平行。采用梯度进阶式教学，帮助学生形成系统认知，教师可直接利用结构化内容提升教学效率。

空间中直线、平面的平行 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 空间中直线、平面平行的向量表示 位置关系 符号表示 图示 线线平行 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R,使得_________ 线面平行 l∥α⇔u⊥n⇔_________ (l⊄α) 面面平行 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得_________ u1=λu2 u·n=0 n1=λn2 |微|点|助|解| 用向量刻画空间中直线、平面的平行关系的注意点 (1)线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合. (2)直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,所以运用时应以运算简便为标准. (3)线线平行、面面平行中向量仍平行,但线面平行中向量变为垂直.可简记为“同类同性,异类相反”. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行,则这条直线与这个平面平行. (　　) (2)两直线的方向向量垂直,则两条直线垂直. (　　) (3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直. (　　) (4)两个(不重合)平面的法向量平行,则这两个平面平行,两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. (　　) × √ √ √ 2.(多选)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是 (　　) A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:若l∥α,则a·n=0.A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1, D中a·n=-3+3=0. √ √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　证明直线与直线平行 [例1]　如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=3,AD=4, AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在棱DD1上, 且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点. 求证:MN∥RS. 证明:法一　如图所示,建立空间直角坐标系,根据题意得M,N(0,2,2),R(3,2,0),S. 则,分别为MN,RS的方向向量,又=,=,所以=, 所以∥,因为M∉RS,所以MN∥RS. 法二　设=a,=b,=c, 则=++=c-a+b, =++=b-a+c. 所以=,所以∥.又R∉MN, 所以MN∥RS. 　|思|维|建|模|　证明线线平行的两种方法 基向量法 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明 坐标法 建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示 针对训练 1.在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1. 证明:如图所示,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系,设DA=a,DC=b,DD1=c, 则A(a,0,0),C1(0,b,c),D1(0,0,c),B1(a,b,c),B(a,b,0), A1(a,0,c).由D1E=2EB1,即=2,可得E, 由BF=2FA1,即=2,可得F,∴=, =(-a,b,c),∴=.又FE与AC1不共线,∴EF∥AC1. 题型(二)　证明直线与平面平行 [例2]　如图,在三棱锥P⁃ABC中,PA⊥底面ABC, ∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点, PA=AC=2,AB=1.求证:MN∥平面BDE. 证明:因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,建立空间直角坐标系 如图所示,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1),E(0,1,1), M,N,P(0,0,2),所以=(0,1,0),=(1,0,-1), 设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量, 则即不妨设z=1,可得n=(1,0,1),又 =,所以·n=1×+0×1+1×=0,即⊥n, 因为MN⊄平面BDE, 所以MN∥平面BDE. 　　|思|维|建|模| 利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证. (3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 针对训练 2.如图,正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直, AB=2AD=2,点E为AB的中点.求证:BD1∥平面A1DE. 证明:因为平面AA1D1D⊥平面ABCD,平面AA1D1D∩平面ABCD=AD,DD1⊥AD,DD1⊂平面AA1D1D,所以DD1⊥平面ABCD.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A1(1,0,1),D1(0,0,1),B(1,2,0),E(1,1,0), 所以=(1,0,1),=(1,1,0). 设平面A1DE的法向量为n1=(x1,y1,z1),则 令x1=1,解得y1=-1,z1=-1, 所以n1=(1,-1,-1). 又=(-1,-2,1), 所以·n1=0,即⊥n1. 又BD1⊄平面A1DE,所以BD1∥平面A1DE. [例3]　如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为 正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,求证:平面EFG∥平面PBC. 题型(三)　证明平面与平面平行 证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,所以AB,AP,AD两两垂直,如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). 所以=(2,0,-2),=(0,-1,0),=(1,1,-1),=(0,2,0). 设n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的法向量,则n1⊥,n1⊥,即 得 令z1=1,则x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1). 设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,由n2⊥,n2⊥,即 得 令z2=1,则x2=1,y2=0,所以n2=(1,0,1), 所以n1∥n2,又平面EFG与平面PBC不重合,所以平面EFG∥平面PBC. 　　|思|维|建|模| 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. 3.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,M,N,E,F分别是棱A1D1, A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面BDEF. 针对训练 证明:如图,以点D为原点,分别以,, 为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),M, N,E,F. 于是=,=,=, =. 设n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量, 则 取z1=1,得x1=2,y1=-2,则n1=(2,-2,1). 设n2=(x2,y2,z2)是平面BDEF的法向量, 则 取z2=1,得y2=-2,x2=2,则n2=(2,-2,1)=n1. 又平面AMN与平面BDEF不重合, 故平面AMN∥平面BDEF. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.设u=(2,0,-1)是平面α的一个法向量,a=(1,0,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是 (　　) A.平行或直线在平面内 B.不能确定 C.相交但不垂直 D.垂直 解析:因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.(多选)已知平面α与平面β平行,若n=(1,-2,4)是平面α的一个法向量,则平面β的法向量可能为 (　　) A.(-1,2,-4) B.(-1,2,4) C.(2,4,-8) D.(2,-4,8) 解析:设平面β的法向量为m,则由题意可得m∥n.对于A,m=(-1,2,-4) =-n,满足题意;对于B,设(-1,2,4)=λ(1,-2,4),λ无解,所以不符合题意; 对于C,设(2,4,-8)=λ(1,-2,4),λ无解,所以不符合题意; 对于D,m=(2,-4,8)=2n,满足题意.故选AD. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是 (　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 √ 解析:因为=(-2,-2,2),=(1,1,-1),所以=-2,所以与平行.又四点不共线,所以直线AB与CD平行. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z的值是 (　　) A.-3 B.-4 C.3 D.4 解析:∵α∥β,∴u1∥u2,故存在实数λ,使得u1=λu2,即(-3,y,2)=λ(6,-2,z),故解得∴y+z=1-4=-3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.如图,在四棱锥A1⁃BCDE中,A1E⊥平面BCDE,四边形BCDE为直角梯形,EB∥DC,DE⊥EB, EB=ED=1,DC=2,△A1ED为等腰直角三角形,点F在棱A1C上,若点P为DB的中点,且PF∥平面A1ED,则点F的坐标为 (　　) A. B. C. D. 解析:由题意,得A1(0,0,1),E(0,0,0),D(0,1,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P,不妨设F(x0,y0,z0),因为点F在棱A1C上,所以设=λ,λ∈[0,1],解得x0=2λ,y0=λ,z0=1-λ,所以点F的坐标为(2λ,λ,1-λ),从而=.由题意可知,=(1,0,0)为平面A1ED的一个法向量,故·=0,解得λ=,从而点F的坐标为.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4. 若在线段AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,则点D满足 (　 ) A.AD=AB B.AD=AB C.AD=AB D.AD=AB 解析:因为AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2,所以AC⊥BC, 则在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AC,BC,CC1两两垂直,以C为原点, CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),B1(0,4,4),C1(0,0,4), =(0,4,4), √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 设点D(x,y,0)(0≤x≤3,0≤y≤4),则=(x,y,0),设平面CDB1的法向量为 m=(a,b,c),则即 令b=-x,则m=(y,-x,x). 若AC1∥平面CDB1,则·m=0,易得=(-3,0,4),所以-3y+4x=0　①. 由D在AB上,得=,即4x+3y=12　②, 由①②可得x=,y=2,即D为AB的中点,故AD=AB.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(5分)已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,则k=　　　　. -2 解析:因为a∥b,所以m=λn,即(4,k,k-1)=λ, 所以解得λ=-2,k=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则α,β的位置关系为_________. 平行 解析:因为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),所以v=(-3,-6,6)=-3(1,2,-2)=-3u,所以v∥u,所以α∥β. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1), B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是　　　　.  -3 解析:∵l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x+y.∵=(1,0,-1), =(0,1,-1), ∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1) =(x,y,-x-y),∴∴m=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知梯形ABCD和矩形CDEF.在平面图形中,AB=AD=DE=CD=1,CD⊥AE. 现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折,满足平面ABCD垂直于平面CDEF.设 =2,=μ,若AP∥平面DBN,则实数μ的值为　　　. 3 解析:易得CD⊥DE,CD⊥DA,又平面ABCD⊥平面CDEF,平面ABCD∩平面CDEF=CD,AD⊂平面ABCD,则AD⊥平面CDEF. 又DE⊂平面CDEF,所以AD⊥DE.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),A(1,0,0),E(0,0,1),C(0,2,0), 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以=+=+=+(-)=+=, 同理可得=+=+=+=. 设平面DBN的法向量为n=(x,y,z), 则令y=1,则n=(-1,1,-4).又=+=, AP∥平面DBN,所以·n=+-=0,解得μ=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)如图,已知在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中, M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明: (1)MN∥平面CC1D1D;(6分) 证明:以D为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的 正方向,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2, 则A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1). 由正方体的性质,知AD⊥平面CC1D1D, 所以=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量. 由于=(0,1,-1),则·=0×2+1×0+(-1)×0=0, 所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D, 所以MN∥平面CC1D1D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)平面MNP∥平面CC1D1D.(4分) 证明:由(1)知=(2,0,0)为平面CC1D1D的 一个法向量,由于=(0,2,0), =(0,1,-1),则 即=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量, 所以平面MNP∥平面CC1D1D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭,既美观又利于采光,其中一角如图所示,为多面体ABCDE⁃A1B1C1D1,AB⊥AE,AE∥BC,AB∥ED,AA1⊥底面ABCDE,四边形A1B1C1D1是边长为2的正方形且平行于底面,AB∥A1B1,D1E, B1B的中点分别为F,G,AB=AE=2DE=2BC=4,AA1=1.求证:FG∥平面C1CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 证明:过点E作AA1的平行线Ez,以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(0,0,0),B(4,4,0),C(4,2,0), D(2,0,0),B1(2,4,1),C1(2,2,1),D1(0,2,1),=(2,0,-1), =(0,-2,-1), 因为D1E,B1B的中点分别为F,G, 所以F,G,则=(3,3,0). 设平面C1CD的法向量为n1=(x,y,z),则 令x=1,则n1=(1,-1,2). 因为n1·=3-3+0=0,所以n1⊥, 因为FG⊄平面C1CD,所以FG∥平面C1CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.在BC1上是否存在一点E,使得OE∥平面A1AB?若存在,确定点E的位置,若不存在,请说明理由. 解:连接OA1,因为AA1=A1C,且O为AC的中点,所以A1O⊥AC, 又平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,且A1O⊂平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABC.连接OB,由AB=BC,得OB⊥AC,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 由题意可知,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,所以OB=AC=1, 所以O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,),C1(0,2,),B(1,0,0), 则=(0,1,),=(1,1,0).设平面AA1B的法向量为n=(x,y,z),则有即令y=1,得x=-1,z=-,所以n=. 设E(x0,y0,z0),=λ(0≤λ≤1),由=(-1,2,)得(x0-1,y0,z0)=λ(-1,2,), 所以所以E(1-λ,2λ,λ), 所以=(1-λ,2λ,λ).由OE∥平面AA1B,得·n=0,即-1+λ+2λ-λ=0,解得λ=. 所以在BC1上存在点E使得OE∥平面A1AB,且E为BC1的中点. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $