4.1 函数 课件 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

第四章 一次函数 4.1 函数 北师大版（2024）八年级上册数学课件 1 1. 理解掌握函数概念，了解函数的三种表示方法。 ． 2．根据两个变量之间的关系式，给定其中一个量，会求出另一个量的值。． 3．通过教师讲评，学生能掌握函数的三种表示方法，了解其特点，培养学生的概括总结能力．教学重难点教学重点,掌握函数的概念以及表示方法． 重点 难点 学习目标 一级标题：黑体， 2 表格法、关系式法和图像法. 2.两个变量之间的关系有哪些表示方法？ 知识储备 同学们，我们在七年级下册第六章《变量之间的关系》中已经学 过变量。谁来说一说，什么是变量？什么是常量？什么是自变量？ 什么是因变量？ 在一个变化过程中，数值发生变化的量叫变量；在变化过程中数值始终 不变的量叫做常量；主动变化的量叫自变量；随自变量变化而变化的量 叫因变量 如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？ 由低变高，再由高变低. 知识点 1 函数及相关概念 新课讲解 思考：1、在这个问题里有几个变量？ 时间和离开地面的高度 2、谁是自变量，谁是因变量？ 时间是自变量，离开地面的高度是因变量 t/min 0 1 2 3 4 5 … h/m … 如图反映了摩天轮上一点的高度h（m）与旋转时间t（min）之间的关系. 4 13 36 47 35 13 探究新知 （1）根据右图填表： （2）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？ 确定 新课讲解 层数n 1 2 3 4 5 … 物体总数y … 1.罐头盒等圆柱形的物体常常如下图那样堆放.随着层数的增加，物体的总数是如何变化的？ 填写下表： 这个问题中的变量有几个？分别是什么？ 探究新知 做一做 1 3 6 10 15 层数与物体总数 只要给定层数，就能求出物体总数. 新课讲解 探究新知 2.一定质量的气体在体积不变时，假若温度降低到-273 ℃，则气体的压强为零.因此，物理学中把-273 ℃作为热力学温度的零度.热力学温度T（K）与摄氏温度t（℃）之间有如下数量关系：T=t+273，T≥0. （1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？ （2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？有几个T值和它对应？ 新课讲解 探究新知 （1）当t分别为-43 ℃， -27 ℃，0 ℃，18 ℃时，相应的热力学温度T是多少？ 解：当t为-43℃时， T= -43+273=230（℃）; 当t为-27℃时， T= -27+273=246（℃）; 当t为0℃时， T=0+273=273（℃）; 当t为18℃时， T=18+273=291（℃）. 解：是，因为t ≥ -273时， T≥0. 唯一一个T值 （2）给定一个大于-273 ℃的t值，你都能求出相应的T值吗？有几个T值和它对应？ 新课讲解 上面的三个问题中，有什么共同特点？ ①时间 t 、相应的高度 h ； ②层数n、物体总数y； ③摄氏温度t 、热力学温度T. 共同特点：都有两个变量，给定其中某一个变量的值，相应地就确定了另一个变量的值. 新课讲解 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. 函数 注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.函数是刻画变量之间关系的常用模型 新课讲解 一个x值 对应 唯一一个y值 y就是x的函数 （1） （2） （3） 下列式子中的y是x的函数吗？为什么？若y不是x的函数，怎样改变，才能使y是x的函数？ 解：（1）、（2）中y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应；（3）中，y不是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有两个确定的值与其对应.将关系式改为 或 ，都能使y是x的函数. 新课讲解 变量x与y的对应关系如下表所示： x ±1 ±4 ±9 ±16 ±25 … y 1 2 3 4 5 … 问：变量y是x的函数吗？为什么？ 解：y是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一的一个个确定的值与其对应. 新课讲解 1、判断下列各式哪些是函数？ 是 不是 是 是 不是 是 （h的值不变且h不为0） 探究新知 图象法 列表法 关系式法 表示函数的一般方法有哪些呢？ 表示函数的一般方法有：列表法、关系式法和图象法. 新课讲解 1.［2025月考］下列图象中，表示是 的函数的是( ) A. B. C. D. B 2.［2025期中］“白毛浮绿水，红掌拨清波”，白鹅拨出的圆形水波不断扩大 ，水波的周长与半径的关系式为 ，则其中的自变量是( ) A.半径 B.周长 C.2 D. A 2.［教材习题 变式］ 下列变量之间的关系不是函数关系的是 ( ) A.某班某同学的身高和体重 B.底边上的高一定，等腰三角形的底边长与面积 C.速度一定时，汽车行驶的路程与时间 D.正方形的周长与面积 A 上述问题中，自变量能取哪些值？ 注意：要根据实际问题确定自变量的取值范围. 知识点 2 函数值及自变量的取值范围 新课讲解 下列函数中自变量x的取值范围是什么？ （1） ; （2） ; （3） ; 解: x取全体实数; （1） （2） 由x+2≠0得 ; x≠-2 （3） 由x-5≥0得 ; (4) . 使函数解析式有意义的自变量的全体. （4） x取全体实数. 新课讲解 1.我市白天乘坐出租车收费标准如下：乘坐里程不超过3公里，一律收费8元；超过3公里时，超过3公里的部分，每公里加收1.8元；设乘坐出租车的里程为x（公里）（x为整数），相对应的收费为y（元）. （1）请分别写出当0＜x≤3和x＞3时，表示y与x的关系式，并直接写出当x=2和x=6时对应的y值； （2）当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数吗？为什么？ 解：（1）当0＜x≤3时，y=8； 当x＞3时，y=8＋1.8（x－3）=1.8x＋2.6. 当x=2时，y=8；x=6时，y=1.8×6＋2.6=13.4. （2）是 当0＜x≤3和x＞3时，y都是x的函数，因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应. 函数值 对于自变量在可取值范围内的一个确定的值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称为当自变量等于a时的函数值． 即：如果y是x的函数，当x=a时，y=b，那么b叫做当x=a时的函数值． 注意：函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系．而函数值是一个数，它是自变量确定时对应的因变量的值． 新课讲解 例2 已知函数 (1)求当x=2，3，-3时，函数的值； (2)求当x取什么值时，函数的值为0. 把自变量x的值代入关系式中，即可求出函数的值. 解：（1）当x=2时， ; 素养考点 2 求函数的值 当x=3时， ; 当x=-3时，y=7. （2）令 解得 ，即当 时，y=0. 新课讲解 已知函数 . (1)当x=3时,求函数y的值; (2)当y=2时,求自变量x的值. 解:(1)当x=3时, . (2)当y=2时,可得到 ,则4=36-2x2,即x2=16, 解得x=±4. 新课讲解 变式2：判断下列函数是否与 是同一函数，为什么？ 函数关系式、自变量的范围均一致 1. 下列关系式中，当自变量时，函数值 的是 ( ) B A. B. C. D. 2.下列式子:;; ; ，其中具有函数关系（自变量为 ）的是 ______.（填序号） ①② 3.函数的自变量 的取值范围是__.___________. 课堂练习 24 4. 如图，要围一个长 方形 的菜园，菜园的一边利用足 够长的墙，用35米长的篱笆围成另外三 边.为了方便进出，在 边上留了一个 2米宽的小门.设边的长为米， 边 C A. B. C. D. 的长为米，则与 之间的关系式是 ( ) 课堂练习 25 5. 李老师骑车外出办事,离校不久便接到学校要他返校的紧急电话, 李老师急忙赶回学校。下面四个图象中,能描述李老师与学校的距离 随 时间 变化的图象是( ) A. B. C. D. 课堂练习 C 6.小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入形状相同的无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部．则下面可以近似地刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是(　　) D 课堂练习 7.如图，在长方形中，, ，点 在上运动，设 ,图中阴影部分的面积为 。写出阴影部分的面积与 之间的关系式和自变 量的取值范围，并求出 面积的最大值。 解：根据题意，得，自变量 的取值范围 是 。 当时，的面积最大，最大为 。 扩展提升 函数 概念：函数在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x是自变量，y是x的函数. 函数值 自变量的取值范围 1.使函数解析式有意义 2.符合实际意义 函数的关系式：三种表示方法 课堂小结 $