精品解析：广东广州市第八十九中学2026-2027学年九年级上学期10月数学学情自测

2026学年第一学期国庆作业检测 初三年级数学试卷 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共100分．考试时间60分钟． 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 3、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 3. 用配方法解方程，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 方程的两根之和与两根之积分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知关于x的方程的一个根为1，则方程的另一个根为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 7. 要组织一次足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），计划安排28场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 某种流感病毒，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 某商店经销一种文具，每件成本为30元，若按每件40元销售，每月能售出600件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售单价为x元（），若商店想使月销售利润恰为10000元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 方程的解为________． 12. 已知一元二次方程有一个根为1，则__________． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则________ 14. 某厂今年一月份的产值是500万元，三月份的产值是720万元，设每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是________． 15. 已知是方程的两根，则的值为_______________________． 三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知：关于的一元二次方程有一个根为0．求m的值以及方程的另一个根． 18. 如图，在宽为、长为的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），余下部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 20. 如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． （1）当t为何值时，的面积为？ （2）在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． （3）在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期国庆作业检测 初三年级数学试卷 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共100分．考试时间60分钟． 2、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 3、答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．，符合一元二次方程的要求； B．，未知数最高次数为1，不符合要求； C．，含有两个未知数，不符合要求； D．，分母含未知数，不符合要求． 2. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 3. 用配方法解方程，方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】利用根的判别式与0的大小关系判断方程根的情况． 【详解】解：在方程中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 5. 方程的两根之和与两根之积分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：方程中，，，， 两根之和为，两根之积为. 6. 已知关于x的方程的一个根为1，则方程的另一个根为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先将代入方程求出，然后得到原方程，然后求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得． ∴原方程为， 因式分解得， 解得， ∴方程的另一个根为． 7. 要组织一次足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间只赛一场），计划安排28场比赛，设应邀请x个球队参加比赛，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设应邀请x个球队参加比赛，则每个队都要与其它个队都比赛一场，则一共要比赛场，由于相同两个队之间的一场比赛只能算作一场，故总比赛场次为场，据此列出方程即可． 【详解】解：设应邀请x个球队参加比赛， 由题意得，， 故选：C． 8. 某种流感病毒，有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：初始有1人患流感． ∵每轮传染中平均1人传染人， ∴第一轮传染后，总患病人数为人． ∵第二轮传染的传染源为人， ∴第二轮新增患病人数为人． ∵经过两轮传染后共有121人患病， ∴可列方程为． 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据一元二次方程根的判别式的值的符号来判断即可． 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系为：①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程没有实数根，解答本题的关键是利用判别式判断一元二次方程根的个数． 10. 某商店经销一种文具，每件成本为30元，若按每件40元销售，每月能售出600件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件．设销售单价为x元（），若商店想使月销售利润恰为10000元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，以月销售利润为等量关系，分别表示出每件利润与月销售量即可列方程． 【详解】解：每件利润为元.销售单价比40元上涨元，月销售量减少件， 则月销售量为件， ∵月销售利润为10000元， ∴可列方程． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 方程的解为________． 【答案】， 【解析】 【详解】解：∵ ∴， 解得，． 12. 已知一元二次方程有一个根为1，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有一个根为1， ∴， 故答案为：0． 13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则________ 【答案】 【解析】 【分析】方程有两个相等的实数根，可得根的判别式等于0，代入方程系数列方程求解即可得到的值． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，． ∵方程有两个相等的实数根， ∴． 代入系数得． 整理得． 解得． 14. 某厂今年一月份的产值是500万元，三月份的产值是720万元，设每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一月份和三月份的产值，设月平均增长率为，依次表示出二月份、三月份的产值，即可根据已知条件列出方程． 【详解】解：∵一月份产值为万元，每月平均增长率为， ∴二月份产值为万元， ∴三月份产值为万元， ∵三月份的实际产值为万元， ∴可得方程． 15. 已知是方程的两根，则的值为_______________________． 【答案】13 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到+=3，=-2，再利用完全平方公式得到2+2=（+）2-2，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得+=3，=-2， 所以2+2=（+）2-2=32-2×（-2）=13． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，+=-，=． 三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解； （3）利用公式法求解； （4）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 解得，； 【小问3详解】 解：， ，，， ， ， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 17. 已知：关于的一元二次方程有一个根为0．求m的值以及方程的另一个根． 【答案】 的值为，方程的另一个根为. 【解析】 【分析】将代入方程求的可能值，结合一元二次方程二次项系数不为确定的取值，再求解方程的另一根． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，即， ∵方程有一个根为， ∴将代入方程，得， 解得或， 又∵， ∴， 将代入原方程，得，  ，  ， 解得，， ∴ 方程的另一个根为． 18. 如图，在宽为、长为的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），余下部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】道路的宽为 【解析】 【分析】设道路的宽为，根据平移的性质可知种植草坪的面积等于一个长为，宽为的长方形的面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽为， 由题意得，， 整理得 解得或（舍去）， 答：道路的宽为． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 20. 如图，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．连接、、，设运动时间为秒． （1）当t为何值时，的面积为？ （2）在运动过程中，的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时的值；若不存在，请说明理由． （3）在运动过程中，设的面积为，的面积为，令，是否存在某一时刻，使得有最大值？若存在，请求出这个最大值以及此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）解：当时，y取得最小值，且最小值为．理由如下： 设的面积为， ， ， 根据题意，得 ， ， ∴有最小值，当时，y取得最小值，且最小值为． （3） 存在，当时，有最大值，且最大值为 【解析】 【分析】（1）设运动时间为秒．根据题意，得，，根据三角形的面积，列式解答即可； （2）设的面积为，根据题意得，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）根据题意，得，设，根据函数的最值，解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，正方形的边长为，点从点出发，沿边以的速度向终点移动；同时点从点出发，沿边以的速度向终点移动．设运动时间为秒． ，，， ， 的面积为， ， ， ， 整理，得， 解得， 当点Ｍ在上运动时，经历时间长为：， 都符合要求， 故当或时，的面积为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：当时，有最大值，且最大值为．理由如下： 根据题意，得的面积为，的面积为，令， ，， ， ， 时，两个三角形不存在， ∴， 设， ， ∴有最大值，且当时，取得最大值，函数的最大值为4， 取得最小值，此时最小值为， 取得最小值，此时最小值为， 取得最大值，此时最大值为， 取得最大值，此时最大值为， ∴当时，有最大值，且最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $