学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·培优卷（人教A版，选必一第一～三章：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A B A B B C D D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BCD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）直线的斜率：，（2分） 故过点且与平行的直线方程斜率，（3分） 且，故直线方程为，（5分） 即．（6分） （2）过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程， 当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是，（7分） 所以直线方程为，即；（8分） 当截距不为0时，由截距相等可设直线方程为：，（9分） 代入，得，，（11分） 故直线方程为即．（12分） 综上得：直线方程为或.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）设点，，因为点M是线段的中点， 所以，即，（2分） 又点P是圆上的一点，所以，（4分） 即，即E的方程为；（6分）    （2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线l的距离为1， 则，符合题意；（8分） 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心到直线l的距离，（10分） 所以，解得，（13分） 所以直线l的方程为，（14分） 综上：直线l的方程为或.（15分）    17．（15分） 【详解】（1）由椭圆的左右顶点可知，（1分） 设，则， 化简可得，则，（2分） ，（3分） ，（4分） 则椭圆的标准方程为．（5分） （2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为， ，将直线和椭圆方程联立， 代入可得，（6分） 由韦达定理可知，（7分） 则，（8分） 而， 代入可得，（9分） 根据点到直线距离公式，（10分） ，（11分） 令则， ，（13分） 函数在上单调递增， 即时，，（14分） 此时的面积最大，最大值为．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得；（1分） ，，； 为直角三角形，即.（2分） .（3分） 平面平面，平面平面，平面 平面；（4分） 平面，.（5分） （2）由（1），得. 由折叠得，.（6分） 平面平面，平面平面，平面 平面.（7分） 为直线与平面所成的角.（8分） ，，，，，. 在中，.（9分） 即直线与平面所成角的正弦值为（10分） （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，.（11分） 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，.（12分） . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取.（13分） 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为.（14分） 二面角的大小为， ，解得或.（15分） ，. ，则.（16分） 即线段的长度为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，所以，解得1．（1分） 双曲线的渐近线方程为，即，右顶点坐标为． 所以右顶点到渐近线的距离为，即，（2分） 两边平方可得，解得．（3分） 将，代入双曲线方程， 可得双曲线的方程为．（4分） （2）（ⅰ）（ⅰ）由（1）可知双曲线的右焦点， 设直线的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程， 消去可得，即．（5分） 由韦达定理可得，．（6分） 已知， 则 ， 即，（9分） 所以直线、的倾斜角互补，即．（10分） （ⅱ）设轴上的定点，则，． 因为以为直径的圆恒过轴上的定点， 所以，即．（11分） 当斜率不为0时，将，代入上式可得： ， 展开可得． 将，代入上式可得： ，（12分） 整理可得， 即， 合并同类项可得．（13分） 因为上式对任意都成立，所以， 解得，即，（14分） 则以AB为直径的圆恒过x轴上的定点． 当斜率为时，直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程， 易得，，（16分） 此时以为直径的圆恒过轴上的定点． 综上，以为直径的圆恒过轴上的定点．（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （    ） A． B． C． D． 4．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 7．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点在线段（含端点）上运动，则下列结论不正确的有（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．对任意点，都有平面 D．对任意点，三棱锥的体积为定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．空间四点.给出下列命题，其中正确的选项是（   ） A．平面的一个法向量为 B．若 且 ，则 C．点到直线的距离为 D．四点共面 10．已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 11．已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点， 则下列说法正确的是（    ） A． B．若，记直线的斜率为，则 C．面积的最小值为 2 D． 的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 13．如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 14．已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 16．（15分） 已知圆，点P是圆上的一点，点，点M是线段的中点，记点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)直线l过点且与E交于B，C两点，若，求直线l的方程. 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求面积的最大值． 18．（17分） 已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支上，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （    ） A． B． C． D． 4．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 5．已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 7．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点在线段（含端点）上运动，则下列结论不正确的有（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．对任意点，都有平面 D．对任意点，三棱锥的体积为定值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．空间四点.给出下列命题，其中正确的选项是（   ） A．平面的一个法向量为 B．若 且 ，则 C．点到直线的距离为 D．四点共面 10．已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 11．已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点， 则下列说法正确的是（    ） A． B．若，记直线的斜率为，则 C．面积的最小值为 2 D． 的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 13．如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 14．已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 16．（15分） 已知圆，点P是圆上的一点，点，点M是线段的中点，记点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)直线l过点且与E交于B，C两点，若，求直线l的方程. 17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求面积的最大值． 18．（17分） 已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 19．（17分） 已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支上，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C]D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：选择性人教A版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，则，则， 所以直线的倾斜角为． 故选：A． 2．已知空间向量，，且，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以， 又因， ， 由可得，解得. 3．已知椭圆的焦点在 轴上，且离心率为 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为椭圆的焦点在 轴上，所以 ，，． 由离心率 得 ，故 ，即 ，解得 ． 4．过点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式可得，即可由勾股定理求解，由三角形面积公式即可求解. 【详解】由 可得， 所以，进而可得， 故， 所以四边形的面积为. 5．已知是抛物线上任意一点，点在轴上的射影为点，点的坐标为，则的最小值是（   ） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】B 【分析】先利用抛物线定义，将 “点到坐标轴的距离” 转化为 “点到焦点的距离”，消去动点到坐标轴的距离；再将原目标式转化为 “动点到两个定点的距离和（差）” 的形式，最后利用 “两点之间线段最短”，通过三点共线求出转化后式子的最值，并还原为原问题的答案即可. 【详解】因为抛物线方程的标准形式为， 所以焦点，准线方程为：，延长交准线于，连接，如图： 根据抛物线的定义得， 当且仅当，，三点共线时， ， 的最小值为. 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 7．双曲线C的两个焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两支于M，N两点，若是等边三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意作图，根据双曲线定义表示各线段的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则①，②， 在中，， 可得， 则， 由，则， 在中，，由余弦定理可得 ，即， 由，则，解得. 8．在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点在线段（含端点）上运动，则下列结论不正确的有（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．对任意点，都有平面 D．对任意点，三棱锥的体积为定值 【答案】D 【分析】建立空间坐标系，设出点后结合选项逐一分析. 【详解】已知正方体棱长为，故以为原点，以方向为轴建立空间坐标系， 则各点坐标：，， 又在线段上，设，则， 选项A：向量，， 若垂直，则， 即，存在这样的，A选项正确； 选项B：向量，，， ，即， 若，则， 此时与重合，即当时，， 又，平面， 故平面，存在这样的，B选项正确； 选项C：，， 设平面的法向量为，则， 即：，取，则： 所以法向量，又 ，所以， 且不在平面上，故对任意，平面，C选项正确； D选项：，， ，， 设平面法向量，则， 取，则，则法向量为：， 点到平面的距离：， 由于，，所以：， 三棱锥的体积： 又为定值，但随变化，因此体积不是定值，D选项错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．空间四点.给出下列命题，其中正确的选项是（   ） A．平面的一个法向量为 B．若 且 ，则 C．点到直线的距离为 D．四点共面 【答案】AD 【分析】求出平面的一个法向量可判断A；设，利用求出可判断B；利用点到直线的距离向量求法可判断C；设，求出可判断D. 【详解】对于A，，设平面的一个法向量为， 则，令，则，则，故A正确； 对于B，，因为，设， 若，则，解得，则或，故B错误； 对于C，，则点到直线的距离为 ， 故C错误； 对于D，设，因为， ， 则有， ，解得，故，则四点共面. 故D正确. 故选：AD. 10．已知实数满足，下列说法正确的是（　　） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为49 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】BCD 【分析】设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断A；设，利用点到直线的距离公式求得的范围判断B；表示圆上的点到的距离的平方，求得可求最大值判断C；求得点到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值判断D. 【详解】方程表示以为圆心，半径的圆， 对于A，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故A错误； 对于B，设，则，因为点在圆上， 所以，整理得，解得， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，表示圆上的点到的距离的平方， 设圆上的点到的距离， 又，所以，即， 所以的最大值为49，故C正确； 对于D，点到直线的距离， 所以点到直线的距离的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 11．已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点为坐标原点， 则下列说法正确的是（    ） A． B．若，记直线的斜率为，则 C．面积的最小值为 2 D． 的最小值为 【答案】BCD 【分析】设直线AB的方程为，将直线方程代入抛物线方程中，消去，利用根与系数的关系，从而可求出，即可判断A；根据弦长公式即可判断B；根据结合韦达定理即可判断C；根据弦长公式得，结合基本不等式即可判断D. 【详解】由题意知抛物线的焦点为且直线斜率不为0， 故可设直线AB的方程为，，， 由得，显然， 所以，，，， 所以，故A错误； 设直线的倾斜角为，当为锐角时， 由抛物线的定义可知， 故，同理可得， 由得，从而， 同理当为钝角时，，故B正确； ， 当时，面积的最小值为 2，故C正确； 由于，， 所以， 当且仅当，时， 的最小值为 ，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，直线与直线互相平行，则它们之间的距离为_____． 【答案】/ 【分析】 先由两直线平行求出，再利用两平行线间的距离公式可求得结果． 【详解】因为直线与互相平行， 所以，解得， 所以直线为，即， 所以它们之间的距离为． 13．如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【答案】 【分析】选取作为空间向量的一组基底，利用重心和线段比例关系将用基底表示，再通过数量积运算求模长. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以, 因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 14．已知双曲线：（， ）的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，为双曲线上一点，若，的斜率之积为，，的斜率之积为，且的面积为，则________． 【答案】 【分析】设,利用斜率公式由，推得，由得到，由，求得，由三角形的面积公式列出方程，求解即得的值. 【详解】，可得，， 设,则，解得， 因，则， 由，可得， 又因， 可得， 即， 即，即， 依题意，， 代入，得到， 解得，又，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知点，，； (1)求过点且与平行的直线方程； (2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）直线的斜率：， 故过点且与平行的直线方程斜率，且， 故直线方程为，即． （2）过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程， 当截距为0时，直线过原点，直线的斜率是， 所以直线方程为，即； 当截距不为0时，由截距相等可设直线方程为：， 代入，得，， 故直线方程为即． 综上得：直线方程为或. 16．（15分） 已知圆，点P是圆上的一点，点，点M是线段的中点，记点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)直线l过点且与E交于B，C两点，若，求直线l的方程. 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）设点，，结合中点坐标公式与代入法，化简求解即可； （2）分直线l的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线的距离公式，根据直线截圆所得的弦长公式列式求解. 【详解】（1）设点，，因为点M是线段的中点， 所以，即，又点P是圆上的一点， 所以，即，即E的方程为；    （2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到直线l的距离为1， 则，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心到直线l的距离， 所以，解得， 所以直线l的方程为， 综上：直线l的方程为或.    17．（15分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q． (1)求椭圆C的标准方程； (2)求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的左右顶点可知的值，设，则，分别表示出再根据即可求出，则可得椭圆标准方程； （2）设直线方程为，将直线和椭圆方程联立可得，由韦达定理可得的值，求出，再由点到直线距离公式求出左顶点到直线距离，由面积公式可得到面积，再根据换元法即可求出最大值． 【详解】（1）由椭圆的左右顶点可知， 设，则， 化简可得，则， ， ，则椭圆的标准方程为． （2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为， ，将直线和椭圆方程联立， 代入可得， 由韦达定理可知， 则， 而， 代入可得， 根据点到直线距离公式， ， 令则， ， 函数在上单调递增， 即时，， 此时的面积最大，最大值为． 18．（17分） 已知等边的边长为3，，分别是，上的点，且，将沿折起到的位置，使得平面平面，得到四棱锥．    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，根据三角形三边满足勾股定理，证得，由面面垂直得到线面垂直，再由线面垂直证得线线垂直； （2）由面面垂直得到线面垂直，从而确定线面的夹角，根据直角三角形的边的关系，求得线面夹角的正弦值； （3）以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据异面夹角的计算公式即可求得. 【详解】（1）等边的边长为3，，. ，. 由余弦定理得，解得； ，，； 为直角三角形，即. . 平面平面，平面平面，平面 平面； 平面，. （2）由（1），得. 由折叠得，. 平面平面，平面平面，平面 平面. 为直线与平面所成的角. ，，，，，. 在中，. 即直线与平面所成角的正弦值为 （3）线段上存在一点，使得二面角的大小为，且线段的长度为，理由如下： 平面，平面，平面，，. 平面，平面，. 以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则，，，. . 点在线段上，设，得. ，. 平面，平面的法向量可取. 设平面的法向量为，则，即； 令，则，. 平面的一个法向量为. 二面角的大小为， ，解得或. ，. ，则. 即线段的长度为. 19．（17分） 已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支上，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 （ⅱ）是，定点 【分析】（1）根据双曲线的实轴长求出的值，再结合顶点到渐近线的距离求出的值，进而得到双曲线的方程； （2）（ⅰ）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到A，B两点横坐标的关系，再通过计算直线、的斜率之和为0，即可证得结果； （ⅱ）设出x轴上的定点，根据向量垂直的性质得到，进而求出定点的坐标． 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，所以，解得1． 双曲线的渐近线方程为，即，右顶点坐标为． 所以右顶点到渐近线的距离为，即， 两边平方可得，解得． 将，代入双曲线方程， 可得双曲线的方程为． （2）（ⅰ）（ⅰ）由（1）可知双曲线的右焦点， 设直线的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程， 消去可得，即． 由韦达定理可得，． 已知， 则 ， 即， 所以直线、的倾斜角互补，即． （ⅱ）设轴上的定点，则，． 因为以为直径的圆恒过轴上的定点， 所以，即． 当斜率不为0时，将，代入上式可得： ， 展开可得． 将，代入上式可得： ， 整理可得， 即， 合并同类项可得． 因为上式对任意都成立，所以， 解得，即， 则以AB为直径的圆恒过x轴上的定点． 当斜率为时，直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程， 易得，， 此时以为直径的圆恒过轴上的定点． 综上，以为直径的圆恒过轴上的定点． / 学科网（北京）股份有限公司 $