4.1 投影 查漏补缺2026-2027学年北师大版九年级数学上册

4.1 投影 查漏补缺2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．正六棱柱如图放置，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是（   ） A． B． C． D． 2．下列四个选项中，图中的灯光与物体的影子是最合理的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在房子屋檐E处安有一台监视器，房子前有一面落地的广告牌，那么监视器的盲区是（　　）    A． B． C． D．四边形 4．下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下影子的图形可能是（    ） A． B． C． D． 5．如图，一条线段在平面内的正投影为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．广场上有旗杆如图1所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图2，某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长为16米，落在斜坡上的影长为8米，；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°，1米的标杆竖立在斜坡上的影长为2米，则旗杆的高度为（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 7．一块三角形纸板如图所示，，，测得边的中心投影的长为，则边的中心投影的长为（   ）    A． B． C． D． 8．如图所示，长方体的一个底面在投影面P上，分别是侧棱的中点，矩形与矩形的正投影都是矩形．设它们的面积分别是，则其大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是______． 10．学校花园的栅栏在阳光下的影子属于______投影．（填“平行”或“中心”） 11．如图1是我们小时候常玩的手影游戏．在一次游戏中，小明的手距离墙壁3米，光源与小明手的距离为1米，如图2，在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则小明的手与光源的距离应______（填“增加”或“减少”）______米． 12．甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的倍．当甲到达点，乙到达点时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线上，则的长为_________． 13．小明家的客厅有一张直径为，高 的圆桌 ，在距地面 的 A 处有一盏灯，圆桌的影子为 ．如图，根据题意，以 为 1 个单位长度建立平面直角坐标系，其中点 D的坐标为 ，则点 E 的坐标是_________． 三、解答题 14．如图，投影线的方向如箭头所示，画出圆柱体的正投影． (1) (2) 15．如图，和是直立在地面上的两根立柱，某一时刻在太阳光下的投影是． (1)太阳光下形成的投影属于___________；（填“平行投影”或“中心投影”） (2)请你在图中画出此时在太阳光下的投影； 16．如图，为一盏路灯的灯杆，灯泡位于灯杆顶端的点O处，地面上有一个矩形木架，在灯泡O的照射下，木架落在地面上的影子为，地面上有一根标杆与木架在灯杆的两侧，已知在灯泡O的照射下，落在地面上的影子为，经测量木架长米，木架的高度米，木架的影长米，标杆米，标杆的影长米，已知图中所有的点都在同一平面内，E、B、F、C、P、N、H在同一水平直线上，于点P，于点B，于点C，于点N． (1)请在图中画出标杆的影子； (2)根据已知的测量数据，请计算标杆到路灯灯杆的距离． 17．如图是某校校史荣誉室的正方形网格平面图，实线表示墙体或门．在点处安装了360度旋转摄像头，由于墙体的遮挡，阴影部分无法监控，这部分无法监控到的区域通常称为监控盲区． （1）小红同学进入校史荣誉室随意参观，站在监控盲区的概率是多少？ （2）为了监控效果更好，使得监控盲区最小，请你帮助学校在墙体上重新设计摄像头安装的位置，画出示意图，并说明理由． 18．综合与实践 【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器——圭表． 【项目准备】 ①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平放的测定表影长度的刻板，叫作圭．通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的变化．夏至日影子最短，冬至日影子最长． ②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ③如图2，为同学们制作的表，，的长度为，为圭．经查阅资料，夏至时太阳光线与水平地面的夹角为，冬至时太阳光线与水平地面的夹角为． 参考数据：，，，，，． 【项目任务】 任务一：（1）求的长度． 任务二：（2）求秋分时，表的影子的长度． 任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为，求旗杆的长度． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C C C B C B 1．【答案】B 【知识点】正投影 【分析】本题主要考查了平行投影特点，根据平行投影特点以及图中正六棱柱的摆放位置即可求解，熟练掌握投影随着物体不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应按照物体的外形即光线情况而定是解决此题的关键． 【详解】解：把一个正六棱柱如图摆放，一束水平方向的平行光线照射此正六棱柱时的正投影是 图形， 故选：B． 2．【答案】A 【知识点】中心投影 【分析】本题考查了中心投影，根据对应点的连线经过点光源即可判断求解，掌握中心投影的性质是解题的关键． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵对应点的连线经过点光源， ∴灯光与物体的影子最合理的是， 故选：． 3．【答案】C 【知识点】视点、视角和盲区 【分析】解答此题首先要了解盲区的定义，视线覆盖不到的地方即为该视点的盲区，由图知，是视点，找到在点处看不到的区域即可． 【详解】解：由图知：在视点的位置，看不到段，因此监视器的盲区在所在的区域， 故选：C． 【点睛】本题考查了投影和视图的概念，解答此类问题，首先要确定视点，然后再根据盲区的定义进行判断． 4．【答案】C 【知识点】平行投影 【分析】平行投影的性质：同一时刻太阳光线平行；物高与影长成正比； 【详解】解：太阳光线是平行光线， 在同一时刻，两棵树的影子方向应相同，且树高与影长成正比，观察各选项图形： A、B选项中，两棵树的影子方向均不相同，故不符合题意； D选项中，两棵树的影子方向相同，但较高的树影子较短，较矮的树影子较长，不符合平行投影的特征； C选项中，两棵树的影子方向相同，且较高的树影子较长，较矮的树影子较短，符合平行投影的特征． 5．【答案】C 【知识点】正投影 【分析】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，过作，交于点，求出的值，可得结论． 【详解】解：过作，交于点， ∵线段在平面内的正投影为，， ∴， ∴，且，则即为所求， ， ∴， 故选：C． 6．【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求线段长、平行投影 【分析】如图作交于M，于N，根据相似三角形的性质求出，在中利用等腰直角三角形的性质求出即可解决问题． 【详解】解：如图作交于M，于N． 由题意得， ∴，即， ∴米， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． ∵在直角中，， ∴米， ∴米． 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行投影，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解、中心投影 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键． 由投影得，由相似性质得，求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．【答案】B 【知识点】平行投影 【分析】根据长方体的概念得到，根据矩形的面积公式得到. 【详解】解：立体图形是长方体， ∴底面底面． 矩形的投影是矩形． ． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行投影和立体图形，掌握由平行光线形成的投影是平行投影是解题的关键. 9．【答案】圆、矩形 【知识点】正投影 【分析】本题考查了正投影的定义，解题的关键是掌握正投影的定义． 根据正投影的定义，确定圆锥和圆柱在平行光线下垂直投影的形状即可． 【详解】解： 因为圆锥的底面是圆，从顶点向底面作正投影， 得到的是圆，所以圆锥在平行光线的正投影下，其投影形状为圆； 因为圆柱的侧面展开图是矩形，从侧面作正投影，得到的是矩形，所以圆柱在平行光线的正投影下，其投影形状为矩形； 故答案为：圆、矩形． 10．【答案】平行 【知识点】平行投影 【分析】本题主要考查了平行投影，熟练掌握平行投影的定义，是解题的关键．阳光光线可视为平行，因此影子属于平行投影． 【详解】解：由于太阳距离地球很远，阳光光线近似平行，因此栅栏在阳光下的影子是平行投影． 故答案为：平行． 11．【答案】 增加 1 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ， ， ， ， ， ， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， 即， ，即， ， ∴光源与小明的距离应增加米， 故答案为：增加，1． 12．【答案】8 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影 【分析】本题主要考查平行投影，相似三角形的实际应用，得到关系式是解题的关键．根据题意得到，根据时间相等列出等式即可求解． 【详解】解：连接， 根据题意可得， ∴ ∴， ， ， 设乙的速度为，故甲的速度为， 根据题意，甲所走的路程为，即，乙所走的路程为，即， 故可得， 解得． 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】相似三角形实际应用、中心投影、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，平面直角坐标系中点的坐标确定，正确的识别图形是解题的关键．先根据圆桌与影子的平行关系，判定三角形相似；再利用相似三角形的对应边成比例，计算出影子的长度；最后结合已知点的坐标，确定目标点的坐标． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ， ∵点 D的坐标为 ， ∴， ∴ ． 故答案为：． 14．【答案】(1) 解：圆柱从上向下的正投影如图； ． (2) 解：圆柱从上向下的正投影如图； ． 【知识点】正投影 【分析】本题主要考查了正投影的定义，确定从上方看和从左侧看到的图形是解题的关键． （1）画出圆柱从上向下看到的图形即可； （2）画出圆柱从左向右看到的图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 15．【答案】(1)平行投影 (2) 作图如图，即为所求． 【知识点】平行投影 【分析】本题主要考查的是平行投影的相关知识． （1）根据太阳光线是平行线，可知太阳光下形成的投影属于平行投影，即可解答； （2）根据太阳光线是平行线，作图即可． 【详解】（1）解：根据太阳光线是平行线，可知太阳光下形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行投影． （2）略 16．【答案】(1) 标杆的影子如图所示． (2)米 【知识点】中心投影、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记定理内容是进行几何推理的关键． （1）连接并延长与直线交于点H，即可完成作图； （2）延长交于点G，证得；再证得即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：延长交于点G，如图， 则米． ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴，， ∴． ∵米，米， ∴与的相似比为， ∵为的边上的高，为的边EF上的高， ∴，即， 解得米， ∴米． ∵，， ∴． 又， ∴， ∴，即， 解得米， 即标杆到路灯灯杆的距离为8米． 17．【答案】（1）； （2）如图所示：根据对称性，摄像头安装在线段上时，监控盲区的面积最小，此时，监控盲区面积=2××1×2=2， 若摄像头不安装在线段PQ上，则监控盲区面积=×(CM+2)×2＞2． 【知识点】视点、视角和盲区、几何概率 【分析】（1）分别求出荣誉室面积和盲区面积，再利用概率公式，即可求解； （2）根据对称性，把摄像头安装线段上，计算出监控盲区的面积最小，即可得到结论． 【详解】解：（1）设小正方形的边长为1， ∴荣誉室面积=2×2+2×2+2×6=20，盲区面积=2×2-×2×1=3， ∴站在监控盲区的概率=3÷20=； （2）略 【点睛】本题主要考查几何概率，掌握概率公式和方格纸的面积的计算，是解题的关键． 18．【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】平行投影、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键． （1）解直角三角形求出的长，则可求出的长； （2）根据秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值求解即可； （3）根据同一时刻，同一地方物长与影长的比值一定列出比例式求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ∴； （2）∵秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值． ∴； （3）设旗杆的长度为， 由题意得，， 解得， 答：旗杆的长度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $