5.2.2 同角三角函数的基本关系课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.2.2　同角三角函数的基本关系 索引 课时精练 一、同角三角函数的基本关系 二、三角函数式的求值 三、三角函数式的化简与证明 课堂达标 内容索引 同角三角函数的基本关系 一 探究1 观察下表,你能发现什么? 提示　对于表格中的几个角,同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0),正弦与余弦的平方和等于1. α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 4 探究2 若P(x,y)是角α的终边与单位圆的交点,则角α的三个三角函数值之间有什么联系? 提示　若余弦不为0,则正切等于正弦比余弦,即tan α=;因为点P在单位圆上,则由勾股定理得x2+y2=1,即sin2α+cos2α=1. 5 1.同角三角函数的基本关系 平方关系:sin2α+cos2α=___. 商数关系:=_______.  这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切. 2.同角三角函数基本关系的变形 (1)sin2α=1-cos2α;cos2α=1-sin2α. (2)sin α=cos αtan α;cos α=. 知识梳理 1 tan α 6 (1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立. (2)sin2α是(sin α)2的简写,不能将sin2α写成sin α2,前者是α的正弦的平方,后者是α2的正弦. 温馨提示 7 (链接教材P183例6)已知cos α=-,求sin α,tan α的值. 例1 ∵cos α=-<0,∴α是第二或第三象限角. (1)当α是第二象限角时,则sin α===, tan α===-. (2)当α是第三象限角时,则sin α=-=-,tan α=. 8 1.已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解 思维升华 2.若没有给出角α是第几象限角,则应分类讨论,先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限,再分类求解. 9 (链接教材P184练习T1)已知tan α=,且α是第三象限角,求sin α,cos α的值. 训练1 由tan α==,得sin α=cos α.① 又sin2α+cos2α=1,② 由①②得cos2α+cos2α=1,即cos2α=. 又α是第三象限角, ∴cos α=-,sin α=cos α=-. 10 三角函数式的求值 二 11 (链接教材P186习题5.2T15)已知tan α=2. (1)求的值; 例2 角度1　弦切互化求值 法一(代入法)　∵tan α=2, ∴=2,∴sin α=2cos α. ∴==-. 12 法二(弦化切)　∵tan α=2. ∴== ==-. 13 (2)求2sin2α-sin αcos α+cos2α的值. 2sin2α-sin αcos α+cos2α = ===. 14 思维升华 关于sin α,cos α的齐次式的求值方法 (1)关于sin α,cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α转化为关于tan α的式子后再求值. (2)假如代数式中不含分母,可以视分母为“1”,灵活地进行“1”的代换,由1=sin2α+cos2α代换后,再同除以cos2α,构造出关于tan α的代数式. 15 若=-1,则tan α=____________,1-4sin αcos α+2cos2α=____________.  训练2 原式可化为=-1,则tan α=2. 1-4sin αcos α+2cos2α= ==-. 2 - 16 已知sin θ+cos θ=(0<θ<π),求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值. 例3 角度2　sin α±cos α型的求值问题 因为sin θ+cos θ=(0<θ<π),所以(sin θ+cos θ)2=, 即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=,所以sin θcos θ=-. 由上知θ为第二象限角,所以sin θ-cos θ>0, 所以sin θ-cos θ= ==. 17 思维升华 1.对于三角函数式sin θ±cos θ,sin θcos θ之间的关系,通过(sin θ±cos θ)2 =1±2sin θcos θ进行转化. 2.若已知sin θ±cos θ,sin θcos θ中三者之一,则另两个式子的值均可求出.再利用方程思想进一步可以求得sin θ,cos θ的值,从而求出其余的三角函数值. 提醒　要注意sin θ±cos θ的符号的判定. 18 已知sin αcos α=,且<α<,则cos α-sin α的值是 A. B.- C. D.- √ 训练3 ∵<α<,∴sin α>cos α,cos α-sin α<0. ∴cos α-sin α=- =-=-. 19 三角函数式的化简与证明 三 20 (1)化简:(1-cos α)=____________.  例4 sin α 原式=(1-cos α)=(1-cos α)===sin α. 21 (2)(链接教材P183例7)求证:=. 左边== =====右边, 所以原等式成立. 22 思维升华 1.化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的. 2.对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的. 3.恒等式证明要关注三点 (1)实质:清除等式两端的差异,有目的地化简. (2)基本原则:由繁到简.如化切为弦,减少函数名称. (3)常用方法:从一边开始,证得它等于另一边. 23 (1)化简:+(1+tan2α)cos2α=____________.  训练4 原式=+cos2α+tan2αcos2α =1+cos2α+sin2α=2. 24 (2)[链接教材P186习题5.2T14(1)]求证:=. 左边= ====右边. 所以原等式成立. 【课堂达标】 1.已知sin α-cos α=-,则sin αcos α等于 A. B.- C.- D. √ 由题意得(sin α-cos α)2=, 则1-2sin αcos α=, ∴sin αcos α=×=-. 2 3 4 1 2.(多选)若sin α=,且α为第二象限角,则下列选项正确的有 A.tan α=- B.cos α= C.sin α+cos α= D.sin α-cos α=- √ 因为sin α=,且α为第二象限角,所以cos α=-=-=-. 则tan α==-,故A正确,B错误.又sin α+cos α=-=,故C正确. sin α-cos α=+=,故D错误. √ 2 3 4 1 3.若=,则tan α=____________.  因为=. 所以=, 解得tan α=-. - 2 3 4 1 4.化简(1+tan215°)·cos215°=____________.  (1+tan215°)cos215°=·cos215°=·cos215°=1. 1 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.已知cos α=,且α为第四象限角,则sin α= A. B.- C. D.- ∵cos α=,且α为第四象限角, ∴sin α=-=-.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.若tan α=-,则的值为 A. B. C. D.-2 原式===. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 3.已知tan α=,α∈,则cos α的值是 A.± B. C.- D. 由tan α=,得sin α=cos α. 又sin2α+cos2α=1, ∴cos2α+cos2α=1,得cos2α=, 由于α∈,∴cos α=-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.设x∈R,则“sin x=”是“cos x=”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 当sin x=时,cos x=±=±, 当cos x=时,sin x=±=±, 因此“sin x=”是“cos x=”的既不充分也不必要条件.故选D. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上一点A(2sin α,3),则cos α等于 A. B.- C. D.- 由三角函数定义,得tan α=,则=, 得3cos α=2sin2α=2(1-cos2α), 解得cos α=或cos α=-2(舍去). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.在△ABC中,若sin A+cos A=,则tan A= A.± B. C.3 D.-3 √ 由题意知A∈(0,π), 由sin A+cos A=,① 两边平方得1+2sin Acos A=, 则2sin Acos A=-<0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 ∵A∈(0,π),∴sin A>0,cos A<0, ∴sin A-cos A==.② 联立①②可得sin A=,cos A=-, ∴tan A==-3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.(多选)若α是第二象限的角,则下列各式中一定成立的是 A.tan α=- B.=sin α-cos α C.cos α=- D.=sin α+cos α √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 由同角商的关系可知A错误. ∵α是第二象限角, ∴sin α>0,cos α<0,由平方关系知C正确. 由(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α, 且sin α-cos α>0. 知sin α-cos α=,则B正确. 由于sin α+cos α正负不确定,D不正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.计算:sin2α+cos4α+sin2αcos2α=____________.  1 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.已知tan α=2,则的值为____________.  原式===. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.已知tan θ+=4,则sin θcos θ=____________.  由tan θ+=+ ===4, 得sin θcos θ=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.已知sin α+cos α=-,0<α<π. (1)求sin αcos α的值; 由sin α+cos α=-, 两边平方得(sin α+cos α)2=, sin2α+2sin αcos α+cos2α=, 所以sin αcos α=-. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)求sin α-cos α的值. 因为0<α<π,所以sin α>0, 又sin α+cos α=-, 所以cos α<0,sin α-cos α>0. sin α-cos α===. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.若=-,则的值是 A. B.- C. D.- √ 由sin2α+cos2α=1,得1-cos2α=sin2α, ∴====-. 故=-. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.已知tan α=cos α,则cos2α+cos4α=____________,-=____________.  1 1 因为tan α==cos α,故sin α=cos2α, 则cos2α+cos4α=cos2α+sin2α=1, -= ====1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.(1)化简:tan α(其中α为第二象限角); 由α是第二象限角, 知sin α>0,cos α<0. 原式=tan α=tan α=·=·=-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)求证:·=1. ·=·===1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.若sin α=,cos α=,则tan α=____________.  因为sin2α+cos2α=1, 所以+==1, 整理可得m2-2m-3=0, 解得m=-1或m=3. 0或 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 当m=-1时,sin α=0,cos α=-1,tan α==0; 当m=3时,sin α=,cos α=,tan α==. 综上所述,tan α=0或tan α=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.已知关于x的方程2x2-(+1)x+t=0的两个根为sin α,cos α,α∈(0,2π).求: (1)+的值; 由题意,sin α+cos α=,+=+ ==sin α+cos α=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)实数t的值. 因为sin α+cos α=. 所以1+2sin αcos α=, 因此sin αcos α=, 又sin αcos α=, 所以t=. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $